Tài liệu Bài tập ma trận định thức hệ phương trình

CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực hiện các phép tính sau ⎛1 ⎜ 6 1. ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝2 3⎞ ⎟ 5⎟ ⎛ 2 11 5⎞ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎝ −7 3 2⎠ ⎟ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ 2 −1 1⎞ ⎜ ⎟ 2. ⎜ ⎟ 2 (1 2) ⎝ 1 2 1⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛1 ⎛1 1 0 2⎞⎜ ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ 2 4. ⎜ ⎟⎜0 1 1 0⎟⎜ ⎝3 0 4 ⎠⎜1 0 2 1⎟ 3 ⎝ ⎠⎜ 4 ⎝ ⎛ cos ϕ 5. ⎜ ⎝ sin ϕ − sin ϕ ⎞ ⎟ cos ϕ ⎠ n 4⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ ⎟ 3⎠ ( n ∈ `, 0 ≤ ϕ < 2π ) ⎛1 a⎞n ⎟⎟ , a ∈ R và n ∈ ` 3. ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎛ 2 1⎞ 2 Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ và f ( x ) = 3x + 2 x − 4 . Tính f ( A) . ⎝ 0 3⎠ Bài 3: 6 ⎞ ⎛ 4 x + y⎞ ⎛x y⎞ ⎛ x 1. Tìm các số thực x, y , z , w sao cho 3 ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟. 3 ⎠ ⎝ z w ⎠ ⎝ −1 2 w ⎠ ⎝ z + w ⎛ 2 1⎞ 2. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠ ⎛ 2 2⎞ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 2 −1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t t t Bài 4: Cho các ma trận A = ⎜ 1 2 2 ⎟ , B = ⎜ −1 2 ⎟ , C = ⎜ ⎟ . Tính C B A . 2 3 1 ⎝ ⎠ ⎜ 3 2⎟ ⎜ 2 2 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5: Tìm ma trận X trong các trường hợp sau ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 2⎞ 1. ⎜ ⎟ . X. ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4 5⎠ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 2. ⎜ ⎟ . X − X .⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 −1⎠ ⎛ 1 2 2⎞ ⎟ ⎜ 3. ⎜ 2 5 4⎟ X ⎟ ⎜ ⎝ 2 4 5⎠ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 7 6⎟ = 3 ⎜ 2 2⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1⎠ ⎝ −2 1⎠ §2. ĐỊNH THỨC Bài 6: Tính các định thức sau đây 1. 7 6 5 1 2 −1 3 −2 2 2. 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 2 3 4 1 3 4 1 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4. 2 3 4 1 5. a+x x x b+x 3 4 1 4 x x x x2 + 1 6. x c+x 3. 1 2 3 2 2 3 3 3 3 .... ..... ..... n −1 n −1 n −1 n n n 4 1 2 3 Bài 7: Tính các định thức cấp n sau đây 1 2 3 ....... n − 1 n 1 0 3 ....... n − 1 n 1. 1 2 0 ........ n − 1 n ...................................... 1 2 3 ............ 0 n 1 2 3 ........ n − 1 0 3. 1 1 1 1 2 2 1 2 3 ....... ....... ....... 1 2 3 1 2 3 ... ... ... ....... .... .... 1 2 3 ....... n − 1 n − 1 1 2 3 ....... n − 1 n Bài 8:Giải các phương trình sau đây 1 x x 2 x3 1 2 1. 1 3 4 9 8 =0 27 1 4 16 64 §3. HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau xy xz ....... ....... ....... ....... ....... ....... x a a " a a x a " a 4. a a x " a " " " " " a a a " x x x +1 x + 2 2. x + 3 x + 4 x + 5 = 0 x+6 x+7 x+8 xy xz y +1 yz 2 yz z +1 2 n −1 n −1 n −1 ....... n −1 n n n n ... n n ⎛ 1 3 5 −1⎞ ⎛ 2 −1 ⎜ ⎟ 2 −1 −3 4 ⎟ ⎜ ⎜ 1. 2. ⎜ 4 −2 ⎜ 5 1 −1 7 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎝ 7 7 9 1 ⎝ ⎠ ⎛ 0 2 −4 ⎞ ⎛ 2 −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 −4 5 ⎟ 1 −2 ⎟ 3. ⎜ 3 1 3. ⎜ 7 ⎜0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 5 −10 ⎟ ⎝ 1 −7 ⎜2 3 ⎟ 0 ⎠ ⎝ Bài 10: Tùy theo tham số m , hãy tìm hạng của các ma trận sau ⎛ 1 2 3⎞ ⎛3 1 ⎜ ⎟ ⎜ 4 5 6⎟ 2 2 ⎜ 1. 2. ⎜ ⎜ 7 8 9⎟ ⎜m 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝10 m 12⎠ ⎝1 7 3 −2 4 ⎞ ⎟ 5 1 7⎟ 1 8 2 ⎟⎠ 3 1 1 −4 −1 3 4 −4 1 4 10 17 0⎞ ⎟ 2⎟ 1⎟ ⎟ 5⎠ 4⎞ ⎟ 3⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠ ⎛m 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ 1 m 1 m ⎟ . Tìm m để r ( A) < 3 . ⎜ 1 1 1 m2 ⎟ ⎝ ⎠ §4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp biến đổi sơ cấp ⎛1 3 5⎞ ⎛1 3 2⎞ ⎛1 0 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. ⎜ 5 0 1 ⎟ 2. ⎜ 2 1 3 ⎟ 1. ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜3 1 0⎟ ⎜3 2 1⎟ ⎜ 3 2 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 0 1⎞ ⎛ 2 1 0 2⎞ ⎛1 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 2 0⎟ 2 2 1 0⎟ 0 1 1 0⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 4. 5. 6. ⎜ 0 1 1 2⎟ ⎜0 2 2 1⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 0 1 1⎠ ⎝ 1 0 2 2⎠ ⎝1 0 0 1⎠ §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 ⎪ 2. 1. ⎨ x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 ⎪x + 7x − 5x − x = 0 2 3 4 ⎩ 1 ⎧ x1 + 3x 2 + 5 x3 + x 4 = 0 ⎪ ⎨ 4 x1 − 7 x 2 − 3x3 − x 4 = 0 ⎪3x + 2 x + 7 x + 8 x = 0 2 3 4 ⎩ 1 Bài 14: Giải và biện luận các hệ phương trình sau +z = 1 ⎧mx + y ⎪ 1. ⎨ x + my + z = m ⎪ x + y + mz = m 2 ⎩ ⎧x 1 ⎪ 3. ⎨x 1 ⎪x ⎩ 1 −2 x 2 +x 2 +x 3 −x 3 +2 x 4 +x 4 +7x 2 −5x 3 −x 4 + y + (1 − m )z = m + 2 ⎧ x ⎪ +2 z = 0 2. ⎨(1 + m )x − y ⎪ 2x − my +3z = m+2 ⎩ = = 1 m 4. = 4m +3x 2 +5x 2 +5x 2 +3x 2 +2 x 3 +2 x 3 +6 x 3 +4 x 3 +4 x 4 +9 x 4 + mx 4 +3x 4 +2 x 2 −x3 = −3x 2 +7x 3 = −1 +x 2 +3x 3 = 6 +x 2 +2 x 3 = m +2 x 2 +3x 3 + mx 4 = ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ 1 6. ⎨ ⎪− x 1 ⎪⎩ 5x 1 m+2 +x 2 +x 3 + mx 4 = m +1 +3x 2 +4 x 3 +2 mx 4 = 2m + 3 +4 x 2 +2 x 3 +3mx 4 = 3m + 1 +x 2 +2 x 3 +2 mx 4 = m2 + m + 2 ⎧ 2x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪ 5. ⎨ x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 ⎪x + 7x − 4 x + 11x = m 2 3 4 ⎩ 1 ⎧ x1 ⎪x ⎪⎪ 1 7. ⎨2 x 1 ⎪3 x ⎪ 1 ⎪⎩ x 1 ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ 1 ⎨ ⎪ x1 ⎪⎩ x 1 = = = = 1 1 3 2 2 m +y +z = ⎧mx ⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ 2 x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − 1 . Tìm tham số m ⎪ x +y + mz = 1 ⎩ để hệ phương trình trên có nghiệm. ⎧ax −3y + z = −2 ⎪ Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = 3 (I), trong đó a, b là tham số. ⎪3x +2 y + z = b ⎩ 1. Xác định a, b để hệ (I) là hệ Cramer. Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b . 2. Tìm a, b để hệ (I) vô nghiệm. 3. Tìm a, b để hệ (I) có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ. ⎧ x 1 − 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0 ⎪ ⎪2 x1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 Bài 17: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình ⎨ . ⎪3x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 ⎪⎩x1 + 4 x 2 − 6 x 3 + 3x 4 = 0