Bài tập nguyên hàm cơ bản

  • Số trang: 8 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, *Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a �0 tức là u  u ( x) *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản dx  x  C du  u  C � � k .dx  k.x  C , k là hằng số � k .du  k .u  C � dx  ln x  C � x  1  du  u u C �  1 1 du  ln u  C � u 1 1 �2 dx    C x x 1 1 �2 dx    C u u 1 �x dx  2 x  C �u du  2 *Nguyên hàm của hàm số mũ e x dx  e x  C � e du  e �  1  dx  x x C �  1 1  x dx  e x  C e � ax  C , 0  a �1 ln a au u a du  C � ln a a x dx  � 1 u  1  .dx  1 . (ax  b) ( ax  b ) C � a  1 1 1 dx  ln ax  b  C � (ax  b) a 1 u C u C 1 dx  tan x  C � cos 2 x 1 du  tan u  C � cos2 u 1 dx   cot x  C � sin 2 x ax  b  C axb dx  1 eaxb  C a e � u du  eu  C e � 1 a mxn mx  n a dx  .  C , m �0 � m ln a *Nguyên hàm của hàm số lượng giác cos x.dx  sin x  C cos u.du  sin u  C � � sin x.dx   cos x  C � 1 �ax  b du  a .2 sin u.du   cos u  C � 1 1 cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C � a 1 sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C � a 1 dx  tan(ax  b)  C � a cos2 (ax  b) 1 du   cot u  C � sin 2 u 1 1 dx   cot g (ax  b)  C � a sin 2 (ax  b) Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u  ax  b Ví dụ 1 cos kx.dx  sin kx  C � k 1 cos 2 x.dx  sin 2 x  C , (k  2) � 2 1 1 sin kx.dx   cos kx  C � k sin 2 x.dx   cos 2 x  C � 2 kx dx  1 ekx  C e � 2 x dx  1 e2 x  C e � k  1  .dx  1 . (ax  b) ( ax  b ) C � a  1 1 1 dx  ln ax  b  C � (ax  b) a 1 1 �ax  b du  a .2 ax  b  C 1 eaxb dx  eax b  C � a 1 a mxn mx  n a du  .  C , m �0 � m ln a 1 cos(ax  b) dx  sin( ax  b)  C � a 1 sin(ax  b)dx   cos( ax  b)  C � a 1 1 dx  tan(ax  b)  C � a cos2 (ax  b) 1 2 1 (2 x  1) 21 1 2 (2 x  1) . dx  .  C  .(2 x  1)3  C � 2 1 2 1 1 dx  ln 3x  1  C � 3x  1 3 1 1 �3x  5 du  3 .2 3x  5  C  2 3x  5  C 3 2 x1dx  1 e2 x1  C e � 2 2 x1 2 x1dx  1 . 5 5 C � 2 ln 5 1 cos(2 x  1)dx  sin(2 x  1)  C � 2 1 sin(3 x  1) dx   cos(3x  1)  C � 3 1 1 dx  tan(2 x  1)  C � 2 cos 2 (2 x  1) 1 dx   cot(3x  1)  C � 3 sin 2 (3x  1) *Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u  ax  b � du  .?.dx � dx  .?.du Ví dụ: Chứng minh 1 cos(ax  b) dx  sin( ax  b)  C , a �0 � a Giải: Đặt 1 a u  ax  b � du  (ax  b) ' dx  a.dx � dx  .du Suy ra 6 1 1 1 1 cos(ax  b)dx  � cos u. .du  � cos u.du  .sin u  C  sin(ax  b)  C � a a a a 1 1 dx   cot(ax  b)  C � a sin 2 (ax  b) I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất a ) f ( x )  2 x9 - x10 1  xC 5 2 3x x 2 kq: F ( x)    xC ln 3 2 1 2 kq: F ( x)= b) f ( x )  3 x  x  1 2 c) f ( x)  +3 x d ) f ( x)  2sin x cos x e) f ( x )  3 kq: F ( x)  2ln x  3 x  C kq: F ( x)  2cos x  C 1 kq: F ( x)  sin x  C 3 Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số a. f(x) = x2 – 3x + b f(x) = c. f(x) = d. f(x) = e. f(x) = f. f(x) = g. f(x) = 1 x 2 x4  3 x2 x 1 x2 ( x 2 1) 2 x2 x 3 x 4 x 1 2  x 3x ( x 1) 2 x x 1 h. f(x) = 3 x 3 2 ĐS. F(x) = x  3x  ln x  C 3 2 ĐS. F(x) = 2x3 3  C 3 x 1 x ĐS. F(x) = ln x   C 3 ĐS. F(x) = x  2 x  1  C 3 x 4 3 5 ĐS. F(x) = 2 x 2 3x 3 4 x 4   C 3 4 5 ĐS. F(x) = 2 x  33 x2  C ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C 5 2 ĐS. F(x) = 3 3 x  x C i ) f ( x )  x5  3 x 2  4 j ) f ( x)  x3 2  5x2  2 x  1 2 k ) f ( x)   x6  3x5  3x 2  2 3 1 l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x 2  )  3x 3 x kq : F ( x)  x6  x3  4 x  C 6 1 5 kq : F ( x)  x 4  x3  x 2  x  C 8 3 2 1 kq : F ( x)   x7  x6  x3  2 x  C 21 2 1 4 kq : F ( x)  x  x  C 2 * HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a 2  2ab  b 2 Bài 3 : Tìm a) � ( x  2)( x  4)dx b) � ( x 2  3)( x  1)dx c) � 3( x  3)2 dx x2  5 x g )� dx x 2 x3  5 x 2  1 h) � dx x 2 x3  5 x 2  1 g )� dx x2 ( x  2) 2 h) � dx x ( x  4) 2 i)� dx x2 Bài 4 Tìm 3 1 4 a) � ( x  x 2  5)dx b) � ( x 3  2 x 2  4 x  1)dx c) � x ( x  2 x)( x  1)dx 1 d )� (2 x  1)(1  )dx x 1 kq: F ( x)  x3  x 2  8x  C 3 1 1 3 kq: F ( x)  x3  x 2  x2  3x  C 3 2 2 kq: F ( x)  x3  9 x 2  27 x  C kq: F ( x)  1 2 x  5x  C 2 kq: F ( x)  2 3 5 2 x  x  ln x  C 3 2 1 kq: F ( x)  x 2  5 x   C x 1 2 kq: F ( x)  x 2  4 x  4ln x  C kq: F ( x)  x  8ln x  16 C x 7 1 4 4 kq: F ( x)  x  2 x 2  5 x  C 7 1 2 kq: F ( x)     2 x2  x  C 2x2 x x3 1 kq: F ( x)   2x   C 3 x kq: F ( x)  x 2  ln x  x  C Bài 5: Tìm a) � (2.3 x  4 x )dx b) � (2.a x  5 x )dx 1 c) � (3e x  5sin x  )dx x  x e d )� e x (2  )dx cos2 x e) � 2 x.3 x dx f )� 2 x.32 x.5 x dx g )� e x (2  e x ) ex h) �x dx 2 Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số 2.3x 4 x kq: F ( x)   C ln 3 ln 4 2.a x 5 x kq: F ( x)   C ln a ln 5 kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C kq: F ( x)  2.e x  tan x  C 6x C ln 3 90 x kq: F ( x)  C ln 90 kq: F ( x)  kq: 2e x  x  C ex kq: C (1  ln 2)2 x x 1 dx kq: F ( x )  ( x  sin x)  C 2 2 x b) � (2 x  sin 2 )dx 2 x 1 c) � cos2 dx kq: F ( x)  ( x  sin x)  C 2 2 x d )� (2 x 2  cos 2 ) dx 2 1  cos2 x 1  cos2 x HD : sin 2 x  ; cos 2 x  2 2 e) (1  tan 2 x )dx kq: F ( x)  tan x  C a)� sin 2 � d )� (1  cot 2 x) dx e) tan 2 xdx kq: F ( x)   cot x  C � f )� cot 2 xdx kq: F ( x)  tan x  x  C kq: F ( x )   cot x  x  C HD :1  tan 2 x  1 1 ;1  cot 2 x  2 cos x sin 2 x g )� (tan x  cot x) 2 dx h) � (2 tan x  cot x)2 dx HD : (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 1 h) � dx sin 2 x.cos2 x cos2 x h) � dx sin 2 x.cos2 x kq: F ( x)  tan x  cot x  4 x  C kq: F ( x )  4 tan x  cot x  x  C kq: F ( x)  tan x  cot x  C kq: F ( x)   tan x  cot x  C HD : sin 2 x  cos2 x  1; cos2 x  cos 2 x  sin 2 x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng a ) f '( x)  2 x  1; f (1)  5 b) f '( x )  2  x 2 ; f (2)  c ) f '( x)  x  7 3 1  2; f (1)  2 x2 d ) f '( x)  4 x  x; f (4)  0 e) f '( x)  4 x3  3x 2  2; f (1)  3 f ) f '( x)  3 x  x3  1; f (1)  2 g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  1 h) f '( x )  3( x  2)2 ; f (0)  8 Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng kq: f ( x)  x 2  x  3 x3 kq: f ( x )  2 x  1 3 x2 1 3 kq: f ( x )    2x  2 x 2 8 x x x 2 40 kq: f ( x )    3 2 3 kq: f ( x )  x 4  x3  2 x  3 4 3 3 x4 kq: f ( x )  x  x 4 4 x3 kq: f ( x )  1 3 kq: f ( x )  ( x  2)3 x2 1 5 kq: f ( x)    2 x 2 b a ) f '( x)  ax  ; f ( 1)  2, f (1)  4 x2 15 x ; f (1)  4, f (4)  9 14 b) f '( x)  kq: f ( x)  5 x3 23  7 7 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = f [u ( x )].u ' ( x ) dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x)  dt u ' ( x)dx  I = f [u ( x)].u ' ( x) dx  f (t ) dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. (5 x  5. (2 x 9. 13. 17.  2  1) 7 xdx 3x 2 5  2x sin 2. 1) dx 4 3 dx 6. 10. ( x 18. 3 3.  5) 4 x 2 dx dx  x (1  x) 2 sin x dx 5 x 14. x cos xdx dx sin x e x dx dx 2 x) 5 (3  cos 7.  11. ln 3 x  x dx 15. cot gxdx dx cos x 19. e tgx 21.  x 22.  2 dx e  3 cos x dx 25. x 2 1  x 2 .dx 26.  1 x2 29. cos 3 x sin 2 xdx 30. x 12. 16.  1 31. e x dx 1 x x dx 5 x 2 1 dx tgxdx 2 x cos 28. 2 2 2x  1 x.e 24. 1  x 2 .dx x 2 dx 27. x x e 20. tgxdx 23.  x  1.dx 8. x 2  1.xdx dx  4. 5  2 x dx    x dx 4  x2 2 32. x 3 x dx dx  x 1 x 2  1.dx 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x)  v( x).u ' ( x)dx Hay udv uv  vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. x. sin xdx 2. x cos xdx 3. 5. x sin 2 xdx 6. x cos 2 xdx 9. x ln xdx 13. cos x 2 x dx 10. 14. ln xtg 2 2 xdx xdx 15. ( x 2  5) sin xdx 7. x.e 11.  sin x dx 2 4 ( x  2 x  3) cos xdx 8. ln xdx ln xdx x x dx 12. e 16. ln( x 2 x dx  1) dx x 17. e 21. x lg xdx 18. . cos xdx 22. x 3 2 e x dx 2 x ln(1  x)dx 19. 23. x ln(1  x 2 ) dx ln(1  x) dx x2  20. 24. 2 x 2 x xdx cos 2 xdx
- Xem thêm -