Mô tả:
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM
Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
*Trường hợp đặc biệt u ax b, a �0
tức là u u ( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C
du u C
�
�
k .dx k.x C , k là hằng số �
k .du k .u C
�
dx ln x C
�
x
1
du u
u
C
�
1
1
du ln u C
�
u
1
1
�2 dx C
x
x
1
1
�2 dx C
u
u
1
�x dx 2 x C
�u du 2
*Nguyên hàm của hàm số mũ
e x dx e x C
�
e du e
�
1
dx x
x
C
�
1
1
x dx e x C
e
�
ax
C , 0 a �1
ln a
au
u
a du
C
�
ln a
a x dx
�
1
u
1
.dx 1 . (ax b)
(
ax
b
)
C
�
a
1
1
1
dx ln ax b C
�
(ax b)
a
1
u C
u C
1
dx tan x C
�
cos 2 x
1
du tan u C
�
cos2 u
1
dx cot x C
�
sin 2 x
ax b C
axb dx 1 eaxb C
a
e
�
u du eu C
e
�
1 a mxn
mx
n
a
dx .
C , m �0
�
m ln a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
cos x.dx sin x C
cos u.du sin u C
�
�
sin x.dx cos x C
�
1
�ax b du a .2
sin u.du cos u C
�
1
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
�
a
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
�
a
1
dx tan(ax b) C
�
a
cos2 (ax b)
1
du cot u C
�
sin 2 u
1
1
dx cot g (ax b) C
�
a
sin 2 (ax b)
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt u ax b
Ví dụ
1
cos kx.dx sin kx C
�
k
1
cos 2 x.dx sin 2 x C , (k 2)
�
2
1
1
sin kx.dx cos kx C
�
k
sin 2 x.dx cos 2 x C
�
2
kx dx 1 ekx C
e
�
2 x dx 1 e2 x C
e
�
k
1
.dx 1 . (ax b)
(
ax
b
)
C
�
a
1
1
1
dx ln ax b C
�
(ax b)
a
1
1
�ax b du a .2 ax b C
1
eaxb dx eax b C
�
a
1 a mxn
mx
n
a
du .
C , m �0
�
m ln a
1
cos(ax b) dx sin( ax b) C
�
a
1
sin(ax b)dx cos( ax b) C
�
a
1
1
dx tan(ax b) C
�
a
cos2 (ax b)
1
2
1 (2 x 1) 21
1
2
(2
x
1)
.
dx
.
C .(2 x 1)3 C
�
2 1
2
1
1
dx ln 3x 1 C
�
3x 1
3
1
1
�3x 5 du 3 .2
3x 5 C
2
3x 5 C
3
2 x1dx 1 e2 x1 C
e
�
2
2 x1
2 x1dx 1 . 5
5
C
�
2 ln 5
1
cos(2 x 1)dx sin(2 x 1) C
�
2
1
sin(3 x 1) dx cos(3x 1) C
�
3
1
1
dx tan(2 x 1) C
�
2
cos 2 (2 x 1)
1
dx cot(3x 1) C
�
3
sin 2 (3x 1)
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh
bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng
phương pháp đổi biến số đặt
u ax b � du .?.dx � dx .?.du
Ví dụ: Chứng minh
1
cos(ax b) dx sin( ax b) C , a �0
�
a
Giải: Đặt
1
a
u ax b � du (ax b) ' dx a.dx � dx .du
Suy ra
6
1
1
1
1
cos(ax b)dx �
cos u. .du �
cos u.du .sin u C sin(ax b) C
�
a
a
a
a
1
1
dx cot(ax b) C
�
a
sin 2 (ax b)
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất
a ) f ( x ) 2 x9 -
x10 1
xC
5 2
3x x 2
kq: F ( x)
xC
ln 3 2
1
2
kq: F ( x)=
b) f ( x ) 3 x x 1
2
c) f ( x) +3
x
d ) f ( x) 2sin x
cos x
e) f ( x )
3
kq: F ( x) 2ln x 3 x C
kq: F ( x) 2cos x C
1
kq: F ( x) sin x C
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. f(x) = x2 – 3x +
b f(x) =
c. f(x) =
d. f(x) =
e. f(x) =
f. f(x) =
g. f(x) =
1
x
2 x4 3
x2
x 1
x2
( x 2 1) 2
x2
x 3 x 4 x
1
2
x 3x
( x 1) 2
x
x 1
h. f(x) = 3
x
3
2
ĐS. F(x) = x 3x ln x C
3
2
ĐS. F(x) =
2x3 3
C
3
x
1
x
ĐS. F(x) = ln x C
3
ĐS. F(x) = x 2 x 1 C
3
x
4
3
5
ĐS. F(x) = 2 x 2 3x 3 4 x 4
C
3
4
5
ĐS. F(x) = 2 x 33 x2 C
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
5
2
ĐS. F(x) = 3
3
x x C
i ) f ( x ) x5 3 x 2 4
j ) f ( x)
x3
2
5x2 2 x 1
2
k ) f ( x) x6 3x5 3x 2 2
3
1
l ) f ( x) (2 x 3x 2 )( x 2 ) 3x 3
x
kq : F ( x)
x6
x3 4 x C
6
1
5
kq : F ( x) x 4 x3 x 2 x C
8
3
2
1
kq : F ( x) x7 x6 x3 2 x C
21
2
1 4
kq : F ( x) x x C
2
* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b)2 a 2 2ab b 2
Bài 3 : Tìm
a) �
( x 2)( x 4)dx
b) �
( x 2 3)( x 1)dx
c) �
3( x 3)2 dx
x2 5 x
g )�
dx
x
2 x3 5 x 2 1
h) �
dx
x
2 x3 5 x 2 1
g )�
dx
x2
( x 2) 2
h) �
dx
x
( x 4) 2
i)�
dx
x2
Bài 4 Tìm
3
1
4
a) �
( x x 2 5)dx
b) �
( x 3 2 x 2 4 x 1)dx
c) � x ( x 2 x)( x 1)dx
1
d )�
(2 x 1)(1 )dx
x
1
kq: F ( x) x3 x 2 8x C
3
1
1
3
kq: F ( x) x3 x 2 x2 3x C
3
2
2
kq: F ( x) x3 9 x 2 27 x C
kq: F ( x)
1 2
x 5x C
2
kq: F ( x)
2 3 5 2
x x ln x C
3
2
1
kq: F ( x) x 2 5 x C
x
1
2
kq: F ( x) x 2 4 x 4ln x C
kq: F ( x) x 8ln x
16
C
x
7
1
4 4
kq: F ( x) x 2 x 2 5 x C
7
1
2
kq: F ( x)
2 x2 x C
2x2 x
x3
1
kq: F ( x)
2x C
3
x
kq: F ( x) x 2 ln x x C
Bài 5: Tìm
a) �
(2.3 x 4 x )dx
b) �
(2.a x 5 x )dx
1
c) �
(3e x 5sin x )dx
x
x
e
d )�
e x (2
)dx
cos2 x
e) �
2 x.3 x dx
f )�
2 x.32 x.5 x dx
g )�
e x (2 e x )
ex
h) �x dx
2
Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
2.3x 4 x
kq: F ( x)
C
ln 3 ln 4
2.a x 5 x
kq: F ( x)
C
ln a ln 5
kq: F ( x) 3e x 5cos x ln x C
kq: F ( x) 2.e x tan x C
6x
C
ln 3
90 x
kq: F ( x)
C
ln 90
kq: F ( x)
kq: 2e x x C
ex
kq:
C
(1 ln 2)2 x
x
1
dx
kq: F ( x ) ( x sin x) C
2
2
x
b) �
(2 x sin 2 )dx
2
x
1
c) �
cos2 dx
kq: F ( x) ( x sin x) C
2
2
x
d )�
(2 x 2 cos 2 ) dx
2
1 cos2 x
1 cos2 x
HD : sin 2 x
; cos 2 x
2
2
e) (1 tan 2 x )dx
kq: F ( x) tan x C
a)�
sin 2
�
d )�
(1 cot 2 x) dx
e) tan 2 xdx
kq: F ( x) cot x C
�
f )�
cot 2 xdx
kq: F ( x) tan x x C
kq: F ( x ) cot x x C
HD :1 tan 2 x
1
1
;1 cot 2 x
2
cos x
sin 2 x
g )�
(tan x cot x) 2 dx
h) �
(2 tan x cot x)2 dx
HD : (a b) 2 a 2 2ab b 2
1
h) �
dx
sin 2 x.cos2 x
cos2 x
h) �
dx
sin 2 x.cos2 x
kq: F ( x) tan x cot x 4 x C
kq: F ( x ) 4 tan x cot x x C
kq: F ( x) tan x cot x C
kq: F ( x) tan x cot x C
HD : sin 2 x cos2 x 1; cos2 x cos 2 x sin 2 x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng
a ) f '( x) 2 x 1; f (1) 5
b) f '( x ) 2 x 2 ; f (2)
c ) f '( x) x
7
3
1
2; f (1) 2
x2
d ) f '( x) 4 x x; f (4) 0
e) f '( x) 4 x3 3x 2 2; f (1) 3
f ) f '( x) 3 x x3 1; f (1) 2
g ) f '( x) ( x 1)( x 1) 1; f (0) 1
h) f '( x ) 3( x 2)2 ; f (0) 8
Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
kq: f ( x) x 2 x 3
x3
kq: f ( x ) 2 x
1
3
x2 1
3
kq: f ( x )
2x
2 x
2
8 x x x 2 40
kq: f ( x )
3
2
3
kq: f ( x ) x 4 x3 2 x 3
4
3 3 x4
kq: f ( x ) x
x
4
4
x3
kq: f ( x )
1
3
kq: f ( x ) ( x 2)3
x2 1 5
kq: f ( x)
2 x 2
b
a ) f '( x) ax
; f ( 1) 2, f (1) 4
x2
15 x
; f (1) 4, f (4) 9
14
b) f '( x)
kq: f ( x)
5 x3 23
7
7
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u ( x )].u ' ( x ) dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx
I = f [u ( x)].u ' ( x) dx f (t ) dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
(5 x
5.
(2 x
9.
13.
17.
2
1) 7 xdx
3x 2
5 2x
sin
2.
1) dx
4
3
dx
6.
10.
( x
18.
3
3.
5) 4 x 2 dx
dx
x (1
x)
2
sin x
dx
5
x
14.
x cos xdx
dx
sin x
e x dx
dx
2 x) 5
(3
cos
7.
11.
ln 3 x
x dx
15.
cot gxdx
dx
cos x
19.
e tgx
21. x
22. 2 dx
e 3
cos x
dx
25. x 2 1 x 2 .dx
26.
1 x2
29.
cos
3
x sin 2 xdx
30.
x
12.
16.
1
31.
e
x
dx
1
x
x
dx
5
x 2 1
dx
tgxdx
2
x
cos
28.
2
2
2x 1
x.e
24.
1 x 2 .dx
x 2 dx
27.
x
x
e
20.
tgxdx
23.
x 1.dx
8.
x 2 1.xdx
dx
4.
5 2 x dx
x
dx
4 x2
2
32. x 3
x
dx
dx
x 1
x 2 1.dx
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) v( x).u ' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3.
5. x sin 2 xdx
6. x cos 2 xdx
9.
x ln xdx
13.
cos
x
2
x
dx
10.
14.
ln
xtg
2
2
xdx
xdx
15.
( x
2
5) sin xdx
7.
x.e
11.
sin
x
dx
2
4 ( x 2 x 3) cos xdx
8. ln xdx
ln xdx
x
x dx
12. e
16.
ln( x
2
x
dx
1) dx
x
17.
e
21.
x lg xdx
18.
. cos xdx
22.
x
3
2
e x dx
2 x ln(1 x)dx
19.
23.
x ln(1 x
2
) dx
ln(1 x)
dx
x2
20.
24.
2
x
2
x
xdx
cos 2 xdx
- Xem thêm -