Bài tập: Hàm số mũ - logarit
GV: Trần Thanh Tú
1
BÀI TẬP RÚT GỌN
HÀM LŨY THỪA
Nhóm công thức cơ bản hàm số mũ
Nhóm 1: Công thức cơ bản
n
1
a 0 1; 1a 1; a m m ; a m a m.n ;
a
Nhóm 2: Công thức cùng cơ số
am
a m .a n a m n ;
a m n
an
Nhóm 3: Công thức khác cơ số
a .b ab ;
m
m
m
n
m
m
m
a m �a �
� �;
b m �b �
an a m
m
�a � �b �
� � � �
�b � �a �
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
1
3
3
4
�4
3 y x 2 y 2 �3
1
a. D �x x y xy y x y
� : x y
2
2
1
x 2 xy y
x x y �
�
�
�
2
�4a 9a 1 a 4 3a 1 �
�
1
b. B � 1
1
1
� 2
�
2a 3a 2
a2 a 2 �
�
Bài tập 2: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a n bn a n bn
a. A n
ab �0; a ��b
a b n a n b n
1
a 1 x 1 a 1 x 1 �
1
-1 �
B
xa
ax
�a 1 x 1 a 1 x 1 �
b.
4
�
�
Bài tập 3: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau:
1
2
1
�
�
a a �� 12
2
1
2
:
a
b
a. �
�
�
�
�
b b�
�
�
��
b.
9
a4 a4
1
4
5
4
b
1
1
2
3
b2
1
a a
b2 b 2
Bài tập 4: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau:
2
1
� 23
�
�1
��
a 3b�
3
3
3
a b 3 3 ab �
2
a. a b �
b. �a 3 b 3 �: �
�
�
b
a�
�
�
�
��
�
Bài tập 5: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
3
a2 4
2�
� 3
1
1
2
B
�a b � � a ��� 4
�
2
�
a b4 �
a. A �
b.
�
�a 2 4 �
�b 3 a �
� �
�a b3 �
��: �
a �
�
�
� �
���
� 4
�
�
�
� 2a �
Bài tập 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
Bài tập: Hàm số mũ - logarit
GV: Trần Thanh Tú
2
1
�
1 x x2
1 x x2 �
2
5 2 x 2 với x 3,92
a. A �
2
2 �
2x x �
�2 x x
5
3
�
� 32
� �
5
2
27
y
�
2
�
10
3 32 y 2 �
.32 �
b. B �
� 2 35 y
� �
�
� �
�
�
� �
�
Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
1
với y 1, 2
1
2
�
b�
3
3
.�
1 2
a. A 2
�
2 �
�a
a
�
a 3 2 3 ab 4b 3 �
1
1
� 13 13
3
8b a � a b
a 2b 3
b. B
1
1
2
1
1
2
6 �
�2a 3 b 3 4a 3 2a 3 b 3 b 3
�
Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau:
a 3 8a 3 b
�
�
�
�
�
1
2
��
�
�
�32 53 � 74 �� �13 14 12 �
�
a. A= �
3 .5 �: 2 ��
: 16 : �
5 .2 .3 �
�
��
�
�
�
� �� �
�
�
�
��
Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau:
�
�
1 1
�
a b
a b �� 14
�
1
: a b4 �
a. A � 3
1 1
1 ��
�
a 4 a 2 b 4 a 4 b 4 ��
�
1
2
1
2
3
� 32
2
x
a
�
C
Bài tập 10: a. Rút gọn biểu thức:
1
�1
2
2
�x a
b. Chứng minh:
1
b. B 0,5 625
4
0,25
3
3
�� 34
�
�
� 34
�
4
4
a
b
a
b
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ab �
b. B �
1
1
�
a2 b2
�
�
�
�
�
�
1
1
�� 2
�
1
2
x
a
�
�
�
ax 2
��x a �
��
�
a 2 3 a 4b2 b2 3 b 4 a 2
3
a2 3 b2
3
Bài tập 11:
a. Không dùng máy tính và bảng số hãy tính
3
6
847 3
847
6
27
27
1
8 38 2 4 3 4 2
3 2
8
3 2
Bài tập 12: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
b. Chứng minh rằng:
8
11
b. B a a a a : a 16
a. A 5 2 3 2 2
c. C 4 x 2 3 x
x 0
Bài tập 13: Đơn giản biểu thức
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
1
3
� 1 �2
�
2 � 19. 3
�4�
d. D 5
b3a
a b
ab 0
a 0
Bài tập: Hàm số mũ - logarit
2 1
1�
a. a 2 . �
b. a . 4 a 2 : a 4
��
�a �
Bài tập 14: Đơn giản biểu thức
a 2 2 b2 3
1
2
a.
2
3
a b
c. a
b.
a
c.
a
2 5
3
b
5
3
a 3 b
7
3
7
b
GV: Trần Thanh Tú
3
d. a 2. .a1,3 : 3 a 3
1 a2 3 a
2 3
a
a
d.
2 7
3
a
3
3
4 3
2
b
a
3
a3
3
2
3
� 1 �
�
�4 ab �
�
�
�
SO SÁNH CÁC SỐ MŨ
Kiến thức cần nhớ:
1. Nếu a 1: a m a n � m n
2. Nếu 0 a 1: a m a n � m n
3. Nếu 0 a b : a m b m � m 0
4. Nếu 0 a b : a m b m � m 0
» Nếu so sánh hai căn số không cùng chỉ số, ta đưa hai số về cùng chỉ số rồi so sánh.
» Trong một vài trường hợp khó, ta có thể dung bất đẳng thức Cauchy (cô si).
Bài tập 1: So sánh các cặp số sau:
a. 3 30 � 5 20
b.
5 �
4
3
c. 17 �
7
3
��
28
2
1 � �1 �
e. �
� � �� �
3
3
d. 4 13 �5 23
3
f. 4 5 �4
��
7
Bài tập 2: So sánh các cặp số sau:
1,7
1,7
a. 2 �2
1,2
0,8
5
2,5
5 �2
d. �
� � �1
�7 �
e. 2
Bài tập 3: Chứng minh:
20
12
2
�3� �3�
c. �
�2 �
� ��
� �
�
� � �2 �
�1 � �1 �
b. � � �� �
�2 � �2 �
0,8
�1 �
�� �
�2 �
5
f. 0, 7 6
� 0, 7
2 30 3 2
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
a. y 3 x
x
d. y 2 x 1 23 x
b. y 0,5
2
sin 2 x
c. y 2 x 2 x
2
e. y 5sin x 5cos x
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
x
f. y e1 x
2
1
3
Bài tập: Hàm số mũ - logarit
GV: Trần Thanh Tú
4
Khảo sát hàm số y a x
1. Tập xác định hàm số D �
y' 0
n�
u a > 1 � h�
m s��
t ng
�
x
2. Đạo hàm: y ' a ln a � �
y ' 0 n�
u 0 < a < 1 � h�
m s�gi�
m
�
n�
u a >1
� n�
u a >1
�0
�
ax �
lim a x �
3. Giới hạn: xlim
� �
x ��
� n�
u 0 < a <1
u 0 < a <1
�
�0 n�
� y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
4. Bảng biến thiên
x �
�
�
x
�
y'
y'
�
�
y
y
0
0
5. Giá trị đặc biệt: Cho x 0 � y 1 ; cho x 1 � y a
6. Đồ thị
Nhận xét: Hàm số y a x tăng khi a 1 , giảm khi 0 a 1 .
Hàm số y a x luôn dương với mọi x .
Bài tập 1: Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một đồ thị:
1
1
b. y x 5 �y x 5
a. y x 4 �y x 4
c. y x 2 �y x 2
Bài tập 2: Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu: y
2 x 2 x
2
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Bài tập 3: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
x
� �
a. y � �
�3 �
x
�2 �
b. y � �
�e �
x
� 3
�
c. y �
�
�3 2�
BÀI TẬP LOGARIT
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
x
� 1
�
d. y 3 �
�
�3 2�
x
Bài tập: Hàm số mũ - logarit
GV: Trần Thanh Tú
5
�x 0
Định nghĩa: Hàm số y log a x xác định khi �
0 a �1
�
�N
log a x b � x a b ( b được gọi là logarit cơ số a của x )
Chú ý: Khi cơ số a e �2,7 thì log a x ln x (đọc là log nê be x ) logarit tự nhiên.
Khi cơ số a 10 thì log a x lg x (đọc là log x ) logarit thập phân.
Nhóm công thức cơ bản hàm số logarit
Nhóm 1: Công thức cơ bản
1
log a 1 0; log a a 1; log a x log a x; log a x log a x; log a x log a x
Nhóm 2: Công thức tích thành tổng (Qui tắc tính)
log a xy log a x log a y � c�
ng th�
c TQ: log a x1 x2 ...xn log a x1 log a x2 ... log a xn
x
log a x log a y
y
Nhóm 3: Công thức đổi cơ số
log a
log a x
1
hay log a c.logc x log a x;
log a x
log a c
log x a
Nhóm 4: Công thức liên hệ giữa hàm số mũ và logarit
log c x
aloga x x
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a. y log 1
2
d. y log 1
2
x 1
x5
� x2 1 �
y
log
log 5
b.
�
1 �
x3 �
5 �
x 1
log 2 x 2 x 6
x 1
�
x2 2 �
f. y log 0,3 �log3
�
x5 �
�
c. y log 2
2
e. y lg x 3x 4
g. y log
x3
x 1
1
x2 x 6
x 1
2x 3
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau :
� 14 12 log9 4
� log7 2
81
25log125 8 �
.49
a. �
�
�
� 12 log7 9 log7 6 log 5 4 �
72
5
c. �49
�
�
�
Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. A log 9 15 log 9 18 log 9 10
1
b. 161 log4 5 4 2 log2 33log5 5
d.
36log6 5 101lg 2 3log9 36
3
1
2
c. C log 36 2 log 1 3
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
6
1
2
3
b. B 2 log 1 6 log 1 400 3log 1 45
3
d. D log 1 log 3 4.log 2 3
4
3
Bài tập: Hàm số mũ - logarit
GV: Trần Thanh Tú
6
Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
�
�
a. A log 2 �2sin � log 2 cos
b. B log 4
12
� 12 �
2.
7 3 3 log 4
3
49 3 21 3 9
d. D log 4 x log 4 216 2 log 4 10 4 log 4 3
Bài tập 5: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
1
1
1
..........
a. A
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
1. log ax bx
3
1
3
c. log10 tan 4 log10 cot 4
b. Chứng minh:
x 2011!
log a b log a x
1 log a x
k k 1
1
1
1
.........
log a x log a 2 x
log ak x 2 log a x
Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. A log a a 3 a 5 a
b. B log a a 3 a 2 5 a a
c. log 1
a
d. A lg tan1 lg tan 2 lg tan 3 .... lg tan 89
e. B log 3 2.log 4 3.log 5 4......log15 14.log16 15
0
0
0
a 5 a3 3 a 2
a4 a
0
Bài tập 7: Chứng minh rằng
a. Nếu a 2 b 2 c 2 ; a 0, b 0, c 0, c �b �1 thì log c b a log c b a 2log c b a.log c b a
b. Nếu 0
1
�
1
��
x ln a
y ' 0 n�
u 01
�
lim log a x �
x �0
� n�
u 01
�
lim log a x �
x � �
� n�
u 0
- Xem thêm -