Tài liệu Bài tập trắc nghiệm HÌNH HỌC lớp 10

BÀI TẬP TOÁN 10 HÌNH HỌC ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC I - Vect¬ Bµi 1. C¸c ®Þnh nghÜa _1_ Bµi 2. Tæng vµ hiÖu cña hai vect¬ _2_ Bµi 3. TÝch cña vect¬ víi mét sè _5_ Bµi 4. HÖ trôc to¹ ®é _8_ ÔN TẬP CHƯƠNG I _10_ II - TÝch v« h-íng cña hai vect¬ vµ øng dông Bµi 1. Gi¸ trÞ l-îng gi¸c cña mét gãc bÊt k× tõ 0o ®Õn 180o _12_ Bµi 2. TÝch v« h-íng cña hai vect¬ _14_ Bµi 3. C¸c hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vµ gi¶i tam gi¸c _16_ ÔN TẬP CHƯƠNG II _18_ III - Ph-¬ng ph¸p to¹ ®é trong mÆt ph¼ng Bµi 1. Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng _22_ Bµi 2. Ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn _33_ Bµi 3. Ph-¬ng tr×nh ®-êng ElÝp _40_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 Hình học 10 CHƯƠNG I. VÉCTƠ §1. CÁC ĐỊNH NGHĨA  Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? Câu 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.    a) Chứng minh: BC  C  A  A B .   b) Tìm các vectơ bằng BC , C A . Câu 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,     AD, BC. Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN . Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:      a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC .     b) Nếu AB  AD  CB  CD thì ABCD là hình chữ nhật.       Câu 5. Cho hai véc tơ a , b . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a  b  a  b .     Câu 6. Cho ABC đều cạnh a. Tính AB  AC ; AB  AC .    Câu 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB  AC  AD .    Câu 8. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC .   Câu 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB  AD ,     AB  AC , AB  AD . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 1 Hình học 10 §2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình. Câu 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:           a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD . Câu 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:          b) AC  BD  AD  BC  2IJ . a) Nếu AB  CD thì AC  BD      c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA  GB  GC  GD  0 . d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Câu 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:      2( AB  AI  JA  DA)  3DB . Câu 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng     minh: RJ  IQ  PS  0 . Câu 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.     a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  0 .     b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI . Câu 6. Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:           a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2 HO c) OA  OB  OC  OH . Câu 7. Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.     a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG . b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Câu 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:  1  2  AM  AB  AC . 3 3 Câu 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là   điểm thuộc AC sao cho CN  2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:  1  1   1  1  a) AK  AB  AC b) KD  AB  AC . 4 6 4 3 Câu 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:  1    1    1   a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN   OC  OB  . 2 2 2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 2 Hình học 10 Câu 11. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:    1  1  2  4  4  2  a) AB   CM  BN b) AC   CM  BN c) MN  BN  CM . 3 3 3 3 3 3 Câu 12. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.  2  1   1   a) Chứng minh: AH  AC  AB và CH    AB  AC  . 3 3 3  1  5  b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH  AC  AB . 6     6 Câu 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a , AD  b . Gọi I là trung điểm của CD, G là       Câu 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD theo các vectơ   AB vaø AF . trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b . Câu 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ     AM theo các vectơ OA, OB, OC . Câu 16. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao            cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  0 . a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. Câu 17. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.     a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  0          b) Đặt BB1  u , CC1  v . Tính BC , CA, AB theo u vaø v . Câu 18. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.     a) Tính AI , AF theo AB vaø AC .    b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính AG theo AI vaø AF . Câu 19. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.          a) Chứng minh: HA  5HB  HC  0 .    b) Đặt AG  a , AH  b . Tính AB, AC theo a vaø b . Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông    thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM  a , trong đó O và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Hình bình hành. – Trung điểm của đoạn thẳng. – Trọng tâm tam giác, …     Câu 20. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  0 . Câu 21. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 3 Hình học 10    a) Chứng minh: BN  BA  MB .       b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC . Câu 22. Cho hình bình hành ABCD.     a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC .     b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM  AB  AC  AD . Câu 23. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.  1   a) Chứng minh: MN  ( AB  DC ) . 2      b) Xác định điểm O sao cho: OA  OB  OC  OD  0 . Câu 24. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung      điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO . Câu 25. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:       a) 2IB  3IC  0     b) 2 JA  JC  JB  CA      c) KA  KB  KC  2BC d) 3LA  LB  2 LC  0 . Câu 26. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:        b) JA  JB  2 JC  0                b) FA  FB  FC  AB  AC      b) 2 FA  2 FB  3FC  FD a) 2IA  3IB  3BC c) KA  KB  KC  BC d) LA  2 LC  AB  2 AC . Câu 27. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:          a) IA  IB  IC  BC c) 3KA  KB  KC  0 d) 3LA  2 LB  LC  0 . Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:     a) IA  IB  IC  4 ID   c) 4 KA  3KB  2 KC  KD  0 . Câu 29. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.         a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD  MC  AB , ME  MA  BC ,    MF  MB  CA . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.       b) So sánh 2 véc tơ MA  MB  MC vaø MD  ME  MF . Câu 30. Cho tứ giác ABCD.      a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD  0 (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD).  1     b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG   OA  OB  OC  OD  . 4 Câu 31. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh: a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD. b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD. Câu 32. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao   cho các vectơ v đều bằng k.MI với mọi điểm M:                  a) v  MA  MB  2 MC b) v  MA  MB  2 MC c) v  MA  MB  MC  MD d) v  2 MA  2 MB  MC  3MD . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN  www.TOANTUYENSINH.com 4 Hình học 10 §3. TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng   thức AB  k AC , với k  0.   Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức    OM  ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN  0 .     Câu 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA  2OB  3OC  0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng. Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:  1   1  BH  BC , BK  BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 5 6       HD: BH  AH  AB; BK  AK  AB .     1   Câu 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB  2 IC , JC   JA , KA   KB . 2       4  a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: IJ  AB  AC ) 3 b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB). Câu 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N,            P sao cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  0 . a) Tính PM , PN theo AB, AC . b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. Câu 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho 1 1 AD = AF, AB = AE. Chứng minh: 2 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.             Câu 6. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA  3IC  0 , JA  2 JB  3JC  0 . Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.  Câu 7. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA  4 MB  0 , NB  3NC  0 . Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC.        Câu 8. Cho ABC. Lấy các điểm M N, P: MB  2 MC  NA  2 NC  PA  PB  0     a) Tính PM , PN theo AB vaø AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Câu 9. Cho ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm. Câu 10. Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C, C là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và ABC có chung trọng tâm. www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 5 Hình học 10          Câu 11. Cho ABC. Gọi A, B, C là các điểm định bởi: 2 AB  3 AC  0 , 2BC  3BA  0 ,    2C A  3C B  0 . Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. Câu 12. Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho: AA BB CC    AB BC AC Chứng minh các tam giác ABC và ABC có chung trọng tâm. Câu 13. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A, B, C lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui tại một điểm N. b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ABC. Câu 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: 3MA  4 MB  0 ,  1  CN  BC . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC. 2 Câu 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho    BD  DE  EC .          a) Chứng minh AB  AC  AD  AE .  b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.    Câu 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM  BC  2 AB ,    CN  x AC  BC . a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng. IM . IN Câu 17. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a  b  c  0 . b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính       a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA  bGB  cGC  0 .   b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP  aMA  bMB  cMC . Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng.     Câu 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN  2 MA  3MB  MC .     a) Tìm điểm I thoả mãn 2 IA  3IB  IC  0 . b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.     Câu 19. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN  2 MA  MB  MC .     a) Tìm điểm I sao cho 2IA  IB  IC  0 . b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 6 Hình học 10 Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: – Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. – Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi. Câu 20. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:         a) MA  MB  MA  MB b) 2 MA  MB  MA  2 MB . HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB. Câu 21. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:        3   a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  BC  MA  MB 2           c) 2 MA  MB  4 MB  MC d) 4 MA  MB  MC  2 MA  MB  MC . HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC). b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. Câu 22. Cho ABC.     a) Xác định điểm I sao cho: 3IA  2 IB  IC  0 . b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:     MN  2 MA  2 MB  MC luôn đi qua một điểm cố định.      c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA  2 HB  HC  HA  HB .      d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA  KB  KC  3 KB  KC Câu 23. Cho ABC.       a) Xác định điểm I sao cho: IA  3IB  2 IC  0 .  b) Xác định điểm D sao cho: 3DB  2 DC  0 . c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.       d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  3MB  2 MC  2 MA  MB  MC . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 7 Hình học 10 §4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và   một vectơ đơn vị e . Kí hiệu  O; e  .      M (k )  OM  k.e .   u  (a)  u  a.e .  Toạ độ của vectơ trên trục:  Toạ độ của điểm trên trục: AB  a  AB  a.e .  Độ dài đại số của vectơ trên trục:   Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e thì AB  AB .   Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB   AB . + Nếu A(a), B(b) thì AB  b  a . + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB  BC  AC . 2. Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần   lượt là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.       Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u  ( x; y)  u  x.i  y. j .  Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M ( x; y)  OM  x.i  y. j .      Tính chất: Cho a  ( x; y ), b  ( x ; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :    x  x + ab  y  y    + a  b  ( x  x  ; y  y )    + ka  (kx; ky )  k  R: x  kx vaø y  ky . + b cùng phương với a  0   x  y  (nếu x  0, y  0). x y + AB  ( xB  x A ; yB  y A ) . + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI  x A  xB 2 ; yI  y A  yB 2 . + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG  x A  xB  xC 3 ; yG  y A  yB  yC 3 . + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: xM  x A  kxB 1 k ; yM  y A  kyB 1 k .   ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB ). www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 8 Hình học 10 VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục Câu 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.  a) Tìm tọa độ của AB . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.    c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA  5MB  0 . d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3NB  1 . Câu 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1. a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2 MB  1 . b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  3NB  AB . Câu 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2), B(4), C(1), D(6). 1 1 2   a) Chứng minh rằng: . AC AD AB 2 b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: IC . ID  IA . c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: AC . AD  AB . AJ . Câu 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.        b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA  MB  MC  0 . c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3NB  NC . Câu 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  0 . b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL có chung trung điểm. VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục Câu 6. Viết tọa độ của các vectơ sau:    1       a) a  2i  3 j ; b  i  5 j ; c  3i ; d  2 j . 3  3         1   b) a  i  3 j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i . 2   2   Câu 7. Viết dưới dạng u  xi  yj khi biết toạ độ của vectơ u là:     a) u  (2; 3); u  (1; 4); u  (2; 0); u  (0; 1) .     b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1; 0); u  (0; 0) .   Câu 8. Cho a  (1; 2), b  (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:                1 b) u  3a  2b; v  2  b; w  4a  b . 2  a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b .   1   Câu 9. Cho a  (2; 0), b   1;  , c  (4; 6) .  2     a) Tìm toạ độ của vectơ d  2a  3b  5c .     b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma  b  nc  0 .    c) Biểu diễn vectơ c theo a , b . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 9 Hình học 10 Câu 10. Cho hai điểm A(3; 5), B(1; 0) .   a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC  3 AB . b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. Câu 11. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. Câu 12. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).    a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.       c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM  2 AB  3 AC .  d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN  2 BN  4CN  0 . Câu 13. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Câu 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường     tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH vaø BC; AB vaø HC . Câu 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.      a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2 IJ .      b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA  GB  GC  GD  0 . c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm. Câu 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.       a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD  MC  AB , ME  MA  BC ,    MF  MB  CA . Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.       b) So sánh hai tổng vectơ: MA  MB  MC và MD  ME  MF . Câu 4. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.     a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  0 .     b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI . Câu 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm        ABC. Chứng minh: a) 2 AI  2 AO  AB . b) 3DG  DA  DB  DC . Câu 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.  1       a) Chứng minh: AI   AD  2 AB  b) Chứng minh: OA  OI  OJ  0 . 2     c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  0 . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 10 Hình học 10   Câu 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD  2 AB ,  2  AE  AC . 5      a) Tính AG, DE , DG theo AB vaø AC . b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.  2  Câu 8. Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD  AC và M là trung điểm đoạn BD. 5    a) Tính AM theo AB vaø AC . IB AM b) AM cắt BC tại I. Tính và . IC AI Câu 9. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:   a) MA  MB            c) MA  MB  MA  MB  b) MA  MB  MC  0     d) MA  MB  MA  MB e) MA  MB  MA  MC Câu 10. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 11. Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 12. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh. b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh. Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng Thảo luận bài tập và tham khảo tài liệu trên: www.facebook.com/VanLuc168 Facebook www.TOANTUYENSINH.com Website www.facebook.com/toantuyensinh FB-Page www.facebook.com/groups/ toantuyensinh FB-Groups www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 11 Hình học 10 CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 1. Định nghĩa  . Gỉả sử M(x; y). Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn  = xOM sin = y (tung độ) cos = x (hoành độ) y  tung ñoä  tan =   x  hoaønh ñoä  y (x  0) y -1 x  hoaønh ñoä  cot =   (y  0) y  tung ñoä  O M x1 x Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0. – tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800. 2. Tính chất  Góc phụ nhau  Góc bù nhau sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(900   )  tan  sin(1800   )  sin  cos(1800   )   cos  tan(1800   )   tan  cot(1800   )   cot  3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 00 300 450 600 sin 0 1 2 2 2 cos 1 3 2 2 2 3 2 1 2 tan 0 3 3 1 cot  3 1 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 900 1800 1 0 0 –1 3  0 3 3 0  www.TOANTUYENSINH.com 12 Hình học 10 4. Các hệ thức cơ bản sin  (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  .cot   1 (sin  .cos   0) tan   sin2   cos2   1 1 1  tan2   (cos   0) cos2  1 1  cot 2   (sin   0) sin2  Chú ý: 0  sin   1;  1  cos   1 . Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) a sin 0 0  b cos 00  c sin 900 b) a cos 900  b sin 900  c sin180 0 c) a2 sin 90 0  b2 cos 90 0  c2 cos1800 d) 3  sin 2 90 0  2 cos2 600  3 tan2 450 e) Câu 2. a) Câu 3. a) Câu 4. Câu 5. a) b) Câu 6. 4a2 sin2 450  3(a tan 450 )2  (2a cos 450 )2 Tính giá trị của các biểu thức sau: b) 2 sin x  cos 2 x khi x bằng 450; 300. sin x  cos x khi x bằng 00; 450; 600. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: 1 1 sin   ,  nhọn. b) cos    c) tan x  2 2 4 3 6 2 Biết sin150  . Tinh cos150 , tan150 , cot150 . 4 Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: 1 tan x  3 cot x  1 sin x  , 90 0  x  180 0 . Tính A  . 3 tan x  cot x sin   cos  tan   2 . Tính B  sin3   3cos3   2sin  Chứng minh các đẳng thức sau: b) sin 4 x  cos4 x  1  2 sin 2 x.cos2 x a) (sin x  cos x )2  1  2 sin x.cos x c) tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x d) sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos2 x e) sin x.cos x (1  tan x )(1  cot x )  1  2 sin x.cos x Câu 7. Đơn giản các biểu thức sau: a) cos y  sin y.tan y d) 1  cos2 x 1  sin2 x  tan x.cot x b) 1  cos b . 1  cos b e) c) sin a 1  tan2 a 1  4 sin2 x.cos2 x (sin x  cos x )2 f) sin(900  x )  cos(180 0  x )  sin2 x (1  tan 2 x )  tan 2 x Câu 8. Tính giá trị các biểu thức sau: a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 b) sin2 30  sin 2 150  sin2 750  sin2 870 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 13 Hình học 10 §2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 1. Góc giữa hai vectơ        A a Cho a , b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a , OB  b .      1800. Khi đó a ,b   AOB với 00  AOB Chú ý:  b  a  O  b B         +  a , b  = 900  a  b +  a , b  = 00  a , b cùng hướng     +  a , b  = 1800  a , b ngược hướng     +  a, b    b , a  2. Tích vô hướng của hai vectơ       Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a , b  . Đặc biệt:      2 a.a  a 2  a .  Tính chất: Với a , b , c bất kì và kR, ta có:        + a.b  b .a ; a  b  c   a.b  a.c ;         ka  .b  k  a.b   a.  kb  ; a 2  0; a 2  0  a  0 .    2      2         +  a  b   a 2  2a.b  b 2 ;  a  b   a 2  2a.b  b 2 ; a 2  b 2   a  b  a  b  .    + a.b > 0   a, b  nhọn    + a.b < 0   a, b  tù    a.b = 0   a, b  vuông. 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng    Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:   a  a12  a22 ;  a.b  a1b1  a2 b2 .   cos(a , b )    a  b  a1b1  a2 b2  0  Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi đó: a1b1  a2 b2 a12  a22 . b12  b22 ; AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2 . Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:           a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC Câu 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:   a) AB. AC b) AC.CB Câu 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. c) AB.BC       a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC . AB  0 . www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 14 Hình học 10 b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Câu 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:       BC. AD  CA.BE  AB.CF  0 . Câu 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.         a) Chứng minh: AM .AI  AB.AI , BN .BI  BA.BI .     b) Tính AM . AI  BN .BI theo R. Câu 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.     a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A. b) Tính CA.CB .   c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB . Câu 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:         a) AB. AC b) ( AB  AD )(BD  BC ) d) AB.BD e) ( AB  AC  AD )(DA  DB  DC )         HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 Câu 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.   c) ( AC  AB)(2 AD  AB) d)  a2 e) 0   a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.         b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC . c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA .     (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC AD.     5 3 1 29 HD: a) AB. AC   , cos A   b) AG.BC  c) S   2 4 3 6  AB   3  2  54 d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB  .DC  AD  AB  AC , AD  5 AC 5 5 0 Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 . M là trung điểm của BC. a) Tính BC, AM.      b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA  IB  0, JB  2 JC . HD: a) BC = 19 , AM = 7 2 b) IJ = Câu 10. Cho tứ giác ABCD. 2 133 3   a) Chứng minh AB 2  BC 2  CD 2  DA2  2 AC.DB . b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB 2  CD 2  BC 2  DA2 . Câu 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:   1 MH .MA  BC 2 . 4 Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:   a) MA2  MC 2  MB 2  MD 2     b) MA.MC  MB.MD   c) MA2  MB.MD  2 MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật). Câu 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 15 Hình học 10 a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.    b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC . c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).   a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.     i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0 k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC. Câu 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:     a) MA2  2 MA.MB   b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  0         c) ( MA  MB)( MB  MC )  0 d) 2 MA 2  MA.MB  MA.MC Câu 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:         a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA.MB  MC.MD  5a 2      c) MA2  MB 2  MC 2  3MD 2 d) ( MA  MB  MC )( MC  MB)  3a2 Câu 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M     1 sao cho: MA.MB  MC.MD  IJ 2 . 2 §3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S 1. Định lí côsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; www.facebook.com/VanLuc168 b2  c 2  a2  2ca.cos B ; VanLucNN c2  a 2  b2  2 ab.cos C www.TOANTUYENSINH.com 16 Hình học 10 2. Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C 3. Độ dài trung tuyến ma2  2(b2  c 2 )  a2 ; 4 mb2  2(a2  c 2 )  b2 ; 4 mc2  2(a2  b2 )  c2 4 4. Diện tích tam giác S= 1 1 1 aha  bhb  chc 2 2 2 = 1 1 1 bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 = abc 4R = pr = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông) Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước. 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. A  BC 2  AB 2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)  AB 2  BC.BH ,  AH 2  BH .CH , AC 2  BC.CH 1 AH 2  1 AB 2  B 1 H C AC 2  AH .BC  AB. AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C T 6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) B A Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.     PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO 2  R2  Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. R O M C D PM/(O) = MT 2  MO 2  R 2 Câu 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; a) a  b.cos C  c.cos B b) sin A  sin B cos C  sin C cos B 3 c) ha  2 R sin B sin C d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c2 ) 4     2 1 AB 2 . AC 2   AB. AC  e) S ABC  2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 17