Tài liệu BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

BÀI TẬP CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I. Tính các đạo hàm cấp 1 1 / y | x  1 |  | x  1 | 2 / y  ( x 2  x )sin x  cos x 3/ y  3 x2  1  3 4 / x  t 2 et , y  2te2t 5 / y  f ( x2 ) 6 / y  f ( e x ).e f ( x ) 7 / y  f (sin 2 x )  f (cos x 2 ) 3 3 x  x 1 HD:  2 x, x  1  1 / y | x  1 |  | x  1 | 2, 1  x  1 2 x,1  x  2/ y e sin x  cos x  ln  x2  x   3 2 3 2  3 3   3 3    3 / ln y  ln  x  1  3   ln  x  x  1   y  y. ln  x  1  3   ln  x  x  1           II. Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm x0 tương ứng  x 2  1, x  0 1/ y   , x0  0  2 x  2, x  0  x, x  0 2 / f ( x)   , x0  0 ln(1  x ), x  0  x 2 e  x 2 ,| x | 1  3 / f ( x)   , x0  1  1 e ,| x | 1 III. Tính đạo hàm hàm ngược của các hàm sau 1 / y  x  ln x 2/ y  x2 1  x2 3 / y  2e  x  e 2 x 4 / y  sinh x IV. Tính đạo hàm đến cấp tương ứng 1 / f ( x )  x x , f  2 / f  ln(sin x  cos x ), f  9/ y  1 x 1 2 , y (n) x 3 / x  et cos t , y  et sin t , y  10 / y  4 / f ( x )  sinh( x 2  1), f  11 / y  ( x 2  x ) sin 3x, y ( n ) 5 / f ( x )  e2 x ( x 2  x  2), f ( n ) 6 / y  ln( f ( x )), y  12 / y  (2 x 2  1)e2 x , y ( n ) 2 7 / y  e f ( x ) , y  8 / y  sin( f ( x )  f (2 x  1)), y  x  3x  2 2 , y (n) 13 / y  sin 4 x  cos4 x, y ( n ) x 1 14 / y  , y (10) x 1 15 / y  3 x2  1 x3  x , y (2 x  1)2 4 x 4  x 2 16 / y  ( x 2  x ) x 2 x 19 / y  ln( e f ( x )  e  f ( x ) ), y , y  20 / y  f (ln x ), y  , y 17 / y  f ( e x )  e f ( x ) , y , y  V. Tính vi phân đến cấp tương ứng 1 / y  ln | x 2  3x  2 |, d 2 y   2 / y  x2  1   tan x   4 / y  sh x 3  3x , d 2 y 5 / y  arcsin  f (2 x  1)  , dy , dy  6 / y  3 2 x  3, d 4 y 3 / y  sin f x 2  2 x , dy VI. 1 18 / y  f ( ), y , y  x Công thức Taylor – Maclaurint 1. Bài có hướng dẫn x4  1 ,n  4 x2  1 ( x 2  1)( x 2  1)  2 1 f1 ( x )   x2  1  2 2  x 2  1  2 1  x 2  x 4  0( x 4 ) 2 x 1 x 1  1  x 2  2 x 4  0( x 4 ) f1 ( x )      f 2 ( x )  ln x  x 2  1 , n  5 f 2  1 x 1 2  1 1 2 3 4 x  x  0( x 4 ) 2 8 t t 1 3 1 3 5    f 2 ( x )   f 2 (t )dt    1  t 2  t 4  0(t 4 )  dt  x  x 3  x  0( x 5 ) 2 8 6 40  0 0 n  3, f 3 ( x )  x 1 2   x 1  1  ( x  x 2 )  ( x  x 2 )2  ( x  x 2 )3  0( x 3 )  1  x  x 2  x 2  2 x 3  x 3  O ( x 3 )  1  x  x 3  0( x 3 ) n  3, f 4 ( x )  ln 2x  1 5 x    ln(2 x  1)  ln(2  5 x )  ln(2 x  1)  ln 2  ln 1   2  5x 2   1 1    5 x 1 5 x 2 1 5 x 3    2 x  (2 x ) 2  (2 x )3  0( x 3 )   ln 2    ( )  ( )  0( x 3 )  2 3 2 2 3 2    2  9 9 189 3   ln 2  x  x 2  x  0( x 3 ) 2 8 24 x x 1 X 2 1 f5 ( x ) X  x  2  1  1  1  X  X 2  X 3  0( X 3 ) X 1 X 1 n  3, x0  2, f5 ( x )    2  ( x  2)  ( x  2) 2  ( x  2)3  0 ( x  2)3 n  6, x0  1, f 6 ( x )  e x f 6 ( x )  e( x 1) 2 1 2  2x 2   1 1    e 1  ( x  1)2  ( x  1) 4  ( x  1)6  0 ( x  1)6  2! 3!   n  4, x0  1, f 7 ( x )  x 1 1   1  ( x  1)    x  5x  6  x 3 x 2 2  1 1 1  1 1   1  f 7 ( x ) X  x  1X     X 31 X   4 1 X  X  4 X  3 4 3  2 3 2 3   X  X X X X X X 3 3  1         0( X )    1         0( X )    3  4 4 4 3  3  3     1  1 1  1 1  1 1  1     X   2  2  X 2   3  3  X 3   4  4  X 4  0( X 4 ) 4  4  4  3 4 3 3 3 X  4  1 42  32 43  33 44  34 2 3 ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  ( x  1) 4  0 ( x  1) 4 2 3 4 3.4 12 12 12   2. Bài tập: Khai triển Taylor các hàm sau tại x0 đến cấp n tương ứng 1. f1 ( x )  1  x  x2 , x0  0, n  4 1  x  x2 2 2. f 2 ( x )  e2 x  x , x0  0, n  5 . Tính f 2(4) (0) 3. f 3 ( x )  ln(cos x ), x0  0, n  6 4. f 4 ( x )  tan x, x0  0, n  5 5. f5 ( x )  ecos x , x0  0, n  4 x3  2 x2  1 6. f 6 ( x )  2 , x0  2, n  3 . Tính f 6(3) (2) x  6x  5 VII. Tính giới hạn 1. Bài có hướng dẫn 2 1 2 1 4     x   x  x3  O( x3 )  x 2   x 2  x. x 3  x  O( x6 )  2 2 x  sin x 3! 6 36    lim   L1  lim 2 2  lim 4 4 x  0 x sin x x 0 x 0 x x 2 1 4 1 4 x. x 3  x  O( x6 ) x 1 36 3  lim 6  lim  x 0 x 0 x4 3 x4 2 1  ex  1  x ex  1  x ex  1 x 1 1 L2  lim   x  lim  lim  lim  lim   x x 0  x x 0 2 x x 0 2 x x. x 2 e  1  x  0 x(e  1) x  0  1 L3  lim  2  cot 2 x 0  x  1 cos2 x  sin 2 x  x 2 cos2 x  x   lim  2   lim  sin 2 x  x  0 x 2 . sin 2 x  x 0  x 2 1 1     x  x3  O( x3 )   x 2 1  x 2  O( x 2 )   2 2 2 sin x  x cos x 6 2     lim  lim  2 2 2 2 x 0 x  0 x .x x .x 1 1 6 1 2 4  x4  x  x 2 .x 2  x 2 . x 4  O( x6 ) x 2 36 4 3  lim 3  li m  4 4 x 0 x 0 x 3 x x  1 x  1 L4  lim    1   lim  ln x ln x  x 1 ln(1  ( x  1)) x 1   L5  lim x  x 0 L6  lim x 1 2x x e   lim x 0 1 ln( x  e2 x ) x e 1 ln x ln( e x 1) ln( e x 1) x  0  lim e x  0  ln( x  e2 x ) e x0 x lim  lim x  0  ln x e ln x lim 2 1 2 e2 x  e x0 x  e 2x  e3 e  1  1 x 2  1 x 4  O( x 4 )  1  1 x 2 cos x  1  1 x 2 2! 4! 2 2 L7  lim  lim 4 4 x 0 x  0 x x 4 4 1 x  O( x ) 1  lim 24  4 x 0 24 x 1 L8  lim x    tan x   2 x 2  lim e(  2 x ) ln(tan x )  lim e x  (  2 x )  2. sin (  x ) cot(  x ) 2 2  x  2  lim e x   2  2 cos2 x. tan x 2  lim e x  (  2 x ) 2  2 2 2 2 (  2 x ) (  x ) 2 2.(  x )2 ln(tan x ) 1 (  2 x )  lim e x   2  e0  1 2 1  x cos x  1  2 x x 0 ln( x  1)  x L9  lim 1 1 1 1   1 2 1  x 1  0. x  O ( x )    1  2 x  . .(  1)(2 x ) 2  O ( x 2 )  x 2 2 2 2    lim 2  lim  1 1 2 x 0 x 0 1 2 2 ( x  x  O ( x ))  x  x 2 2 1 1 1 1 1 1 2     1  x  x 2  x3  O( x3 )   x 1  x  x  O( x 2 )   1  e  x 1 x 1 2 6 2 22 2    L10  lim  lim  x  0 sin xchx  shx x 0  1 3 1 2 1 3 3  3 3   3   x  x  O ( x )   1  x  0. x  O ( x )    x  x  O ( x )  6 2 6      1 3 1 3 x  x  O( x3 ) 7 6 8  lim  1 1 x 0 1 3 20  x  x3  x3  O( x3 ) 2 6 6 x 2. Bài tập 1    16. lim  x  x 2 ln  1    x  x    sin x  x x  0 x  tan x x cot x  1 2. lim x 0 x2 1. lim 17. lim x 1 18. lim  2  x  a x  a sin x 3. lim a x  xa ( a  0) xa x  a 5. lim 1 (1  x ) x  e x x 0 1  1 7. lim   x  x 0  x e  1  6. lim 8. lim (a  x ) x  a x x2 x 0 9. lim cos x  e x x x 2 tan 2 x  4  tan x  20. lim   x  a  tan a  cot( x  a ) x ln x x   ln x  x 1 ( a  0)  sin x  x 2 22. lim   x 0  x   1 23. lim  ln  x x  0  2 e x sin x  x ( x  1) x 0 19. lim  tan x  21. lim x4 x 0 10. lim  x2 tan x 1 x3 x 0 1 x 1 x 3 x 24. lim x x x  0 25. lim  cot x  sin x x 0 11. lim 1  (cos x )sin x 26. lim x2 x 0 x  3 12. lim x 0 13. lim sin(sin x )  x 1  x 2 x5 cos(sin x )  cos x x4 x 0 3 14. lim x  tan x  1 2 4 2 sin x  1 ln(cos ax ) x  0 ln(cos bx ) 15. lim  x 1  x 1  2 x  x3 x 1   27. lim  x 3  x 2   e x  x 6  1  2 x     ln x 28. lim x  x 4 29. lim xn x  e ax 30. lim x  ( a  0). 1  x  sin x cos x  x  sin x cos x  esin x VIII. Khảo sát hàm y=f(x) 1. Bài có hướng dẫn Khảo sát và dựng đồ thị hàm y  x  x2  1 MXĐ: ( , 1)  (1, ) Tiệm cận: lim y  1, lim y  1 : Hàm không có TCĐ x 1 x 1 1 lim y  lim  x 2  1  x   lim  0 : Hàm có TCN y=0  x  x 2  1  x x  x    y x2  1  2      2, lim y  lim  x  1  x   , lim  lim 1  2   x  x   x  x x   x   Hàm có TCX y=2x 1 lim  y  2 x   lim  x 2  1  x   lim 0  x  x 2  1  x x  x   Cực trị: y   1  x x2  1  y   0, x  0 Suy ra   y   0, x  0 BBT: Tự làm Đồ thị : 2. Bài tập: Trong bài giảng  x2  1  x x2  1