Bài tập giói hạn của dãy số và hàm số

  • Số trang: 14 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 25 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 43037 tài liệu

Mô tả:

Giíi h¹n A. KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa I. Giíi h¹n cña d·y sè 1. D·y sè cã giíi h¹n 0 a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè  u n  cã giíi h¹n 0, kÝ hiÖu lim  u n   0 (hay lim u n  0 ), nÕu víi mäi sè d¬ng nhá bao nhiªu tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d¬ng ®ã. 1 1 lim  0; lim   0    0  ; lim q n  0  | q | 1 n n b. TÝnh chÊt: | u n |�v n � c. §Þnh lÝ: Cho hai d·y sè u n , v n : � � lim u n  0 (1) lim  v n   0 � 2. D·y sè cã giíi h¹n h÷u h¹n a. §Þnh nghÜa: Ta nãi r»ng d·y sè  u n  cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim u n  L , nÕu lim  u n  L   0 b. C¸c ®Þnh lÝ: • Cho (un) mµ un = c, n : lim u n  c lim | u n || L | � � • limun = L � � lim 3 u n  3 L � lim u n  L � lim  u n  L   0 • NÕu lim u n  L, lim v n  M th×: lim  u n �v n   L �M; lim  u n .v n   L.M; lim k.u n  k.L (k ��); lim un L  (M �0) vn M �v n �u n �w n , n • � � lim u n  L (2) lim v n  lim w n  L  L �� � • D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. (3) c. Tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n 1  qn • Sn  u1  u1q  u1q 2  ...  u1q n 1  u1 . ; 1 q • S  u1  u1q  u1q 2  ...  u1q n 1  ...  limSn  lim u1 . u 1 qn  1 ; 1 q 1 q 3. D·y sè cã giíi h¹n v« cùc a. D·y sè cã giíi h¹n � Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n +∞, kÝ hiÖu limun = +∞, nÕu víi mçi sè d¬ng tïy ý cho tríc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu lín h¬n sè d¬ng ®ã. KÕt qu¶: lim n  �; lim n  �;lim 3 n  � b. D·y sè cã giíi h¹n - ∞ Ta nãi r»ng d·y (un) cã giíi h¹n lµ - ∞, kÝ hiÖu limun = -∞, nÕu víi mäi sè ©m tïy ý cho tr íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu nhá h¬n sè ©m ®ã. c. C¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc • Quy t¾c nh©n • Quy lim u n lim v n � � � � � � � � t¾c chia lim u n  L �0 cã dÊu lim  u n .v n  � � � � lim u n � � � � lim v n  0, v n �0 cã dÊu lim v n +  +  lim  u n .v n  � � � � un vn � � � � lim + +  +  +   II. Giíi h¹n cña hµm sè 1. Giíi h¹n h÷u h¹n a. Giíi h¹n h÷u h¹n Cho x 0 � a; b  vµ f lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp  a; b  \  x 0  . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L, kÝ hiÖu lim f  x   L , khi x dÇn ®Õn x 0 (hoÆc t¹i ®iÓm x 0 ), nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong tËp  a; b  \  x 0  mµ lim x n  x 0 , ta x �x 0 ®Òu cã lim f  x n   L b. Giíi h¹n v« cùc lim f  x   �nÕu mäi d·y  x n  trong tËp  a; b  \  x 0  mµ lim x n  x 0 th× lim f  x n   � x �x 0 2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 1 Trường THPT Lê Hồng Phong §Þnh nghÜa: Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  a; � . Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  a; � mµ lim x n  �, ta ®Òu cã lim f  x n   L +∞, kÝ hiÖu xlim �� 3. C¸c ®Þnh lÝ f  x   L vµ lim g  x   M  L, M �� . Khi ®ã: a. §Þnh lÝ 1: Gi¶ sö xlim �x x �x 0 0 � f  x  �g  x  � • xlim � L �M �x 0 � � f  x  .g  x  � • xlim � L.M �x � � k.f  x  � � k.L • xlim �x � • lim 0 0  k �� x �x 0 f  x g x  L M  M �0  f  x   L . Khi ®ã: b. §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö xlim �x 0 | f  x  || L | ; • xlim �x 0 3 f x  3 L   • xlim ; �x 0 f  x  L . • NÕu f  x  �0 víi mäi x �J \  x 0  , trong ®ã J lµ mét kho¶ng nµo ®ã chøa x 0 th× L �0 vµ xlim �x 0 c. §Þnh lÝ 3: Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \  x 0  . Khi ®ã: � x Σ� J \  x0 : g  x  f  x  h  x  � � lim f  x   L �lim g x  lim h x  L x �x 0     � x � x x � x 0 � 0 4. Giíi h¹n mét bªn a. §Þnh nghÜa: • Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  x 0 ; b  , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn ph¶i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  x 0 ; b  mµ lim x n  x 0 , ta ®Òu cã lim f  x n   L . x0, kÝ hiÖu: xlim �x  0 • Gi¶ sö hµm f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng  a; x 0  , x 0 ��. Ta nãi r»ng hµm f cã giíi h¹n bªn tr¸i lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn f  x   L , nÕu víi mäi d·y sè  x n  trong kho¶ng  a; x 0  mµ lim x n  x 0 , ta ®Òu cã lim f  x n   L . x0, kÝ hiÖu: xlim �x  0 f  x   �; lim f  x   �; lim f  x   �; lim f  x   � ®îc ph¸t biÓu t¬ng tù nh trªn. • C¸c ®Þnh nghÜa xlim �x  x �x x �x x �x 0 0 b. §Þnh lÝ: • lim f  x   lim f  x   L � lim f  x   L x �x 0 0 0 x �x 0 x �x 0 1 0 0 f  x | f  x  | �� lim • xlim �x x�x 0 5. Quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc a. Quy t¾c nh©n lim g  x   L �0 lim f x x �x 0   x �x 0 cã dÊu +  +  b. Quy t¾c chia lim f  x   L �0 lim � f  x  .g  x  � � � x �x 0 x �x 0 cã dÊu + +   lim g  x   0 x �x 0 g(x) cã dÊu +  +  lim f  x g x � � � � x �x 0 � � � � � � � � 6. C¸c d¹ng v« ®Þnh f  x   , lim � f  x g x � , lim � f  x  g x � Khi t×m lim � � � �khi x � x 0 ; x � x 0 ; x � x 0 ; x � �; x � � ta gÆp c¸c d¹ng g x 0 � , , 0.�� ,  �, lóc ®ã ta kh«ng dïng ®îc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n còng nh c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« 0 � cùc. PhÐp biÕn ®æi vÒ c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c ®· biÕt gäi lµ phÐp khö c¸c d¹ng v« ®Þnh B. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: T×m giíi h¹n cña d·y sè Ph¬ng ph¸p gi¶i: Dïng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y sè. v« ®Þn, kÝ hiÖu 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n  3n n2 Gi¶i: 8n 2  3n 3  lim 3 8   3 8  2 2 n n 2 2n  3n 1 VÝ dô 2: T×m: lim 2 n  2 Gi¶i: lim 3 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 2 Trường THPT Lê Hồng Phong 3 1 2  2 2n 2  3n  1 n n  2  2 lim  lim 2 2 n  2 1 1  2 n  VÝ dô 3: T×m: lim n  1  n 2  1 Gi¶i:   lim n  1  n 2  1  lim  2n n 1 n  1 2  lim 2 1 1 1  1 2 n n  1 . D¹ng 2: Chøng minh lim u n  0 Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ: | u n |�v n � Cho hai d·y sè u n , v n : � � lim u n  0 (1); lim  v n   0 � �v n �u n �w n , n � lim u n  L (2) � lim v n  lim w n  L  L �� � VÝ dô: Chøng minh: lim  Gi¶i: Ta cã:  1 n cos n n � 1 n 1 cos n n n vµ lim 1 n 0   0 nªn lim 1 cos n n n 0 D¹ng 3: Chøng minh lim u n tån t¹i Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ D·y (un) t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n; D·y (vn) gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. 1 VÝ dô: Chøng minh d·y sè  u n  cho bëi u n  cã giíi h¹n. n  n  1 Gi¶i: n  n  1 1 u 1 n  0, nªu .   1, n. Do ®ã d·y  u n  gi¶m. Ngoµi ra, n ��* : u n  Ta cã n 1  n  n  1 un 1 n2  n  1  n  2  d·y  u n  bÞ chÆn díi. VËy d·y  u n  cã giíi h¹n. D¹ng 4: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n u Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: S  1 ,| q | 1 1 q VÝ dô: TÝnh tæng S  1  Gi¶i: 1 1 1  2  ...  n  .... 2 2 2 §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q  u 1 S 1  2 1  1 vµ u1  1 . VËy: 1 q 1 1 2 2 D¹ng 5: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc 2n 3  4n  3 VÝ dô: T×m: lim 3n 2  1 Gi¶i: C¸ch 1: 4 3 2  2  3 2n 3  4n  3 n n Ta cã: lim  lim 3 1 3n 2  1  n n3 4 3 � � �3 1 � 3 1 L¹i cã lim � 2  2  3 � 2  0, lim �  2 � 0 vµ  3  0  n ��*  nªn suy ra: n n � n n � �n n � 4 3 2  2  3 2n 3  4n  3 n n lim  lim  � 3 1 3n 2  1  3 n n C¸ch 2: Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 3 Trường THPT Lê Hồng Phong 2n 3  4n  3 Ta cã: lim  lim 3n 2  1 4 3 � � 4 3 � n3 � 2  2  3 � 2  2  3 � n n � � lim n. n n � 1 1 � 2� � 3 2 n � 3 2 � � n � n � � � � � � 4 3 4 3 �  3 2  2  3 3 2 � 2  2n  4n  3 n n    0 � lim n n L¹i cã lim n  �; lim  lim � n. 2 1 1 3 3n  1 � 3 2 3 2 � n n D¹ng 6: T×m giíi h¹n cña hµm sè Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c¸c ®Þnh lÝ vµ quy t¾c 1� � VÝ dô 1: TÝnh: lim �x.sin �. x �0 x� � Gi¶i: 1 XÐt d·y  x n  mµ x n �0, n vµ lim x n  0 . Ta cã: f  x n   x n sin � | xn | xn 2  � � � � � � 1� � V× lim | x n | 0 � lim f  x n   0. Do ®ã lim �x.sin � 0 . x �0 x� � VÝ dô 2: TÝnh: lim  x �� Gi¶i:  Ta cã: xlim ��  x  x  1  x  lim 2 VÝ dô 3: TÝnh: lim  x �� Gi¶i:  Ta cã: xlim �� x2  x  1  x  x2  x  1  x2 x2  x  1  x x �� x 2  3x  1  x  x 2  3x  1  x  lim  lim  3x  1 x �� x �� x 2  3x  1  x 1 1 x  lim  2 x �� 2 1 1 x  x 1  x 1  2 1 x x x 1 1 1 1 3 3 x x  lim  2 x�� 2 3 1 x  3x  1  1  2 1 1 x x x 3  lim x �� (Chó ý: khi x � � lµ ta xÐt x < 0, nªn x   x 2 ) D¹ng 7: Chøng minh lim f  x   0 (HoÆc b»ng L) x �x 0 Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh lÝ giíi h¹n kÑp Gi¶ sö J lµ mét kho¶ng chøa x 0 vµ f, g, h lµ ba hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp hîp J \  x 0  . Khi ®ã: � x Σ� J \  x0 : g  x  f  x  � �lim g x  lim h x  L   x �x 0   � �x �x0 h  x � lim f  x   L x �x0 2 VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x  0 x �� 1  x 4 Gi¶i: x 2 sin x x2 x2 x2 Ta lu«n cã: | f  x  | � �  � f x �   1 x4 1  x4 1  x4 1 x4 1 1 2 2 x2 x2 x2 x2 x 2 sin x x x lim  lim  0; lim  lim  0 � lim  lim  0 � lim 0. 4 4 4 4 x ��1  x x �� 1 x ��1  x x �� 1 x � �1  x x � �1  x x � � 1  x 4 1 1 x4 x4 D¹ng 8: T×m giíi h¹n mét bªn Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn �x 3 v� i x  1 � f  x VÝ dô 1: Cho hµm sè f  x   � 2 . T×m xlim �1 2x  3 v� i x �1 � Gi¶i: 2 Ta cã: lim  f  x   lim   2x  3   2.  1  3  1 (1) 2 x � 1 x � 1 lim  f  x   lim  x 3  1 (2) x � 1 x � 1 f  x   1 Tõ (1) vµ (2) suy ra xlim �1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 4 Trường THPT Lê Hồng Phong �1 � � VÝ dô 2: Cho hµm sè f  x   �x  1 �1 �x  1 a. T×m lim f  x  khi x  1 khi x  1 x �2 f  x b. T×m lim x �1 Gi¶i: 1 1 a. lim f  x   lim  x �2 x �2 x  1 3 lim f x   b. x �1  1 1 1 f  x ; lim f  x  lim lim f  x  lim f  x  suy ra kh«ng tån t¹i lim x �1 x � 1 x � 1 x �1 x �1 2 1 x 2 f  x  tån t¹i khi vµ chØ khi lim f  x   lim f  x   L th× lim f  x   L ) (Chó ý: xlim �x x �x x �x x �x 1 lim 1 x  Ta cã: limf  x  x �1 x �1 0 0 0 0 D¹ng 9: T×m giíi h¹n v« cùc Ph¬ng ph¸p: Sö dông quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc VÝ dô: TÝnh lim 4x 2  1 x � � Gi¶i: 1 � 1 � x2 � 4  2 � lim | x | . 4  2 x �  � x � x � 4x 2  1  lim lim x �� x �� | x | � vµ lim V× xlim �� x �� 4 1  2  0 � lim 4x 2  1  � x � � x2 D¹ng 10: Khö d¹ng v« ®Þnh Ph¬ng ph¸p gi¶i P x P  x   lim Q  x   0 : 1. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim , víi xlim �x 0 x �x0 x �x 0 Q  x  • Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x  x 0 • NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho lîng liªn hiÖp. 2 VÝ dô 1: T×m: lim x  9x  14 x �2 x2 Gi¶i:  x  2  x  7  x 2  9x  14 lim  lim  lim  x  7   5 x �2 x � 2 x �2 x2 x2 VÝ dô 2: T×m: lim 4  x  2 x �0 4x Gi¶i: 4x 2  lim x �0 4x lim x �0  4 x 2 4x  x7 2 lim  lim x �1 x �1 x 1  lim x �1  3  x  7 x7 2  Gi¶i: 2x  5  3 x22  3 3    2   lim x �0  x  7  x  1 3  x  7   2. x  7  4 x �2 x �2 3 1 2 VÝ dô 4: T×m: lim lim  4 x  2 4x 2 3 VÝ dô 3: T×m: lim x  7  2 x �1 x 1 Gi¶i: 3  2 4x 4 4x  4x 2  2. 3 x  7  4  2. 3 x  7  4    lim x �1   lim x �0  4  1 4x 2   1 16 x  7  23  x  1 3  x  7  2  2. 3 x  7  4  1 12 2x  5  3 x22  lim x �2    x  2  2  2x  5  3   x  2  2  lim  2x  5  9   x  2  2   lim 2  x  2  2   4 3 2x  5  3 x  2  2   2x  5  3   x  2  4   2x  5  3  2x  5  3 x �2 x �2 3 VÝ dô 5: T×m: lim x  3x  2 x �1 x 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 5 Trường THPT Lê Hồng Phong Gi¶i:   �  x3  1  3x  2  1 � x 3  3x  2 x3 1 3x  2  1 � 3x  2  1  lim  lim �   lim x2  x 1 � x �1 � x �1 x �1 x �1 � x 1 x 1 x  1 x  1  x  1 3x  2  1 � � � 3 3 3 �2 �  lim � x  x 1 � 3  2  2 x �1 3x  2  1� � lim VÝ dô 6: T×m: lim 4   � � � � x  2 1 x  2 1 Gi¶i: §Æt t  12 x  2 � x  2  t12 � x  t12  2, khi � �x � 1 th� t � 1 . Do ®ã: x �1 3 4 lim x �1 3  t  1  t 2  t  1 t3 1 t2  t 1 3  lim 4  lim  lim  t �1 t  1 t �1 t  1 t  1 t 2  1 t �1 t  1 t 2  1 x  2 1        4 x  2 1 3 VÝ dô 7: T×m: lim x  7  x  3 x �1 x 1 Gi¶i: 3 lim x 7  x 3  lim x �1 x 1  3   x7 2  x 3 2   lim � x  7  2  3 � x �1 x �1 x 1 � x 1 � � � � x  7  23 x  3 4  lim �  � 2 x �1 3 � x  7  2. 3 x  7  4�  x  1 x  3  2 �  x  1 � � � � � � �    x 3  2� � x 1 �  � � 1 1 � 1  1   1  lim �  2 x �1 � 3 6 3 x  3  2 � 12 4 �  x  7  2 x  7  4 � 2. Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim P x , ta lu ý: Q x • §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x) 1 • Sö dông kÕt qu¶: lim   0 ( víi   0 ) x �� x x ��� 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3x  4x  1 x �� 2x 2  x  1 Gi¶i: 4 1 3  2 3x 2  4x  1 x x 3 lim  lim x �� 2x 2  x  1 x � � 1 1 2 2   2 x x x 2  x  1  3x 2  3x VÝ dô 2: T×m: lim x �� Gi¶i: x 2  x  1  3x  lim x � � 2  3x lim x �� VÝ dô 3: T×m: lim 3 x �� Gi¶i: 3 lim x ��  1 1 1  3 1  3 4 x x2   2 3 3 3 x 8x 3  3x 2  1  x 4x 2  x  2  3x 3 1  3 1 3 8 1 x x  lim  1 2 x �� 1 2  4 3 4x  x  2  3x  4  2 3 x x C. Bµi tËp tù luËn 8x 3  3x 2  1  x 3 8 1. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: 2 1. lim x2  5x  6 x �3 x  8x  15 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 2. lim1 x� 2 8x 2  1 6x 2  5x  1 3 2 3. lim x  4x2  4x  3 x �3 x  3x 6 Trường THPT Lê Hồng Phong 4. lim 2x4  5x3  3x 2  1 x �1 4 3 5. lim x 4  3x  2 x �1 2 3x  8x  6x  1 x  4x  3 3 7. lim x 5  2x  1 x �1 x  2x  1 2. T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau: x2 1. lim x �2 3 x 7 4. 7. lim x �2 3 lim x �1 8. lim x �0 9. lim x �0 x 2. 5. x2  23 x 1 8. 2 x  8x  16  1  x   1  2x   1  3x   1 x 7 3 x2  4  x  1 3 2 6. lim x 4 2x 2 4x  8 x �2 3 2x  7  3 lim 3 lim x �2 3 lim x �0 x 3. x 3 2 x �1  1  x   1  2x   1  3x  ...  1  nx   1 1  x 2 1 x lim x �0 4x  2 x2 6. x 1 9. lim 1  x 2 1 x2 lim x 2  x7 5 x2 3 x �0 x 1 x �2 3 3 10. lim 1  x  1  x x �0 2 11. lim  3x  2 2 4x  x  2 x �1 12. lim 2x  2  3x  1 x �1 2 2 13. lim x  2x 2 6  x  2x  6 x �3 14. lim x  9  x  16  7 x �0 3 2 3 15. lim x  2  2 x  x  1 x �1 x x  3x  2 x  4x  3 3. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: x 3 1. lim x 2 7  x  3 3 2. lim 2 1  x  8  x 4. lim x  112  8x  43 x �2 5. lim 7  x  3  x 7. lim 1  4x 1  6x  1 8. lim 1  2x 2 1  3x x �1 x  3x  2 3 2x  3x  2 3 x �0 3 3 x x �0 2 6. lim x  7  5  x 2 3 x 1 x �1 x 1 3 3. lim 1  x  1  x x x �0 x 1 x 1 x �1 3 x x x �0 4. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:  2x  3  4x  7  3 2 1. lim 42x 33x 24x  1 x �� 2. lim x 2  x  1 x �� 3. x ��  2x  3  3x  2  4. x �� 50  2x  1 2 5. lim x  2x  3x 2 x �� 6. lim 5x  3 1  x x �� x  5x  2x  x  3 20 30 lim 5. T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau: � x 2  x  1  x 2  x  1� 1. xlim ��� � 2 2 lim 2x  x  1  3x 3 3  1  10x 2  9  1 x 4x  1  x  2 � 2. xlim  2x  5   4x 2  4x  1� ��� � �x  x  x � 3. xlim ��� � x. � x 2  1  x � 4. xlim �� � � x � 4x 2  9  2x � 5. xlim �� � � x 2 � 3x 4  5  3x 4  2 � 6. xlim �� � � 3 � x3  2  x 2  1� 7. xlim ��� � x � 4x 2  5  3 8x 3  1 � 8. xlim �� � � 1. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0? 1 1 a. b. n n 2. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? n n 5� �1 � a. � b. �� �� �3 � �3 � 3. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? a.  0,909  n b.  1,012  n 4. D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n? a.  0,99  n b.  1 n 5. Gäi L  lim  1 . Khi ®ã L b»ng n4 1 1 a.  b.  5 4 6. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0? 1 1 a. b. n 2n D. Bµi tËp tr¾c nghiÖm D·y sè cã giíi h¹n 0 c. 2n  1 n n d. cos n n n 5� c. � � � � 3� 4� d. � � � � 3� c.  1, 013 n d.  1,901 n c.  0,99  n d.  0,89  n c. – 1 d. 0 n Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 n 4� c. � �� �3 � D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n 7 d.  1 n n Trường THPT Lê Hồng Phong 7. Cho u n  a. 1  4n . Khi ®ã un b»ng 5n 3 5 8. Cho u n  b.  3 5 c. 4 5 d.  c. 2 5 d. 4 5 2 n  5n . Khi ®ã limun b»ng 5n a. 0 b. 1 9. Gäi L  lim 9  cos 2n th× L b»ng sè nµo sau ®©y? n a. 0 b. 3 1 10. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   2 4 8 2n 1 a. 1 b. 3 c. 3 7 5 d. 9 n 1 ,... lµ c.  1 11. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   ,... lµ 3 9 27 3n 1 1 a. b. 4 2 n 1 1 12. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n 1 ,  1 , 1 ,...,   ,... lµ 2 6 18 2.3n 1 8 3 a. b. 3 4 1 3 d.  2 3 n 1 c. 3 4 d. 4 c. 2 3 d. 1 13. Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n: 1,  1 , 1 ,  1 ,...,   ,... lµ 2 4 8 2 n 1 2 2 3 a.  b. c. 3 3 2 D·y sè cã giíi h¹n v« cùc 14. KÕt qu¶ L  lim  5n  3n 3  lµ a. � b. – 4 c. – 6 2 15. BiÕt L  lim  3n  5n  3 th× L b»ng a. � b. 3 c. 5 3 2 16. lim  3n  2n  5  b»ng a. � b. – 6 c. – 3 3 17. lim 2 b»ng 4n  2n  1 3 a. � b.  c. – 1 4 2 18. lim 4 b»ng 5n  2n  1 2 1 a. b. c. 0 5 2 3 19. lim 3n  2n  1 b»ng 4n 4  2n  1 3 a. 0 b. � c. 4 4 2n  2n  2 20. lim 4 bằng 4n  2n  5 1 a. 0 b. � c. 2 2 4 5n  3n 21. lim 4 b»ng 4n  2n  1 3 5 a.  b. 0 c. 4 4 3 8 n 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 8 d. 2 d. � d. � d. � d. 0 d. � d. 2 7 d. 3 11 d. 3 4 Trường THPT Lê Hồng Phong 3 22. lim 2n  3n b»ng 2 4n  2n  1 5 3 a. b. 7 4 23. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ �? a. u n  3n 2  n 3 b. u n  n 2  4n 3 24. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ - ∞? a. u n  n 4  3n 3 b. u n  3n 3  2n 4 2 25. lim 4n  5  n  4 b»ng 2n  1 a. 0 26. KÕt qu¶ lim   d. � c. u n  4n 2  3n d. u n  3n 3  n 4 c. u n  3n 2  n d. u n   n 2  4n 3 b. 1 c. 2 d. � b. 10 c. 10 d. 0 b. 1 c. 3 4 d.  4 3 d. L 3 n  10  n lµ a. +∞ 27. KÕt qu¶ lim c. 0 3  2n  4n lµ 4n 2  5n  3 2 a. 0 28. NÕu lim u n  L th× lim u n  9 b»ng a. L + 9 b. L + 3 29. NÕu lim u n  L th× lim 1 3 un  8 1 a. L9 b»ng bao nhiªu? 1 b. L 8 c. c. L8 2n  3 b»ng 2n  5 5 5 a. b. 7 2 4 10 n 31. lim 4 b»ng bao nhiªu? 10  2n a. � b. 10000 1  2  3  ...  n 32. lim b»ng bao nhiªu? 2n 2 1 a. 0 b. 4 1 L 2 3 d. 1 3 L8 30. lim 3 3 33. lim n  n b»ng 6n  2 1 a. 6 34. lim n  b.  c. 1 d. � c. 5000 d. 1 c. 1 4 c. 1 2 3 d. � 2 6 d. 0 n 2  1  n 2  3 b»ng bao nhiªu? a. +∞ b. 4 n  sin 2n 35. lim b»ng sè nµo sau ®©y? n 5 2 1 a. b. 5 5 36. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0? 1  2n n 2  2n a. u n  b. 2 5n  3n 2 5n  3n 37. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞? 1  2n n 2  2n a. u n  b. 2 5n  5n 2 5n  5n 38. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n +∞? 2 2007  2008n a. u n  9n  7n b. u n  n 1 n  n2 39. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1? Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 c. 2 d. – 1 c. 0 d. 1 c. 1  2n 2 5n  3n 2 c. u n  1 n2 5n  5 c. u n  2008n  2007n 2 9 d. u n  n2  2 5n  3n 2 d. u n  n2  2 5n  5n 3 d. u n  n 2  1 Trường THPT Lê Hồng Phong 2 2 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3 3 2n  4 2n 2  1 40. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0? 2 3 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3n 2n 3  4 2n 2  1 41. Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ �? 2 2 a. lim 2n  3 b. lim 2n  3n 3 2 n 4 2n  1 1 42. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng ? 5 2 1  2n n  2n a. u n  b. u n  5n  5 5n  5n 2 43. NÕu L  lim � n �  3 d. lim 2n  3 2n 2  1 c. lim 2n  3n 2n 3  n 2 4 d. lim 3  2n 2n 2  1 c. lim 2n  3n 2n 3  n 2 d. lim 3  2n 2n 2  1 2 2 c. u n   b.  2n 2  3 2n 3  2n 2 4 1  2n 2 5n  5 3 3 d. u n  1  2n 5n  5n 2 n 2  2  n 2  4 �th× L b»ng � a. � 44. Gäi L  lim � n � a. � c. lim 7 2 d. 0 c. 3 d. 2 c. 7 1  n 2  2  n 2  4 �. Khi ®ã L b»ng � b. 6 45. lim 4n  1  n  2 b»ng 2n  3 2 b. 3 2 c. 2 d. � b. 29 3 c. 9 d. 3 b. 2 1 50. D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n  ? 3 2 3 n  3n 2n  n 2 a. u n  3 b. u n  2 9n  n  1 3n 2  5 Giíi h¹n cña hµm sè 51. lim  x 2  x  7  b»ng x �1 a. 5 b. 7 2 52. lim  3x  3x  8  b»ng c. 4 d. � c. 9 d. � a. 2 2 53. lim x  3x  2 b»ng x �1 x 1 a. 1 3 2 54. lim 3x  x  2 b»ng x �1 x2 b. 5 c. 9 d. 10 b. 1 c. 2 d. � b. 1 c. a. 1 46. lim cos 2n  9 b»ng 3n a. � 47. lim   n 2  2n  n 2  2n cã kÕt qu¶ lµ a. 1 x �2 a. 5 3x 4  2x 5 b»ng x �1 5x 4  3x 6  1 1 a. 9 3x 2  x 5 56. lim 4 b»ng x �1 x  x  5 4 a. 5 x 2  x3 57. lim 2 b»ng x �2 x  x  3 c. u n  5 3  n 4  2n 3  1 3n 3  2n 2  1 d. u n  d.  5 3 d.  2 3  n 2  2n  5 3n 3  4n  2 55. lim Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 b. 3 5 c.  b. 4 7 c. 10 2 5 2 5 d. 2 7 Trường THPT Lê Hồng Phong a.  4 9 b. x 4  2x 5 b»ng x �1 2x 4  3x 5  2 1 a.  12 x  x 3 b»ng 59. lim x �2 x 2  x  1 10 a.  7 12 5 c. 4 3 d. � 58. lim b.  1 7 c.  b.  10 3 c. 2 7 6 7 d. � d. � 60. lim 4x 3  2x  3 b»ng x �1 a. 5 3 61. lim x �1 3 x 1 x 3 2 2 b. 3 c. 1 b. 1 c. b»ng a. 0 62. lim 2x  x  2x  3 b»ng x �� x  2x 4 a. 2 b. 1 3x 4  2x  3 63. lim b»ng x �� 5x 4  3x  1 4 a. 0 b. 9 4 5 3x  2x 64. lim 4 b»ng x �� 5x  3x  2 2 3 a.  b. 5 5 3x 4  2x 5 65. lim 4 b»ng x �� 5x  3x 6  2 3 a. � b. 5 4 66. lim x �� 3 x �2 x �1 4 2 d.  2 3 c. 1 d. 2 3 5 d. � c. � d. � c. c.  2 5 d. 0 3x 4  4x 5  2 b»ng 9x 5  5x 4  4 2 3 b. 1 3 c. 5 3 d. b. 1 3 c. 35 9 d. � b. 3 8 x 4  4x 2  3 b»ng 7x 2  9x  1 1 15 a. 68. lim 1 3 2 a. 0 67. lim d. 5 x 4  4x 2  3x b»ng x 2  16x  1 1 8 a. | x 3| b»ng 3x  6 1 a. 2 3 8 Giíi h¹n mét bªn c. d. � c. 0 d. � 69. lim x �3 70. lim  x �1 b. 1 6 1  x 3 b»ng 3x 2  x a. 1 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 b. 0 c. 11 1 3 d. � Trường THPT Lê Hồng Phong x2 b»ng x 1 1 a.  2 2 x  1 lµ 72. lim  x �1 x  1 a. � 3 73. lim x  2x  3 b»ng x �2 x 2  2x 71. lim  x �1 a. � 74. lim  x �0 2x  x 5x  x d. � b. 2 c. 1 d. � b. 1 8 c.  9 8 d. � b. 2 5 c. 1 d. � c. 1 d. � lµ a. � 75. lim 1 2 c. � b. x 2  4x  3 x3  x 2 a. 1 x �1 lµ b. 0 �x 2  3x  1 76. Cho hµm sè: f  x   � 5x  3 � a. 11 b. 7 v� ix2 . Khi ®ã lim f  x  b»ng: x �2 v� i x �2 c. 1 � 2x  2x v� i x �1 � 77. Cho hµm sè f  x   � 3 . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 i x 1 �x  3x v� a. – 4 b. –3 c. –2 �2  x  3 khi x �1 � � 2 78. Cho hµm sè y  f  x   � x  1 . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 �1 khi x  1 � �8 1 1 a. b.  c. 0 8 8 �x 2  1 v� i x 1 � 79. Cho hµm sè: f  x   �1  x . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 � 2x  2 v� i x �1 � a. –1 b. 0 c. 1 � 2x v� i x 1 � 80. Cho hµm sè f  x   � 1  x . Khi ®ã lim f  x  b»ng x �1 � 3x 2  1 v� i x �1 � a. � b. 2 c. 4 d. 13 3 d. 2 d. � d. � d. � Mét vµi quy t¨c t×m giíi h¹n v« cùc (d¹ng v« ®Þnh) 81. Cho L  lim 2x  3x  1 . Khi ®ã x �1 1 x2 1 1 a. L  b. L  2 4 2 x 4 82. Cho L  lim 2 . Khi ®ã x �2 2x  3x  2 4 4 a. L  b. L   5 5 2 83. lim x  3x  2 b»ng x �2 2x  4 3 a. � b. 2 2 x  12x  35 84. lim b»ng x �2 x 5 2 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 c. L   c. L  c. 12 1 2 1 2 1 4 d.  1 2 d. L   d.  1 2 1 2 Trường THPT Lê Hồng Phong a. � b. 5 c. 2 5 d.  2 5 1 5 c. 2 5 d.  2 5 c. 1 2 d.  1 2 x 2  12x  35 b»ng x �5 5x  25 85. lim a. � b. x 2  2x  3x 86. lim b»ng x �� 4x 2  1  x  2 2 a. 3 87. lim  a. � x ��  a. 89. lim x x ��  2 3 x  1  x  3 b»ng x �� 88. lim x b.   b. 2 c. 0 d. � 5 2 d. � x  5  x b»ng 2 b. 5   5 c. 2 x 2  2  x b»ng a. � t4 1 90. lim b»ng t �1 t  1 a. � t4  a4 91. lim b»ng t �a t  a a. 4a 2 y4  1 92. lim 3 b»ng y �1 y  1 a. � 3x 2  x 5 b»ng x �� x 4  6x  5 a. � b. 2 c. 1 d. 0 b. 4 c. 1 d. � b. 3a 3 c. 4a 3 d. � b. 0 c. b. 3 c. –1 d. � b. 1 c. 2 d. � b. –1 c.  b. 1 c. 2 3 d.  b. –4 c. 1 2 d. � b. –1 c. 4 d. � b. –2 c.  3 4 d. 4 3 93. lim 4x  1  x  5 b»ng 2x  7 2 94. lim x �� a. 0 95. lim x  1  x  x  1 b»ng x �0 x 2 a. 0 3 96. lim x �1 x 1 x 3 2 2 1 2 d. � b»ng a. � 2 3 x 2  2x  15 b»ng x �5 2x  10 97. lim a. –8 x 2  2x  15 b»ng x �5 2x  10 a. –4 x 2  9x  20 99. lim b»ng x �5 2x  10 5 a.  2 98. lim Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 13 3 2 d. � Trường THPT Lê Hồng Phong 3x 4  2x 5 b»ng x �� 5x 4  x  4 2 a.  5 x 3  1 b»ng lim x �1 x 2  x a. –3 x b»ng lim  x  5  x �� x3 1 a. 0 x 2  3x  2 b»ng lim x �1 x3 1 2 a.  3 2x 3  x b»ng lim x �� x 2  2 a. � 100. lim 101. 102. 103. 104. 105. lim  x ��  3 5 c. � d. � b. –1 c. 0 d. 1 b. 1 c. 2 d. � c. 0 d. b. 1 c. 2 d. � b. 4 c. 0 d. � b. 2 c. 6 d. � b. b.  1 3 1 3 x  5  x  7 b»ng a. � 3x 2  7x 106. lim b»ng x �3 2x  3 3 a. 2 107. lim 2  x  3 b»ng x �1 1 x2 1 1 1 1 a. b. c. d.  6 8 8 4 108. Nèi mçi ý ë cét bªn tr¸i víi mçi ý ë cét bªn ph¶i ®Ó ®îc mét kh¼ng ®Þnh ®óng. Cét tr¸i Cét ph¶i x 2  2x  15 7 b) 01. lim b»ng a)  x �3 2x  10 2 2 3. lim x  2x  15 b»ng x �5 3x  15 3 c) 2 2 x  3x  10 2. lim b»ng x �5 2x  10 8 x 2  3x  10 4. lim b»ng d) x �5 3 2x  10 7 e) 2 Nguyễn Xuân Thọ Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 14 Trường THPT Lê Hồng Phong
- Xem thêm -