Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
CHÖÔNG I : PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG TRONG MAËT PHAÚNG
Vaán ñeà 1 : PHEÙP DÔØI HÌNH
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
1 Pheùp bieán hình .
ª ÑN : Pheùp bieán hình laø moät quy taéc ñeå vôùi moãi ñieåm M cuûa maët phaúng xaùc ñònh ñöôïc moät ñieåm duy nhaát
M cuûa maët phaúng , ñieåm M goïi laø aûnh cuûa M qua pheùp bieán hình ñoù .
ª Kí hieäu : f laø moät pheùp bieán hình naøo ñoù vaø M laø aûnh cuûa M qua pheùp f thì ta vieát : M= f(M) hay
f
f(M) = M hay f : M I
M hay M I
M . Ñieåm M goïi laø taïo aûnh .
f laø pheùp bieán hình ñoàng nhaát f(M) = M , M H .
Ñieåm M goïi laø ñieåm baát ñoäng , keùp , baát bieán .
f1 ,f2 laø caùc pheùp bieán hình thì f2 f1 laø pheùp bieán hình .
ª Neáu H laø moät hình naøo ñoù thì taäp hôïp caùc ñieåm M= f(M), vôùi M H, taïo thaønh moät hình H ñöôïc goïi laø
aûnh cuûa H qua pheùp bieán hình f vaø ta vieát : H= f(H) .
2 Pheùp dôøi hình .
ÑN : Pheùp dôøi hình laø pheùp bieán hình khoâng laøm thay ñoåi khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì , töùc laø vôùi
hai ñieåm baát kì M,N vaø aûnh M, N cuûa chuùng , ta luoân coù MN= MN . ( Baûo toaøn khoaûng caùch ) .
3 Tính chaát : ( cuûa pheùp dôøi hình ) .
ÑL : Pheùp dôøi hình bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng , ba ñieåm khoâng thaúng haøng
thaønh ba ñieåm khoâng thaúng haøng .
HQ : Pheùp dôøi hình bieán :
1. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng .
2. Tia thaønh tia .
3. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .
4. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . ( Tröïc taâm I tröïc taâm , troïng taâm I troïng taâm )
5. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R )
6. Goùc thaønh goùc baèng noù .
B . BAØI TAÄP
x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) =
.
y = y + 3
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giaûi :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B = f(B) = ( 7;6)
c) C = f(C) = (3; 1)
x = 2x y 1
2 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) =
.
y = x 2y + 3
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2;4)
Giaûi :
a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = ( 4; 4)
c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (3x; y) . Ñaây coù phaûi laø pheùp dôøi
hình hay khoâng ?
- 1 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
Giaûi : Laáy hai ñieåm baát kì M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 )
Khi ñoù f : M(x1; y1 ) I
M = f(M) = (3x1; y1 ) .
f : N(x2 ; y2 ) I
N = f(N) = (3x2 ; y2 )
Ta coù : MN = (x 2 x1)2 (y 2 y1)2 , MN = 9(x 2 x1)2 (y2 y1 )2
Neáu x1 x2 thì MN MN . Vaäy : f khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình .
(Vì coù 1 soá ñieåm f khoâng baûo toaøn khoaûng caùch) .
4 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :
a) f : M(x;y) I
M = f(M) = ( y ; x
2)
x
b) g : M(x;y) I
M = g(M) = ( 2x
; y+1)
.
y
x
y
Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ?
HD :
a) f laø pheùp dôøi hình
b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì x1 x 2 thì MN MN )
5 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :
a) f : M(x;y) I
M = f(M) = (y + 1 ; x)
b) g : M(x;y) I
M = g(M) = ( x ; 3y ) .
Pheùp bieán hình naøo treân ñaây laø pheùp dôøi hình ?
Giaûi :
a) f laø pheùp dôøi hình
b) g khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ( vì y1 y 2 thì MN MN )
6 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (2x ; y 1) . Tìm aûnh cuûa ñöôøng
thaúng () : x 3y 2 = 0 qua pheùp bieán hình f .
Giaûi :
Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
x
x = 2x
x
Ta coù f : M(x;y) I
M = f(M) =
2
y y 1 y y 1
x
Vì M(x;y) () (
) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M(x;y) () : x 6y 2 0
2
Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N () : M N .
M () : M(2;0) I
M f(M) (4;1)
N () : N( 1; 1) I
N f(N) (2; 0)
Qua M(4;1)
x+ 4 y 1
() (MN) :
PTCtaéc () :
PTTQ () : x 6y 2 0
6
1
VTCP : MN (6; 1)
7 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x 3 ; y 1) .
a) CMR f laø pheùp dôøi hình .
b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 4 .
- 2 -
I
(C) : (x 2)2 + (y 3)2 = 4
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
8 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x 3 ; y 1) .
a) CMR f laø pheùp dôøi hình .
b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng () : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 2 .
x2
y2
+
=1.
3
2
Giaûi : a) Laáy hai ñieåm baát kì M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 )
d ) Tìm aûnh cuûa elip (E) :
Khi ñoù f : M(x1; y1 ) I
M = f(M) = (x1 3; y1 1) .
f : N(x2 ; y2 ) I
N = f(N) = (x 2 3; y 2 1)
Ta coù : MN = (x 2 x1)2 (y 2 y1)2 = MN
Vaäy : f laø pheùp dôøi hình .
b) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) I
M = f(M) =
y y 1
y y 1
Vì M(x;y) () (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M(x;y) () : x 2y 4 0
Caùch 2 : Laáy 2 ñieåm baát kì M,N () : M N .
M () : M(5 ;0) I
M f(M) (2;1)
N () : N(3 ; 1) I
N f(N) (0;2)
Qua M(2;1)
x 2 y 1
() (MN) :
PTCtaéc () :
PTTQ () : x 2y 4 0
2
1
VTCP : MN (2;1)
Caùch 3 : Vì f laø pheùp dôøi hình neân f bieán ñöôøng thaúng () thaønh ñöôøng thaúng () // () .
Laáy M () : M(5 ;0) I
M f(M) (2;1)
Vì () // () () : x + 2y m = 0 (m 5) . Do : () M(2;1) m = 4 () : x 2y 4 0
c) Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) I
M = f(M) =
y y 1
y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1)2 + (y 2)2 = 2 (x 4)2 (y 3)2 2
M(x;y) (C) : (x 4)2 (y 3)2 2
+ Taâm I( 1;2) f
+ Taâm I= f [ I( 1;2)] (4;3)
Caùch 2 : (C)
(C)
BK : R = 2
BK : R= R = 2
(C) : (x 4)2 (y 3)2 2
d) Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
x = x 3 x x 3
Ta coù f : M(x;y) I
M = f(M) =
y y 1
y y 1
Vì M(x;y) (E) :
x2
y2
(x+ 3)2
(y 1)2
(x + 3)2
(y 1)2
+
=1
+
= 1 M(x;y) (E) :
+
=1
3
2
3
2
3
2
- 3 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x 1; y 2) .
a) CMR f laø pheùp dôøi hình .
b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng () : x 2y 3 = 0.
c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = 2 .
d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y 2 = 4x .
c) (x + 2)2 + (y 1)2 = 2
ÑS : b) x 2y 2 = 0
d) (y + 2)2 = 4(x 1)
10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x ;y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây
sai ?
A. f laø 1 pheùp dôøi hình
B. Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
D. f [M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0
ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc tung C sai .
12 Trong mpOxy cho 2 pheùp bieán hình :
f1 : M(x;y) I
M = f1(M) = (x + 2 ; y 4) ; f2 : M(x;y) I
M = f2 (M) = ( x ; y) .
Tìm toaï ñoä aûnh cuûa A(4; 1) qua f1 roài f2 , nghóa laø tìm f2 [f1(A)] .
f
f
1 A(6; 5) I
2 A( 6 ; 5 ) .
ÑS : A(4; 1) I
x
11 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = ( ; 3y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?
2
A. f (O) = O (O laø ñieåm baát bieán)
B. AÛnh cuûa A Ox thì aûnh A= f(A) Ox .
C. AÛnh cuûa B Oy thì aûnh B= f(B) Oy .
D. M= f [M(2 ; 3)] = (1; 9)
ÑS : Choïn D . Vì M= f [M(2 ; 3)] = (1; 9)
Vaán ñeà 2 : PHEÙP TÒNH TIEÁN
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
1 ÑN : Pheùp tònh tieán theo vectô u laø moät pheùp dôøi hình bieán ñieåm M thaø nh ñieåm M sao cho MM u.
Kí hieäu : T hay Tu .Khi ñoù : Tu (M) M MM u
Pheùp tònh tieán hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát vectô tònh tieán cuûa noù .
Neáu To (M) M , M thì To laø pheùp ñoàng nhaát .
2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho u = (a;b) vaø pheùp tònh tieán Tu
x= x + a
M(x;y) I
M=Tu (M) (x; y ) thì
y= y + b
3 Tính chaát :
ÑL : Pheùp tònh tieán baûo toaøn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì .
HQ :
1. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .
2. Bieán moät tia thaønh tia .
3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .
5. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .
6. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaë c truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho .
7. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm I
tröïc taâm , troïng taâm I
troïng taâm )
8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù .
(Taâm bieán thaønh taâm : I I I , R = R )
PHÖÔNG PHAÙP TÌM AÛNH CUÛA MOÄT ÑIEÅM
- 4 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
x= x + a
M(x;y) I
M=Tu (M) (x; y ) thì
y= y + b
PHÖÔNG PHAÙP TÌM AÛNH CUÛA MOÄT HÌNH (H) .
Caùch 1 : Duøng tính chaát (cuøng phöông cuûa ñthaúng , baùn kính ñöôøng troøn : khoâng ñoåi )
1. Laáy M (H) I
M (H)
2. (H) ñöôøng thaúng
(H) ñöôøng thaúng cuøng phöông
Taâm I
Taâm I
(H) (C)
I
(H) (C)
(caàn tìm I) .
+ bk : R
+ bk : R= R
Caùch 2 : Duøng bieåu thöùc toïa ñoä .
Tìm x theo x , tìm y theo y roài thay vaøo bieåu thöùc toïa ñoä .
Caùch 3 : Laáy hai ñieåm phaân bieät : M, N (H) I
M, N (H)
B, BAØI TAÄP
1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M cuûa ñieåm M(3; 2) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2;1) .
Giaûi
x 3 2
x 5
Theo ñònh nghóa ta coù : M = Tu (M) MM u (x 3; y 2) (2;1)
y 2 1
y 1
M(5; 1)
2 Tìm aûnh caùc ñieåm chæ ra qua pheùp tònh tieán theo vectô u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
A(2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)
B( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3)
C(2;1)
3 Trong mpOxy . Tìm aûnh A,B laàn löôït cuûa ñieåm A(2;3), B(1;1) qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (3;1) .
Tính ñoä daøi AB , AB .
Giaûi
Ta coù : A= Tu (A) (5;4) , B= Tu (B) (4;2) , AB = |AB | 5 , AB = |AB | 5 .
4 Cho 2 vectô u1; u2 . Gæa söû M1 Tu (M),M2 Tu (M1). Tìm v ñeå M2 Tv (M) .
1
2
Giaûi
Theo ñeà : M1 Tu (M) MM1 u1 , M2 Tu (M1) M1M2 u2 .
1
2
Neáu : M2 Tv (M) MM2 v v MM2 MM1 M1M2 u1+ u2 .Vaäy : v u1+ u2
5 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A( 1;0) , caét Oy taïi B(0;2) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh
cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (2; 1) .
- 5 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
Giaûi Vì : A Tu (A) (1; 1) , B Tu (B) (2;1) .
qua A(1;
1)
Maët khaùc : Tu () ñi qua A,B . Do ñoù :
VTCP : AB= (1;2)
x 1 t
ptts :
y 1 2t
6 Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A(1;0) , caét Oy taïi B(0;3) . Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng laø aûnh
cuûa qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 1; 2) .
Giaûi
(A) (0; 2) , B T (B) (1;1) .
Vì : A Tu
u
qua A(0; 2)
x t
() ñi qua A,B . Do ñoù :
Maët khaùc : Tu
ptts :
y 2 3t
VTCP : AB= ( 1;3)
7 Töông töï : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)
: x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2)
: 3x y 2 0
8 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = (1; 3) .
Giaûi
x = x 1
x= x + 1
laø :
Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán Tu
y = y 3
y = y+ 3
Vì : M(x;y) (C) : (x + 1)2 (y 2)2 4 x2 (y 1)2 4 M(x;y) (C) : x 2 (y 1)2 4
Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C) : x2 (y 1)2 4
9 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x 1; y 2) .
a) CMR f laø pheùp dôøi hình .
b) Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng () : x 2y 3 = 0.
c) Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 3)2 + (y 1)2 = 2 .
d) Tìm aûnh cuûa parabol (P) : y 2 = 4x .
c) (x + 2)2 + (y 1)2 = 2
ÑS : b) x 2y 2 = 0
d) (y + 2)2 = 4(x 1)
10 Trong mpOxy cho pheùp bieán hình f : M(x;y) I
M = f(M) = (x ; y) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây
sai ?
A. f laø 1 pheùp dôøi hình
B. Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh
D. f [ M(2;3)] ñöôøng thaúng 2x + y + 1 = 0
ÑS : Choïn C . Vì M vaø f(M) ñoái xöùng nhau qua truïc tung C sai .
9 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 qua pheùp tònh tieán theo vectô u = ( 2;4) .
x= x 2
x = x+ 2
Giaûi : Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa pheùp tònh tieán Tu laø :
y= y 4
y = y 4
Vì : M(x;y) (C) : (x 3)2 (y 2)2 1 (x 1)2 (y 2)2 1 M(x;y) (C) : (x 1)2 (y 2)2 1
Vaäy : AÛnh cuûa (C) laø (C) : (x 1)2 (y 2)2 1
- 6 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
BT Töông töï : a) (C) : (x 2)2 (y 3)2 1, u = (3;1)
b) (C) : x2 y2 2x 4y 4 0, u = ( 2;3)
(C) : (x 1)2 (y 2)2 1
(C) : x2 y2 2x 2y 7 0
10 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh C vaø D cuûa hình bình haønh ABCD bieát ñænh
A( 2;0), ñænh B( 1;0) vaø giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo laø I(1;2) .
Giaûi
Goïi C(x;y) .Ta coù : IC (x 1; y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :
x 1 3
x 4
C = T (I) IC AI
C(4; 4)
AI
y 2 2
y 4
Vì I laø trung ñieåm cuûa AC neân :
x 1 2
x 3
D = T (I) ID BI D
D
D(3; 4)
BI
y D 2 2
y D 4
Baøi taäp töông töï : A( 1;0),B(0;4),I(1;1)
C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 ñöôøng thaúng song song nhau d vaø d . Haõy chæ ra moät pheùp tònh tieán
bieán d thaønh d . Hoûi coù bao nhieâ u pheùp tònh tieán nhö theá ?
Giaûi : Choïn 2 ñieåm coá ñònh A d , A d
Laáy ñieåm tuyø yù M d . Gæa söû : M = T (M) MM AB
AB
MA MB MB / /MA M d d = T (d)
AB
Nhaän xeùt : Coù voâ soá pheùp tònh tieán bieán d thaønh d .
12 Cho 2 ñöôøng troøn (I,R) vaø (I,R ) .Haõy chæ ra moät pheùp tònh tieán bieán (I,R) thaønh (I,R) .
Giaûi : Laáy ñieåm M tuyø yù treân (I,R) . Gæa söû : M = T (M) MM II
II
IM IM IM IM R M (I,R) (I,R) = T [(I,R)]
II
13 Cho hình bình haønh ABCD , hai ñænh A,B coá ñònh , taâm I thay ñoåi di ñoäng
treân ñöôøng troøn (C) .Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa caïnh BC.
Giaûi
Goïi J laø trung ñieåm caïnh AB . Khi ñoù deã thaáy J coá ñònh vaø IM JB .
Vaäy M laø aûnh cuûa I qua pheùp tònh tieán T . Suy ra : Quyõ tích cuûa M laø
JB
aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) trong pheùp tònh tieán theo vectô JB
- 7 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
14 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 . Goïi T laø pheùp tònh tieán theo vectô u = (m,n)
vaø (P) laø aûnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán ñoù . Haõy vieát phöông trình cuûa (P) .
Giaûi :
Tu
M(x;y) I
M(x;y) , ta coù : MM= u , vôùi MM= (x x ; y y)
x x = m
x = x m
Vì MM= u
y y = n
y = y n
Maø : M(x; y) (P) : y ax 2 y n = a(x m)2 y = a(x m)2 n M(x;y) (P) : y = a(x m)2 n
Vaäy : AÛnh cuûa (P) qua pheùp tònh tieán Tu laø (P) : y = a(x m)2 n y = ax2 2amx am 2 n .
15 Cho ñt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectô u 0 ñeå = Tu () .
Giaûi : VTCP cuûa laø a = (2; 6) . Ñeå : = Tu () u cuøng phöông a . Khi ñoù : a = (2; 6) 2(1; 3)
choïn u = (1; 3) .
16 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 2 ñieåm A( 5;2) , C( 1;0) . Bieát : B = Tu (A) , C = Tv (B) . Tìm u vaø v
ñeå coù theå thöïc hieän pheùp bieán ñoåi A thaønh C ?
Giaûi
Tu
Tv
A( 5;2) I
B I
C( 1;0) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)
Tu + v
- 8 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
17 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho 3 ñieåm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) vaø 2 vectô u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm aûnh cuûa K,M,N qua pheùp tònh tieán Tu roài Tv .
Tu
Tv
HD : Gæa söû : A(x;y) I
B I
C(x; y) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 1
x 2
Do ñoù : K=Tu v (K) KK (1;5)
K (2; 7) .
y 2 5 y 7
Töông töï : M(4;4) , N(3;2) .
18 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G laø troïng taâm ABC vaø pheùp
tònh tieán theo vectô u 0 bieán A thaøn h G . Tìm G = Tu (G) .
Giaûi
Tu
Tu
A(3;0) I
G(1;3) I
G(x; y)
x 1 4
x 5
Vì AG (4;3) u . Theo ñeà : GG u
G( 5;6).
y 3 3
y 6
19 Trong maët phaúng Oxy , cho 2 ñöôøng troøn (C) : (x 1)2 (y 3)2 2,(C) : x 2 y 2 10x 4y 25 0.
Coù hay khoâng pheùp tònh tieán vectô u bieán (C) thaønh (C) .
HD : (C) coù taâm I(1; 3), baùn kính R = 2 ; (C) coù taâm I(5; 2), baùn kính R = 2 .
Ta thaáy : R = R= 2 neân coù pheùp tònh tieán theo vectô u = (4;1) bieán (C) thaønh (C) .
20 Trong heä truïc toaï ñoä Oxy , cho hình bình haønh OABC vôùi A( 2;1) vaø B :2x y 5 = 0 . Tìm taäp
hôïp ñænh C ?
Giaûi
Vì OABC laø hình bình haønh neân : BC AO (2; 1) C Tu (B) vôùi u = (2; 1)
Tu
x x 2
x x 2
B(x;y) I
C(x; y) . Do : BC u
y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x; y) : 2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Goïi A1,B1,C1 laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC,CA,AB. Goïi O1,O2 ,O3 vaø I1,I2 ,I3
töông öùng laø caùc taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø caùc taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa ba tam giaùc AB1C1,
BC1A1, vaø CA1B1 . Chöùng minh raèng : O1O2O3 I1I 2I3 .
HD :
Xeùt pheùp tònh tieán : T1 bieán A I
C,C1 I
B, B1 I
A1 .
AB
2
T1
T1
T1
AB
AB
AB
2
2
2
AB1C1 I
C1BA1;O1 I
O2 ; I1 I
I2 .
O1O2 I1I2 O1O2 I1I2 .
Lyù luaän töông töï : Xeùt caùc pheùp tònh tieán T1 ,T1 suy ra :
BC
CA
2
2
O2O3 I2 I3 vaø O3O1 I3I1 O2O3 I2I3 ,O3O1 I3I1 O1O2O3 I1I2I3 ( c.c.c).
60 ,B
150 vaø D
90.
22 Trong töù giaùc ABCD coù AB = 6 3cm ,CD 12cm , A
Tính ñoä daøi caùc caïnh BC vaø DA .
HD :
T
150 )
BC M AM BC.Ta coù : ABCM laø hình bình haønh vaø BCM
Xeùt : A I
30 (vì B
- 9 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
Laïi coù : BCD
360o (90 60 150 ) 60 MCD
30.
Ñònh lyù haøm cos trong MCD :
3
MD2 MC2 DC2 2MC.DC.cos30 (6 3)2 (12)2 2.6 3.12.
36
2
MD = 6cm .
1
Ta coù : MD = CD vaø MC = MD 3 MDC laø tam giaùc ñeàu
2
MCD laø nöûa tam giaùc ñeàu DMC
90 vaø MDA
30.
Vaäy : MDA
MAD
MAB
30 AMD laø tam giaùc caân taïi M .
6 3
Döïng MK AD K laø trung ñieåm cuûa AD KD=MDcos30
cm AD 6 3cm
2
Toùm laïi : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm
Vaán ñeà 3 : PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC
A , KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
1 ÑN1:Ñieåm M goïi laø ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua ñöôøng thaúng a neáu a laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn MM.
Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaú ng coøn goïi laø pheùp ñoái xöùng truïc . Ñöôøng thaúng a goïi laø truïc ñoái xöùng.
ÑN2 : Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng a laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng
vôùi M qua ñöôøng thaúng a .
Kí hieäu : Ña (M) M MoM MoM , vôùi Mo laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng a .
Khi ñoù :
Neáu M a thì Ña (M) M : xem M laø ñoái xöùng vôùi chính noù qua a . ( M coøn goïi laø ñieåm baát ñoäng )
M a thì Ña (M) M a laø ñöôøng trung tröïc cuûa MM
Ña (M) M thì Ña (M) M
Ña (H) H thì Ña (H) H , H laø aûnh cuûa hình H .
ÑN : d laø truïc ñoái xöùng cuûa hình H Ñd (H) H .
Pheùp ñoái xöùng truïc hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát truïc ñoái xöùng cuûa noù .
Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coù truïc ñoái xöùng ,coù theå coù moät hay nhieàu truïc ñoái xöùng .
2 Bieåu thöùc toïa ñoä : M(x;y) I
M Ñd (M) (x; y )
x= x
x= x
ª d Ox :
ª d Oy :
y = y
y = y
3 ÑL : Pheùp ñoái xöùng truïc laø moät pheùp dôøi hình .
HQ :
1.Pheùp ñoái xöùng truïc bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø baûo toaøn thöù töï cuûa caùc
ñieåm töông öùng .
2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng .
3. Tia thaønh tia .
4. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .
5. Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . (Tröïc taâm I
tröïc taâm , troïng taâm I
troïng taâm )
6. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . (Taâm bieán thaønh taâm : I I
I , R = R )
7. Goùc thaønh goùc baèng noù .
- 10 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
PP : Tìm aûnh M = Ña (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H laø trung ñieåm cuûa MM M ?
ª PP : Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng : = Ña ()
TH1: () // (a)
1. Laáy A,B () : A B
2. Tìm aûnh A= Ña (A)
3. A,// (a)
TH2 : // a
1. Tìm K = a
2. Laáy P : P K .Tìm Q = Ña (P)
3. (KQ)
ª PP : Tìm M () : (MA + MB)min .
Tìm M () : (MA+ MB)min
Loaïi 1 : A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi () :
1) goïi A laø ñoái xöùng cuûa A qua ()
2) M (), thì MA + MB MA+ MB AB
Do ñoù: (MA+MB)min = AB M = (AB) ()
Loaïi 2 : A, B naèm khaùc phía ñoái vôùi () :
M (), thì MA + MB AB
Ta coù: (MA+MB)min = AB M = (AB) ()
B . BAØI TAÄP
1 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(2;1) ñoá i xöùng qua Ox , roài ñoái xöùng qua Oy .
Ñ
Ñ
Oy
Ox M(2; 1) I
HD : M(2;1) I
M(2; 1)
2 Trong mpOxy . Tìm aûnh cuûa M(a;b) ñoá i xöùng qua Oy , roài ñoái xöùng qua Ox .
Ñ
Ñ
Oy
Ox M(a; b)
HD : M(a;b) I
M( a;b) I
Ñ
Ñ
b M.
3 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 vaø ñieåm M( 1;2) . Tìm : M Ia
M I
Ñ
Ñ
b M(5; 4) [ veõ hình ] .
HD : M( 1;2) Ia
M(5;2) I
4 Cho 2 ñöôøng thaúng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Ñ
Ñ
b M(x; y).
Tìm M: M(x;y) a
M(x; y)
Ña
Ñb
x 2m x
x 2m x
HD : M(x;y) I
M
I
M
tñ(m;y)
tñ(2m x; n)
y y
y 2n y
5 Cho ñieåm M( 1;2) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + 2y + 2 = 0 .
HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H laø trung ñieåm cuûa MM M( 3; 2)
6 Cho ñieåm M( 4;1) vaø ñöôøng thaúng (a) : x + y = 0 .
M= Ña (M) (1; 4)
7 Cho 2 ñöôøng thaúng () : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm aûnh = Ña () .
HD :
4 1
Vì
caét a K a K(2;1)
1 1
M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2; 7 / 2) : tñieåm cuûa MM M Ña (M) (2;2)
KM: x 4y + 6 = 0
- 11 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
8 Tìm b = Ña (Ox) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .
3 9
M O(0;0) Ox : M= Ña (M) = ( ; ) .
5 5
b KM: 3x + 4y 9 = 0 .
9 Tìm b = Ña (Ox) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 .
HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .
+ Qua O(0;0)
: 3x y 0
+ a
3 9
3 9
E = a E( ; ) laø trung ñieåm OQ Q( ; ) .
10 10
5 5
b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .
10 Tìm b = ÑOx (a) vôùi ñöôøng thaúng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giaûi :
Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä (raát hay)
Caùch 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = ÑOx (P) = (0; 1)
b KQ : x 3y 3 = 0 .
11 Cho 2 ñöôøng thaúng () : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm aûnh = Ña () .
PP : / /a
Caùch 1 : Tìm A,B A,B AB
Caùch 2 : Tìm A A / / , A
Giaûi : A(0;1) A Ña (A) (2; 3)
A, / / : x 2y 8 0
12 Cho ñöôøng troøn (C) : (x+3)2 (y 2)2 1 , ñöôøng thaúng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C) = Ña [(C)]
HD : (C) : (x 3)2 y 2 1 .
13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) vaø C(1;6) . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ?
A. ABC caân ôû B
B. ABC coù 1 truïc ñoái xöùng
C. ABC ÑOx (ABC)
D. Troïng taâm : G = ÑOy (G)
HD : Choïn D
14 Trong mpOxy cho ñieåm M( 3;2), ñöôøng thaúng () : x + 3y 8 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+3)2 (y 2)2 4.
Tìm aûnh cuûa M, () vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giaûi : Goïi M, () vaø (C) laø aûnh cuûa M, () vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm aûnh M : Goïi ñöôøng thaúng (d) :
a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d) : 2x y 4 = 0
- 12 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
1
x H 2 (x M x M )
+ H = (d) (a) H( 2;0) H laø trung ñieåm cuûa M,M H
y 1 (y y )
M
H 2 M
1
2 2 (3 x M )
x
1
M
M( 1; 2)
y M 2
0 1 (2 y )
M
2
b) Tìm aûnh () :
1
3
Vì
( ) caét (a) K= ( ) (a)
1 2
x + 3y 8 = 0
Toaï ñoä cuûa K laø nghieäm cuûa heä :
K(2; 2)
x 2y + 2 = 0
Laáy P K Q = Ña [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Laøm töông töï nhö caâu a) )
Qua P( 1;3)
Goïi ñöôøng thaúng (b) :
a
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E laø trung ñieåm cuûa P,Q
1
1
x E 2 (x P xQ ) 0 2 (1 xQ ) xQ 1
E
Q(1; 1)
yQ 1
y 1 (y y ) 1 1 (3 y )
Q
Q
E 2 P
2
Qua K(2;2)
x2 y2
+ () (KQ) :
() :
3x y 4 0
1
3
VTCP : KQ (1; 3) (1;3)
c) + Tìm aûnh cuûa taâm I( 3;2) nhö caâu a) .
Ña
Ña
+ Vì pheùp ñoái xöùng truïc laø pheùp dôøi hình neân (C): Taâm I I
(C) : Taâm I
.Tìm I I
I
R 2
R R 2
2 2
Ña
Vaäy : (C) + Taâm I( 3;2) I
(C) + Taâm I = Ña [ I( 3; 2)] ( 5 ; 5 )
BK : R = 2
BK : R= R = 2
2
2
(C) : (x )2 (y )2 4
5
5
15 Trong mpOxy cho ñieåm M(3; 5), ñöôøng thaúng () : 3x + 2y 6 = 0, ñöôøng troøn (C) : (x+1)2 (y 2)2 9.
Tìm aûnh cuûa M, () vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc (a) : 2x y + 1 = 0 .
HD :
Ña
33 1
9 13
a) M(3; 5) I
M( ; ),(d) : x 2y 7 0,tñieåm H( ; )
5 5
5 5
4 15
b) + K= (a) K( ; )
7 7
+ P () : P(2;0) K , Q = Ña [P(2;0)] = ( 2;2)
() (KQ) : x 18y 38 0
Ña
9 8
9
8
c) + I(1; 2) I
I( ; ) , R= R = 3
(C) : (x + )2 (y )2 9
5 5
5
5
16 Cho ñieåm M(2; 3), ñöôøng thaúng () : 2x + y 4 = 0, ñöôøng troøn (C) : x2 y 2 2x 4y 2 0.
Tìm aûnh cuûa M, () vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng qua Ox .
ÑOx
x x
x x
HD : Ta coù : M(x;y)
M
(1)
(2)
y y
y y
Ñ
Ox M(2;3)
Thay vaøo (2) : M(2; 3)
- 13 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
M(x;y) () 2x y 4 = 0 M(x;y) () : 2x y 4 = 0 .
M(x;y) (C) : x2 y2 2x 4y 2 0 x2 y2 2x 4y 2 0
(x 1)2 (y 2)2 3 M(x;y) (C) : (x 1)2 (y 2)2 3
17 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua ÑOx .
ÑOx
x x
x x
Giaûi : Ta coù : M(x;y) I
M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x) (y)+3 = 0 2x y+3 = 0 M(x; y) (a) : 2x y + 3 = 0
Ñ
Oy
Vaäy : (a) I (a) : 2x y + 3 = 0
18 Trong mpOxy cho ñöôøng troøn (C) : x 2 y2 4y 5 = 0 . Tìm aûnh cuûa a qua ÑOy .
ÑOy
x x x x
Giaûi : Ta coù : M(x;y) I M
y y
y y
Vì M(x;y) (C) : x 2 y2 4y 5 = 0 ( x)2 y2 4(y) 5 = 0 x2 y2 4y 5 = 0
M(x; y) (C) : x 2 y 2 4y 5 = 0
Ñ
Oy
Vaäy : (C) I (C) : x 2 y 2 4y 5 = 0
19 Trong mpOxy cho ñthaúng (a) : 2x y 3 = 0 , () : x 3y 11 = 0 , (C) : x2 y 2 10x 4y 27 = 0 .
a) Vieát bieåu thöùc giaûi tích cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ña .
b) Tìm aûnh cuûa ñieåm M(4; 1) qua Ña .
c) Tìm aûnh : () = Ña (),(C) Ña (C) .
Giaûi
a) Toång quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A 2 B2 0
Ña
Goïi M(x;y) I
M(x; y) , ta coù : MM (x x; y y) cuøng phöông VTPT n = (A;B) MM tn
x x y y
x x At x x At
(t ) . Goïi I laø trung ñieåm cuûa MM neâ n I(
;
) (a)
2
2
y y Bt
y y Bt
x x
y y
x x At
y y Bt
A(
) B(
) C 0 A(
) B(
)C 0
2
2
2
2
2(Ax + By + C)
(A 2 B2 )t 2(Ax + By + C) t
A 2 B2
2A(Ax + By + C)
2B(Ax + By + C)
x x
; y y
A 2 B2
A 2 B2
4(2x y 3)
3
4
12
x x
x x y
5
5
5
5
AÙp duïng keát quaû treân ta coù :
2(2x
y
3)
4
3
6
y y
y y y
5
5
5
5
Ña
4 7
b) M(4; 1) I
M( ; )
5 5
Ñ
a : 3x y 17 0
c) I
Ñ
a (C) : (x 1)2 (y 4)2 2
d) (C) I
- 14 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
20 Trong mpOxy cho ñöôøng thaúng () : x 5y 7 = 0 vaø () : 5x y 13 = 0 . Tìm pheùp ñoái xöùng qua
truïc bieán () thaønh () .
Giaûi
1 5
Vì
() vaø () caét nhau . Do ñoù truïc ñoái xöùng (a) cuûa pheùp ñoái xöùng bieán () thaønh () chính
5 1
laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi () vaø () .
x y 5 0 (a1)
1 25
25 + 1
x y 1 0 (a2 )
Vaäy coù 2 pheùp ñoái xöùng qua caùc truïc (1) : x y 5 0 , ( 2 ) : x y 1 0
Töø ñoù suy ra (a) :
| x 5y 7 |
| 5x y 13|
21 Qua pheùp ñoái xöùng truïc Ña :
1. Nhöõng tam giaùc naøo bieán thaønh chính noù ?
2. Nhöõng ñöôøng troøn naøo bieán thaø nh chính noù ?
HD :
1. Tam giaùc coù 1 ñænh truïc a , hai ñænh coøn laïi ñoái xöùng qua truïc a .
2. Ñöôøng troøn coù taâm a .
22 Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) : (x 1)2 (y 2)2 4 qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy.
PP : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä ÑS : (C) : (x 1)2 (y 2)2 4
23 Hai ABC vaø ABC cuøng naèm trong maët phaúng toaï ñoä vaø ñoái xöùng nhau qua truïc Oy .
Bieát A( 1;5),B(4;6),C(3;1) . Haõy tìm toaï ñoä caùc ñænh A , B vaø C .
ÑS : A (1;5), B(4;6) vaø C( 3;1)
24 Xeùt caùc hình vuoâng , nguõ giaùc ñeàu vaø luïc giaùc ñeàu . Cho bieát soá truïc ñoái xöùng töông öùng cuûa moãi
loaïi ña giaùc ñeàu ñoù vaø chæ ra caùch veõ caùc truïc ñoái xöùng ñoù .
- 15 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
ÑS :
Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng
ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän .
Nguõ giaùc ñeàu coù 5 truïc ñoái xöùng ,ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua ñænh ñoái dieän vaø taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu .
Luïc giaùc ñeàu coù 6 truïc ñoái xöùng , ñoù laø caùc ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñænh ñoái dieän vaø caùc ñöôøng thaúng ñi
qua trung ñieåm cuûa caùc caëp caïnh ñoái dieän .
25 Goïi d laø phaân giaùc trong taïi A cuûa ABC , B laø aûnh cuûa B qua pheùp ñoái xöùng truïc Ñd . Khaúng ñònh
naøo sau ñaây sai ?
A. Neáu AB < AC thì B ôû treân caïnh AC .
B. B laø trung ñieåm caïnh AC .
C. Neáu AB = AC thì B C .
D. Neáu B laø trung ñieåm caïnh AC thì AC = 2AB .
ÑS : Neáu B= Ñd (B) thì B AC .
A ñuùng . Vì AB < AC maø AB= AB neân AB< AC B ôû treân caïnh AC .
1
B sai . Vì giaû thieát baøi toaùn khoâng ñuû khaúng ñònh AB = AC.
2
C ñuùng . Vì AB= AB maø AB = AC neân AB = AC B C .
D ñuùng . Vì Neáu B laø trung ñieåm caï nh AC thì AC=2AB maø AB=AB neân AC=2AB .
26 Cho 2 ñöôøng thaúng a vaø b caét nhau taïi O . Xeùt 2 pheùp ñoái xöùng truïc Ña vaø Ñb :
Ñ
Ñ
a B I
b C . Khaúng ñònh naøo sau ñaây khoâng sai ?
A I
A. A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) .
B. Töù giaùc OABC noäi tieáp .
C. ABC caân ôû B
D. ABC vuoâng ôû B
HD : A. Khoâng sai . Vì d1 laø trung tröïc cuûa AB OA = OB , d 2 laø trung tröïc
cuûa BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C ñöôøng troøn (O, R = OC) .
Caùc caâu B,C,D coù theå sai .
27 Cho ABC coù hai truïc ñoái xöùng . Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng ?
A. ABC laø vuoâng
B. ABC laø vuoâng caân
C. ABC laø ñeàu
HD : Gæa söû ABC coù 2truïc ñoái xöùng laø AC vaø BC
AB = AC
AB AB BC ABC ñeàu .
BC = BA
D. ABC laø caân .
110o. Tính B
vaø C
ñeå ABC
28 Cho ABC coù A
coù truïc ñoái xöùng .
= 50o vaø C
20o
= 45o vaø C
25o
A. B
B. B
= 40o vaø C
30o
C. B
HD : Choïn D . Vì : ABC coù truïc ñoái xöùng khi ABC caân hoaëc ñeàu
110o 90o ABC caân taïi A , khi ñoù :
Vì A
o
o
o
C
180 A 180 110 35o
B
2
2
29 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu truïc ñoái xöùng nhaát ?
A. Hình chöõ nhaät
B. Hình vuoâng
C. Hình thoi
ÑS : Choïn B. Vì : Hình vuoâng coù 4 truïc ñoái xöùng .
30 Trong caùc hình sau , hình naøo coù ít truïc ñoái xöùng nhaát ?
A. Hình chöõ nhaät
B. Hình vuoâng
C. Hình thoi
ÑS : Choïn D. Vì : Hình thang caân coù 1 truïc ñoái xöùng .
- 16 -
[email protected]
=C
35o
D. B
D. Hình thang caân .
D. Hình thang caân .
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
31 Trong caùc hình sau , hình naøo coù 3 truïc ñoái xöùng ?
A. Hình thoi
B. Hình vuoâng
ÑS : Choïn C. Vì : ñeàu coù 3 truïc ñoái xöùng .
C. ñeàu
D. vuoâng caân .
32 Trong caùc hình sau , hình naøo coù nhieàu hôn 4 truïc ñoái xöùng ?
A. Hình vuoâng
B. Hình thoi
C. Hình troøn
ÑS : Choïn C. Vì : Hình troøn coù voâ soá truïc ñoái xöùng .
D. Hình thang caân .
33 Trong caùc hình sau , hình naøo khoâng coù truïc ñoái xöùng ?
A. Hình bình haønh
B. ñeàu
C. caân
D. Hình thoi .
ÑS : Choïn A. Vì : Hình bình haønh khoâng coù truïc ñoái xöùng .
34 Cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABCD coù caïnh ñeàu baèng a vaø coù ñænh A chung .
Chöùng minh : Coù theå thöïc hieän moät pheùp ñoái xöùng truïc bieán hình vuoân g ABCD thaønhø ABCD .
HD : Gæa söû : BC BC = E .
B
90 ,AE chung .
Ta coù : AB = AB , B
ÑAE
EB = EB
ABE = ABF
B I
B
bieát AB = AB
ÑAE
EC = EC
Maët khaùc :
C I
C
AC = AC= a 2
BAB
Ngoaøi ra : AD = AD vaø D AE DAE 90
2
ÑA
ÑAE
D I
D ABCD I ABCD
35 Goïi H laø tröïc taâm ABC . CMR : Boán tam giaùc ABC , HBC , HAC , HAC coù
ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng nhau .
HD :
=C
(cuøng chaén cung BK
)
Ta coù : A
1
2
=C
(goùc coù caïnh töông öùng ) C
=C
A
1
1
1
2
CHK caân K ñoái xöùng vôùi H qua BC .
Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC .
Ñ
Ñ
Ñ
BC H ; B I
BC B ; C I
BC C
Ta coù : K I
Ñ
BC Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp HBC
Vaäy : Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp KBC I
36 Cho ABC vaø ñöôøng thaúng a ñi qua ñænh A nhöng khoâng ñi qua B,C .
a) Tìm aûnh ABC qua pheùp ñoái xöùng Ña .
b) Goïi G laø troïng taâm ABC , Xaùc ñònh G laø aûnh cuûa G qua pheùp ñoái xöùng Ña .
Giaûi
a) Vì a laø truïc cuûa pheùp ñoái xöùng Ña neân :
A a A Ña (A) .
B,C a neân Ña : B I
B,C I
C sao cho a laø trung tröïc cuûa BB,CC
b) Vì G a neân Ña : G I
G sao cho a laø trung tröïc cuûa GG .
- 17 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
37 Cho ñöôøng thaúng a vaø hai ñieåm A,B naèm cuøng phía ñoái vôùi a . Tìm treân ñöôøng
thaúng a ñieåm M sao cho MA+MB ngaén nhaát .
Giaûi : Xeùt pheùp ñoái xöùng Ña : A I
A .
M a thì MA = MA . Ta coù : MA + MB = MA+ MB AB
Ñeå MA + MB ngaén nhaát thì choïn M,A,B thaúng haøng
Vaäy : M laø giao ñieåm cuûa a vaø A B .
38 (SGK-P13)) Cho goùc nhoïn xOy vaø M laø moät ñieåm beân trong goùc ñoù . Haõy
tìm ñieåm A treân Ox vaø ñieåm B treân Oy sao cho MBA coù chu vi nhoû nhaát .
Giaûi
Goïi N = ÑOx (M) vaø P = ÑOx (M) . Khi ñoù : AM=AN , BM=BP
Töø ñoù : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP
( ñöôøng gaáp khuùc ñöôøng thaú ng )
MinCVi = NP Khi A,B laàn löôït laø giao ñieåm cuûa NP vôùi Ox,Oy .
39 Cho ABC caân taïi A vôùi ñöôøng cao AH . Bieát A vaø H coá ñònh . Tìm taäp hôïp
ñieåm C trong moãi tröôøng hôïp sau :
a) B di ñoäng treân ñöôøng thaúng .
b) B di ñoäng treân ñöôøng troøn taâm I, baùn kính R .
Giaûi
a) Vì : C = ÑAH (B) , maø B neân C vôùi = ÑAH ()
Vaäy : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng thaúng
b) Töông töï : Taäp hôïp caùc ñieåm C laø ñöôøng troøn taâm J , baùn kính R laø aûnh cuûa
ñöôøng troøn (I) qua ÑAH .
Vaán ñeà 4 : PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TAÂM
A , KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
1 ÑN : Pheùp ñoái xöùng taâm I laø moät pheùp dôøi hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M ñoái xöùng vôùi M qua I.
Pheùp ñoái xöùng qua moät ñieåm coøn goïi laø pheùp ñoái taâm .
Ñieåm I goïi laø taâm cuûa cuûa pheùp ñoái xöùng hay ñôn giaûn laø taâm ñoái xöùng .
Kí hieäu : ÑI (M) M IM IM .
Neáu M I thì M I
Neáu M I thì M ÑI (M) I laø trung tröïc cuûaMM.
ÑN :Ñieåm I laø taâm ñoái xöùng cuûa hình H ÑI (H) H.
Chuù yù : Moät hình coù theå khoâng coùtaâm ñoái xöùng .
ÑI
2 Bieåu thöùc toïa ñoä : Cho I(x o ; y o ) vaø pheùp ñoái xöùng taâm I : M(x;y) I
M ÑI (M) (x; y ) thì
x= 2xo x
y 2yo y
3 Tính chaát :
1. Pheùp ñoái xöùng taâm baûo toaøn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm baát kì .
2. Bieán moät tia thaønh tia .
3. Baûo toaøn tính thaúng haøng vaø thöù töï cuûa caùc ñieåm töông öùng .
4. Bieán moät ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù .
5. Bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho .
6. Bieán moät goùc thaønh goùc coù soá ño baèng noù .
7. Bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù . ( Tröïc taâm tröïc taâm , troïng taâm troïng taâm )
- 18 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
8. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù . ( Taâm bieán thaønh taâm : I I
I , R = R )
B . BAØI TAÄP
1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :
1) A( 2;3) , I(1;2)
A(4;1)
2) B(3;1) , I( 1;2)
B(5;3)
3) C(2;4) , I(3;1)
C(4; 2)
Giaûi :
x 1 3
x 4
a) Gæa söû : A ÑI (A) IA IA (x 1; y 2) (3;1)
A(4;1)
y 2 1 y 1
Caùch : Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
2 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :
1) () : x 2y 5 0,I(2; 1)
() : x 2y 5 0
2) () : x 2y 3 0,I(1; 0)
() : x 2y 1 0
3) () : 3x 2y 1 0,I(2; 3)
() : 3x 2y 1 0
Giaûi
PP : Coù 3 caùch
Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä
Caùch 2 : Xaùc ñònh daïng // , roài duøng coâng thöùc tính khoaûng caùch d(;) .
Caùch 3 : Laáy baát kyø A,B , roài tìm aûnh A,B AB
ÑI
x 4 x
x 4 x
1) Caùch 1: Ta coù : M(x;y) I
M
y 2 y y 2 y
Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x) 2(2 y) 5 0 x 2y 5 0
M(x;y) : x 2y 5 0
ÑI
Vaäy : () I
() : x 2y 5 0
Caùch 2 : Goïi = ÑI () song song : x + 2y + m = 0 (m 5) .
|5|
|m|
m 5 (loaïi)
Theo ñeà : d(I;) = d(I;)
5 | m |
m 5
12 22
12 22
() : x 2y 5 0
Caùch 3 : Laáy : A( 5;0),B( 1; 2) A(9; 2),B(5; 0) AB : x 2y 5 0
3 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I :
1) (C) : x2 (y 2)2 1,E(2;1)
2) (C) : x2 y2 4x 2y 0,F(1; 0)
3) (P) : y = 2x2 x 3 , taâm O(0;0) .
(C) : (x 4)2 y2 1
(C) : x2 y2 8x 2y 12 0
ñ / nghiaõ hay bieåu thöùc toaï ñoä
(P) : y = 2x2 x 3
HD : a) Coù 2 caùch giaûi :
Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä .
ÑE
Caùch 2 : Tìm taâm I I
I,R R (ñaõ cho) .
b) Töông töï .
4 Cho hai ñieåm A vaø B .Cho bieát pheùp bieán ñoåi M thaønh M sao cho AMBM laø moät hình bình haønh .
- 19 -
[email protected]
Chương I: PHÉP BIẾN HÌNH
HD :
MA BM
Neáu AMBM laø hình bình haønh
MB AM
Vì : MM MA AM MA MB (1)
Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB . Ta coù : IA IB
Töø (1) MM MI IA MI IB MM 2MI
MI IM M ÑI (M) .
5 Cho ba ñöôøng troøn baèng nhau (I1; R),(I2 ; R),(I3; R) töøng ñoâi tieáp
xuùc nhau taïi A,B,C . Gæa söû M laø moät ñieåm treân (I1; R) , ngoaøi ra :
ÑI
ÑC
ÑA
ÑB
1 Q .
M I
N ; N I
P ; P I
Q . CMR : M I
HD :
Do (I1; R) tieáp xuùc vôùi (I2 ; R) taïi A , neân :
ÑA
ÑA
ÑA
M I
N ; I1 I
I2 MI1 I
NI2 MI1 NI2 (1)
Do (I2 ; R) tieáp xuùc vôùi (I3; R) taïi B , neân :
ÑB
ÑB
ÑB
N I
P ; I2 I
I3 NI2 I
PI3 NI2 PI3 (2)
Do (I3; R) tieáp xuùc vôùi (I1; R) taïi C , neân :
ÑC
ÑC
ÑC
P I
Q ; I3 I
I1 PI3 I
QI1 PI3 QI1 (3)
Töø (1),(2),(3) suy ra : MI1 QI1 M ÑI (Q) .
1
5 Cho ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A . Keû ñöôøng cao AH . Veõ phía
ngoaøi tam giaùc hai hình vuoâng ABDE vaø ACFG .
a) Chöùng minh taäp hôïp 6 ñieåm B,C,F,G,E,D coù moät truïc ñoái xöùng .
b) Goïi K laø trung ñieåm cuûa EG . Chöùng minh K ôû treân ñöôøng thaúng AH .
c) Goïi P = DE FG . Chöùng minh P ôû treân ñöôøng thaúng AH .
d) Chöùng minh : CD BP, BF CP .
e) Chöùng minh : AH,CD,BF ñoàng qui .
- 20 -
[email protected]
.PDF 
41 
1186 
53 
