^
<
\ î n j « c
^
_
YYl a C
)
,
a -
r n ơc
'
Bài tập và lời giái cúa các
Trường Đại học nối tiếng Hoa Kỳ
Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions
BÀI TAP
LỜI GĨẢI
VÀ
VẬT LÝ CHÁT RẨN,
THUYẾT TƯƠNG ĐOI VÀ
CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN
PROBLEMS A N D
SOLUTIONS o
SOLID STATE PHYSICS,
RELATIVITY AND
M ISCELLANEOUS TOPICS
Biên soạn:
Trường Đại học Khoa học
và Công nghệ Trung Hoa
Chủ biên:
Yung-Kuo Lim
m
NHÀ XU ẤT BẢN GIÁO DỤC
BÀI TẬP & LỜI GIẢI
VẬT LÝ CHẤT RẮN
THUỸỂT T ự ơ N G ĐỐI VÀ
CÁC VẤN ĐÈ LIÊN QUAN
N gười dịch:
NGUYÊN PHÚC DUƠNG
DẠI HỌC THÁI NGUYÊN
t ịịu n g t â m h ọ c l ỉẽ ư
NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC
Problems and Solutions on
Solid state physics, relativity and miscellaneous topics
C om piled by
The Physics C oaching Class
U niversity o f Science and Technology o f China
Edited by
Lim Y ung-kuo
N ational U niversity o f Singapore
© W orld Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
N ew Jersey.L ondon.Singapore.H ong K.ong
First published 1995
Reprinted 2 0 0 1 ,2 0 0 5
A ll rights reserved. This book, or p a rts ¡hereof, m ay not be re p ro d u ced in any
fo rm or by any means, electronic or m echanical, including photocopying,
recording or any inform ation storage a n d retrieval system now know n or to be
invented, w ithout w ritten p erm issio n fr o m the Publisher. Vietnamese translation
a rranged with W orld Scientific P ublishing Co. Pte Ltd., Singapore.
C uốn sách đư ợc x u ất bàn theo hợp đ ồ n g ch u y ển n h ư ợ n g b ản q uyền giữa
N hà xu ất b ản G iáo dục v à N h à xuất bản W orld S cie n tific . M ọi hình thức sao
chép m ột phần hay toàn bộ cuốn sách dưới dạng in ấn hoặc bán điện tư mà
không có sự cho phép bằng văn bản của Công ty Cô phần Sách dịch và Từ điên Nhủ xuất ban G iáo dục dều là vi phạm pháp luật.
Ban quyền tiếng Việt © C ôn g ty c ố phần Sách dịch và T ừ diên Giáo dục
2 3 4 -2 0 0 8 /C X B /109-492/G D
M ã số: 8Z 078K 8
LỜ I NHÀ X U Ấ T BẢN
Bộ sách B ài tập vù lời giái vật lý gom bay cuốn:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Quang học
Vật lý chất rắn, Thuvết tương đói & Các vấn để liên quan
Diện từ học
Cơ học
Vật lý Nguyên tu, Hạt nhân và Các hạt cơ bán
C ơ học Lượng tử
Nhiệt động lực học & Vật lý ¡hống kê
Đây là tuyển tập gồm 2550 bài tập được lựa chọn k ĩ lưỡng từ 3100 đế
thi vào đại học và thi tuyển nghiên cím sinh chuyên ngành vật lý của 7 tncàmg
đại học nôi liêng ờ M ỹ (Dại học California ớ Berkeley, Đ ại học Columbia, Đại
học Chicago, Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Đại học Bang New York ơ
Buffalo, Đại học Princeton, Đại học Wiscosin). Trong số này còn có các đê thi
trong chương trình CUSPEA và các để thi do nhà vật lý đoạt giái Nobel người
Mỹ gôc Trung Quôc c. c Ting (CCT) soạn đê tuyên chọn sinh viên Trung
Quốc đi du học ơ Hoa Kỳ. Những để thi này được xuất bản kèm theo lời giải
của hơn 70 nhà vật lý có uy tín của Trung Quòc và 20 nhà vật lý nôi tiếng kiêm
tra, hiệu đính. Tát cà các cuôn sách trên đã được tái bủn, riêng cuốn Điện từ
học đã được tái bán 6 lán.
Điểm đáng lưu ỷ về bộ sách này là nó bao quát được mọi vấn đề cùa
vật lý học, từ cô điẽn đên hiện đại. Bên cạnh những bài lập đơn gián nhằm
khắc sâu những khái niệm cơ bàn cùa Vật lý học, không cần những công cụ
toán học phức tạp cũng giải được, bộ sách còn có những bài tập khó và hay
đòi hỏi phái có kiến thức và tư duy vật lý sâu sắc với các phương pháp và kĩ
thuật toán học phức tạp hơn mới giới được. Có thê nói đây là mộI tài liệu bố
sung vô giá cho sách giáo khoa và giáo trình đại học ngành vật lý, phục vụ môt
phạm vi đối lượng rất rộng, từ các giáo viên vật lý pho thông, giàng viên các
trường đại học cho đên học sinh các lớp chuyên lý, sinh viên khoa vật lý và
sinh viên các lớp tài năng cùa các trường đại học khoa học tự nhiên đăc biêt
là cho những ai muôn du học ờ Mỹ.
N hà xuất bùn Giáo dục trân trọng giới thiệu bộ sách lới độc giả
Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2008
NHÀ XUÁT BẢN GIÁO DỤC
LỜ I NÓ I Đ ÂU
Làm bài tập là một việc tất yếu và quan trọng
trong quá trình học Vật lý nham cung co lý
thuyết đã học và trau dồi k ĩ năng thực hành.
Trong cuốn Vật lý chất rán, Thuyết lương đối
& Các vấn để liên quan có 165 bài tập và lời
giải: vật lý chạt rắn (81 bài), thuyết tương đối
(28 bài) và các van đề liên quan (56 bài). Hâu
hết các bài chọn đưa vào cuôn sách này đêu
phù hợp với chương trình vật lý bậc đại học và
sau đại học cùa chuyên ngành vật lý chất ran
và lý thuyết lưcmg đối. Các bài lập ớ phần ba
(các vân đê liên quan) nhăm đê kiêm tra trình
độ cùa sinh viên về các nguyên lý cơ ban, khá
năng đánh giá các sai sô thực nghiệm cũng
như các k ĩ năng toán học đông thời giúp họ
làm quen với các đại lượng và thang đo trong
vật lý cũng như các kiên thức vê lịch sù môn
học này. Một so bài tập Hèn quan đến sự phát
triên gân đây nhất cua vật lý học, sự lĩnh hội
chắc chắn các kiến thức để kiểm tra mức độ
học của sinh viên. Ngoài ra cuốn sách có chọn
một số bài lập liên quan đến các nghiên cứu
đang được tiến hành tại một sổ trường, những
bài này không được giải mà chi đưa ra để học
viên tham khào.
V
MỤC LỤC
Lời Nhà xuất bản
Lời nói đầu
Mục lục
Phan I: Vật lý chat ran
1.1. Các cấu trúc tinh thế và các tính chất (1001-1027)
1.2. Thuyết điện tứ, các vùng năng lượng
và các chất bán dẫn ( 1028-1051 )
1.3. Các tính chất điện từ, các tính chất quang
iii
V
vii
1
3
45
và tinh siêu dẫn (1052-1076)
1.4. Các chu đề khác (1077-1081)
102
149
Phần II: Thuyết tương đối
2.1. Thuyết tương đối hẹp (2001-2007)
2 .1. Thuyết tương đối rộng (2008-2023)
159
161
] 77
2.3. Vũ trụ tương đối tính (2024-2028)
218
Phần III: Các vấn đề liên quan
3.1. Lịch sứ Vật lý và các câu hỏi đại cương (3001-3025)
231
233
3.2. Các phép đo, các phép gần đúng và sai số (3026-3048)
3.3. Các kỹ thuật toán học (3049-3056)
273
316
vii
PHẦN I
VẬT LÝ CHẤT
rắn
3
Vật lý chất rắn
1.1. CÁC CẨU TRÚC TINH THỂ VÀ CÁC TÍNH CHAT
(1001 1027)
1001
Hình 1.1 mô tả m ột m ạng tinh th ể giả thuyết hai chiều cấu th àn h từ các
nguyên tử sắp xếp trên m ột lưới hình vuông.
(a) Hãy chỉ ra m ột ví dụ về ô đơn vị cơ sở.
(b) Định nghĩa “m ạng đảo” và giải thích mối liên hệ của nó vỏi p h ản xạ
Bragg.
(c) Chỉ ra m ạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất, vùng Brillouin này liên hệ
vối phản xạ Bragg như thế nào?
(d) Phát biểu và giải thích định lý Bloch nói rằng m ột electron chuyển
động trong trường thế của m ạng tinh th ể này có các hàm sóng đối xứng tịnh
tiến. Các điều kiện biên nào cần dược dùng với định lý này?
cSUNY, B uffalo)
Hình 1.1
Lời giải:
(a)
Một ô đơn vị cơ sỏ là m ột ô đơn vị chứa các n ú t m ạng chỉ tạo ỏ đỉnh
góc của nó như chỉ ra trên hình 1.2. Các vectơ cơ sỏ của ô dơn vị này là
ai = a (i - j) ,
a 2 = a(i + j) ,
vối a là cạnh của hình vuông.
Bài tập & lời giải Vật lý chác răn ...
4
(b) Nấu a, (i = 1,2) là các vectơ cơ sỏ của m ạng th u ậ n thì các vecto
b j (j = 1 , 2 ) thoả mãn hệ thức
í 27T,
a, ' b 7 — 27ro,, — \
J
y
\o,
i =j ,
J
là các vectơ cơ sỏ của m ạng đảo. Trong không gian đảo điều kiện phản xạ
Bragg là hiệu vectơ sóng phản xạ k và vectơ sóng tới ko là m ột bội số nguyên
Tì
củ a v ectơ m ạ n g đ ả o k*
k —ko = nk* .
(c) Từ các vectơ cơ sỏ của m ạng thuận
a i = a (i - j) ,
(1.1)
a2 = a (i+ j)
( 1 .2 )
ta nhận dược các vectơ cơ sỏ của m ạng đảo là
bi = - ( i - j ) ,
a
(1.3)
b2 = - ( i + j ) .
a
(1.4)
M ạng đảo và vùng Brillouin th ứ n h ấ t được m ô tả trên hình 1.3. Phản xạ Bragg
xảy ra tại các biên vùng Brillouin.
(d) Sóng biểu diễn electron chuyển động trong m ột trường th ế tu ầ n hoàn
V (r + R ) = V (r) của m ạng tin h th ể với R là vectơ m ạng, có d ạn g hàm Bloch
t ’k (r) = e*k'r u k (r) ,
ỏ đây hàm Uk(r) có cùng đối xứng tịn h tiến như m ạng tinh th ể
Uk(r) = u k (r + R ) .
5
Vật lý chất rắn
H àm ỉpkịr) là m ột sóng phẳng bị biến điệu bởi trường thế tu ần hoàn. Đây là
nội dung của định lý Bloch. Phần hàm e mũ của sóng Bloch là m ột sóng phang
mô tả dặc tính chung của các êlectron trong m ột m ạng tinh thê trong khi dó
hàm tuần hoàn mô tả sự chuyên dộng cục bộ của các êlectron này q uanh các
h ạt nhân. Do vậy, các sóng Bloch dặc trưng cho chuyển động của các diện tử
trong m ột tinh thể.
Điều kiện biên tu ần hoàn Born-von Kármán cần phải được sử dụng cùng
với định lý Bloch.
1002
Một chùm êlectron vối động năng 1 keV bị nhiễu xạ khi nó đi qua m ột tấm
kim loại mỏng đa tinh thể. Kim loại này có cấu trúc tinh th ể lập phương vỏi
khoảng cách giữa các ô m ạng là 1 Ă. Cho trước m , q, h, c,
(a) Tính bước sóng của các êlectron,
(b) Tính góc Bragg dối với cực dại nhiễu xạ bậc 1.
(W isconsin)
Lời giải:
(a) Bước sóng của êlectron là
p
vói p dược tính từ
Bài cập & lời giải Vật lý chát răn ...
6
V là hiệu diện thế gia tốc của các électron. Do đó
h
12,25 _
12,25 = 0,39 Ả .
1003
Khi ngồi trưỏc m ột chiếc tivi m àu với điện thế đèn hình là 25
chắn sẽ bị chiếu xạ bỏi các tia X phát ra.
kv bạn
chắc
(a) Q uá trình nào đóng vai trò chủ yếu gây ra luồng tia X dó?
(b) Giả thiết phân bố chùm tia X là liên tục, hãy tính bước sóng tia X
ngắn n hất (năng lượng dại), (h = 6 ,6 X 10~34 Js, c = 3 X IQ8 m /s, 1 eV
= 1. 6 X 10 19 J)
(c) Đặt m ột tinh thê m uối quặng (NaCl) ỏ trước m àn hình, hãy tính góc
Bragg đối với cực dại phản xạ bậc m ột tại A = 0, 5 Ẳ. (pNaCl = 2.165 g /cm *)
(yvừconsin)
Lời giải:
(a) Khi m ột điện thế cao d ặt vào dèn hình, các électron phát ra từ âm cực
sẽ được gia tốc bởi điện trườ ng rồi đập vào m àn hình. Neu n ăng lượng của các
électron vượt quá m ột giá trị n h ất định, chúng có thê bứ t các électron ỏ lớp
bên trong của các nguyên tử trên m àn h ìn h và tạo ra các lỗ trống tại các lớp
vỏ électron bên trong đó. Sau đó các électron thuộc các lớp ngoài sẽ chuyên
đến chiếm các lỗ trống ỏ các lớp bên trong, dồng thòi phát ra tia X.
(b) Năng lượng cực đại của các photon tia X phát ra, hu max, đ ú n g bằng
năng lượng e V của các électron tỏi. Như vậy bước sóng tia X ngắn n h ấ t sẽ là
Amin
hc
eV
12000
12000
V
25 X 103
= 0,48 Ả.
7
vật lý chất rắn
(c) Định luật Bragg
2 rfsinớ = n \
cho biết giá trị góc 8 đối vói cực dại phản xạ bậc m ột (n = 1) :
sin 8 = — .
2d
ỏ dây
d
là khoảng cách giữa hai ion cạnh n hau trong tinh thê NaCl.
Do tinh th ể NaCl có cấu trúc lập phương dơn giản với các ion Na+ và Cl~
sắp xếp xen kẽ nhau nên có N 0 ion Na+ và No ion cl trong m ột mol NaCl,
ở dây No là số Avogadro. với khối lượng mol và khối lượng riêng của NaCl là
M = 58,45 g /m o l và p = 2,165 g /c m :i, tinh th ể đó có
d =
í—
)
p
1/3
/
\
2 ,1 6 5 X 106
2 No
\
5 8 ,4 5
= 2 ,8 2 Ả .
2 X 6 , 0 2 X 1023
/
V
1/3
/
Từ đó dẫn đến
sin ớ =
0 ,5
= 0 .0 8 8
2 X 2 ,8 2
Và do vậy
e
= 5°
1004
Đánh giá vỏi độ chính xác 10% bước sóng ứng vối n ăng lượng lớn nhất
trong phổ dặc trưng của tia X phát ra từ đồng (Z = 29).
(C olum bia)
Lời giải:
Trạng thái cơ bản của cấu hình êlectron của đồng (Z = 2 9 ) là
l s 22s 22 p 63s 23p 63 d 104 s1. Bưóc sóng ứng với n ăng lượng lốn n h ất trong phổ
dặc trưng của tia X tương ứng với chuyên dời của m ột êlectron từ lớp N (n = 4)
tới m ột lỗ trống trong lớp K (n = 1). Trong khoảng sai số 10%, bước sóng này
có thê dược xác định theo công thức
Bài táp & lời gidi Vật lý chất rắn
8
ỏ đây R = 1.09678
X
107 m 1 là hằng số Rydberg. Từ đây suy ra
A =
1 , 2 4 X Ì O “ 10 m
=
1 .2 4 Ả .
1005
NaCl kết tinh theo m ạng lập phương tâm m ặt vỏi cơ sỏ là m ột cặp ion
Na và C1 cách nhau m ột khoảng bằng nửa đưòng chéo của khối lập phương.
Nguyên tử số của Na và C1 tương ứng là 11 và 17.
(a) Xác định những tia X phản xạ nào sẽ dược quan sát thấy (được đánh
chỉ số theo ô đơn vị lập phương thông thưòng).
(b) Nhóm tia phản xạ nào cho cường độ m ạnh, nhóm nào cho cưòng đô
yếu?
(W ừconsin)
Lời giải:
(a)
0 đơn vị của NaCl gồm tám nguyên tử chiếm các vị trí sau đây: Na+
tại (0 0 0 ), (5 5 0 ), (Ậ 0 ị ) , (0 5 ị) , như được chỉ ra bởi các chấm tròn đặc
trên hình 1.4; c r tại "(ì 0 0), (0 Ị 0), (0 0 i ) , ( i ì i ) , như được chỉ ra bời các
chấm tròn rỗng trên hình vẽ.
Hình 1.4
Vật lý chất rắn
Các cường dộ nhiễu xạ được tính bởi
Ihki « \Fhkl\2 = Fhkl ■F/¡,
hkl
f j COS 2n(huj + kVj + lw j)
f j sin 2n(huj + k vj + lw j)
ở đây h, k, l là các số nguyên. Thay thế các tọa độ ion vào biểu thức trên ta có
h k l = / ¿ 3 + {[1 + cos
+ k ) + cos n ( k + l) + COS ir(l + /ỉ)]
+ oỊcos 7ĩ h + c0S7rfc + COS 7rỉ + c o s n ( h + k + /)j} 2
+ / ^ a+ {[sin 7r(/i + k) + sin7r(fc + /) + sin7r(/ + h)}
+ a[sin7r/i + sin7rfc + sin7r/ + sin7r(ft + k + l)]}2 ,
ở đây a = / c , - / / Na 4 = 17/11.
Chú ý rằng các cường dộ I hkỊ Ỷ 0 chỉ khác không khi h ,k và l là to àn chẵn
hoặc toàn lẻ. Như vậy ta có thê quan sát được hai nhóm các tia p hản xạ khác
nhau.
(b) Khi h ,k và / đều là những số lẻ,
/ a 16(1 - a )2 ,
cho thấy sự phản xạ là yếu. Khi h ,k và i đều là những số chẵn,
I tx 16(1 + q ) 2 ,
cho phản xạ m ạnh.
1006
Ước tính gần đ ú n g n ăng lượng tỏi đê m ột tinh th ể có th ể làm m ột cách tử
nhiễu xạ tốt đối vói (a) photon, (b) nơtron. (m nc2 = 939 MeV).
(Wisconsin )
Lời giải:
Tính tuần hoàn của m ột tinh thê cho phép nó hoạt động như m ột cách tử
nhiễu xạ đối với các sóng, v ì h ằng số m ạng thông thư òng trong m ột tinh th ể
Bài tâp & lời giải Vật lý chất rắn
10
vào khoảng 10 10 m (1 Ả), nên hiện tượng nhiễu xạ có thê xảy ra trên m ột
tinh thể khi bước sóng của các hạt tỏi ngắn hơn 10“ 10 m.
(a) Nếu muốn các photon tới có thê bị nhiễu xạ bỏi m ột tinh th ê thi bước
sóng của chúng phải gần bằng 10~ 10 m. Do đó năng lượng của p hoton tỏi là
hc
6 , 6 2 4 X l ( r 34 X 3 X 1 0 8
E = hư = A
=
1 ,9 8 X 10
----------- Ĩ F ^
15 J
=
12420 eV
.
(b) Nấu m uốn các nơtron tối có th ể bị nhiễu xạ, bước sóng của chúng phải
gần bằng 10-10 m, và động năng tương ứng là
1
h 2c2
-5 1 = (il!
2 m„
2 m n = 2 Ã2" ■m nc2
/4 ,1 3 5
X
10“ 15
X
3
X
10 -10
= 8 .2
X
1
108 \ 2
)
2
X
939
X
106
10“ 2 eV
1007
Các nghiên cứu về nhiễu xạ liên quan tối các tia X, êlectron hoặc nơtron
cho biết thông tin về các tính chất cấu trúc của các chất rắn. Hãy so sánh ba
kỹ th u ật này về m ặt năng lượng h ạt và các loại thông tin có th ể thu được. Kỹ
thuật nào phù hợp n h ất đê nghiên cứu tinh th ể học bề m ặt? Kỹ th u ậ t nào phù
hợp n hât đê xác dịnh các cấu trúc từ?
('yvừconsin)
Lời giải:
Năng lượng đặc trưng của các tia X là khoảng vài ngàn e y tương ứng với
bước sóng khoảng 10 ~ 10 m, cùng bậc dộ lốn với khoảng cách giữa các m ặt tinh
thê. Do vậy tia X thích hợp đê xác định các cấu trú c m ạng tinh thể. Đối vói
các nghiên cứu nhiêu xạ n ăng lượng thấp, ngưòi ta thường sử dụng các năng
lượng 2 0 -5 0 eV Bởi vì các nguyên tử trong tinh th ể có tiết diện lớn dối với quá
trình tán xạ của các êlectron năng lượng thấp nên các êlectron tỏi khóng thê
xuyên sâu vào tinh th ể dược. Như vậy nhiễu xạ êlectron năng lượng th ấp là
m ột kỹ th u ật quan trọng đ ể nghiên cứu các cấu trúc bề m ặt của các chắt rắn.
Một nơtron có thể thấy cả hai khía cạnh của m ột tinh thể: phân bố của các hạt
nhân và phân bố của độ từ hoá êlectron. Do dó nhiễu xạ nơtron bời m ột tinh
11
Vật lý chất rắn
th ể có từ tính cho phép xác định dược phân bố, định hướng và trật tự của các
m ôm en từ.
Tóm lại, nhiễu xạ êlectron năng lượng thấp là phù hợp n h ất đê nghiên cứu
tinh thê học bề m ặt, và nhiễu xạ nơtron là phù hợp nhất d ể xác dịnh các câu
trúc từ của các tinh thể.
1008
Các tia X dược phản xạ từ một tinh th ể theo phản xạ Bragg. Neu m ật độ
của một tinh thể có cấu trúc đã dược biết một cách chính xác, được do với sai
số căn quân phương là 3 phần vạn, và nếu góc của các tia tới và tia phản xạ
tạo với m ặt phẳng tinh th ể bằng 6 ° dược đo vối sai số căn quân phương là 3,4
phút góc thì sai số căn quân phương khi xác định bước sóng của tia X dó là
bao nhiêu?
(W isconsin)
Lời giải:
Đê dơn giản ta xét m ột tinh thê mà ô cơ sỏ của nó có cấu trúc lập phương
đơn giản vối chiều dài cạnh là d (dược nhân với m ột thừa số cỡ đơn vị dối vói
các ô cơ sỏ của các cấu trúc tinh thể khác). Đối với nhiễu xạ bậc 1, n = 1 dinh
luật Bragg được viết như sau
2dsinớ = A .
Vi phân biểu thức trên ta được
AA
~Ã~
Ad
+ cot 0\A9\
d
Thể tích của ô cơ sỏ là
d3 =
M
pN 0 '
ỏ đây M là phân tử lượng và p là khối lượng riêng của tinh thể, và N 0 là số
Avogadro. Vi phân biểu thức thê tích ô cơ sỏ ta được
Ad
1 Ap
~d ~ 3 p
Như vậy
1 Ap
AA
+ cot 0 • |AỚ|
T
~ 3 p
Bài tập & lời gidi Vật lý chát răn ...
12
Và biểu diễn qua các sai số căn quân phương,
12
— = y i o - s + (9.4
X
10- :!)2 = 9.4
X 1 0 '3
1009
Đánh giá áp suất cần thiết để nén m ột vật rắn tối m ật dộ lón hơn vài lán
m ật độ của nó ỏ điều kiện thường.
(C olum bia)
Lời giải:
Đê nén đẳng nhiệt m ột vật rắn dàn hồi có thê tích V m ột lượng
tăng áp suất dp cần thiết được biêu diễn dưới dạng sau
dv,
thi độ
trong đó K là m ột hằng số, gọi là hệ số nén của vật liệu làm vật rắn đó. Như
vậy
V
p = Đê nén vật rắn đến Q lần m ật độ thông thường, tức là,
ụo _ p_
V
Po
_
'
áp suất cần thiết là p = À' In Q.
Đôi với các chât răn, K ~ 10 P a = 10s mb. Đối với a ví dụ bằng 10, ta cần
p = 108 ln 10 = 2 ,3 X 108 mb = 2, 3
X
105 at.
1010
Xét m ột dãy 2 -Y ion có điện tích ±q xen kẽ nhau vối một th ế năng dẩy
A / R n giữa các ion lân cận gần nhất ngoài thế năng Culông thông thưòng.
13
vật lý chất rắn
(a) Tìm khoảng cách cân bằng Ro giữa hai ion lân cận trong hệ đó và đánh
giá năng lượng cân bằng U(Ro).
(b) Nén tinh th ể sao cho Ro —> i?o(l - <5). Tính công thực hiện dể nén một
dộ dài don vị của tinh th ể tối bậc <52.
(Princeton)
Lời giải:
(a) Bỏ qua các hiệu ứng bề m ặt, năng lượng m ạng của hệ là
ỏ dây a là hằng số M adelung. u ( R ) có m ột cực tiểu ỏ trạng thái cân bằng, vậy
khoảng cách cân bằng Ro được tính bởi
= 0
i -è ' )
,
Vd* /* = « b
Từ đó suy ra khoảng cách cân bằng là
nA
aq2
Ro =
và năng lượng cân bằng là
N
ư ( R ữ) = - —
tio
aq
N ay’
Ro
với (1 = 2 lu 2 dối với m ột dãy m ột chiều.
(b)
Khi tinh th ể này bị nén đê /?0 trở thành R, thì năng lượng m ạng sẽ
tăng lên m ột lượng
U (R ) - Ư (R 0 ) = .V
aq-
1
Naq2
~ ĩử
1
R~Ro
+A
1 í 11
/?
và bằng công i r do lực tác dụng thực hiện.
n V R"
RI
RS
Bài tâp & lời giải Vật lý chát răn ...
14
Vói R = R o(l - S), giữ lại các số hạng tới ỏ2 ta có
Ẽs. - 1 = (1 - ở')-1 - 1 « (5 + ỗ2 ,
- l = ( l - ỉ ) '” - U n í +
Và như vậy
Tổng chiều dài của tinh th ể xấp xỉ bằng 2N Ro- Như vậy công thực hiện dê nén
một độ dài dơn vị của tinh thê là
1011
(a) Năng lượng cố kết của các ion nằm cách nhau trong tinh th ê NaCl bằng
bao nhiêu? Cho m ột giá trị gần đúng và nêu cách tính m à chỉ sử dụng một mô
hình rất dơn giản. Hằng số m ạng a = 5 ,6 Ă.
(b) Cần phải thêm bớt các đại lượng thực nghiệm nào vào giá trị năng
lượng trên để tính được năng lượng cố kết của kim loại natri và khí d o tách
rời nhau? Bỏ qua các hiệu ứng nhỏ (< 10%).
(VVừconsin)
Lòi giải:
(a)
Đồi với m ột tinh thê gồm có N ion, mỗi m ột ion m ang điện tích ± e, thi
năng lượng cố kết sẽ bằng
ỏ đây b là hằng số M adelung và dấu phẩy đ ể chỉ các số hạng có j = l bị loai
khỏi phép tính tổng, với r/j = Qj R biểu thức trên trở thành
15
vật lý chất rắn
ỏ đây
]
1
Tại trạng thái cân bằng Ư (R) là cực tiểu năng lượng và R = Rữ dược tính bởi
từ dó suy ra
và như vậy
Hai số hạng của U (R ) là thế Culông và thế đẩy. Bằng cách so sánh thế Culông
tính toán được và năng lượng liên kết toàn phần quan sát được ta có thê ưóc
lượng được n bằng khoảng 1 0 . vậy vói dộ chính xác 10 % ta có
Áp dụng phương pháp Ewald cho cấu trúc NaCl, ta có th ể tính được
dược Q = 1, 7476. Vậy với Ro = I = 2 ,8 Ẳ, ta rút ra
Q
và nhận
U(Ro) = 178 kcal/m ol .
vì đối với tinh thê NaCl, 71 = 8.
(b)
Đối với kim loại Na và hơi C1 tách ròi nhau, để tính năng lượng cố kết
ta phải thêm vào biêu thức trên các năng lượng hóa hơi của natri kim loại,
năng lượng phân tách phân tư C1 thành các nguyên tử riêng rẽ và năng lượng
ion hóa của các nguyên tử Na và Cl.
1012
Một tinh thể hai chiều lý tưởng gồm chỉ m ột loại nguyên tử (khối lương
7Tỉ), và mỗi m ột nguyên tử có vị trí cân bằng tại nút m ạng vuông R = (ra sa)
ỏ dây r .s = 1.2 .........V. Độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng được ký hiệu là
[ X r s . y r s ) , nghĩa là
R rp = (ra + x rs, sa + yrs) ,
\
- Xem thêm -