Tài liệu Bài tập số phức ôn thi đh

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 DỰ ĐOÁN SỐ PHỨC – TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ 2015 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Câu 1. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn 2 ( z − 1) = 3z + ( i − 1)( i + 2 ) . Tìm phần thực của số phức w = 2z2 −1 Lời giải Đặt z = a + bi ⇒ z = a − bi a = 1 1  Ta có 2 ( a + bi − 1) = 3 ( a − bi ) + i − 3 ⇔ (1 − a ) + i ( 5b − 1) = 0 ⇔  1 ⇒ z = 1+ i 5 b = 5 2 23 23 4  1  w = 2 1 + i  − 1 = + i nên phần thực của w là . 25 25 5  5  Câu 2. [ĐVH]: Cho số phức z = −1 + 3i . Tính mô-đun của số phức w = z + 3z − z 2 Lời giải 2 Ta có w = −1 + 3i + 3 ( −1 − 3i ) − ( −1 + 3i ) = −1 + 3i − 3 − 9i − (1 − 6i − 9 ) = 4 ⇒ w = 4 ( ) Câu 3. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + i ) z + (1 + i )( 2 + i ) = 5 − i . Tìm phần ảo của số phức w = z − 1 Lời giải Giả thiết ⇔ ( 3 + i ) z + 3i + 1 = 5 − i ⇔ ( 3 + i ) z = 4 − 4i ⇔ z = 2 4 − 4i 4 8 ⇔z= − i 3+i 5 5 2 63 16 4 8  ⇒ w =  + i − 1 = − − i 25 25 5 5  16 Nên phần ảo của w là − . 25 Câu 4. [ĐVH]: Cho số phức z = 3 − 2i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức w = iz − z + (1 + i ) z 2 3 ( w = i ( 3 − 2i ) − ( 3 + 2i ) + 1 + 3i + 3i + i 2 3 ) ( 3 − 2i ) 2 Lời giải = 3i − 2i 2 − 3 − 2i + ( −2 + 2i )( 5 − 12i ) = 13 + 35i Nên w có phần thực là 13 và phần ảo là 35. Câu 5. [ĐVH]: Gọi z1 ; z2 là các nghiệm của phương trình 3 z 2 − z + 2 = 0. Tính giá trị biểu thức A = ( z1 − z2 ) + z1 + z2 2 2 2 Lời giải 1   z1 + z2 = 3 1 8 23 2 2 Theo định lí Vi-et ta có  ⇒ ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − 4 z1 z2 = − = − 9 3 9 z z = 2 1 2  3 1 − 6 1 23 = + = 36 36 Do 3 z 2 − z + 2 = 0 ⇒ z1 = Suy ra z1 = z2 2 2 23 1 23 i, z2 = + i 6 6 6 2 3 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 23 2 11 + 2. = − 9 3 9 Câu 6. [ĐVH]: Cho các số phức z1 = 2 + i; z2 = 1 − 3i . Suy ra A = − Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = 2 z1 + z2 − z1.z2 w = 2 ( 2 + i ) + (1 − 3i ) − ( 2 + i )(1 + 3i ) = 6 − 8i Nên w có phần thực là 6 và phần ảo là –8. Lời giải Câu 7. [ĐVH]: Cho các số phức z1 = 3 − 2i; z2 = 1 + 4i . Tìm số phức liên hợp của số phức w = z1 + z2 + 3z1.z2 Lời giải Ta có z1 = 3 + 2i , z2 = 1 − 4i Khi đó, w = z1 + z2 + 3 z1 z2 = 3 + 2i + 1 + 4i + 3 ( 3 − 2i ) . (1 − 4i ) = −11 − 36i ⇒ w = −11 + 36i Câu 8. [ĐVH]: Tìm số phức z thỏa mãn z +1 z + =1 z z Lời giải Giả thiết ⇔ z 2 + z + z 2 = zz 2 2 Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ta có ( a + bi ) + a + bi + ( a − bi ) = a 2 + b 2 a 2 − 3b 2 + a = 0  a = 0, b = 0 ⇔ 2a − 2b + a + bi = a + b ⇔ a − 3b + a + bi = 0 ⇔  ⇔  a = −1, b = 0 b = 0 Vậy z1 = 0 và z2 = −1 là các số phức thỏa mãn đề bài. 2 2 2 2 2 2 Câu 9. [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn iz + 2 z = 1 − i . Tìm phần ảo của số phức w = i z . Lời giải: Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi . Khi đó ta có: iz + 2 z = 1 − i ⇔ i ( a + bi ) + 2 ( a − bi ) = 1 − i a − 2b + 1 = 0 a = 1 ⇔ ( a − 2b + 1) i + 2a − b − 1 = 0 ⇔  ⇔ .  2a − b − 1 = 0 b = 1 Do đó z = 1 + i ⇒ w = i (1 − i ) = i − i 2 = i + 1 . Vậy phần ảo của w bằng 1. Câu 10. [ĐVH]: Cho z = 1 + 2i . Tìm số phức nghịch đảo của w = z 2 + z.z . Ta có: w = (1 + 2i ) 2 Lời giải: + (1 + 2i )(1 − 2i ) = 4i + 4i + 1 + 1 − 4i 2 = 4i + 2 . 2 1 1 2 − 4i 2 − 4i 2 − 4i 1 1 = = = = = − i. 2 w 4i + 2 ( 2 + 4i )( 2 − 4i ) 4 − 16i 20 10 5 1 1 Vậy số phức nghịch đảo của w là số phức ω = − i . 10 5 ⇒ω= Câu 11. [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi , ( a, b ∈ ℝ ) ( 2 + 4i ) z 1+ i = z + 2 + 19i Lời giải Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( 2 + 4i ) z = z + 2 + 19i ⇔ ( 2 + 4i )( a + bi ) = a − bi + 2 + 19i ⇔ Facebook: LyHung95 ( 2 + 4i )(1 − i )( a + bi ) 1+ i 1+ i 2 ⇔ ( 3 + i )( a + bi ) = a + 2 + (19 − b ) i ⇔ 3a − b + ( a + 3b ) i = a + 2 + (19 − b ) i = a + 2 + (19 − b ) i 3a − b = a + 2  2a − b = 2 a = 3 ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ z = 3 + 4i a + 3b = 19 − b  a + 4b = 19 b = 4 Do đó z = 32 + 42 = 5 ( 3 z + 3i = ( z − 1) 2 3 − i Câu 12. [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện ( a, b ∈ ℝ ) 3 z + 3i = ( z − 1) ( 2 3 − i ) ⇔ a Lời giải Gọi z = a + bi ( ) ( 3 + b 3i + 3i = ( a + bi − 1) 2 3 − i ) ( ) ) ⇔ a 3 + b 3 + 3 i = 2 3a − 2 3 + b + 2 3b − a + 1 i a 3 = 2 3a − 2 3 + b  3a + b = 2 3 a = 1 ⇔ ⇔ ⇒ z = 1 + 3i ⇒ b = 3 b 3 + 3 = 2 3b − a + 1 − a + 3b = 2 Do đó z = 12 + ( 3) 2 =2 Câu 13. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( −4; −2; 4 ) và đường thẳng  x = −3 + 2t  d :  y = 1− t . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với d .  z = −1 + 4t  Lời giải:  Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud = ( 2; −1; 4 ) .  Lấy M ( −3 + 2t ;1 − t ; −1 + 4t ) ∈ d ⇒ AM = (1 + 2t ;3 − t ; −5 + 4t ) .   Ta có AM ⊥ ( d ) ⇔ AM .ud = 0 ⇔ 2 + 4t − 3 + t − 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 0 ⇔ t = 1.  Đường thẳng ∆ đi qua A có véctơ chỉ phương là AM = ( 3; 2; −1) . x = 1+ t  d1 :  y = 1 + 2t  z = 1 + 2t  x+4 y+2 z−4 Vậy phương trình ∆ là: = = . 3 2 −1 Câu 14. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu tâm I (1; 2; −4 ) , bán kính 5 cm. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ, đi qua M ( −2; 4;0 ) và cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính 3 cm. Lời giải: (α) đi qua gốc tọa độ nên phương (α) có dạng ax + by + cz = 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 . ( (α) đi qua M ( −2; 4;0 ) nên −2a + 4b = 0 ⇔ a = 2b . Ta có: d ( I ; (α ) ) = 52 − 32 = 4 ⇔ a + 2b − 4c =4⇔ 4b − 4c a +b +c 5b + c b = 0 ⇔ a = 0 . Chọn c = 1 ⇒ Phương trình (α ) là z = 0 . 2 2 2 ) 2 2 = 4 ⇔ 2b 2 + bc = 0 ⇔ b = 0 ∨ c = −2b . c = −2b . Cho b = 1 ⇒ a = 2, c = −2 ⇒ Phương trình (α ) là 2 x + y − 2 z = 0 . Vậy z = 0 và 2 x + y − 2 z = 0 là các mặt phẳng cần tìm. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Câu 15. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + 2 y −1 z − 2 = = và mặt 1 −1 2 phẳng ( Q ) : x − 2 y − 2 z + 7 = 0. Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của d và ( Q ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc d và bán kính R = IB = 6. Lời giải:  x = −2 + t  Phương trình tham số của d là d :  y = 1 − t ⇒ B ( b − 2;1 − b; 2b + 2 ) .  z = 2 + 2t  Mà B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − 2 ) − 2 (1 − b ) − 2 ( 2b + 2 ) + 7 = 0 ⇔ b = 1 ⇒ B ( −1; 0; 4 ) .  Do I ∈ d ⇒ I ( t − 2;1 − t ; 2t + 2 ) ⇒ BI = ( t − 1;1 − t ; 2t − 2 ) ⇒ BI = Bài ra BI = 6 ⇒ 6 ( t − 1) 2 ( t − 1) + (1 − t ) + ( 2t − 2 ) 2 2 2 = 6 ( t − 1) . 2 t = 0 ⇒ I ( −2;1; 2 ) ⇒ ( S ) : ( x + 2 ) 2 + ( y − 1)2 + ( z − 2 )2 = 6 = 6⇔ t = 2 ⇒ I ( 0; −1;6 ) ⇒ ( S ) : x 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 6 )2 = 6  ( S ) : x 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 6 )2 = 6 Đ/s: B ( −1;0; 4 ) và  ( S ) : ( x + 2 )2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2 ) 2 = 6  Câu 16. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + 2 y −1 z − 2 = = và hai mặt 1 2 −1 phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0, ( Q ) : x − 2 y − 2 z + 7 = 0. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với (P) và (Q). Tính độ dài đoạn thẳng AB. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = AB. Lời giải:  x = −2 + t  Phương trình tham số của d là d :  y = 1 − t  z = 2 + 2t  Do A, B ∈ d ⇒ A ( a − 2;1 − a; 2a + 2 ) , B ( b − 2;1 − b; 2b + 2 ) . 7  13 10 8  Mà A ∈ ( P ) ⇒ ( a − 2 ) + 2 (1 − a ) + 2 ( 2a + 2 ) + 3 = 0 ⇔ a = − ⇒ A  − ; ; −  . 3  3 3 3 B ∈ ( Q ) ⇒ ( b − 2 ) − 2 (1 − b ) − 2 ( 2b + 2 ) + 7 = 0 ⇔ b = 1 ⇒ B ( −1; 0; 4 ) .  8 5 2 Bài ra I là trung điểm của AB ⇒ I  − ; ;  .  3 3 3 2 2 2   8 10 20  188  8   10   20  . Ta có AB =  ; − ;  ⇒ R = AB =   +  −  +   = 3 3 3 3   3  3   3  Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] 2 2 Facebook: LyHung95 2 8  5  2  188  Do đó ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = . 3  3  3 3  2 2 2 188 8  5  2  188  Vậy AB = và ( S ) :  x +  +  y −  +  z −  = . 3 3  3  3 3  Câu 17. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A (1; 2; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2;3; −2 ) . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của AB. Lời giải:  Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB. Ta có trung điểm của AB là I ( 2;1;0 ) , AB ( 2; −2; 2 )  1  Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn nP = AB (1; −1;1) . 2 2 − 3 − 2 −1 4 Khi đó : ( P ) : x − y + z − 1 = 0 . Khi đó d ( C ; ( P ) ) = = 2 3 12 + ( −1) + 12 Vậy d = 4 . 3 Câu 18. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 2;1; 0 ) , B ( −2;1; 2 ) , C (1;1; −3) . Chứng minh rằng điểm C không nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với mặt phẳng đó. Lời giải:  Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB. Ta có trung điểm của AB là I ( 0;1;1) , AB ( −4; 0; 2 )  −1  Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn nP = AB ( 2; 0; −1) . 2 Khi đó : ( P ) : 2 x − z + 1 = 0 . Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta có: 2.1 + 3 + 1 ≠ 0 nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P). 6 Gọi ( S ) là mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu là C (1;1; −3) và bán kính R = d ( C ; ( P ) ) = Khi đó ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) = 2 2 2 6 . 5 6 . 5 Vậy ( P ) : 2 x − z + 1 = 0 và ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 3) = 2 22 + 12 = 2 2 6 5  x = 1 + 2t  Câu 19. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A ( 4;3; 4 ) , và đường thẳng d :  y = 2 − t . z = 3 + t  Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính bằng Lời giải: 5. Phương trình mặt cầu tâm A ( 4;3; 4 ) bán kính R = 5 là ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) + ( z − 4 ) = 5 .  Gọi H (1 + 2t ; 2 − t ;3 + t ) là hình chiếu chiếu của A trên d ta có : AH ( −3 + 2t ; −1 − t ; −1 + t )   Khi đó: AH .ud = 0 ⇔ 2 ( −3 + 2t ) − 1( −1 − t ) + 1( −1 + t ) = 0 ⇔ 6t = 6 ⇒ t = 1  Do đó AH ( −1; −2; 0 ) ⇒ AH = d ( A; d ) = 5 = R nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính 2 bằng 2 2 5. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Câu 20. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm Facebook: LyHung95 A (1; −1;3) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AH. Lời giải: x = 1+ t  Phương trình đường thẳng AH qua A và vuông góc với ( P ) là:  y = −1 − 2t z = 3 + t  Gọi H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + t ) , do H thuộc ( P) : x − 2 y + z − 1 = 0 nên (1 + t ) − 2 ( −1 − 2t ) + 3 + t − 1 = 0 5  1 2 13   7 −1 31  ⇔ 6t = 5 ⇔ t = − ⇒ H  ; ;  . Gọi I là trung điểm của AH ta có: I  ; ;  6 6 3 6   12 6 12   Phương trình mặt phẳng trung trực của AH nhân nP = (1; −2;1) là VTPT và đi qua I nên có phương trình là: 7 = 0. 2 Câu 21. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A (1; −2;1) , B ( 2; 2;1) và mặt phẳng x − 2y + z − ( P ) : x − y + 2 z − 5 = 0 . Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn AB trên (P). Tính độ dài đoạn thẳng MH. Lời giải: x = 1+ t   Ta có: AB (1; 4;0 ) nên phương trình đường thẳng AB là:  y = −2 + 4t . z = 1  Gọi M (1 + t ; −2 + 4t ;1) là giao điểm của AB và (P) ta cho M ∈ ( P ) ta có: 1 + t − ( −2 + 4t ) + 2 − 5 = 0 3  ⇔ t = 0 ⇒ M ≡ A (1; −2;1) . Gọi trung điểm của AB là I  ; 0;1 ta có MH = MI 2 − IH 2 2  17 31 3 và MI 2 = ⇒ MH = . Trong đó IH = d ( I ; ( P ) ) = 4 8 2 6 62 là giá trị cần tìm. 4 Câu 22. [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm A ( 4; −2; 0 ) và đường thẳng Vậy MH = x − 3 y −1 z − 4 = = . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng d và viết phương trình 2 1 2 mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d. Lời giài:  x = 3 + 2t   Phương trình tham số của d:  y = 1 + t . Gọi H ( 3 + 2t ;1 + t ; 4 + 2t ) ta có: AH ( −1 + 2t ;3 + t ; 4 + 2t )  z = 4 + 2t    Ta có: AH .ud = 0 ⇔ −2 + 4t + 3 + t + 8 + 4t = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H (1;0; 2 ) . d: Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có tâm A ( 4; −2; 0 ) và bán kính R = AH = 32 + 22 + 22 = 17 . Vậy ( S ) : ( x − 4 ) + ( y + 2 ) + z 2 = 17 2 2 CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2015 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!