CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ.
Giáo viên: Đoàn Thị Bích Ngọc.
Sinh viên: Nguyễn Văn Nhựt
MSSV: 0250030258
Biên Hòa, ngày 7 tháng 5 năm 2015
CHƯƠNG I: Khái quát các thành phần lý thuyết xác suất và thống kê
toán học.
Bài tập 1:
Hãy xác định xác suất xuất hiện 3 lần sai số âm trong 10 lần đo, nếu như xác
suất xuất hiện sai số âm trong một lần đo là P = 0.5
Bài tập 2:
Cho biến ngẫu nhiên x tuân theo luật phân bố chuẩn với kỳ vọng 25 và
phương sai 10. Xác định xác suất :
P(16.75 ≤ x ≤ 23.82).
Bài tập 3:
Theo kết quả khảo sát máy đo dài vật lý CBB-1 có khoảng cách D và sai số
m như sau:
D(km)
8.7 3.7 5.1
4.9
6.1 5.6
6
2.7
m(cm)
8
4
5
4
3
3
4
3
Xác định hệ số tương quan giữa D và m, lập phương trình hồi quy.
BÀI GIẢI:
Bài 1:
Tóm tắt:
n=10
k=3
p=0.5
=> q= 0.5
Xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo
trong 10 lần đo là:
Pn( k ) Cnk .q n k . p k
10!
120
3!(10! 3!)
15
120 (0.5) 3 (0.5) 7
0.1172
128
Với
P10( 3)
P10(3) C103 . p 3 .q 7
3
C10
Vậy xác suất xuất hiện sai số âm 3 lần đo trong 10 lần đo là 11.72%
Bài 2:
Theo đề ta có: M(X)= 25
D(X)= 10
10
Tính: 1 x1 M ( X ) 16.75 25 8.25
8.25
t1 1
2.61 2 x2 M ( X ) 23.82 25 1.18
1
10
1.18
t2 2
0.37
(X )
10
Tra bảng “Phụ lục 2” F (t1 ) F ( 2.61) 0.005
F (t 2 ) F ( 0.37) 0.345
P( x1 x x2 ) F (t 2 ) F (t1 ) 0.345 0.005 0.34 34 %
Di
8.7
3.7
5.1
4.9
6.1
5.6
6
2.7
Dtb
5.35
Vậy xác suất 1 lần thử để X rơi vào khoảng từ 16.75 đến 23.82 là 34%.
Bài 3:
mi
t= Di - Dtb
t.k
t2
k2
b
k=mi mtb
8
3.35
3.75
12.56
11.22
14.06
3
-1.65
-1.25
2.06
2.72
1.56
4
-0.25
-0.25
0.06
0.06
0.06
4
-0.45
-0.25
0.11
0.20
0.06
5
0.75
0.75
0.56
0.56
0.56
0.76
3
0.25
-1.25
-0.31
0.06
1.56
4
0.65
-0.25
-0.16
0.42
0.06
3
-2.65
-1.25
3.31
7.02
1.56
mtb
4.25
18.20
22.28
19.50
1.78
n
Với
D
t
n
2
1
n 1
m
k
n
2
1
n 1
t.k
1
n. D . m
Và: b= mtb- Dtb Phương trình hồi quy: mi=Di+b
y=0.76Di+ 0.16
1.67
0.16
CHƯƠNG 2: Cơ sở lý thuyết sai số đo đạc
Bài 1:
Một góc β được đo 10 lần cùng một loại máy kinh vĩ. Kết quả thu được ghi
trong bảng bên dưới. Giả thiết sai số trung phương cần đo góc trên là
m = 2”.0 và mặt bằng tin cậy α = 0.01. Hãy đánh giá độ tin cậy của dãy kết
quả đo trên theo các phương pháp:
a. Phương pháp độ lệch cực đại.
b. Phương pháp kiểm tra hiệu chênh.
STT
i
(0 ‘ “ )
1
80
30
45.7
STT
i
(0 ‘ “ )
6
80 30
46.9
2
80
30
48.0
7
80
30
46.7
3
80
30
44.9
8
80
30
44.8
4
80
30
45.3
9
80
30
47.0
5
80
30
47.2
10
80
30
45.9
Bài tập 2:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là:
-1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương một lần đo.
Bài tập 3:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,
2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng
khoảng cách.
Bài tập 4:
Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,
2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm). Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung
bình cộng khoảng cách 100m.
Bài tập 5:
Đo hai góc trong một tam giác với sai số trung phương tương ứng là 4" và 5"
. Góc thứ ba trong tam giác được tính trên cơ sở hai góc vừa đo. Hãy tính sai
số trung phương của góc thứ 3.
Bài tập 6:
Trị trung bình cộng đo từ 14 lần đo góc A là 90030'12' ' , sai số trung phương
đo góc mỗi lần đo là 3". Hãy xác định sai số trung phương và khoảng tin cậy
của trị trung bình cộng với xác suất 95%.
Bài tập 7:
Để xác định diện tích một lô đất hình bình hành ABCD, ta tiến hành đo 2
cạnh SAB , SAD và góc kẹp giữa hai cạnh này với các kết quả như sau:
SAB = 130 m , SAD = 160 m , góc 500 . Sai số trung phương tương đối đo
cạnh
ms
1
, sai số trung phương đo góc
S 10000
m 6" .
Hỏi:
+ Diện tích lô đất.
+ Tính sai số trung phương và sai số trung phương tương đối xác định diện
tích.
Bài tập 8:
Biết điểm A có tọa độ xA = 500.00m; yA = 500.00m, khoảng cách AB là
SAB = 500.00m, sai số trung phương đo cạnh AB là mS 2mm ; phương vị
AB
cạnh AB là AB 300 và sai số trung phương phương vị
m AB 3" . Đo
khoảng cách BC được SBC = 1000.00m và sai số trung phương đo cạnh SBC là
mS 7 mm , góc 1250 và sai số trung phương đo góc m 5" Tính:
BC
+ Tọa độ điểm B và C.
+ Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C
Giả sử điểm A không có sai số.
Bài tập 9:
Trong tam giác ABC người ta đo:
+ Góc A =
với sai số trung phương 20"
+ Góc B=
với sai số trung phương 20"
+ Cạnh BC = 135.45 m với sai số trung phương tương đối 1/2000
a. Tính sai số0 trung
' " phương góc B.
b.Tính sai số trung
tương đối độ dài cạnh AC.
0 ' phương
"
605050302949
BÀI GIẢI
Bài 1:
Phương pháp độ lệch cực đại.
βmax= 80030’48”
; βmin= 80030’44.8”
Độ lệch cực đại trong dãy 10 trị đo:
Rn=βmax - βmin= 80030’48”- 80030’44.8”= 3.2”
Với m 2"
; n=10
1 1 0.01 0.99
Tra bảng D-simow d , n = d0.01,10= 5.16
Xác định Rmax cho phép:
Rmax = .d ,n 2 x 5.16= 10.32”
Ta thấy: Rn = 3.2” < Rmax= 10.32”
Kết quả đo góc có thể chấp nhận được. Sai số thô không tồn tại trong dãy
trị đo.
Phương pháp kiểm tra hiệu chênh.
βmax= 80030’48”
; βmin= 80030’44.8”
Trị trung bình cộng không tính đến cực đại: x1= 80030’46.04”
Trị trung bình cộng không tính đến cực tiểu: x2= 80030’46.4”
Hiệu chênh giữa cực đại và trị trung bình cộng:
1 max x1 80 030'48" 80 030'46.04" 1.96"
Hiệu chênh giữa cực tiểu và trị trung bình cộng:
2 x2 min 80030'44.8" 80030'46.4" 1.6"
Tpmax=
T p min
1
1.96"
0.98
2"
1.6"
2
0.8
2"
Với 1 1 0.01 0.99 và n=10
Tra bảng “ phân bố Student” với số bậc tự do n- 1= 9
t p ( n 1), t p ( 9 ),0.01 3.25
Ta thấy: Tpmax < tp(n-1),
Tpmin < tp(n-1),
Vậy không có cơ sở để nói rằng trong dãy trị đo βmax, βmin có tồn tại sai số thô
=> Không có cơ sở để loại bỏ dãy trị đo.
Bài 2:
Sai số trung phương 1 lần đo:
m
n
m 2.21(mm)
49
4.9 (mm)
10
Vậy sai số trung phương 1 lần đo là:
m 4.9 ( mm) 2.21( mm)
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
3
-2
0
2
-2
1
-3
4
-1
1
9
4
0
4
4
1
9
16
1
49
Bài 3:
Lập mối quan hệ hàm số:
S=
S1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S8 S 9 S10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Tính đạo hàm:
S
S i
1
= 10 với i= 1 10
Công thức:
2
S
S
mS21 ......
m
S1
S10
2
S
2
mS210
Vì các trị đo cùng độ chính xác
Nên
mS
m 4.9 (mm) (Tính
ở bài 2)
m
4 .9
0.7(mm)
n
10
Vậy sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách là
mS 0.7( mm)
Bài 4:
Với mS 0.7(mm) = 7x10-4 (m) (Tính ở bài 3)
S= 100 (m)
Sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m
là:
1 mS 7 10 4
1
1
T
S
100
142857 140000
Vậy sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách
100m là
1
1
T 140000
Bài 5:
Lập quan hệ hàm: 3 1800 1 2
Tính đạo hàm: 3 3 1
1
2
Công thức:
2
2
3
m
2
3 m21 3 m22
1
2
m23 (4" ) 2 (5" ) 2 41"
m3 41" 6.4"
Vậy sai số trung phương của góc thứ 3 là
m3 6.4"
Bài 6
Gọi β là góc được đo
Lập quan hệ hàm số:
1 14
i
14 i 1
1
14 với i= 114
i
2
2
S
S
m2 ......
m2
m2
S1
S14
Tính đạo hàm:
Công thức:
Với
1
14
mi m 3"
Sai số trung phương:
m
m
3"
0.8"
n
14
Lập khoảng tin cậy:
mà p=95% => t= 2
Vậy khoảng tin cậy là: 90 30’12” 2x0.8”
Hay: 90030’10.4” <
Bài 7:
C SAB = 130 m
SAD = 160 m
góc 500
tm
0
D
_
< 90030’13.6”
ms
1
: Sai số trung phương tương đối đo cạnh.
S 10000
m
A
6"
6
( m)
206265
B
H
Diện tích hình bình hành ABCD:
S a h AB DH AB sin AD
S 130 160 sin 50 0 15933.72( m 2 )
Vậy diện tích lô đất là 15933.72 m2
Theo đề bài ta có sai số trung phương tương đối đo cạnh:
ms
1
S 1000
m AB
1
S
130
m AB AB
0.013(m) 13(mm)
S AB 10000
10000 10000
Sai số trung phương cạnh AB: m AB 13(mm)
m AD
1
S
160
m AD AD
0.016(m) 16(mm)
S AD 10000
10000 10000
Sai số trung phương cạnh AD: m AD 16(mm)
Sai số trung phương diện tích:
S AB sin AD
S
AD sin
AB
;
S
AB sin
AD
S
AB AD cos
Công thức:
2
2
2
S
S
S
2
2
2
m
m AB
m AD
m
AB
AD
2
S
mS2 160 sin 500
13 10
2
130 160 cos 500
3 2
2
130 sin 50 16 10
6
206265
0 2
2
3 2
mS2 5.2289
mS 2.29(m 2 )
Vậy sai số trung phương xác địnhdiện tíchlà : mS 2.28(m 2 )
Sai số trung phương tương đối xác định diện tích:
1 mS
2.28
1
T
S 15933.72 6988.47
Vậy sai số trung phương tương đối xác định diện tích là:
1
1
T
6988.47
Bài 8:
x
S
500 m;
A
AB
AB
BC
3 0 0 ;
xB x A S AB cos AB
xB 500 500 cos 300 933.013(m)
y B y A S AB sin AB
y B 500 500 sin 300 750(m)
Vậy tọa độ điểm B(933.013m; 750m)
Theo cách tính góc phương vị ta có:
BC AB 1800 3600
BC 300 1250 1800 3600 3350
Suy ra:
xC xB S BC cos BC
xC 933.013 1000 cos 3350 1839.321( m)
yC y B S BC sin BC
yC 750 1000 sin 3350 327.38( m)
Vậy tọa độ điểm C (1839.321m; 327.38m)
Tính sai số trung phương vị trí điểm:
mB mx2 m 2y ; mC mx2 m y2 .
C
C
Ta có:
xB x A S AB cos AB
xB
cos AB
S AB
x
; B sin AB S AB ;
AB
(Giả sử A không có sai số)
Công thức:
xB
mx2B
S AB
2
xB
mS2AB
AB
2
m2 AB
m
Tính tọa độ điểm B và C
Ta có:
m
Giải:
B
A
5 0
mS
10 00m;
12 50 ;
B
y
50 0m;
AB
AB
m BC
5
"
m
2
xB
0 2
2
0
(cos 30 ) 2 sin 30 500 10
3 2
3
206265
mx2B 16.22(mm)
mxB 4.03(mm)
m
2
yB
y B
S AB
2
xB
mS2AB
AB
2
m2 AB
2
3
mx2B (sin 300 ) 2 2 2 cos 300 500 10 3
206265
mx2B 40.66(mm)
mxB 6.38(mm)
Vậy sai số trung phương vị trí điểm B:
mB mx2B m 2yB 16.22 40.66 7.54(mm)
Điểm C
Ta có: BC AB 1800 3600
BC
1
BC 1 ;
AB
2
BC
m
BC
AB
2
m2 AB BC
2
m2
2
2
2
m
BC
2
m
BC
m BC
Ta có:
xC xB S BC cos
Công thức:
m
2
xC
m
0 2
5.83"
xC
sin BC S BC
BC
x
C
S BC
2
xC
mS2BC
BC
2
0
(cos 335 ) 7 sin 335 1000 10
2
m2 BC
3 2
5.83
206265
2
mx2C 182.93( mm)
mxC 13.53( mm)
Ta có:
yC y B S BC sin
BC
y
yC
cos BC S BC
BC
S C sin BC ;
BC
Công thức:
m
2
yC
y
C
S BC
2
yC
mS2BC
BC
2
m2 BC
2
5.83
m 2yC (sin 3350 ) 2 7 2 cos 3350 1000 103
206265
m 2yC 664.95(mm)
m yC 25.79( mm)
Vậy sai số trung phương vị trí điểm C:
mC mx2C m 2yC 182.93 664.95 29.12( mm)
Bài 9:
Gọi 3 góc A,B,C lần lượt là 3 góc
Ta có:
1 2 3 1800
3 1800 1 2
3 3
1
1 2
2
2
m23 3 m21 3 m22
1
2
34"
BC
xC
cos BC ;
S BC
2
xC
(3" ) 2
1 , 2 , 3
2
5" 2
m23 20" 20" 800
2
2
m 3 m 800 28.28"
C
Vậy sai số trung phương góc C là: mC 28.28"
Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC.
Ta có:
S BC 135.45 103
1 mS BC
mS BC
67.73(mm)
T
S BC
T
2000
sin 1 sin 2
S BC
S AC
S
sin
S AC S BC cos 2
2
sin 1
S AC sin 2 ;
BC
1
S AC S BC sin 2 cos 2
1
sin 1 2
Công thức:
2
S AC
m
S
AC
S BC
2
S
mS2BC AC
2
2
S
m22 AC
1
2
m21
2
mS
AC
sin 60 0 50'29"
67.73 2
sin 50 0 30'49"
135.45
10 3 cos 60 0 50'29"
sin 50 0 30'49"
2
+
20
206265
2
20
206265
2
+
+
135.45
10 3 sin 60 0 50'29"
sin 50 0 30'49"
2
mS2AC 6091.09 mm
mS AC 78.04 mm
Vậy sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC:
1 mS AC
78.04
1
3
T
S AC 153.26 10
1964
.
Chương 3: Xử lí số liệu đo lặp đo kép
Bài 1: Cho kết quả đo chênh cao giữa các điểm theo phương pháp thay đổi
chiều cao máy như trong bảng. Hãy tính sai số của một lần đo chênh cao và
sai số trung phương của trị trung bình cộng của hai lần đo.
Trạm đo
Chênh
cao
h’
h”
1
1.357
1.359
2
0.980
0.974
3
1.220
1.218
4
1.458
1.463
5
0.638
0.639
6
0.743
0.74
7
0.596
0.598
8
1.157
1.154
9
0.934
0.937
Bài 2: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo
chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương
ứng như trong bảng. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung
phương tương đối của nó.
Chênh cao (m)
Trạm đo
1
1.352
4
2
1.354
6
3
1.356
8
4
1.358
9
5
1.359
7
6
1.362
8
7
1.35
10
8
1.361
6
9
1.357
5
Bài 3: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo
chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương
ứng như trong bảng.
a. Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung phương tương đối của
nó.
b. Xác định trị đo nào vượt quá khoảng tin cậy cho chênh cao đo trên ứng với xác suất
97%.
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chênh cao (m) Trạm đo
1.346
1.354
1.356
1.358
1.349
1.362
1.35
1.361
1.363
Bài giải:
4
6
8
9
7
8
10
6
5
Bài 1:
Trạm đo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Chênh
h’
1.357
0.980
1.220
1.458
0.638
0.743
0.596
1.157
0.934
cao
h”
1.359
0.974
1.218
1.463
0.639
0.74
0.598
1.154
0.937
di(mm)
-2
6
2
-5
-1
3
-2
3
-3
|[d]|= 1
[|d|]= 27
didi
4
36
4
25
1
9
4
9
9
[dd]= 101
Ta thấy:
Hay:
d 10.2527 6.75 d
d 0.25 d
. Vậy không tồn tại sai số thô còn dư.
=> Sai số trung phương của một lần đo chênh cao là:
mL
dd
2n
101
2.37( mm)
18
=>Sai số trung phương trị trung bình cộng của 2 lần đo là:
mx
dd
4n
101
1.67( mm)
36
Bài 2:
Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của
chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.
m1TĐ 10
Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
mi m1TĐ m STĐ
Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
2
2
m 10
Pi 2 1TĐ
mi
m1TĐ STĐ
10
STĐ
Chọn h0= 1.350(m)
Tính: δi= hi - h0
Tính chênh cao gần đúng nhất:
hAB h0
2
Pi i 1.350 88.246 10 3 1.356(m)
Pi
13.873
Tính hiệu chỉnh: vi= hAB - hi
STT
hi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.352
1.354
1.356
1.358
1.359
1.362
1.35
1.361
1.357
Trạm
Pi=10/STĐ δI(mm) PIδi(mm) vi(mm)
đo
4
2.5
2
5
4
6
1.667
4
6.667
2
8
1.250
6
7.5
0
9
1.111
8
8.889
-2
7
1.429
9
12.857
-3
8
1.250
12
15
-6
10
1
0
0
6
6
1.667
11
18.333
-5
5
2
7
14
-1
13.873
88.246
Pvv
n 1
10
3.333
0
-2.222
-4.286
-7.5
6
-8.333
-2
40
6.667
0
4.444
12.857
45
36
41.667
2
188.635
188.635
4.856(mm)
8
Tính sai số trung phương của chênh cao gần đúng nhất:
mhAB
Pvv
Tính sai số trung phương trọng số đơn vị :
Pv
4.856
1.304( mm)
P
13.873
Tính sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:
1 mhAB 1.304 10 3
1
1
T
hAB
1.356
1039.877 1000
Vậy chênh cao gần đúng nhất: hAB= 1.356(m)
Sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:
1
1
T 1000
Bài 3:
Chọn sai số trung phương trọng số đơn vị là sai số trung phương của
chênh cao tuyến từ 1 lần đo có 10 trạm đo.
m1TĐ 10
Sai số trung phương của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
mi m1TĐ m STĐ
Trọng số của chênh cao tuyến từ số trạm đo bất kỳ được tính:
2
2
m 10
Pi 2 1TĐ
mi
m1TĐ STĐ
Chọn h0= 1.346(m)
Tính: δi= hi - h0
2
10
STĐ
- Xem thêm -