Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với
mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
A
C
B
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ.
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ =
A’
60
0
AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60 =
0
C’
H
AH
AA'
b 3
2
Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của
tam giác là: h =
B’
a 3
2
1
3a 2
a.h
2
4
1
3 2
Thể tích ABC.A’B’C’: V = .AH. SA’B’C’ = a b
3
8
Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ =
Bài 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp
với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
S
Giải:
Kẻ SH (ABC)
Gọi I là giao điểm của AH và BC
Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của
tam giác ABC.
C
A
H
B
I
AI =
a 3
3
2
2 a 3
AH = AI =
a
2
3
3 2
3
Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH =
600.
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
tan 600 =
SH
SH AH. tan 60 0 = a
AH
1a 3
3 2
1
AI.BC =
a
a
2
2 2
4
3 2
3 3
1
1
Thể tích khối chóp: V = SH. SABC = a
a
a
3
3
4
12
Diện tích tam giác ABC: SABC =
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 1
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt
SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a,
SB' 2
SB 3
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Giải
a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD
Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P).
Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC
và BD.
S
C’
D’
E
H’
D
B’
BD SH
BD (SAC) BD SC.
BD AC
Do mp (P) SC BD // mp (P)
H
A
C
B
BD //( P)
Do BD (SBD) BD // B' D'
(P) (SBD) B' D'
SD' SH ' SB' 2
, H’D’ = H’B’ va B’D’ AC’
SD SH SB 3
SC' 2
Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC,
SE 3
SE SC' 1 EC'
SC’ = 2EC’ = CC’
SE
3 SE
V
2 2 4 V
2 2 1 2
Ta có: S.AB'D' , S.B'C 'D '
VS.ABD
3 3 9 VS.BCD
3 3 2 9
V
Ta có: VS.ABD = VS.BCD = S.ABCD
2
1
4 2 V
VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = S.ABCD VS.ABCD
2
3
9 9
b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC
nên SA = AC tam giác SAC đều SH =
VS.ABCD =
3
3
6
AC
a 2
a
2
2
2
6 3
6 3
1 6 3
a
a VS.AB’C’D’ =
a
3 2
6
18
Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một
đoạn không đổi a =
AB
. Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón.
2
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 2
Học Thêm Toán
A
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Giải
Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A.
Theo gt: A cố định
d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định
Trong mp (d, AB) kẻ BH d tại H
Gọi = HAB
Xét tam giác vuông ABCH ta có:
H
B
d
Sin =
(1)
BH
a
1
0
= 30 .
AB AB 2
Vậy không đổi
(2)
Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB
làm trục và có góc ở đỉnh 2 = 600.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích
của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình
vuông A’B’C’D’.
Giải
B
A
O
D
Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r =
C
a
2
2
Độ dài đường sinh: l =
a 5
a
a2
2
2
Diện tích xung quanh của khối nón:
A’
B’
O’
D’
C’
a a 5 a 2 5
Sxq = rl
2 2
4
2
1 2 a
a 3
1 2
Thể tích khối nón: V = r h = r a
3
3
12
2
Bài 6: Cho đường tròn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông
góc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ.
Giải
Gọi là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O
Gọi r là bán kính của (C).
O
Do
d
P
M
d (P)
d //
( P )
Khoảng cách giữa d và là: d(d, ) = OM = r: không đổi
Vậy d nằm trên mặt trụ trụ bán kính r
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 3
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình
lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)
c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối
trụ. Tính tỉ số của V và V’.
Giải
a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường
sinh l bằng đường cao h
l = h = 2r.
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 r l = 4 r2.
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6 r2.
b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp
trong hình trụ đã cho.
Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r 2
Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3.
c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r3
B
A
O
C
D
B’
A’
O’
C’
D’
Vậy:
V 2
V'
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho.
B
A
D
C
Bán kính r =
O
A’
B’
D’
Giải
Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’.
Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương
Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O,
AC'
2
AC’ = a 3 r =
a 3
2
C’
Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB
= 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện.
D
O
A
C
B
Giải
Gọi O là trung điểm DC
Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC
DAC vuông tại A
OA = OC = OD = CD/2 (1)
Ta có: BC BA, BC DA BC (ABD) BC BD
OB = CD/ 2 (2)
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 4
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2.
Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
S
A
C
H
Giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.
Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm
trên SH.
Gọi I là trung điểm của SA.
Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O
Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có:
SA 2
SO SI
SA
SO =
r
SA SH 2SH
2SH
B
2
2a 3
nên SH =
Mà SH = SA AH = b
3
.
2
2
Vậy: r =
2
2
2
3b 2 a 2
1
3b 2 a 2
3
3
SA 2
b2
3b 2
=
2
2SH
2 3b 2 a 2
3b 2 a 2
3
Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt
cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r 3
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến CD.
C
A
D
B
H
O
Giải
a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB
OB
AB = OA 2 OB 2 4r 2 r 2 r 3
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD.
Ta có: OC = OD = r
Nên tam giác OCD cân tại O
Do H là trung điểm của CD nên HC =
CD r 3
2
2
Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với
2
OH =
r 3
r
OC HC r
2
2
2
2
2
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 5
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC
vuông tại B
và AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
Giải
a) Gọi O là trung điểm DC
Do DA (ABC) nên DA AB, DA AC
DAC vuông tại A OA = OC = OD = CD/2
(1)
Ta có: BC BA, BC DA
C BC (ABD) BC BD OB = CD/ 2 (2)
Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính
r = CD/2.
D
O
A
B
r=
5a 2
1
1
1
CD
AD 2 AC 2
AD 2 AB 2 BC 2 =
2
2
2
2
b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r2 = 50 a2
4 3 125a 3 2
Thể tích của khối cầu tương ứng: V = r =
3
3
Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK A1D ( K A1 D) . Chứng minh AK = 2
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.
A
x
x
B
x
2
D
C
x
K
h
5
A1
D1
B1
C1
Giải:
a) Chứng minh AK = 2:
AB (ADD1A1) AB AK và Gt: AK A1D
AK là đoạn vuông góc chung của AB và A1D
Vậy AK = d AB, A1D AK 2
b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1:
Đặt h = AA1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh
đáy hình vuông.
Gt AK = 2; A1D = 5
DAA1 vuông tại A có AK là đường cao nên:
AK.A1D = AD.AH 10 x.h và
AD2 + AA12 A1D 2 x 2 h 2 25
x 2 h 2 25 ( x h)2 45 x h 3 5
xh
10
xh
10
xh 10
Giải hệ:
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 6
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
x 2 5; h 5 V x 2 h 20 5
x 5; h 2 5 V x 2 h 10 5
450
Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD
Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
D1
A1 Giải:
Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C
1 AC
(DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B
1 DB
C1
0
1v AC CC .cot C
ACC1 , C
1
1 AC 2.cot 45 2
B1
2 3
0
1v BD BB .cot B
DBB1 , B
1
1 DB 2.cot 60
3
Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y
2
ADC có : AC 2 AD 2 DC 2 2.AD.DC.cos
ADC
D
A
4 x 2 y 2 2 xy cos1350 x 2 y 2 2 xy cos 450 (1)
BCD có : BD 2 BC 2 CD 2 2.BC.CD.cos BCD
4
x 2 y 2 2 xy cos 450 (2)
3
16
8
Từ (1) và (2) 2( x 2 y 2 ) x 2 y 2 thay
3
3
C
vào (2) có:
B
4 8
2
4
2 xy.
xy
3 3
2
3 2
1
xy 2
4
2 2
S ABCD 2.S BCD 2. BC .CD.sin C xy.sin 450
.
2
2
3
3 2 2
2
4
Vậy V = SABCD. CC1= .2
(đvdt)
3
3
Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3 , góc
A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ.
Giải:
Gt: ( A1 AB) ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H vuông góc AB tại H thì A1H ( ABC ) A1H là chiều
cao lăng trụ. Đặt A1H = h
Dựng HK AC tại K (HK // BC) . AKH cũng vuông cân tại K AH HK . 2
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
h 2
3
Trang 7
Học Thêm Toán
A1
B1
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
1v A H 2 HA2 A A2
A1 HA, H
1
1
2h 2
3
3 5h 2 9 h
3
5
1
1
3 3CA2
V S ABC . A1 H CA.CB.h CA2 .
2
2
5 2 5
ACB có : AC 2 CB 2 AB 2 2 AC 2 2
3
AC 2 1 . Vậy V =
(đvdt)
2 5
h2
C1
h
3
2
A
H
B
K
C
Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,
cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC).
Tính tan và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.
Giải:
* Tính tan :
+ Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H.
+ Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM BC.
Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b A ' M BC
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là: AMA'
A’HM vuông tại H (vì A’H (ABC))
' A ' H
tan tan AMA
MH
C’
A’
B’
b
ABC đều có cạnh a nên AM = a
AH
A’H =
A
C
a
H
3
2
2
a 3
1
a 3
AM
; MH AM
;
3
3
3
6
a2
3b 2 a 2
2
2
2
A ' A AH b
3
3
3b2 a 2 a 3 2 3b 2 a 2
Vậy tan
:
3
6
a
* Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C:
M
B
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 8
Học Thêm Toán
V VA' B 'C '. ABC VA'. ABC
a 2 3b 2 a 2
V
6
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
1
2
2 1 a 3 3b 2 a 2
S ABC . A ' H S ABC . A ' H S ABC . A ' H a.
.
3
3
3 2
2
3
(đvtt)
Bài 17: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc AS
B 2 . Hãy tính
thể tích khối chóp.
Giải: Tính VS.ABC :
+ Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
Vì: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm của tam
giác đều ABC.
+ Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm
của AB và SM AB.
+ Đặt AB = 2x AM = BM = x (x > 0)
BSM
(00 900 )
+ gt: AS
B 2 ASM
S
A
C
H
M
1v SM AM cot AS
+ ASM, M
M x cot
MH =
1
1
3 1
3 x 3
CM AB.
.2 x.
3
3
2 3
2
3
2
B
1v SH 2 MH 2 SM 2 h 2 x x 2 cot 2
+ SHM, H
3
2
x
VS . ABC
3h
3cot 2 1
1
1 1
1
2x 3
3
3h 3
2
S ABC .SH AB.CM .h h.2 x.
x h.
3
3 2
6
2
3 3cot 2 1
(đvtt)
Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ( ABC ) , SC =
a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:
S
+ gt: SA ( ABC ) & AC CB SC CB
(00 900 )
+ Gọi ( SCB), ( ABC ) SCA
SA SC .sin SCA a sin
+ SAC , A 1v
acos
AC SC.cos SCA
a
1
3
1 1
3 2
1
6
+ VS . ABC S ABC .SA . AC 2 .SA a 2 cos 2 .a sin
A
B
C
1
VS . ABC a 3cos 2 .sin
6
+ Xét hàm số: f ( ) cos 2 .sin , 00 900
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 9
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
2
3
2
f '( ) 2cos .sin cos 2cos (1 cos ) cos3 3cos3 2cos cos
Vì: 00 900 cos 0 cos
3cos 2
3cos 2
3cos 2 0
2
;
3
Do đó: f '( ) 0 3cos 2 0 cos
2 0
; 0 900
cos
3
Lập bảng biến thiên hàm số f( ) trên khoảng 00 ; 900 :
00
f’( )
0
+
900
-
fmax
f( )
0
0
Ta có f( ) lớn nhất cos
2
.
3
Vậy thể tích S.ABC lớn nhất f( ) lớn nhất cos
2
.
3
Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp
nhỏ nhất ?
Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:
S
K
B
C
N
M
O
A
D
+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc
với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp
S.ABCD.
+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD
với M CD và N AB.
+ CD (SMN), trong (SMN) vẽ NK SM, khi đó
NK CD NK (SCD). Vậy NK = d N , ( SCD)
+ Vì AB//CD AB//(SCD)
d A, (SCD ) = NK = 2a.
Ta có: SM CD và MN CD
( SCD ), ( ABCD)
SMN
1v MN
NKM , K
NK
2a
a
OM
sin
sin
sin NMK
1v SO OM tan a
+ SOM , O
cos
1
1
1 4a 2
a
4a 3
2
+ VS . ABCD S ABCD .SO MN .SO . 2 .
3
3
3 sin cos 3sin 2 cos
Vậy VS . ABCD nhỏ nhất f ( ) sin 2 cos lớn nhất, với 00 900
f '( ) 2cos2 .sin sin3 2sin (1 sin2 ) sin3 2sin 3sin3
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 10
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
2
2
3sin
sin
sin
3
3
2
2
2
f '( ) 0
sin 0 sin
arcsin
3
3
3
0
0
Lập bảng biến thiên hàm số f( ) trên khoảng 0 ; 90 :
00
f’( )
arcsin
+
2
3
0
900
-
fmax
f( )
0
0
Ta có f( ) lớn nhất arcsin
2
.
3
2
.
3
Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất f( ) lớn nhất arcsin
Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA ( ABC ) ; đáy là ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD
= a, cạnh SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt (SAD) góc . Tính thể tích khối chóp.
Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC:
+ SA (ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC)
S
ABS SB, ( ABC )
+ BC AD và BC SA BC (SAD) nên SD là hình
SB, ( SAD )
chiếu của SB trên (SAD) BSD
+ SAB, A 1v AB SB.cos
1v BD SB.sin
+ SDB, D
1v AD 2 AB 2 BD 2
+ ADB, D
A
C
D
a 2 SB 2 (cos 2 sin 2 ) SB
Vậy BD
a
cos 2 sin 2
a sin
cos 2 sin 2
B
SA = SB sin
a.sin
cos 2 sin 2
1
1 AD.BC
1
VS . ABC .S ABC .SA .
.SA . AD.BD.SA
3
3
2
3
1
a sin
a sin
1 a 3 sin sin
a.
.
.
2
2
3
cos2 sin 2 cos 2 sin 2 3 cos sin
(đvtt)
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 11
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’)
cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ .
Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:
+ Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO.
Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì:
S
C’là giao điểm của (AB’D’) với SC
+ SAB SAD SB SD
SA2 SA2
SB ' SD '
+ SB '
SD '
(*)
SB
SD
SB SD
2a
C’
D’
+ VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’
1
1
VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V)
2
2
2VS . AB 'C ' SB ' SC '
SB ' SC '
.
hay:
.
V
SB SC
SB SC
+ VS,ABC = VS.ACD =
I
B’
A
D
O
B
a
C
VS . AB ' C '
VS . ABC
Tương tự:
2VS . AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC '
.
.
(do SD SB )
V
SD SC
SB SC
SB '.SC '
SB '.SC ' 2a 3
2VS . AB ' C ' D ' 2
.V 2.
.
SB.SC
SB.SC 3
SB '.SC ' 2a3
.
SB.SC 3
SA2
SB ' SA2
4a 2
4a 2
4
Vì: SB '
2
2
2
2
2
SB
SB SB
SA AB
4a a
5
+ Ta có: BC AB & BC SA BC ( SAB) BC AB ' . Mặt khác: SB AB '
Vậy AB ' ( SBC ) AB ' SC ; tương tự: AD ' SC SC ( AB ' D ') SC AC '
VS . AB ' C ' D '
Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên:
SC ' SA2
4a 2
4a 2
2
2
2
2
2
2
SC SC
SA AC
4a 2a
3
3
3
4 2 2a 16a
. .
5 3 3
45
SC’.SC = SA2
VS . AB ' C ' D '
Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3 , góc
A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1 AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ.
Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1
+ Gt: ( A1 AB) ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H AB tại H
A1 H ( ABC ) A1H là chiều cao lăng trụ.
Đặt A1H = h
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 12
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
A1
B1
2
C1
h
HK A1H .cot
A1KH h cot 600
3
h
3
+ Dựng HK AC tại K (HK//BC) thì AKH cũng
vuông cân tại K.
HK là hình chiếu của A1K trên (ABC) mà AC HK
nên AC A1K.
Vậy ( A1 AC ), ( ABC )
A1 KH 600 .
A1HK vuông tại H:
AHK vuông cân tại K AH HK 2
A
H
B
h 2
3
A1HK vuông tại H A1 H 2 HA2 A1 A2
h2
K
2h 2
3
3 5h 2 9 h
3
5
C
1
1
3
V S ABC . AH .CA.CB.h CA2 .
2
2
5
2
2
2
ABC , C 1v AC CB AB 2 AC 2 2 AC 1
3
Vậy V
(đvtt)
2 5
Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E
của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia
đối của tia BA sao cho ECM ( 90 0 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính
thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a; và tìm để thể tích đó lớn nhất.
Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ:
+ Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ. Ta có:
1
S .h , với S là diện tích IHE và h là chiều cao của khối tứ diện.
3
1
1
+ GT suy ra IJ// SE và IJ= SE .2a a ; Vì SE ( ABC ) IJ ( IHE ) . Vậy h = IJ = a
2
2
1
EBC vuông tại B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC 2 BE 2 (2a )2 a 2 a 5
2
+ Vì SE (ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC), do SH CM nên
ECM
EH CM. Vậy tam giác CHE vuông tại H và có ECH
V=
a 5.cos
CH CE.cos ECH
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 13
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
S
1
1
SECH CE .CH .sin .a 5.a 5cos .sin
2
2
2
5a
.sin 2
4
J
Do I là trung điểm của CE
C
A
I
H
E
1
5a 2
nên S = S ECH
.sin 2
2
8
5a 3
Vậy V =
.sin 2
24
* Tìm để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn
nhất:
5a 3
5a 3
Ta có: V =
.sin 2
(do sin 2 1) .
24
24
Vậy V lớn nhất sin 2 1 2 900 450
B
M
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA a 3 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện
SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:
+ Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta
có: V = V1 - V2
+ SA (ABCD) nên SA là chiều cao của khối
S
chóp S.ACD.
Vậy V1 =
M
1
1
1
a3 3
SA.S ACD .a 3. AD.DC
3
3
2
6
Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên
1
3
SA a
2
2
1
1
3 1
a3 3
V2 = MH .S ACD .a . AD.DC
3
3 2 2
12
3
3
3
a 3 a 3 a 3
Vậy V =
6
12
12
MH (ABCD) và MH =
A
H
D
O
B
* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SB, AC:
C
Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:
1
2
MO = SB
1
1
SA2 AD 2
3a 2 a 2 a và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa
2
2
OM và AC
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 14
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
1
a 2
3a 2 a 2
2
2
OA = AC
; AM AH MH
a
2
2
4
4
a2
a2 a2
2
2
2
OA
OM
AM
1
Trong tam giác OAM có: cos
AOM
2
2.OA.OM
a 2
2 2
2.
.a
2
1
Vậy cos SB, AC cos OM , OA
2 2
Bài 24: Cho hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và O’, tứ giác ABCD là hình vuông nội
tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc
của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o, tính thể tích khối trụ.
Giải:
Ta có: A ' A ( ABCD) A ' D có hình chiếu trên (ABCD) là
B'
AD.
Do BC AD BC A’D
A'
( A ' B ' CD ) ( ABCD) BC
A ' D ( A ' B ' CD ); BC ( ABCD)
(
A ' B ' CD ); ( ABCD )
A ' DA 600
Vì:
B
OAD vuông cân nên AD OA 2 R 2
A
C
D
Gọi h là chiều cao của hình trụ.
0
ADA’ có h = AA’=AD.tan60 = R 6
Thể tích khối trụ là V = R 2 h R 2 .R 6 R3 6 (đvtt)
Bài 25: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB =
a 3
và các cạnh
2
còn lại đều bằng a.
A
Giải:
Gọi I là trung đểm cạnh CD
D
I M
B
C
AI CD
BI CD
Gt
(1)
a 3
AB
2
ABI là mp trung trực cạnh CD . Gọi M là giao điểm của BI
với mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện ABCD .
, AI BI
Đường tròn lớn của S là đường tròn ABM . Mặt phẳng BCD cắt S theo đường
tròn BCD qua M, hơn nữa BM là đường kính.
a
2a
BM
0
sin 60
3
13
(1) ABI đều
ABM = 600 ; AM AB 2 BM 2 2 AB.BM cos 60 0 a
12
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 15
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
AM
a 13
4
13 13 3
R
V R 3
a
0
2 sin 60
6
3
162
Bài 26: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy bằng R. Điểm M SO là tâm
đường tròn (C).
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
2.Tìm x để thể tích này lớn nhất
Giải:
S
Ta có
SM R '
h x R'
R
R ' ( h x)
SO
R
h
R
h
Thể tích khối nón:
1
3
1
3
V= R '2 .SM
(C)
M
R2
1 R2 3
2
(
h
x
)
.
x
2 ( x 2hx 2 h 2 x )
2
3 h
h
1 R2
V = 2 3x 2 4hx h 2 , V’ = 0
3 h
’
x h3
x= h (loại)
x h
h
O
Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max x = 3
Bài 27: Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r. Gọi I
là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường
sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón).
1. Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;
2. Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi. Với điều kiện nào của bán kính đáy
thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
+) Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.
S
Ta có: S SAB prC (l r ).rC
l
rC
I
A
M
l 2 r 2 .2r
l r
r
2(l r)
l r
2
2
+) Scầu = 4 r C 4 r
r
+) Đặt: y(r)
B
1
SM . AB
2
l r
l .r 2 r 3
4
lr
lr
lr2 r3
,0 r l ;
l r
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 16
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
5 1
l
r
2r(r rl l )
2
y '(r)
0
(l r)2
5 1
l
r
2
+) BBT:
r
5 1
l
0
2
2
l
2
y'(r)
y(r)
ymax
+) Ta có max Scầu đạt
y(r) đạt max
r
5 1
l
2
Bài 28: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2 . Với x
nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
Giải:
Ta có Stp= Sxq+2Sđ = 2xy 2x 2 2 ( xy x 2 ) ; (x > 0)
Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2) = 2 xy+x2 =1 y =
1 x2
.
x
Hình trụ tồn tại y > 0 (với x > 0) 1- x2 > 0 0 < x < 1. Khi đó V(x) = x2y = x(1- x2)
= ( -x3 + x)
2
1
x
Khảo sát hàm số V(x) trên với x (0;1) ta được giá trị lớn nhất của V =
3 3
3
Bài 29: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một
điểm A cố định và một điểm M di động. Biết
AOM , góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAM)
và (OAM) có số đo bằng β và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng a. Tính thể tích khối nón
theo a, α, β.
Giải:
Gọi I là trung điểm AM
∆SAM cân nên SI AM
∆OAM cân nên OI AM
(C)
H
O
I
A
(OAM ) OI , OI AM
Góc tạo bỡi hai mặt phẳng
( SAM ) SI , SI AM
(SAM) và (OAM) bằng SIO
MA OI và MA SO MA ( SOI ) ( SAM ) (SOI )
Và ( SAM ) ( SOI ) OI
Kẽ OH OI OH ( SAM ) d O, (SAM ) OH a
1v OI OH a
OHI , H
sin sin
OI
a
OMI , I 1v OM
=R
cos
cos .sin
2
2
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97
Trang 17
Học Thêm Toán
BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
a
cos
1
a
V= SO. .OM 2 .
.
3
3 cos
SO = OI tan =
a2
a 3
cos 2 sin 2 3 sin 2 cos cos 2
2
2
Bài 30: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI = h. Một mặt
phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
1) Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C).
2) Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi EF là 1 đường kính cua (C) ta có: IE.IF = IA.IB
hay IE2 = IA.IB = h(2R-h). Gọi r là bán kính của (C) thì:
r = IE = h(2 R h)
Thể tích cần tính là:
1
V= V r 2 h 2 Rh 2 h3 , với 0
- Xem thêm -