Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Câu 1. [Trích đề thi thử chuyên - ĐHSP 2014 – Lần VII]:
Cho hàm số: y =
2x +1
.
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam
giác cân.
(
)
(
)
Đ/s: M 1 1 + 3; 2 + 3 , M 2 1 − 3, 2 − 3 .
Lời giải:
−3
2a + 1
2a + 1
b) Gọi M a;
x − a) +
(d )
( a ≠ 1) . Ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y =
2 (
a −1
a −1
( a − 1)
2a + 4
Khi đó: A = d ∩ x = 1 ⇒ A 1;
. Toạ độ điểm B = d ∩ y = 2 ⇒ B ( 2a − 1; 2 )
a −1
Ta có: I (1; 2 ) là tâm đối xứng. Giả thiết ⇔ IA = IB ⇔
(
)
(
6
= 2 a −1 ⇔ a = 1 ± 3 .
a −1
)
Đ/s: M 1 1 + 3; 2 + 3 , M 2 1 − 3, 2 − 3 là các điểm cần tìm
Câu 2. [Trích đề thi thử THPT Lương Thế Vinh 2015]:
Cho hàm số y = x 4 + ( m − 3) x 2 + 2 − m (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Đ/s: −2 < m < 2, m ≠ 1 .
Lời giải:
b) Phương trình hoành độ giao điểm là: x 4 + ( m − 3) x 2 + 2 − m = 0 ⇔ ( x 2 − 1)( x 2 + m − 2 ) = 0 (1)
x2 = 1
⇔ 2
( 2 ) . Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ ( 2 ) có 4 nghiệm phân
x = 2 − m
2 − m > 0
biệt ⇔
⇔ 1 ≠ m < 2 . Khi đó PT (1) có 4 nghiệm
2 − m ≠ 1
x = ±1
.
x
=
±
2
−
m
Ta có: ± 2 − m < 2 ⇔ 2 − m < 2 ⇔ m > −2 .
Kết hợp ĐK ta có: −2 < m < 2, m ≠ 1 là giá trị cần tìm.
Câu 3. [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN 2014]:
Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 − 3 ( m + 1) x + 2 (1), với m là tham số thực.
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 .
b) Cho M ( 2014; −2011) . Tìm m để đường thẳng y = − x + 2 cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân
biệt A ( 0; 2 ) , B, C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 2 5 .
Đ/s: m = −6, m = 3 .
Lời giải:
b) Phương trình hoành độ giao điểm là: x3 − 2mx 2 − 3 ( m + 1) x + 2 = − x + 2
x = 0 ⇒ A ( 0; 2 )
⇔ x 3 − 2mx 2 − ( 3m + 2 ) x = 0 ⇔
2
g ( x ) = x − 2mx − 3m − 2 = 0
Để đồ thị của hàm số (1) cắt d tại 3 điểm phân ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
∆ ' = m 2 + 3m + 2 > 0
⇔
g ( 0 ) = 2 + 3m ≠ 0
( *) .
x1 + x2 = 2m
.
Khi đó gọi B ( x1 ; − x1 + 2 ) ; C ( x2 ; − x2 + 2 ) ta có:
x2 x2 = 2 + 3m
1
1
1
2
2
Lại có S MBC = .BC.d ( M ; BC ) =
2 ( x1 − x2 ) .
= 2 5 ⇔ ( x1 − x2 ) = 80
2
2
2
m = −6
2
⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 80 ⇔ 4m2 − 4 ( 2 + 3m ) = 80 ⇔
( tm )
m = 3
Đ/s: m = −6, m = 3 .
Câu 4. [Trích đề thi thử chuyên ĐH Vinh 2014 – Lần I]:
Cho hàm số y =
2x − 3
x −1
(H ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng d : x + 3 y + m = 0 cắt H tại hai điểm M , N sao cho tam giác AMN vuông tại
A (1;0 ) .
Đ/s: m = −6 .
Lời giải:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là :
2x − 3 −x − m
=
x −1
3
x ≠ 1
⇔
2
g ( x ) = x + ( m + 5 ) x − m − 9 = 0
+) Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M,N ⇔ PT g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.
∆ = m 2 + 4m + 61 > 0
⇔
⇔ m∈R
g (1) = −3 ≠ 0
− x − m − x2 − m
+) Khi đó gọi A x1 ; 1
, B x2 ;
là các giao điểm.
3
3
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
x + x = −m − 5
Theo định lý Vi-et ta có: 1 2
.
x1 x2 = − m − 9
Ta có tam giác AMN vuông tại A ⇔ AM . AN = 0
x1 + m )( x2 + m )
x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2
(
⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) +
= 0 ⇔ ( x1 x2 − x1 − x2 + 1) +
=0
9
9
⇔ 10 x1 x2 + ( m − 9 )( x1 + x2 ) + 9 + m2 = 0 ⇔ −10 ( m + 9 ) − ( m − 9 )( m + 5 ) + 9 + m2 = 0 ⇔ m = −6 .
Đáp số: Vậy m = −6 là giá trị cần tìm.
Câu 5. [Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2014 – Lần II]:
Cho hàm số y =
2x +1
có đồ thị (1).
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (1).
Đ/s: ( 0; 2 ) , (0; −1).
Lời giải:
b) Gọi E ( 0; b ) là điểm thuộc trục tung, phương trình đường thẳng qua E là: y = kx + b ( d ) .
2x +1
x − 1 = kx + b
−3 x
2x +1
2 x2 + 2 x − 1
Để d tiếp xúc với (1) ⇒
⇒
=
+
b
⇔
b
=
2
−3
x − 1 ( x − 1)2
x − 1)
(
=
k
2
( x − 1)
x ≠ 1
⇔
( *)
2
g ( x ) = ( 2 − b ) x + 2 (1 + b ) x − 1 − b = 0
Để kẻ được đúng 1 tiếp tuyến thì (*) có đúng 1 nghiệm
TH1: b = 2 ⇒ x =
1
( tm ) ⇒ E ( 0; 2 )
2
TH2: b ≠ 2; ∆ ' = (1 + b ) + (1 + b )( 2 − b ) = 0 ⇔ 3 (1 + b ) = 0 ⇔ b = −1 ⇒ E ( 0; −1)
2
b ≠ 2; ∆ ' = 3 (1 + b ) > 0
b ≠ 2; b > −1
TH3:
⇔
( loai )
3 = 0
g (1) = 0
Vậy E ( 0; 2 ) ; E ( 0; −1) là các điểm cần tìm.
Câu 6. [Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2014 – Lần II]:
Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
b) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị tạo
thành tam giác có diện tích bằng 1.
Đ/s: m = 1.
Lời giải:
Tập xác định D = R
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Ta có y ' = 4 x3 − 4mx; y ' = 0 ⇔ x = 0; x 2 = m
Hàm số có cực đại cực tiểu. ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0
m>0
Khi
đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại
(
) (
B − m ; m 4 − m 2 + 2m ; C
m ; m 4 − m 2 + 2m
A ( 0; m 4 + 2m )
và 2 điểm cực tiểu
)
∆ABC là tam giác cân tại A; A ∈ Ox , B,C đối xứng nhau qua Ox. Gọi H là trung điểm của BC
⇒ H ( 0; m 4 − m 2 + 2m ) ⇒ S ABC =
1
1
AH .BC = m2 .2 m = m m
2
2
S ABC = 1 ⇒ m 2 . m = 1 ⇔ m = 1
Vậy m = 1
Câu 7. [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN 2014 – Khối B]:
Cho hàm số y = x 4 − 8 x 2 + 7 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm m để phương trình x 4 + 4 x3 − 2 x 2 − 12 x − m + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Đ/s: −8 < m < 8.
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với ( x + 1) − 8 ( x + 1) + 7 = m − 1
4
2
Từ đồ thị của hàm số câu a, suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ −9 < m − 1 < 7 ⇔ −8 < m < 8
Câu 8. [Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐH Vinh 2014 – Lần III]:
Cho hàm số y =
1 4
x − ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị ( Cm ) , với m là tham số thực.
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
5
b) Cho I 0; . Tìm m để ( Cm ) có điểm cực đại là A , hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác
2
ABIC là hình thoi.
Đ/s: m =
1
.
2
Lời giải:
Ta có y ' = x 3 − 2 ( m + 1) x, ∀x ∈ R
( Cm )
có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2 ( m + 1) > 0 ⇔ m > −1
Khi đó 3 nghiệm phân biệt của y ' = 0 là x = 0; x = − 2 ( m + 1) ; x = 2 ( m + 1)
(
) (
Điểm cực đại của ( Cm ) là A ( 0; 2m + 1) và 2 điểm cực tiểu là B − 2 ( m + 1) ; − m2 ; C
2 ( m + 1) ; − m 2
)
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Nhận thấy AI ⊥ BC tại H ( 0; − m 2 ) và H là TĐ của BC. Do đó, tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi
2 xH = x A + xI
5
1
3
H là trung điểm của AI. Hay là
⇔ −2 m 2 = 2 m + 1 − ⇔ m = ; m = −
2
2
2
2 yH = y A + yI
Đối chiếu với điều kiện ta thấy m =
1
là thỏa mãn.
2
Câu 9. [Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐHSP 2014 – Lần V]:
Cho hàm số y =
2x +1
(C )
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
b) Tìm hệ số góc k của đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; 2 ) sao cho d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt
A, B . Gọi k A , k B là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại A và B . Tìm các giá trị của k để
kA +
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
kB
Đ/s: k = −1 .
Lời giải:
Phương trình đường thẳng d là y = k ( x + 1) + 2
Để d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt thì PT hoành độ giao điểm
2x +1
= kx + k + 2 có 2 nghiệm phân biệt
x +1
k ≠ 0, k − 2k + k + 1 ≠ 0
⇔ kx 2 + 2kx + k + 1 = 0 có 2 nghiệm khác -1 ⇔ '
⇒k <0
2
∆ = k − k ( k + 1) > 0
Ta có : y ' =
⇒ kA +
1
( x + 1)
2
⇒ kA =
1
( xA + 1)
2
1
; kB =
( xB + 1)
2
( xA ; xB là nghiệm của PT kx 2 + 2kx + k + 1 = 0 )
1
1
2
2
=
+ ( xB + 1) và xA ; xB thỏa mãn k ( x + 1) = −1
2
k B ( xA + 1)
⇒ k A + k B = −k −
1
1
= −k + − ≥ 2
k
k
( −k ) −
1
=2
k
Đẳng thức xảy ra khi k = −1
Câu 10. [Trích đề thi thử THPT CAN LỘC 2014]:
Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị ( C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
b) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M cắt đồ thị ( C ) tại điểm thứ
hai N ( khác M ) thỏa mãn P = 5 xM2 + xN2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
2 26
Đ/s: M ; .
3 27
Lời giải:
Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số có tọa độ M ( a; a 3 − 3a 2 + 2 )
Khi đó phương trình tiếp tuyển tại M có dạng y = ( 3a 2 − 6a ) ( x − a ) + a 3 − 3a 2 + 2
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( C ) và tiếp tuyến là:
x = a
2
x3 − 3 x 2 + 2 = ( 3a 2 − 6a ) ( x − a ) + a 3 − 3a 2 + 2 ⇔ ( x − a ) ( x + 2a − 3 ) = 0 ⇔
x = −2 a + 3
Để ( C ) cắt tiếp tuyến tại N khác M thì a ≠ −2a + 3 ⇔ a ≠ 1
Khi đó: xM = a; xN = −2a + 3
Ta có P = 5a 2 + ( −2a + 3) = 9a 2 − 12a + 9 = ( 3a − 2 ) + 5 ≥ 5
2
Dấu bằng xảy ra khi a =
2
2
2
2 26
. Đối chiếu ĐK, ta được a = ⇒ M ;
3
3
3 27
Câu 11. [Trích đề thi thử THPT LƯƠNG THẾ VINH 2014]:
(
)
Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m3 + 5m (1), với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi m , đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B đồng thời trung điểm I
của AB luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Lời giải:
b) TXĐ: ℝ. Có y ' = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) .
x = m +1
2
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 ⇔ ( x − m ) = 1 ⇔
x = m −1
Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m + 1 ≠ m − 1 ⇔ m ∈ ℝ
⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị A, B với m ∈ ℝ.
xA = m + 1
Do vai trò của A và B là như nhau nên ta có thể giả sử
xB = m − 1
y A = ( m + 1 − m )3 − 3 ( m + 1) + 5m = 2m − 2 A ( m + 1; 2m − 2 )
Mặt khác y = ( x − m ) − 3 x + 5m ⇒
⇒
3
yB = ( m − 1 − m ) − 3 ( m − 1) + 5m = 2m + 2 B ( m − 1; 2m + 2 )
3
m + 1 + m − 1 2 m − 2 + 2m + 2
Bài ra I là trung điểm của AB ⇒ I
;
⇒ I ( m; 2m ) ⇒ yI = 2 xI
2
2
⇒ I luôn chạy trên một đường thẳng cố định đó là y = 2 x.
Đ/s: I luôn chạy trên đường thẳng y = 2 x .
Câu 12. [Trích đề thi thử THPT Chuyên HẠ LONG 2014]:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Cho hàm số y = f ( x ) = − x 3 + 3mx − 2, với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 .
b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình f ( x ) ≤ −
1
đúng với mọi x ≥ 1.
x3
Lời giải:
b) Với x ≥ 1 bất phương trình đã cho ⇔ − x 3 + 3mx − 2 ≤ −
Xét hàm số g ( x ) =
1
x 6 + 2 x3 − 1
6
4
3
3
2
1
⇔
x
−
mx
+
x
≥
⇔
≥m
x3
3x 4
x 6 + 3x3 − 1
với x ∈ [1; +∞ ) có
3x4
3
6
2 x 6 − 2 x 3 + 4 ( x − 1) + x + 4
g '( x) =
=
> 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) .
3x5
3x5
2
Kết hợp với g ( x ) liên tục trên [1; +∞ ) ⇒ g ( x ) đồng biến trên [1; +∞ )
⇒ g ( x ) ≥ g (1) =
2
2
⇒ min g ( x ) = . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1.
3
3
[1;+∞ )
2
Khi đó yêu cầu bài toán ⇔ min g ( x ) ≥ m ⇔ m ≤ .
3
[1;+∞ )
2
Đ/s: m ≤ .
3
Câu 13. [Trích đề thi thử THPT Chuyên NGUYỄN HUỆ 2014 – Lần III]:
Cho hàm số y =
2x +1
x +1
(C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
b) Tìm trên đồ thị ( C ) hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua I (1;1) và trọng tâm tam giác
ABO thuộc đường thẳng d : 2 x + 9 y − 12 = 0.
Lời giải:
b) TXĐ: ℝ \ {−1} . Gọi m là hệ số góc của đường thẳng AB. Kết hợp với AB qua I (1;1)
⇒ phương trình AB : y = m ( x − 1) + 1 ⇔ y = mx − m + 1.
Hoành độ giao điểm của AB và ( C ) là nghiệm của phương trình
mx − m + 1 =
x ≠ −1
x ≠ −1
2x +1
⇔ 2
⇔ 2
x +1
mx + mx − mx − m + x + 1 = 2 x + 1 mx − x − m = 0
(1)
Ta có AB và ( C ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B cùng với O lập thành ∆OAB
m ≠ 0
2
∆ = 1 + 4m > 0
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác −1 ⇔ 2
⇔ m ≠ 0 (*)
m.0 − 0 − m ≠ 0
m + 1 − m ≠ 0
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
Facebook: LyHung95
1
x1 + x2 =
( x1; x2 ≠ −1) ⇒ x1; x2 là hai nghiệm của (1). Theo Viet có
m
x1 x2 = −1
(2)
A ( x1 ; mx1 − m + 1)
A ∈ AB y1 = mx1 − m + 1
⇒
⇒
Lại có
B ∈ AB y2 = mx2 − m + 1 B ( x2 ; mx2 − m + 1)
x + x m ( x1 + x2 ) − 2m + 2
Gọi G là trọng tâm của ∆OAB ⇒ G 1 2 ;
. Kết hợp với (2)
3
3
1
3 − 2m
1 1 − 2m + 2
1 3 − 2m
+ 9.
− 12 = 0
⇒ G
;
;
⇒ G
. Bài ra G ∈ d : 2 x + 9 y − 12 = 0 ⇒ 2.
3m
3
3
3
3m
3m
⇔ 2 + 9m ( 3 − 2m ) − 36m = 0 ⇔ 18m2 + 9m − 2 = 0 ⇔ m =
•
1
2
hoặc m = − . Đều thỏa mãn (*).
6
3
8 + 10
x = 3 + 10 ⇒ y =
1
1
1
6
m = ⇒ x2 − x − = 0 ⇔
6
6
6
8 − 10
x = 3 − 10 ⇒ y =
6
8 + 10
8 − 10
A 3 + 10;
, B 3 − 10;
6
6
⇒
B 3 + 10; 8 + 10 , A 3 − 10; 8 − 10
6
6
•
1 4
x = −2 ⇒ y = 3 A ( −2;3) , B ;
2
2
2
2 3
m = − ⇒ − x2 − x + = 0 ⇔
⇒
1
4
x = ⇒ y =
3
3
3
1 4
2
3
B ( −2;3) , A ;
2 3
1 4
A ( −2;3) , B 2 ; 3
Đ/s:
hoặc
1 4
B ( −2;3) , A ;
2 3
8 + 10
8 − 10
A 3 + 10;
, B 3 − 10;
6
6
B 3 + 10; 8 + 10 , A 3 − 10; 8 − 10
6
6
Câu 14. [Trích đề thi thử THPT Chuyên QUỐC HỌC HUẾ 2014 – Lần I]:
Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 ( C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
b) Gọi d là đường thẳng qua A ( 2; 4 ) và có hệ số góc là k . Tìm k để d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt
A, B, C sao cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ).
1
Đ/s: k = 1 hoặc k = .
3
Lời giải:
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Cách 1. Bài ra d qua A ( 2; 4 ) và có hệ số góc k ⇒ d : y = k ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = kx − 2k + 4.
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình x3 − 3 x + 2 = kx − 2k + 4
x = 2
⇔ x3 − 3x − 2 − k ( x − 2 ) = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 1 − k ) = 0 ⇔
2
( x + 1) = k
(1)
Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ A ( 2; 4 ) ứng với đề bài đã cho. Khi đó d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C
x = −1 + k
k > 0
k > 0
1
⇔
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔
⇔
(*).
Khi
đ
ó
(
)
2
k ≠ 9
( 2 + 1) ≠ k
x = −1 − k
Hoành độ của B, C chính là nghiệm của (1).
xB = −1 + k
Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử
xC = −1 − k
(
(
)
)
(
(
)
y B = k −1 + k − 2 k + 4
B −1 + k ; k k − 3k + 4
yB = k k − 3k + 4
Mặt khác B, C ∈ d ⇒
⇒
⇒
yC = k −1 − k − 2k + 4 yC = − k k − 3k + 4 C −1 − k ; − k k − 3k + 4
OB = −1 + k ; k k − 3k + 4
OB =
⇒
⇒
OC = −1 − k ; − k k − 3k + 4
OC =
(
(
)
)
( −1 + k ) + ( k k − 3k + 4)
( −1 − k ) + ( −k k − 3k + 4)
2
2
2
(2)
2
Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC ⇔ O ∉ d ⇔ 0 ≠ k .0 − 2k + 4 ⇔ k ≠ 2
(**)
Khi đó ∆OBC cân tại O ⇔ OB = OC. Kết hợp với (2) ta được
( −1 + k ) + ( k
2
k − 3k + 4
)
2
=
( −1 − k ) + ( − k
2
k − 3k + 4
)
2
⇔ −2 k + 2k k ( 4 − 3k ) = 2 k − 2k k ( 4 − 3k ) ⇔ 12k 2 k − 16k k + 4 k = 0
k = 0
1
1
Kết hợp với (*) và (**) ta được k = 1 hoặc k = thỏa mãn.
⇔ 4 k ( 3k 2 − 4k + 1) ⇔ k =
3
3
k = 1
1
Đ/s: k = 1 hoặc k = .
3
Cách 2. Bài ra d qua A ( 2; 4 ) và có hệ số góc k ⇒ d : y = k ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = kx − 2k + 4.
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình x3 − 3 x + 2 = kx − 2k + 4
x = 2
⇔ x3 − 3x − 2 − k ( x − 2 ) = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 1 − k ) = 0 ⇔
2
( x + 1) = k
(1)
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
)
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ A ( 2; 4 ) ứng với đề bài đã cho. Khi đó d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C
x = −1 + k
k > 0
k > 0
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔
⇔
(*). Khi đó (1) ⇔
2
k ≠ 9
x = −1 − k
( 2 + 1) ≠ k
Hoành độ của B, C chính là nghiệm của (1).
x = −1 + k
Do vai trò của B, C là như nhau nên ta có thể giả sử B
xC = −1 − k
(
(
)
)
(
(
)
y B = k −1 + k − 2 k + 4
B −1 + k ; k k − 3k + 4
yB = k k − 3k + 4
Mặt khác B, C ∈ d ⇒
⇒
⇒
yC = k −1 − k − 2k + 4 yC = − k k − 3k + 4 C −1 − k ; − k k − 3k + 4
⇒ CB = 2 k ; 2k k . Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M ( −1; 4 − 3k ) ⇒ OM = ( −1; 4 − 3k ) .
(
)
Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC ⇔ O ∉ d ⇔ 0 ≠ k .0 − 2k + 4 ⇔ k ≠ 2
(**)
Khi đó ∆OBC cân tại O ⇔ OM ⊥ BC ⇔ OM .CB = 0 ⇔ −2 k + 2k k ( 4 − 3k ) = 0
k = 0
1
1
Kết hợp với (*) và (**) ta được k = 1 hoặc k = thỏa mãn.
⇔ 2 k ( −1 + 4k − 3k 2 ) = 0 ⇔ k =
3
3
k = 1
1
Đ/s: k = 1 hoặc k = .
3
Cách 3. Tổng quát – dùng hệ thức Viet để giải
Bài ra d là đường thẳng qua A ( 2; 4 ) và có hệ số góc k ⇒ d : y = k ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = kx − 2k + 4.
Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình x3 − 3 x + 2 = kx − 2k + 4
x = 2
⇔ x3 − 3x − 2 − k ( x − 2 ) = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 1 − k ) = 0 ⇔ 2
x + 2x +1 − k = 0
(1)
Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ A ( 2; 4 ) ứng với đề bài đã cho. Khi đó d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C
∑ = 1 + k − 1 > 0
k > 0
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 2
⇔
k ≠ 9
2 + 2.2 + 1 − k ≠ 0
Gọi B ( x1 ; y1 ) , C ( x2 ; y2 )
( x1; x2 ≠ 2 ) ⇒ x1; x2
(*)
x1 + x2 = −2
là hai nghiệm của (1). TheoVi-et có
(2)
x1 x2 = 1 − k
B ( x1 ; kx1 − 2k + 4 )
y1 = kx1 − 2k + 4
Do B, C ∈ d ⇒
⇒
⇒ BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 ) ) .
y2 = kx2 − 2k + 4 C ( x2 ; kx2 − 2k + 4 )
x + x k ( x1 + x2 ) − 4k + 8
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M 1 2 ;
.
2
2
−2k − 4k + 8
Kết hợp với (2) ⇒ M −1;
⇒ M ( −1; 4 − 3k ) ⇒ OM = ( −1; 4 − 3k ) .
2
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
)
Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Ba điểm O, B, C lập thành ∆OBC ⇔ O ∉ d ⇔ 0 ≠ k .0 − 2k + 4 ⇔ k ≠ 2
(**)
Khi đó ∆OBC cân tại O ⇔ OM ⊥ BC ⇔ OM .CB = 0 ⇔ − ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 )( 4 − 3k ) = 0
(3)
k = 1
Do B, C phân biệt ⇒ x1 ≠ x2 nên ( 3) ⇔ −1 + k ( 4 − 3k ) = 0 ⇔
1 đều thỏa mãn (*) và (**).
k =
3
1
Đ/s: k = 1 hoặc k = .
3
Câu 15. [Trích đề thi thử THPT TĨNH GIA 2014 – Lần II]:
Cho hàm số y =
2x +1
(1).
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Tìm m để đường thẳng ( d m ) : y = mx − m + 1 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
Đ/s: m > 0 .
Lời giải:
b) TXĐ: ℝ \ {1} . Hoành độ giao điểm của ( d m ) và ( C ) là nghiệm của phương trình
mx − m + 1 =
x ≠ 1
x ≠ 1
2x +1
⇔ 2
⇔ 2
x −1
mx − mx − mx + m + x − 1 = 2 x + 1 mx − ( 2m + 1) x + m − 2 = 0
(1)
Ta có ( d m ) và ( C ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
2
⇔ ∆ = ( 2m + 1) + 4m ( m − 2 ) > 0 ⇔ 2
⇔ 1
⇔m≠0
1
2
8m − 4m + 1 > 0
2
2 ( 4m − 1) + 2 > 0
m.1 − ( 2m + 1) .1 + m − 2 ≠ 0
2m + 1
1
x1 + x2 = m = 2 + m
Khi đó theo Viet có
x x = m − 2 = 1− 2
1 2
m
m
Yêu cầu bài toán ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 1 thỏa mãn ( x1 − 1)( x2 − 1) < 0
m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0
⇔
⇔ 2
⇔ 3
⇔
⇔ m > 0.
1
m > 0
x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0
1 − m − 2 − m + 1 < 0
− m < 0
Đ/s: m > 0 .
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
- Xem thêm -
.PDF 
11 
280 
50 
