Tài liệu Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số nguyễn chiến

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ Nguyễn Chiến 0973.514.674 u1  2018 Câu 1. Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 21 trong dãy 2 2 un1  un  n  2018; n  1 số có giá trị gần nhất là A. 201. B. 207. C. 213. D. 219. u  2 Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy số un1  un  2n  3, n  1 có giá trị là A. 4060226. B. 4064257. Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: un  C. 4060229. D. 4064260. 1 1 1 1 . Số hạng thứ    ...  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1 100 trong dãy số có giá trị là A. 1 . 39999 Câu 4. Cho dãy số  un  B. 100 . 201 C. 50 . 201 D. 50 . 67 u1  1.2.3  xác định bởi: u2  2.3.4 u  n n  1 n  2     n Đặt Sn  a1  a2  ...  an . Giá trị của S30 là A. 28184. B. 245520. C. 215760. D. 278256.  u1  1  un Câu 5. Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 50 trong dãy un1  1   3n  2  u ; n  1 n  số có giá trị là A. 1 . 3775 B. 1 . 3926 C. 1 . 3625 D. 1 . 3774 u  1 Câu 6. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy số có u  u  7; n  1 n  n 1 giá trị là A. 2024 B. 2025. C. 14114. D. 14113. u  2 Câu 7. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá un  5un1  6; n  2 trị là C. 10936. B. 10937,5. A. 2187,5. D. 2186. u0  2  Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u1  5 . Số hạng thứ 15 trong dãy số u  5u  6u ; n  2 n 1 n 2  n có giá trị là A. 4733113. B. 4799353. C. 14381675. D. 14381673 Câu 9. Cho dãy số xác định bởi: un  1 2 1 2  1 3 2 2 3  1 4 3 3 4  ...   n  1 1 n  n n1 . Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là A. 9 . 10 B. 10 . 9 C. 1. u  1  Cho dãy số xác định bởi:  1 3  un1  un  n Câu 10. D. 2. n  1. Số hạng thứ 32 trong dãy số có giá trị là A. 246016. B. 246017. C. 216226. D. 216225. u  5 Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy u  u  3 n  2. n  n 1 Câu 11. số có giá trị là A. 6089330. B. 6089335. C. 6095376. D. 6095381.  u  1 Cho dãy số xác định bởi:  1 . n u  u  3 n  1  2.5 ; n  1  n  n 1 Câu 12. Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là A. 4882683. B. 4882683. C. 4882687,5. D. 4882687,5. u1  8  Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 15 trong dãy số có 1 un1  un ; n  1  2 Câu 13. giá trị là A. 1 . 212 B. 1 . 215 C. 1 . 211 D. 1 . 216 Câu 14. u1  1  Cho dãy số xác định bởi: u2  2 . Số hạng thứ 5525 u  2u  u  1; n  2 n n 1  n1 trong dãy số có giá trị là A. 55252  5523. Câu 15. B. 55252  5524 C.  1 55252  5523 2  D.   1 55252  5524 . 2 u1  1  Cho dãy số xác định bởi:  un ; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy un1  1  u n  số có giá trị là A. 100. Câu 16. B. 1 . 100 C. 99 D. 1 . 99 u  1 Cho dãy số xác định bởi:  1 . un1  2un  5, n  1 Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là A. 3.22017  5. Câu 17. B. 3.22017  1. C. 3.22018  5. D. 3.22018  1. u  2 Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 5000 trong un1  un  2n  1, n  1 dãy số có giá trị là A. 50002  3.5000  1. B. 50002  1. C. 50002  2.5000  1. D. 50002  2.5000. Câu 18.  u  5 Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 7 2 u  9 u  8 n  14 n  1; n  1  n  n 1 trong dãy số có giá trị là A. 4517185. B. 501868. C. 4517180. D. 501863. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO PHẦN DÃY SỐ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ n TRONG DÃY SỐ Nguyễn Chiến 0973.514.674 u1  2018 Câu 1. Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 21 trong dãy 2 2 un1  un  n  2018; n  1 số có giá trị gần nhất là A. 201. B. 207. C. 213. D. 219. Lời giải Ta có un1  un2  n2  2018  un21  un2  n2  2018; n  1 u12  2018 u22  u12  12  2018 u32  u22  22  2018 u42  u32  32  2018 … … un2  un21   n  1  2018 2 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un2  12  22  32  ...   n  1  2018n 2 Mà 12  22  32  ...  n2  12  22  32  ...   n  1  2 un2  n  n  1 2n  1 6  n  1 n  2n  1 6  n  1 n  2n  1  2018n  1 n 6  un  6   2n 2  3n  12109   1 6n 2n2  3n  12109  u21  8 707  213  Đáp án C. 6 u  2 Câu 2. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy số un1  un  2n  3, n  1 có giá trị là A. 4060226. B. 4064257. C. 4060229. Lời giải D. 4064260. u1  2 Ta có : u2  u1  2.1  3 u3  u2  2.2  3 … … un  un1  2  n  1  3 Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được: un  2  2 1  2  ...   n  1  3  n  1  un  2   n  1 n  3  n  1  n2  4n  5  u2017  2017 2  4.2017  5  4060226  Đáp án A. Câu 3. Cho dãy số xác định bởi: un  1 1 1 1 . Số hạng thứ    ...  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1 100 trong dãy số có giá trị là A. 1 . 39999 B. 100 . 201 C. 50 . 201 Lời giải k  * ta có 1  2 k  1   2 k  1 1  1 1   .     2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1  1 Khi k  1  1 1 1 1      1.3 2  1 3  Khi k  2  1 1 1 1     3.5 2  3 5  Khi k  3  1 1 1 1     5.7 2  5 7  … … Khi k  n  1  2n  1 2n  1  1 1 1    2  2n  1 2n  1  Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được un  100 1 1  n  u100  1  un   Đáp án B.   2  2n  1  2n  1 201 30 Cách khác: Sử dụng máy tính: 1 100   2X  1 2X  1  201 1 D. 50 . 67 Câu 4. Cho dãy số  un  u1  1.2.3  xác định bởi: u2  2.3.4 u  n n  1 n  2     n Đặt Sn  a1  a2  ...  an . Giá trị của S30 là A. 28184. B. 245520. C. 215760. D. 278256. Lời giải S1  a1  1.2.3 S2  a1  a2  1.2.3  2.3.4  2.3.5 S3  a1  a2  a3  2.3.5  3.4.5  3.5.6 1 1 1  S1  .1.2.3.4 , S2  .2.3.4.5 , S3  .3.4.5.6 4 4 4 1 Nhận thấy quy luật nên giả sử Sk  .k.  k  1 k  2  k  3  , k  3 (giả thiết quy nạp) 4 1 Ta sẽ chứng minh Sk 1  .  k  1 k  2  k  3  k  4  4 Thật vậy, theo đề bài  Sk 1  Sk  ak 1  Sk   k  1 k  2  k  3  1 Theo giả thiết quy nạp  Sk 1  .k  k  1 k  2  k  3    k  1 k  2  k  3  4  Sk 1  1  k  1 k  2  k  3 k  4  4 1 Theo nguyên tắc quy nạp suy ra Sn  .n  n  1 n  2  n  3   S30  245520  Đáp án B. 4 30 Sử dụng máy tính:  X  X  1 X  2   245520 1  u1  1  un Câu 5. Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 50 trong dãy u  ; n  1 n  1  1   3n  2  un  số có giá trị là A. 1 . 3775 B. 1 . 3926 C. 1 . 3625 D. 1 . 3774 Lời giải Ta có un1  un 1 1    3n  2; n  1 un1 un 1   3n  2  un 1 1 u1 1 1   3.1  2 u2 u1 1 1   3.2  2 u3 u2 1 1   3.3  2 u4 u3 … … 1 1   3  n  1  2 un un1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được  n  1 n  2 n  1  3n2  n  2 1 1  1  3 1  2  ...   n  1  2  n  1   1 3   un un 2 2  un  2 1  Đáp án D.  u50  3774 3n  n  2 2 u  1 Câu 6. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy số có un1  un  7; n  1 giá trị là A. 2024 B. 2025. C. 14114. D. 14113. Lời giải Ta có: u2  u1  7  1  7  8  7.2  6. u3  u2  7  8  7  15  7.3  6. u4  u3  7  15  7  22  7.4  6. u5  u4  7  22  7  7.5  6. Nhận thấy quy luật nên giả sử un  7 n  6 Vậy  1 đúng với n  1. 1 Với n  1 , ta có: u 1  7.1  6  1 (đúng).   Giả sử  1 đúng với n  k k  N  . Có nghĩa là ta có: uk  7 k  6. Ta phải chứng minh  1 đúng với n  k  1 . Có nghĩa ta phải chứng minh: uk 1  7  k  1  6. Từ hệ thức xác định dãy số  un  và giả thiết quy nạp ta có: uk 1  uk  7   7 k  6   7  7  k  1  6 (đúng). un  7n  6  u2017  14113  Đáp án D. u  2 Câu 7. Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 6 trong dãy số có giá u  5 u  6; n  2 n 1  n trị là A. 2187,5. C. 10936. B. 10937,5. D. 2186. Lời giải Ta xét un  a  5  un1  a   un  5un1  4a Kết hợp với đề bài  4a  6  a  Vậy un  5un1  6  un  Đặt vn  un  3 2 3  3  5  un1   2 2  3 3 7  v1  u1   và vn  5vn1 2 2 2 Suy ra dãy số  vn  là cấp số nhân có v1  7 , công bội q  5 2 7 3 7 3  vn  v1 .qn1  vn  .5n1  un  vn   .5n1   u6  10936  Đáp án C. 2 2 2 2 u0  2  Câu 8. Cho dãy số xác định bởi: u1  5 . Số hạng thứ 15 trong dãy số u  5u  6u ; n  2 n 1 n 2  n có giá trị là A. 4733113. B. 4799353. C. 14381675. D. 14381673 Lời giải Xét un  a1x1n  a2 x2n với x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2  5x  6  0 x1  2, x2  3  un  a1 2n  a2 3n Với: n=0 u0  a1  a2  2 Với: n=1 u1  2a1  3a2  5 a1  1  un  2n  3n  u15  14381675  Đáp án C. Ta được a  1  2 Câu 9. Cho dãy số xác định bởi: un  1 2 1 2  1 3 2 2 3  1 4 3 3 4  ...   n  1 1 n  n n1 . Số hạng thứ 99 trong dãy số có giá trị là A. k   * 9 . 10 B. ta có  k  1 1   k  1 k  k k 1 Khi k  1  Khi k  2  Khi k  3  10 . 9 C. 1. 1 k  k k 1 1 k k 1 k 1  k   k 1  k k k 1 k 1 1 1 1   2 2 1 2 1 3 2 2 3 1 4 3 3 4  1  1 2 3  1  1 3 4 … Khi k  n   1 1  k  D. 2.  n  1 … 1 n n n1  1 n 1  n1 Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được un  1  Câu 10. 1 n1  un  n1 1 n1  u99  9  Đáp án A. 10 u  1  Cho dãy số xác định bởi:  1 3  un1  un  n n  1. Số hạng thứ 32 trong dãy số có giá trị là A. 246016. B. 246017. C. 216226. Lời giải Ta có: un1  un  n3  un1  un  n3 . D. 216225. u1  1 u2  u1  13 u3  u2  23 u4  u3  33 .............. un1  un2   n  2  un  un1   n  1 3 3 Cộng từng vế của n đẳng thức trên: u1  u2  u1  u3  u2  ...  un1  un2  un  un1  1  13  23  33  ...   n  2    n  1 3 3  un  1  13  23  33  ...   n  2    n  1 . 3 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 1  2  3  ...   n  1 3 Vậy un  1  Câu 11. n2  n  1 2 4 3 3 3  n  1  2 .n2 4 322.312  u32  1   246017  Đáp án B. 4 u  5 Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 2017 trong dãy un1  un  3n  2. số có giá trị là A. 6089330. B. 6089335. Lời giải Ta có: un1  un  3n  2  un1  un  3n  2. u1  5. u2  u1  3.1  2. u3  u2  3.2  2. u4  u3  3.3  2. ............ un1  un2  3  n  2   2. un  un1  3  n  1  2. C. 6095376. D. 6095381. Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được: un  5  3 1  2  3  ...   n  1  2  n  1 .  un  5   un  5  3  n  1 .n 2  2  n  1  5   n  1 3n  4   u Câu 12. 2017 2 3  n  1 .n  4  n  1 2  6095381  Đáp án D.  u  1 Cho dãy số xác định bởi:  1 . n  un1  un  3n  1  2.5 ; n  1 Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là A. 4882683. C. 4882687,5. B. 4882683. D. 4882687,5. Lời giải Ta có u1  1 u2  u1  3.1  1  2.51 u3  u2  3.2  1  2.52 ... ... un  un1  3.  n  1  1  2.5n1 Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra un  1  3 1  2  3  ...   n  1   n  1  2 51  52  53  ...  5n1  Trong đó 1  2  3  ...   n  1   n  1 n 2 Và tổng A  51  52  ...  5n1 là tổng n  1 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất a1  5 , công bội q  5 1  q n 1 1  5 n 1 5 5n  A  Sn1  a1  A  5.   1 q 4 4 4 un  2  n  3 un    n  1 n  2  5  5   4 2   1 2 n   3n  5n  9  5 4 2 n   1 3n2  5n  9  5n  u10  4882683  Đáp án A. 2 u1  8  Cho dãy số xác định bởi:  . Số hạng thứ 15 trong dãy số có 1 u  u ; n  1  n 1  2 n Câu 13. giá trị là A. 1 . 212 B. 1 . 215 C. 1 . 211 D. 1 . 216 Lời giải Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số nhân có u1  8 và công 1 1 bội q  nên số hạng tổng quát là un  u1 .q n1  un  8.   2 2  u15  2 4 15  Câu 14. n 1  2 4 n 1  Đáp án C. 211 u1  1  Cho dãy số xác định bởi: u2  2 . Số hạng thứ 5525 u  2u  u  1; n  2 n n 1  n1 trong dãy số có giá trị là A. 55252  5523. B. 55252  5524 C. Lời giải Ta có u1  1 u2  2 u3  2u2  u1  1 u4  2u3  u2  1 ... ... un  2un1  un2  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được u1  un  un1  2  n  1  un  un1  n (*) Từ đề bài và (*) ta lại suy ra  1 55252  5523 2  D.   1 55252  5524 . 2 u1  1 u2  u1  1 u3  u2  2 u4  u3  3 … … un  un1  n  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un  1  1  2  3  ...   n  1  1  un     n  1 n  1 2 2  n 2 n 2   1 2 1 n  n  2  u5525  55252  5523  Đáp án C. 2 2 Câu 15. u1  1  Cho dãy số xác định bởi:  un ; n  1 . Số hạng thứ 100 trong dãy u  n  1  1  un  số có giá trị là A. 100. B. 1 . 100 C. 99 D. 1 . 99 Lời giải Ta có: u u 1 1 u2  1   . u3  2  1  u2 1  u1 1  1 2 u u4  3  1  u3 1 2 1  . 1 3 1 2 1 3 1 u4 1 1  . u5   4  . 1 4 1 5 1  u4 1 1 3 4 Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un  1 , n  1.  n Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức   Đã có:   đúng với n  1 Giả sử   đúng khi n  k. Nghĩa là ta có: uk  1 k Ta chứng minh   đúng khi n  k  1. Nghĩa là ta phải chứng minh: uk 1  1 . k 1 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có: uk 1 u  k  1  uk 1 k 1 1  k  . 1 k 1 k 1 1 k k Vậy :   đúng khi n  k  1 ,suy ra   đúng với mọi số nguyên dương n. un  1 1 , n  1  u100   Đáp án B. n 100 Câu 16. u  1 Cho dãy số xác định bởi:  1 . un1  2un  5, n  1 Số hạng thứ 2018 trong dãy số có giá trị là A. 3.22017  5. B. 3.22017  1. C. 3.22018  5. D. 3.22018  1. Lời giải  5 Theo đề bài un1  2un  5  un1  2 un   2  Ta tìm số a thỏa mãn un1  a  2 un  a  un1  2un  a Mà un1  2un  5 nên ta phải có a  5 Đặt vn  un  5  v1  u1  5  6 và vn1  2vn   vn  là cấp số nhân có công bội q  2  vn  v1 .qn1  6.2n1  3.2n  un  vn  5  3.2n  5 Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3.2n  5  u2018  3.22018  5  Đáp án C. Câu 17. u  2 Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 5000 trong u  u  2 n  1, n  1 n  n 1 dãy số có giá trị là A. 50002  3.5000  1. B. 50002  1. C. 50002  2.5000  1. D. 50002  2.5000. Ta có : u1  2 u2  u1  2.1  1 u3  u2  2.2  1 u4  u3  2.3  1 … … un  un1  2.  n  1  1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được   un  2  2 1  2  ...   n  1  n  1  n  1 n Mà 1  2  ...   n  1  2  un  n  1   n  1 n  n2  1 Số hạng thứ 5000 trong dãy số có giá trị là u500  50002  1  Đáp án B. Câu 18. u  5  Cho dãy số xác định bởi:  1 . Số hạng thứ 7 2 u  9 u  8 n  14 n  1; n  1  n  n 1 trong dãy số có giá trị là A. 4517185. B. 501868. C. 4517180. D. 501863. Lời giải Từ đề bài suy ra f  n  8n2  14n  1 là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức g  n  an2  bn  c sao cho un1  g  n  1  9 un  g  n   un1  a  n  1  b  n  1  c  9 un  an2  bn  c  2  un1  9un  8an2   8b  2a  n  8c  b  a Mà un1  9un  8n2  14n  1 nên ta phải có 8an2   8b  2a  n  8c  b  a  8n2  14n  1 8 a  8  8an   8b  2a  n  8c  b  a  8n  14n  1  8b  2a  14 8 c  b  a  1  2  a  1; b  2; c  2 1 1 suy ra g  n   n2  2n  2 2 Do đó  un1   n  1  2  n  1  2 Đặt vn  un  n2  2n  1  1  9 un  n2  2n   2 2  1 7 17 và vn1  9vn  v1  u1   2 2 2 Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1   vn  v1 .qn1  vn  vn  un  n2  2n  un  17 , công bội q  9 2 17 n1 17 2 n2 mà .9  .3 2 2 1  1  17 1  un  vn   n2  2n    .32 n2  n2  2n  2 2 2 2  17 2 n2 1 .3  n2  2n   u7  4517185  Đáp án A. 2 2