www.VNMATH.com
1
. .
BÀI TÂ
. P PHU O NG TRÌNH VI PHÂN
1)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
2xy 0 y” = y 02 − 1
2xpp0 = p2 − 1
√
dx
2pdp
.
2
2
V
o i x(p − 1) 6= 0 ta co
C1 x + 1
=
⇔
p
−
1
=
C
⇔
p
=
±
:
1
p2 − 1
x
dy √
2
3
p=
= C1 + 1 ⇒ y =
(C1 x + 1) 2 + C2
dx
3C1
- a
D
.t
HD gia’i:
2)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
- a
D
.t
HD gia’i:
.
V
oi
y0 = p :
p 6= 0
√
y.y” = y 0
y 0 = p ⇒ y” = p
dp
dy
. .
'. tha
nh tro
(ha
m theo y). Phu o ng tr
nh:
. .
. .
ta d
u o
nh:
. c phu o ng tr
√
yp
dp
=p
dy
dy
dy
√
√
= 2 y + C1 ⇒
dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔
y
dx
dy
dx = √
2 y + C1
.
o nghi^
e
o'ng qua
t:
T
u d
. m t^
Ngoa
i ra
3)
y = c:
x=
√
y−
C1
√
ln |2 y + C1 | + C2
2
ng cu
~ ng la
h
a
nghi^
e
. m.
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
a(xy 0 + 2y) = xyy 0
HD gia’i: a(xy 0 + 2y) = xyy 0 ⇒ x(a − y)y 0 = −2ay
y 6= 0,
u
N^
e
Ngoa
i ra
4)
y=0
.
V
o ip
- a
D
.t
2a
a−y
dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C
y
x
~ ng la
cu
nghi^
e
. m.
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
.
V
oi
. .
. .
. .
.
ta co
phu o ng tr
nh tu o ng d
u o ng v
oi
y” = y 0 ey
y 0 = p ⇒ y” = p
dp
dy
. .
thay va
o phu o ng tr
nh:
p
dp
= pey
dy
dy
dy
dp
= ey ⇔ p = ey + C1 ⇒
= ey + C1 ⇔ y
= dx
dy
dx
e + C1
R ey dy
R
1 R ey + C1 − ey
1
y
dy
=
dy
=
(y
−
)
=
−
C1 6= 0 ta co
:
ey + C1
C1
ey + 1
C1
ey + C1
C1
6= 0 :
1
ln(ey + C1 )
C1
−e−y
R
dx
.
nhu v^
a
=
1
. y:
ey + C1 (y − ln |ey + C1 |)
C1
ng la
Ngoa
i ra y = C : h
a
m^
o
e
. t nghi^
.m
5)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
xy 0 = y(1 + ln y − ln x)
nê´u C1 = 0
nê´u C1 6= 0.
.
v
oi
y(1) = e
www.VNMATH.com
2
y
y
. .
0
(1 + ln ), da
u o
. t y = zx d
. c: xz = z ln z
x
x
dx
y
dz
=
⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx
• z ln z 6= 0 ⇒
z ln z
x
x
x
y(1) = e → C = 1. V^
a
. y y = xe
HD gia’i:
6)
- u.a phu.o.ng tr
D
nh v^
e:
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
- a
D
.t
y0 =
y”(1 + y) = y 02 + y 0
y 0 = z(y) ⇒ z 0 = z
dz
dy
. .
thay va
o phu o ng tr
nh:
⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔
• C1 = 0 ⇒ (∗)
cho
• C1 6= 0 ⇒ (∗)
cho
Ngoa
i ra
y=C
dy
= dx (∗)
C1 y + C1 − 1
y =C −x
1
ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
la
nghi^
e
. m.
To
m la
e
o'ng qua
t:
. i nghi^
. m t^
7)
dy
dz
=
z+1
y+1
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
y = C, y = C − x;
y0 = y2 −
1
ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
2
x2
2 0
2
n d
HD gia’i: Bi^
e
o
^'i (3) v^
e da
. ng: x y = (xy) − 2 (∗)
0
0
- a
D
o (∗) suy ra:
. t z = xy ⇒ z = y + xy thay va
dx
dz
=
⇔
xz = z + z − 2 ⇔ 2
z +z−2
x
0
V^
a
. y TPTQ:
8)
3
z−1
= Cx
z+x
xy − 1
= Cx3 .
xy + 2
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
r
2
- a
D
.t
yy” + y 02 = 1
y 0 = z(y) ⇒ y” = z.
dz
dy
z
C1
dy
⇔ z2 = 1 + 2
dz =
2
1−z
y
y
r
R
dy
C1
dy
⇒
=± 1+ 2 ⇔± r
= dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2
dx
y
C1
1+ 2
y
2
'ng qua
Nghi^
e
m
t^
o
t:
y
+
C
=
(x
+
C2 )2
1
.
. .
n d
Bi^
e
o
^'i phu o ng tr
nh v^
e:
9)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i: y 0 −
√
2x(1 + x)y 0 − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0
3x + 4
1
.y = − √
; x 6= 0, x 6= −1
2x(x + 1)
x+1
t:
' a phu.o.ng tr
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh thu^
an nh^
a
. m t^
R dy R 3x + 4
R 2
1
Cx2
=
dx = ( −
)dx ⇔ y = √
y
2x(x + 1)
x 2(x + 1)
x+1
www.VNMATH.com
ng s^
n thi^
:
Bi^
e
en h
a
o
1
1
⇒ C = − + ε.
2
x
x
x2
1
y=√
( + ε)
x+1 x
C0 = −
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
10)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
- a
D
.t
3
y” = e2y
z = y 0 → y” = z.
dz
dy
'
thoa
(
y(0) = 0
y 0 (0) = 0
. .
'. tha
phu o ng tr
nh
nh tro
z.
z2
e2y
dz
= e2y ⇔
=
+ε
dy
2
2
1
.
2
2y
a
− 1. T
u d
o:
y 0 (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^
.y z = e
2
Z
√
dy √ 2y
dy
√
= e −1⇒
z=
= x + ε. d̄ô’i biê´n t = e2y − 1
dx
e2y − 1
√
arctg e2y − 1 = x + ε
1
' d
ln(tg 2 x + 1).
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^
a
e
eng thoa
i^
eu ki^
e
^
e ba
i: y =
. y nghi^
. m ri^
.n d
2
11)
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
HD gia’i:
t phu.o.ng tr
nh la
Vi^
e
. i:
x(1 − y)y 0 = −2y ;
1−y
dx
dy = −2
y
x
. .
n:
nh ta
ch bi^
e
phu o ng tr
t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t:
ri^
eng c^
an t
m la
:
12)
xy 0 + 2y = xyy 0
y(−1) = 1.
x2 ye−y = C .
do
y(−1) = 1
. .
Thay d
i^
eu ki^
e
o ta d
u o
. n va
.c
C=
x2 ye1−y = 1.
B
a ng ca
ch d
a
.t
y = ux,
. .
~ y gia
' i phu o ng tr
nh:
ha
xdy − ydx −
. .
- t y = ux; du = udx + xdu thay va
nh va
o phu o ng tr
.
√ HD gia’i: Da
.
. .
~ ra
a
phu
o
ng
1 − u2 dx = 0. Ro
ng u − ±1 la
nghi^
e
m.
khi
u
≡
6
±1
d
u
.
du
dx
. TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0).
=
1 − u2
x
y
' a phu.o.ng tr
V^
a
= ln x + C .
nh: y = ±x; arcsin
. y NTQ cu
x
13)
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
xy 0 =
y(1) = 0.
p
x2 − y 2 + y
r
y2 y
+
x2 x
HD gia’i:
0
xy =
d
a
.t
u=
y
x
hay
n^
en
y = ux
. .
phu o ng tr
nh tha
nh:
p
0
x2 − y 2 + y ⇐⇒ y =
1−
y 0 = xu0 + u
√
du
dx
xu0 = 1 − u2 ⇐⇒ √
=
x
1 − u2
suy ra
p
1
.
e
y 6≡ 0.
- u.a v^
D
e
V^
a
ch ph^
an
. y t
x2 − y 2 dx = 0. (x > 0)
.
' n u.o
gia
c
x: xdu −
n:
tr
nh v^
e ta
ch bi^
e
www.VNMATH.com
4
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
a
^u
.n d
14)
y(1) = 0
khi
C = 1.
V^
a
e
. y nghi^
.m
y = ±x.
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
y 0 sin x = y ln y
π
y( ) = e.
2
HD gia’i:
y 0 sin x = y ln y ⇐⇒
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
.n
15)
dx
dy
=
y ln y
sin x
x
C tan
x
2
⇐⇒ ln y = C tan
⇐⇒ y = e
2
x
tan
π
2.
a
d
a
^u y( ) = e khi C = 1. V^
.y y = e
2
. .
' a phu o ng tr
T
m nghi^
e
eng cu
nh:
. m ri^
(x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
y(0) = 1.
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
- a
D
.t x + y =
. .
phu o ng tr
nh tha
nh:
HD gia’i:
z =⇒ dy = dz − dx
(2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0;
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
a
^u y(0) = 1 khi C = 2.
.n d
16)
- a
D
.t
y =
(z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0;
⇐⇒
⇐⇒ ln |x| + ln
thay
u=
17)
1
xy
. .
d
u o
e
. c nghi^
.m
r^
oi d
a
.t
z = ux,
dx u2 − 1
+ 3
du = 0
x
u +u
u2 + 1
x(u2 + 1)
= ln C ⇐⇒
=C
|u|
u
1 + x2 y 2 = Cy .
. .
' a phu o ng tr
nh sau:
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
. m t^
y 0 − xy = x + x3
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 va
D
^y la
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
x2
y = Ce 2 .
.
V^
a
.y
y=
1
. .
d
u o
. c:
z
(u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
HD gia’i:
x − 2z − 3 ln |z − 2| = C .
1
~
'
r^
oi d
a
. t z = ux,ha y giai
z
(x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0
B
a ng ca
ch d
a
.t
. .
nh:
phu o ng tr
' i ra
gia
x2
+1
2
. .
d
u o
.c
www.VNMATH.com
18)
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
HD gia’i:
y0 − y = y2.
. .
- a
n va
nh ta
ch bi^
e
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
D
^y la
phu o ng tr
. m t^
ln |
19)
5
y
| = x + C.
y+1
. .
'
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
nh sau:
. m cua ca
y0 +
y
= ex
x
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 va
D
^y la
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
20)
. .
'
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
nh sau:
. m cua ca
HD gia’i:
ex
C
x
y = +e − .
x
x
y0 − y = y3.
. .
- a
n va
D
^y la
phu o ng tr
nh ta
ch bi^
e
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
C + x = ln |y| − arctgy.
21)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
y0 =
y
y
+ sin ,
x
x
HD gia’i: y = zx ⇒ y 0 = z 0 x + z ,
z 0 x = sin x ⇔
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
V^
a
. y:
22)
tg
y
= x.
2x
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
π
2
. .
'. tha
nh:
nh tro
phu o ng tr
dz
dx
z
z
=
⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx
sin z
x
2
2
y
π
tg
= Cx; y(1) = ⇒ C = 1.
2x
2
y
y
(x − y cos )dx + x cos dy = 0
x
x
y
= z ⇒ y 0 = z 0 x + z phu.o.ng trnh du.o..c du.a v^
e da
. ng:
x
Z
dx
0
x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C
x
sin
y
= − ln |x| + C
x
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
y(1) =
- a
D
.t
V^
a
. y TPTQ:
23)
.
v
oi
(y 02 − 1)x2 y 2 + y 0 (x4 − y 4 ) = 0
. .
.
' ng c^
p nhu.ng gia
' i kha
La
phu o ng tr
nh d
a
a
ph
u c ta
. p.
www.VNMATH.com
6
y2
x2
y 0 : 4 = (x4 + y 4 )2 ⇒ y10 = 2 ; y20 = − 2 .
x
y
x
3
3
; x + y = C2
qua
t: y =
C1 x + 1
. .
.
i v
nh b^
a
o
^
oi
Xem phu o ng tr
. c hai d
.
o co
hai ho
e
o'ng
T
u d
. nghi^
. m t^
24)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
t phu.o.ng tr
Vi^
e
nh la
.i
. .
e
o'ng qua
t:
ra d
u o
. c nghi^
. m t^
25)
y 2 + x2 y 0 = xyy 0
y2
x2
0
y =
y
y
x
−1
. .
t, gia
'i
nh thu^
an nh^
a
d
a
^y la
phu o ng tr
y 2 = Cxe x
. .
' a phu o ng tr
T
m nghi^
e
eng cu
nh:
. m ri^
(x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0
y(1) = 0.
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
HD gia’i:
- a
D
.t
(
x
y
=u−1
= v + 3.
(u + v)du + (u − v)dv = 0,
2
u + 2uv − v 2 = C .
. .
. .
thay va
o phu o ng tr
nh d
u o
. c:
. .
t co
nh thu^
an nh^
a
t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t la
:
d
a
^y la
phu o ng tr
' a phu.o.ng tr
V^
a
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
nh ban d
a
^u la
:
. y t
26)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh
HD gia’i:
- a
D
.t
(
x
y
x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C
(x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.
=X −1
,
=Y +3
. .
nh tha
nh:
phu o ng tr
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
d
a
.t
Y = uX
' i ra
Gia
27)
1−u
dX
+
du = 0.
X
1 + 2u − u2
x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C .
.
. .
d
u a phu o ng tr
nh v^
e
X 2 (1 + 2u − u2 ) = C
hay
. .
' a phu o ng tr
nh sau:
T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
HD gia’i:
. .
- a
' ng c^
p, ta d
D
^y la
phu o ng tr
nh d
a
a
a
.t
b) y 0 =
z=
y
.
z
2xy
.
− y2
x2
. .
Khi d
o phu o ng tr
nh tr^
en
z(1 + z 2 )
2z
1
dx
xz 0 =
. Suy ra nghi^
e
. Hay ( −
)dz =
.m
2
2
1−z
z 1+z
x
z
na
y la
= Cx, C 6= 0.
1 + z2
2
2
' a phu.o.ng tr
nh d
~
a cho la
x + y = C1 y, C1 6= 0.
V^
a
e
. y nghi^
. m cu
'. tha
nh
tro
28)
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
HD gia’i:
- a
D
.t
u = 2x + y
. .
.
phu o ng tr
nh d
u a v^
e da
. ng
5u + 9
du
=
.
dx
2u + 5
y0 =
' a phu.o.ng tr
cu
nh
2x + y − 1
.
4x + 2y + 5
www.VNMATH.com
7
. .
' i phu.o.ng tr
Gia
nh na
y ta d
u o
e
. c nghi^
. m 10u + 7 ln |5u + 9| =
.
.
~
' a phu o ng tr
nh d
a cho la
10y + 7 ln |10x + 5y
V^
a
e
. y nghi^
. m cu
29)
25x + C.
= 9| − 5x = C.
. .
' a ca
T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
HD gia’i:
. .
.
. .
- a
' ng c^
p d
nh d
u a v^
e da
a
a
u o
a ng ca
ch d
a
D
^y la
phu o ng tr
. ng d
. c b
.t
u + 1, y = v − 3,
tr
nh la
. .
ta d
u o
.c
v 2 − 2uv − v 2 = C.
u+v
dv
=
.
du
−u + v
' i phu.o.ng tr
' a phu.o.ng
Gia
nh ta co
nghi^
e
. m cu
' a phu.o.ng tr
nh d
~
a cho la
V^
a
e
. y nghi^
. m cu
30)
x =
y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 .
. .
'
' a phu o ng tr
a) T
m mi^
en ma
trong d
o
nghi^
e
i toa
n Cauchy cu
nh
. m cua ba
y0 =
√
t
sau d
^
ay t^
on ta
duy nh^
a
. i va
.
.
' a ca
nh sau:
b) T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
x − y.
(x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0.
HD gia’i:
t nghi^
a) Ba
i toa
n Cauchy co
duy nh^
a
e
en
. m trong mi^
.
2
y
y.
D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v
o i δ > 0 tu
- u.a phu.o.ng tr
b) D
nh v^
e da
. ng
z=
y
.
x
dy
xy
.
= 2
dx
x − y2
. .
- a
' ng c^
p, ta d
D
^y la
phu o ng tr
nh d
a
a
a
.t
. .
'. tha
Khi d
o phu o ng tr
nh
nh tr^
en tro
z(1 + z 2 )
.
xz =
1 − z2
0
Hay
dx
1
2z
)dz =
( −
.
2
z 1+z
x
z
= Cx, C 6= 0.
1 + z2
2
2
la
x + y = C1 y, C1 6= 0.
' a phu.o.ng tr
nh na
y la
Suy ra nghi^
e
. m cu
' a phu.o.ng tr
V^
a
e
nh d
~
a cho
. y nghi^
. m cu
.
.
2x
2x
2
a ng h^
e
c vecto
a) Ch
u ng minh r
. ca
.
.
' a phu o ng tr
nh sau:
b) T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
n t
{e , xe , x } la
h^
e
^
o
a
e
nh.
. d
. c l^
. p tuy^
(x − y)dy − (x + y)dx = 0;
31)
HD gia’i:
~a ki^
n t
a) Du
ng d
.inh ngh
e'm tra h^
e
o
^
a
e
nh .
. d
. c l^
. p tuy^
- u.a phu.o.ng tr
b) D
nh v^
e da
. ng
z=
y
.
x
y0 =
x+y
.
x−y
. .
- a
' ng c^
p, ta d
D
^y la
phu o ng tr
nh d
a
a
a
.t
. .
'. tha
nh
Khi d
o phu o ng tr
nh tr^
en tro
xz 0 =
1 + z2
.
1−z
. .
' i phu.o.ng tr
Gia
nh na
y ta d
u o
.c
p
y
x2 + y 2 = Cearctg x .
2
.
.
2
n t
a) Ch
u ng minh r
a ng h^
e
c vecto
la
h^
e
o
e
nh.
. ca
. phu
. thu^
. c tuy^
.
' a chu
T
nh d
i
nh
th
u
c
Wronski
cu
ng.
.
. .
' a phu o ng tr
b) T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
nh sau:
32)
{cos 2x, sin 2x, 2}
(x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
www.VNMATH.com
8
HD gia’i:
2
2
n t
a) H^
e
y phu
o
e
nh v
2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0.
. na
. thu^
. c tuy^
. .
.
. .
' ng c^
p, ta d
b) Phu o ng tr
nh na
y co
th^
e' d
u a v^
e da
a
a
u o
. ng d
.c
y0 =
- a
D
.t
1
1
u=x− , v =y+ ,
3
3
x+y
.
x − 2y + 1
. .
'. tha
khi d
o phu o ng tr
nh
nh tr^
en tro
v0 =
. .
' i phu.o.ng tr
Gia
nh na
y ta d
u o
.c
Hay
u+v
.
u − 2v
√
2 = Ce
u2 + 2v
√ 3x−1
p
1
√ arctg( 2
)
3y+1
(3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2
.
33)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
. .
t: d
Phu o ng tr
nh thu^
an nh^
a
a
.t
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh
HD gia’i:
35)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i: y = C :
y 6= C
z − ln |z| = ln |x| + C
y
y
− ln | | = ln |x| + C
x
x
y 2 + x2 y 0 = xyy 0 .
y2
x2
0
y =
y
y
x
−1
. .
t, gia
'i
nh thu^
an nh^
a
d
a
^y la
phu o ng tr
y 2 = Cxe x
y” cos y + (y 0 )2 sin y = y 0
y 0 = p ⇒ y” = p
dp
cos y + p sin y = 1:
dy
dp
dy
(ha
m theo
p=
t
ch ph^
an
36)
p = C cos y.
dy
dy
= sin y + C1 cos y ⇔
= dx
dx
sin y r
+ C1 cos y
y
1
1
tg + 1 + 2 −
1
2
C1
C1
n: p
r
d
i d
^
e
ln
= x + C2
y
1
1
C12 + 1
−tg + 1 + 2 +
2
C1
C1
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
y)
. .
n t
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh.
. .
t co
Phu o ng tr
nh thu^
an nh^
a
nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
. .
bi^
e n thi^
en h
a ng s^
o d
u o
. c C = tgy + C1 .
.
t
u d
o
.
ng la
h
a
m^
o
e
. t nghi^
. m.
- a
ng). D
(h
a
.t
thay va
o (2):
2u
)
v
y = zx → y 0 = z 0 x + z
dx
z−1
dz =
→
z
x
t phu.o.ng tr
nh la
Vi^
e
.i
. .
ra d
u o
e
o'ng qua
t:
. c nghi^
. m t^
√
y 2 + x2 y 0 = xyy 0
. .
'. tha
nh
Phu o ng tr
nh tro
34)
√1 arctg(
2
Coi
x = x(y)
y0 +
1
=0
2x − y 2
'a
la
ha
m cu
y
ta co
:
y0 =
1
x0
. .
thay va
o phu o ng tr
nh:
www.VNMATH.com
1
1
+
= 0 ⇔ x0 + 2x = y 2 :
0
x
2x − y 2
9
. .
n t
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh.
t:
' a phu.o.ng tr
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh thu^
an nh^
a
. m t^
x = Ce−2y
1
1
1
ng s^
n thi^
: C 0 (y) = y 2 e2y ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C
Bi^
e
en h
a
o
2
2
4
1
1
1
.
.
−2y
' a phu o ng tr
nh: x = Ce
+ y2 − y +
V^
a
e
o'ng qua
t cu
. y nghi^
. m t^
2
2
4
37)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
- a
D
.t
y 0 = p,
xy” = y 0 + x2
'. tha
(1) tro
nh:
xp0 − p = x2
n t
tuy^
e
nh
t:
' a phu.o.ng tr
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh thu^
an nh^
a
. m t^
ng s^
n thi^
→
Bi^
e
en h
a
o
C(x) = x + C1
Suy ra:
38)
dy
= x(x + C1 )
dx
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
⇔p+y
- a
D
.t
→y=
y 6= 0
xe
t
x3
x2
+ C1 . + C2
3
2
y 02 + yy” = yy 0
p = y 0 (p 6= 0),
dp
= y,
dy
p = Cx
. .
. .
. .
.
nh tu o ng d
u o ng v
o i:
phu o ng tr
.
. .
nh v^
e:
d
u a phu o ng tr
t:
' a phu.o.ng tr
nh thu^
an nh^
a
NTQ cu
p=
⇒ C(y) =
C
,
y
dp p
+ =1
dy y
p2 + yp
dp
= yp
dy
n t
(tuy^
e
nh)
ng s^
n thi^
bi^
e
en h
a
o
y2
+ C1
2
dy
y 2 + 2C1
2ydy
y 2 + 2C1
⇒
=
⇒ 2
= dx
2y
dx
2y
y + 2C1
⇒ y 2 = A1 ex + A2 .
0 0
0
0
x
x
2
x
tra
Chu
y : V^
e
i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2
.
a
Nhu v^
. y:
39)
p=
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i: yx0 =
1
x0 y
yey = y 0 (y 3 + 2xey )
.
v
oi
. .
n d
bi^
e
o
^'i phu o ng tr
nh v^
e:
Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
y(0) = −1
2
x0 − x = y 2 e−y
y
x = y 2 (C − e−y )
y(0) = −1 ⇒ C = e.
2
−y
V^
a
. y x = y (e − e )
40)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
- a
D
.t
y 0 = p;
Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
xy” = y 0 + x
1
p0 − p = 1
x
s^
o : C = ln |x| + C1
. .
'. tha
nh:
phu o ng tr
nh tro
p = Cx
ng
n thi^
bi^
e
en h
a
www.VNMATH.com
10
dy
⇒p=
= (ln |x| + C1 )x ⇒ y =
dx
Z
(ln |x| + C1 )xdx + C2
= C1 x2 +
41)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
x2
x2
ln |x| −
+ C2
2
4
y 0 + xy = x3
t
' a phu.o.ng tr
nh thu^
an nh^
a
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
. n t^
x2
ng s^
n thi^
: C(x) = (x2 − 2)e− 2 + ε
bi^
e
en h
a
o
HD gia’i:
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
42)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
x2
y = Ce− 2
x2
y = εe− 2 + x2 − 2.
(x2 − y)dx + xdy = 0
. .
. .
0
2
t la
t:
Phu o ng tr
nh vi^
e
nh thu^
an nh^
a
. i: xy − y = −x , phu o ng tr
ng s^
n thi^
suy ra C = −x + ε
en h
a
t: y = Cx bi^
e
o
co
nghi^
e
o'ng qua
. m t^
2
'
V^
a
e
o ng qua
t : y = −x + εx
. y nghi^
. m t^
HD gia’i:
43)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
. .
n t
Phu o ng tr
nh tuy^
e
nh:
1
y = εx2 − ;
x
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
- a
D
.t
Xe
t
.
v
oi
y(1) = 1
y = Cx2 ; C 0 =
1
3
⇒C =− 3 +ε
4
x
x
y(1) = 1 ⇒ ε = 2
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
44)
2
3
y0 − y = 2
x
x
xy 0 − y = 0
y 6= 0,
y = 2x2 −
1
x
(x + 1)(y 0 + y 2 ) = −y
1
.y = −y 2
x+1
1
0
tr
nh v^
e z −
.z = 1.
x+1
t: z = C1 (x + 1) bi^
n thi^
nh^
a
e
en
. .
n d
nh v^
e da
bi^
e
o
^'i phu o ng tr
. ng
1
z0
= z ⇒ y 0 = − 2 = −y 2 z 0
y
z
.
. .
d
u a phu o ng
' a phu.o.ng tr
nh thu^
an
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
. m t^
y0 +
ng s^
h
a
o
C1 = ln |x + 1| + ε.
V^
a
e
. y nghi^
. m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
~ ng la
ngoa
i ra y = 0 cu
nghi^
e
. m.
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
45)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
p 1
t
nh c^
a
y=
1
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)
2xy 0 + y =
va
y=0
nghi^
e
di
. m k
..
1
1−x
- u.a phu.o.ng tr
D
nh v^
e da
. ng
y0 +
1
1
y =
2x
2x(1 − x)
. .
n
phu o ng tr
nh tuy^
e
www.VNMATH.com
Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
C
y=√ ,
x
11
ng s^
n thi^
:
bi^
e
en h
a
o
√
√
1
x
x+1
C (x) =
|+ε
⇒ C = ln | √
2x(1 − x)
2
x−1
√
1 1
x+1
√
√
qua
t: y =
ln |
|+ε
x 2
x−1
0
V^
a
e
o'ng
. y nghi^
. m t^
46)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i: y 0 −
xy 0 − y = x2 sin x
y
= x sin x,
x
. .
n t
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh. NTQ:
y = Cx
ng
n thi^
bi^
e
en h
a
:
s^
o
Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
47)
y = (C − cos x)x
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
y 0 cos2 x + y = tgx
. .
n t
nh tuy^
e
nh
Phu o ng tr
→
'
thoa
NTQ
y(0) = 0
y = Ce−tgx ; y = tgx − 1
(m^
o
e
. t nghi^
.m
ri^
eng)
⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^
a
e
. y nghi^
.m
48)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒
√
y 0 1 − x2 + y = arcsin x
'
thoa
y(0) = 0
nghi^
e
eng c^
an t
m:
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
Xem
x
y = Ce−arcsinx
y = arcsinx − 1
+ arcsinx − 1
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
HD gia’i:
y = tgx − 1 + e−tgx .
n t
t:
' a phu.o.ng tr
nh tuy^
e
nh thu^
an nh^
a
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
. m t^
~
y nghi^
D^
e th^
a
e
eng:
. m ri^
−arcsinx
⇒ NTQ: y = Ce
49)
ri^
eng c^
an t
m:
la
a
^'n ha
m, thay
y = e−arcsinx + arcsinx − 1
y0 =
1
2x − y 2
y(1) = 0.
y0 =
1
,
x0
. .
nh tha
nh
phu o ng tr
1
1
=
⇐⇒ x0 − 2x = −y 2
0
2
x
2x − y
. .
- a
n t
p m^
n
' a phu.o.ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
o
e
o'ng qua
t cu
nh tuy^
e
D
^y la
phu o ng tr
. t, nghi^
. m t^
.
.
.
.
.
−2y
n thi^
d
t tu o ng u
ng la
x = Ce
. Bi^
e
en h
a ng s^
o
u o
t
nh thu^
an nh^
a
. c NTQ:
y2 y
− +
2
2
3
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
a
^u y(1) = 0 khi C =
.
.n d
4
3 −2y
~n d
' a ma
V^
a
e
i^
eu ki^
e
a
^u: x =
e
+
. y nghi^
. m tho
.n d
4
x = Ce−2y +
1
4
y2 y 1
− + .
2
2 4
www.VNMATH.com
12
50)
. .
t r
' i phu o ng tr
Gia
nh sau d
^
ay, bi^
e
a ng sau khi d
a
.t
. .
p hai co
m^
o
nh vi ph^
an c^
a
m^
o
e
. t phu o ng tr
. t nghi^
.m
x2 y 00 + 4xy 0 + (x2 + 2)y = ex .
:
z 00 + z = ex ,
z 0 x − 2z 00 z 00 x2 − 4z 0 x + 6z
. .
;y =
. Phu o ng tr
nh
4
x3
x
x
e
∗
' a phu.o.ng tr
ri^
eng la
y =
, NTQ cu
nh thu^
an
2
y = zx2 =⇒ y 0 =
- a
D
.t
HD gia’i:
z
. .
, ta nh^
a
u o
.n d
.c
x2
1 x
∗
e :
ri^
eng y =
2
y=
co
m^
o
e
. t nghi^
.m
z = C1 cos x + C2 sin x.
tha
nh
t:
nh^
a
' a phu.o.ng tr
nh ban d
a
^u la
:
V^
a
. y NTQ cu
ex
sin x
cos x
y = C1 2 + C2 2 + 2
x
x
2x
51)
. .
' a phu o ng tr
T
m nghi^
e
eng cu
nh:
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
HD gia’i:
x
Xem
yey = y 0 (y 3 + 2xey )
y(0) = −1.
1
,
x0
y0 =
la
a
^'n ha
m, thay
. .
phu o ng tr
nh tha
nh
.
n t
t tu.o.ng u
' a phu.o.ng tr
nh tuy^
e
nh thu^
an nh^
a
ng la
NTQ cu
. .
d
s^
o
u o
.c
. .
d
u o
.c
C(y) = −e−y + C .
C=
52)
1
.
e
.
Nhu v^
a
. y NTQ la
'a d
tho
i^
eu ki^
e
.n
ng
n thi^
bi^
e
en h
a
Thay d
i^
eu ki^
e
^
au xa
c d
.inh
.n d
y
bi
a
. ch
.n
y 0 − y = cos x − sin x.
khi x → ∞
n t
' i phu.o.ng tr
Gia
nh tuy^
e
nh ra
'a d
tho
i^
eu ki^
e
.n
53)
1
C
− y.
y ye
C
;
y
.
o KL.
T
u d
. .
'
T
m nghi^
e
nh
. m cua phu o ng tr
HD gia’i:
x=
x=
2
x0 − x = y 2 e−y .
y
y
bi
a
. ch
. n khi
x→∞
y = Cex + sin x
C=0
khi
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
y 0 + sin y + x cos y + x = 0
π
y(0) = .
2
HD gia’i:
y 0 + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y 0 + 2 sin
⇐⇒
d
a
.t
z = tan
z 0 + z = −x.
y
2
'i
Gia
~n d
' ma
thoa
i^
eu
=⇒ z 0 =
y
y
y
cos + x.2 cos2 = 0
2
2
2
y0
y
+ tan + x = 0
y
2
2 cos2
2
y0
. .
. .
n t
nh phu o ng tr
nh tuy^
e
nh
y , phu o ng trnh tha
2
−x
ra: z = 1 − x + Ce
π
ki^
e
a
^u y(0) =
khi C = 0. V^
a
e
eng y = 2 arctan(1 − x).
.n d
. y nghi^
. m ri^
2
2 cos2
www.VNMATH.com
54)
13
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
HD gia’i:
- a
D
.t
z = sin y,
y 0 − x tan y =
. .
'. tha
khi d
o phu o ng tr
nh
nh d
~
a cho tro
z 0 − xz = x.
z = Ce − 1.
. .
n t
p 1 va
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
phu o ng tr
. m t^
x2
.
.
' a phu o ng tr
V^
a
e
nh d
~
a cho la
sin y = z = Ce 2
. y nghi^
. m cu
55)
x
cos y
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
- a
D
^y la
x2
2
−1
y 0 − xy = x
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 va
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
D
^y la
phu o ng tr
. m t^
56)
. .
' a ca
nh sau:
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
. m t^
HD gia’i:
y
√
= x y.
x
. .
- a
nh Bernoulli va
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
D
^y la
phu o ng tr
. m t^
√
57)
y0 +
C
1
y = √ + x2 .
x 5
. .
'
nh sau:
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
. m cua ca
y0 −
y
= x3
x
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 va
D
^y la
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
1
y = Cx + x4 .
3
58)
. .
'
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
nh sau:
. m cua ca
y0 − y = y2.
HD gia’i:
. .
- a
nh Bernoulli va
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
D
^y la
phu o ng tr
. m t^
y2 =
59)
1
Ce−2x
. .
'
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
nh sau:
. m cua ca
−1
.
y0 +
y
= sin x
x
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 va
D
^y la
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
y=
C sin x
+
− cos x.
x
x
1 2
y = Ce 2 x − 1.
www.VNMATH.com
14
60)
. .
'
T
m nghi^
e
c phu o ng tr
nh sau:
. m cua ca
√
y 0 − y = x y.
HD gia’i:
. .
- a
D
^y la
phu o ng tr
nh Bernoulli va
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
√
61)
1
y = Ce 2 x − x − 2.
. .
' a ca
nh sau:
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
. m t^
y 0 + 2xy = xe−x
2
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1.
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an tuy^
e
nh c^
a
x2 −x2
)e .
Nghi^
e
o'ng qua
t la
y = (C +
. m t^
2
62)
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
HD gia’i:
y
√
= x y.
x
. .
- a
D
^y la
phu o ng tr
nh Bernoulli va
co
nghi^
e
. m la
√
63)
y0 − 4
y=
1
ln x + Cx2 .
2
. .
'
' a phu o ng tr
nh sau
a) T
m mi^
en ma
trong d
o
nghi^
e
i toa
n Cauchy cu
. m cua ba
t
d
^
ay t^
on ta
duy nh^
a
. i va
'
b) T
m nghi^
e
i toa
n Cauchy sau d
^
ay
. m cua ba
y 0 = y + 3x.
1
y” − y 0 = x
x
y(x = 1) = 1 và y 0 (x = 1) = 2.
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1 tho
t
'a d
a) D
^y la
phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
.inh ly
d
i^
eu ki^
e
on ta
a
. n t^
. i duy nh^
2
nghi^
e
en R .
. m tr^
y0
' i phu.o.ng tr
nh y” −
b) Gia
= x, ta du.o..c nghi^
e
o'ng qua
t
. m t^
x
y = C1 + C2 x +
x2
.
2
' a ba
V^
a
e
i toa
n Cauchy la
. y nghi^
. m cu
1
x2
y =− +x+ .
2
2
64)
. .
'
nh sau:
T
m nghi^
e
. m cua phu o ng tr
y 0 + ytgx = cos x
HD gia’i:
. .
- a
n t
p 1.
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an tuy^
e
nh c^
a
Nghi^
e
o'ng qua
t la
:
. m t^
y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com
65)
. .
'
nh sau:
T
m nghi^
e
. m cua phu o ng tr
y0 +
15
y
ex
= x( x
)y 2 .
x
e +1
HD gia’i:
. .
- a
' a phu.o.ng tr
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an Bernoulli va
co
nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh la
. m t^
y=
66)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
- a
D
.t
y 0 = p,
(x + 1)y” + x(y 0 )2 = y 0
. .
. .
.
'. tha
phu o ng tr
nh phu o ng tr
nh tro
nh Bernouili (v
oi
p0 −
- a
D
.t
z = p−1 6= 0,
.
d
u a
1
.
Cx − x ln(ex + 1)
(∗)
x 2
1
p=−
p
x+1
x+1
(∗)
. .
n t
p m^
v^
e phu o ng tr
nh tuy^
e
nh c^
a
o
. t:
z0 +
1
x
z=
1+x
x+1
C
x+1
x2 + C1
1
2(x + 1)
z=
⇒ y0 = = 2
2(x + 1)
z
x + C1
t:
' a phu.o.ng tr
Nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh thu^
an nh^
a
. m t^
. .
ng s^
n thi^
cu^
i cu
Bi^
e
en h
a
o
o
ng d
u o
. c:
z=
' a phu.o.ng tr
nh:
Suy ra nghi^
e
o'ng qua
t cu
. m t^
x
2
ln |x2 + C1 | + √ arctg √ + C2
C1
C1√
1
x
−
−C
√ 1 | + C2
ln |
ln |x2 + C1 | + √
−C1
x + −C1
Chu
y
67)
y=C
nê´u C1 > 0
nê´u C1 < 0
la
NKD
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
x2 y 0 = y(x + y)
1
1
= 2 y 2 : phu.o.ng trnh Bernouilli
y
x
1
1
−1
- a
D
(y 6= 0) : −z 0 − z = 2 .
.t z = y
x
x
t:
' a phu.o.ng tr
nh thu^
an nh^
a
z = Cx
NTQ cu
1
1
ng s^
n thi^
C: C(x) = ε −
bi^
e
en h
a
o
. V^
a
)
. y z = x(ε −
2
2x
2x2
2x
V^
a
e
o'ng qua
t la
: y =
. y nghi^
. m t^
2
εx − 1
HD gia’i: x2 y 0 = y(x + y) ⇔ y 0 −
68)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
'
thoa
yy” − (y 0 )2 = y 3
1
y(0) = −
2
y 0 (0) = 0
x 6= −1)
www.VNMATH.com
16
HD gia’i:
- a
D
.t
y 0 = p(y);
y 00 = p.p0y
py
p:
d
a
e
. t ti^
p(y) = y.z(y)
. .
thay va
o phu o ng tr
nh
dp
− p2 = y 3 ,
dy
.
. .
nh v^
e
d
u a phu o ng tr
p
1
dy
dz
= ⇒ z 2 = 2(y + C1 ) ⇔
= y |2y + C|
dy
z
dx
1
.
y(0) = − ; y 0 (0) = 0 ⇒ C = 1. T
u d
o suy
2p
|2y + 1| − 1
p
dy
= y |2y + 1| ⇒ ln p
= x + C2 .
dx
|2y + 1| + 1
1
do y(0) = −
⇒ C2 = 0.
2
p|2y + 1| − 1
' : ln p
V^
a
e
eng c^
an t
m thoa
= x.
. y nghi^
. m ri^
|2y + 1| + 1
Do d
i^
eu ki^
e
.n
69)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
√
2y x
dy
ydx + 2xdy =
cos2 y
HD gia’i:
- u.a phu.o.ng tr
nh v^
e da
D
. ng
- a
D
.t
1
z = x2
ta co
1 1
z 0 = x0 + x− 2 x0
2
' d
thoa
i^
eu ki^
e
.n
2
2
1
x0 + x =
.x 2
2
y
cos y
thay va
o
ra:
y(0) = π
(Bernoulli)
(∗)
(∗)
1
1
z0 + z =
y
cos2 y
Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
z=
c
y
C0 =
V^
a
.y
Z = tgy +
ng s^
n thi^
:
bi^
e
en h
a
o
y
⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε
cos2 y
1
ε
ln | cos y| +
y
y
ε √
1
ln | cos y| + = x
y
y
√
1
tgy + ln | cos y| = x
y
' a phu.o.ng tr
Va
TPTQ cu
nh:
y(0) = π ⇒ ε = 0
70)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
v^
e da
. ng:
Do
y=0
1
y 0 − y = y −1
x
V^
a
. y TPTQ:
71)
v^
a
. y TPR :
tgy +
xydy = (y 2 + x)dx
cho
' i la
kh^
ong pha
nghi^
e
e
. m, chia hai v^
- a
Bernouilli; D
.t
z = y2
(y +
√
. .
n d
bi^
e
o
^'i phu o ng tr
nh
.
. .
d
u a phu o ng tr
nh v^
e da
. ng:
2
z 0 − z = 2 → z = −2x + Cx2
x
2
2
y = −2x + Cx
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
xy
xy)dx = xdy
www.VNMATH.com
HD gia’i:
- a
D
.t
- u.a phu.o.ng tr
nh v^
e da
D
. ng
1
1 1
1
y 0 − y = √ .y 2 ; x 6= 0
x
x
1
1
z = √ phu.o.ng trnh
2x
x
2
'
t^
o ng qua
t: y = x(ln x + C)
z = y 2 : z0 −
V^
a
e
. y nghi^
.m
72)
n t
' i ra
tuy^
e
nh gia
z=
√
x(ln x + C)
√
xy 0 − 2x2 y = 4y
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
17
. .
Phu o ng tr
nh Bernouilli, d
a
.t
z = y 1−α =
√
1
y ⇒ z0 = √
2 y
4
z 0 − z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2
x
y = (Cx2 − 1)2 x4 .
. .
'. tha
phu o ng tr
nh:
nh tro
V^
a
e
o'ng qua
t:
. y nghi^
. m t^
73)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
2x2 y 0 = y 2 (2xy 0 − y)
n y : x0 y 3 − 2xy 2 = −2x2 Bernouilli
HD gia’i: Xem x la
ha
m theo bi^
e
2
2z
1
. .
0
- a
'. tha
, phu o ng tr
= 3 → TPTQ: y 2 = x ln Cy 2 ,
nh: z +
D
nh tro
.t z =
x
y
y
ky
di
y
=
0.
.
74)
. .
' a phu o ng tr
nh:
T
m nghi^
e
eng cu
. m ri^
~n d
' ma
thoa
i^
eu ki^
e
^
au
.n d
x2 y 0 = y(x + y)
y(−2) = −4.
HD gia’i: Do y(−2) = −4 n^
en y 6≡ 0.
2
y
.
−1
p tu
e
a
d
u a
y 0 − 1y = 2 . Ti^
.c d
.t z = y
x
. .
- u.a phu.o.ng tr
D
nh v^
e phu o ng tr
nh Bernouilli:
. .
n t
phu o ng tr
nh v^
e PT tuy^
e
nh
.
t tu.o.ng u
' a phu.o.ng tr
NTQ cu
nh thu^
an nh^
a
ng:
z = Cx,
1
.
' a phu.o.ng tr
a
e
nh ban d
a
^u
. Nhu v^
. y nghi^
. m cu
2x
1
4x
C = . V^
a
e
eng c^
an t
m la
y =
. y nghi^
. m ri^
2
x2 − 1
C(x) = Cx −
d
a
^u cho
75)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i: Phu.o.ng
y (1 + Ce−x ) = 1
tr
nh:
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i: Phu.o.ng
1
y=
.
1 + Cx + ln x
77)
tr
nh
1
1
z0 + z = − 2 .
x
x
. .
n thi^
d
bi^
e
en h
a ng s^
o
u o
.c
la
:
y=
2x
.
Cx2 − 1
- i^
D
eu ki^
e
.n
y 0 − xy = −xy 3
y 0 − xy = −xy 3
2
76)
nghi^
e
.m
. .
. .
' i ra d
la
phu o ng tr
nh Bernouilli, gia
u o
.c
xy 0 + y = y 2 ln x.
xy 0 + y = y 2 ln x
. .
. .
' i ra d
la
phu o ng tr
nh Bernouilli, gia
u o
.c
. .
' a ca
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
. m t^
y0 − 4
y
√
=x y
x
www.VNMATH.com
18
. .
- a
ng ca
D
^y la
phu o ng tr
nh Bernoulli, b
a
ch d
a
.t
HD gia’i:
tr
nh v^
e da
. ng
x
2
z0 − z =
x
2
z =
√
y
.
. .
ta d
u a phu o ng
va
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
1
z = x2 ( ln |x| + C).
2
' a phu.o.ng tr
nh la
V^
a
e
o'ng qua
t cu
. y nghi^
. m t^
1
y = x4 ( ln |x| + C)2 .
2
78)
. .
' a ca
nh sau:
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
. m t^
HD gia’i:
y=
y0 +
y
= y 2 xtgx.
x
. .
- a
D
^y la
phu o ng tr
nh Bernoulli va
co
nghi^
e
o'ng qua
t la
. m t^
1
.
Cx + x ln | cos x|
79)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0
∂P
∂Q
=
= 2y
∂y
∂x
HD gia’i: P (x, y) = y 2 , Q(x, y) = 2xy + 3;
(1) ⇔ d(xy 2 + 3y) = 0.
80)
V^
a
.y
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
xy 2 + 3y = C
ex (2 + 2x − y 2 )dx − yex dy = 0
∂P
∂Q
=
= −2yex
∂y
∂x
. .
. .
. .
.
nh tu o ng d
u o ng v
o i:
suy ra phu o ng tr
d ex (2x − y 2 ) =
0.
V^
a
.y
ex (2x − y 2 ) = C.
81)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
3
(y 2 + 1) 2 dx + (y 2 + 3xy
3
HD gia’i: p = (y 2 + 1) 2 ; Q = y 2 + 3xy
'a
Suy ra nghi^
e
o'ng qua
t cu
. m t^
(∗)
p
1 + y2 ⇒
Zy
P (x, 0)dx +
0
HD gia’i:
Q(x, y)dy = C
0
⇔
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
p
∂P
∂Q
=
= 3y 1 + y 2
∂y
∂x
la
:
Zx
82)
p
1 + y 2 )dy = 0
3
y3
+ x(1 + y 2 ) 2 = C
3
(y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx
∂P
∂Q
=
= y sin 2x + cos x
∂y
∂x
(∗)
www.VNMATH.com
NTQ:
Rx
19
Ry
y2
Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x − cos2 x = C
P (x, y0 )dx +
2
y0 =0
x0 =0
83)
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
84)
. .
Phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an:
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
(2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy
(
x2 + x3 y − y 3 = C
(x2 + 1) cos y
x
+ 2)dx −
dy = 0
sin y
2 sin2 y
∂Q
x cos y
∂P
=
=−
∂y
∂x
sin2 y
TPTQ:
Zx
0
85)
π
2
x2
(x2 + 1) 1
+ 2x −
(
− 1) = C
2
2
sin y
(y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0
. .
nh vi ph^
an toa
n ph^
an, nghi^
e
o'ng qua
t:
Phu o ng tr
. m t^
3x2 (1 + ln y)dx = (2y −
x2 + 2(x sin y − cos y) = C.
x3
)dy
y
. .
Phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an: Nghi^
e
o'ng qua
t:
. m t^
. .
' a phu o ng tr
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh vi ph^
an:
. m t^
HD gia’i:
xy + ex sin y = C.
(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
. .
Phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an: NTQ
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
88)
Q(x, y)dy = C ⇔
. .
' i phu o ng tr
Gia
nh:
HD gia’i:
87)
Zy
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
86)
π
P (x, )dx +
2
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
3x2 (1 + ln y)dx = (2y −
x3
)dy
y
. .
- a
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an co
t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t la
:
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
89)
. .
~ y t
' a phu o ng tr
Ha
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh:
. m t^
HD gia’i:
PTVPTP co
t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t:
(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
x2 + 2(x sin y − cos y) = C
www.VNMATH.com
20
~y
90) Ha
. .
' a phu o ng tr
t
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh:
. m t^
1
y2
−
x (x − y)2
HD gia’i:
91)
dx +
1
x2
−
2
(x − y)
y
dy = 0
PTVPTP co
t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t:
ln
xy
x
+
=C
y x−y
. .
' a phu o ng tr
T
m nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh vi ph^
an:
. m t^
(sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0
HD gia’i:
92)
. .
nh vi ph^
an toa
n ph^
an co
nghi^
e
o'ng qua
t la
Phu o ng tr
. m t^
.
. .
~ y t
t
' a phu o ng tr
Ha
m th
u a s^
o
ch ph^
an cu
nh:
x sin(xy) = C .
(x + y 2 )dx − 2xydy = 0
. .
' a phu o ng tr
suy ra nghi^
e
o'ng qua
t cu
nh.
. m t^
HD gia’i:
.
t
' a phu.o.ng tr
Th
u a s^
o
ch ph^
an cu
nh la
. .
.
t
' i ra
phu o ng tr
nh cho th
u a s^
o
ch ph^
an r^
oi gia
93)
. .
' i phu o ng tr
nh:
Gia
HD gia’i:
2xy ln ydx + (x2 + y 2
µ(x) =
y2
x = Ce x
p
cu
'a
Nh^
an hai v^
e
.
y 2 + 1)dy = 0
. .
.
- a
t
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an, th
u a s^
o
ch ph^
an:
.
. .
t
cu
' a phu.o.ng tr
' i ra d
th
u a s^
o
ch ph^
an va
o hai v^
e
nh r^
oi gia
u o
. c:
94)
1
.
x2
µ(y) =
1
y
nh^
an
1
3
x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0
3
. .
'
nh
T
m nghi^
e
. m cua phu o ng tr
'a d
tho
i^
eu
HD gia’i:
(x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0.
ki^
e
. n y(0) = 1.
. .
- a
D
^y la
phu o ng tr
nh vi ph^
an toa
n ph^
an NTQ la
:
x4 + 2x2 y 2 + y 4 = C
.
'a d
tho
i^
eu ki^
e
.n
95)
y(0) = 1
khi
C = 1.
. .
' a ca
T
m t
ch ph^
an t^
o'ng qua
t cu
c phu o ng tr
nh sau:
HD gia’i:
. .
.
t
Ta t
m d
u o
u a s^
o
ch ph^
an
. c th
1 - .
. .
. Du a phu o ng
2
x
2
2
la
x − y = Cx.
µ(x) =
da
an toa
n ph^
an. Khi d
o nghi^
e
o'ng qua
t
. ng vi ph^
. m t^
a) − 2xydy + (y 2 + x2 )dx = 0
tr
nh d
~
a cho v^
e
- Xem thêm -
.PDF 
47 
667 
146 
