Tài liệu Bai tap chung minh dang thuc

Dïng ®¹o hµm ®Ó chøng minh ®¼ng thøc tæ hîp Bµi tËp: 1. Chøng minh r»ng: 0 2 4 2010 C2011  32.C2011  34.C2011  ...  32010.C2011  2 2010 (2 2011  1) Tõ ®ã tæng qu¸t lªn b»ng c¸ch thay 2011 bëi mét sè tù nhiªn n bÊt k×. 2. Cho n lµ sè tù nhiªn. Chøng minh ®¼ng thøc sau: 1 3 5 2009 1 4 6 2010 C2010  3C2010  5C2010  ..  2009C2010  2C2010  4C2010  6C2010  ..  2010C2010 3. Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1. Rót gän biÓu thøc sau: n  k 1 2n  k .k .Cnk  2n 1 Cn1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  ...  nCnn 4. T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng: C21n 1  2.2.C22n 1  3.22.C23n 1  ...  (1) k 1.2 k 1.C2kn 1  ...  (2 n  1).2 2 n.C22nn11  2011 5. Chøng minh r»ng: 99 100 101 0 1  1 1  2 1 100C100    101C100    102C100   2 2 2 2 100 b»ng c¸ch xÐt khai triÓn ( x  x) . 199 100  1   ...  200C100   2 0 6. Chøng minh r»ng ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi sè tù nhiªn n lín h¬n 2: 2.1.Cn2  3.2.Cn3  ...  n.(n  1).Cnn  n( n  1).2n 2 7. B»ng c¸ch xÐt khai triÓn ( x  1) n , chøng minh r»ng ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi n: n 2Cn0  (n  1)2 Cn1  (n  2)2 .Cn2  ...  (1) n 1 Cnn 1  0 . Sö dông ®¹o hµm ®Ó chøng minh ®¼ng thøc Lêi gi¶i 8. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc lîng gi¸c trong tam gi¸c: a. Ta cÇn chøng minh: sin A  sin B  sin C  4cos A B C cos cos  0 . 2 2 2 Do A, B, C lµ c¸c gãc cña mét tam gi¸c nªn: A  B  C    C    ( A  B ) . Cè ®Þnh B, ta xÐt hµm sè biÕn A nh sau:    ( A  B )  A B cos cos 2 2 2 A B A B  sin A  sin B  sin( A  B )  4cos cos sin 2 2 2 f ( A, B )  sin A  sin B  sin    ( A  B )   4cos Ta sÏ chøng minh ®¹o hµm cña hµm sè nµy b»ng 0 víi mäi A. ThËt vËy: B  1 A A B 1 A A B    sin sin  cos cos  2  2 2 2 2 2 2  B 2A  B Suy  cos A  cos( A  B )  2cos cos  2 2 A  ( A  B) A  ( A  B)  cos A  cos( A  B )  2cos cos 0 2 2 ra víi B cè ®Þnh th× f ( A, B) lµ hµm h»ng víi mäi A. Cho A  0 , ta cã: f ( A, B)  cos A  cos( A  B)  4cos 0 B B B B f (0, B )  sin 0  sin B  sin B  4cos cos sin  2sin B  4sin cos  0 . 2 2 2 2 2 VËy f ( A, B )  0, A, B  (0,  ) . Ta cã ®pcm. b. XÐt hµm sè: f ( A, B )  cos A  cos B  cos( A  B )  4sin A B A B sin cos 1 . 2 2 2 T¬ng tù c©u a., ta chøng minh f ( A, B)  0 vµ f (0, B)  0 . c. XÐt hµm sè: f ( A, B )  tan A B B A B A B A tan  tan cot  cot tan  1 . 2 2 2 2 2 2 T¬ng tù c©u a., ta chøng minh f ( A, B)  0 vµ f (0, B)  0 . 9. Chøng minh ®¼ng thøc: (a) arcsin x  arccos x   x  [1, 1]; , 2 Víi x  1, arcsin1  arccos1    0 . 2 2 Víi x  1, arcsin(1)  arccos(1)      . 2 2 Suy ra ®¼ng thøc trªn ®óng trong trêng hîp x   1 . XÐt hµm sè: f ( x)  arcsin x  arccos x  1 (arccos)  f ( x)   1  x2 1 1 x 2  , (arcsin) 1 1 x 2 1 1  x2  , x  ( 1,1) . Ta cã: 2 . Suy ra:  0  0 . Suy ra, lµ hµm h»ng víi mäi x  (1,1) .  2  2  2 Cho x  2 , ta cã: f ( )  arcsin    arccos    0. 2 2 2 2     2 Do ®ã: f ( x)  0, x  (1,1) . Tõ ®ã suy ra: arcsin x  arccos x  (b) arctan x  arccot x    0, x  [1,1] . Ta cã ®pcm. 2  , x  �. 2 Còng t¬ng tù c©u (a), ta xÐt hµm sè: f ( x )  arctan x  arccot x  Chó ý r»ng (arctan) Suy ra: f ( x)   , x  �. 2 1 1 . , (arc cot)  2 1 x 1  x2 1 1   0  0 , tøc lµ hµm h»ng víi mäi x  �. 2 1  x 1  x2 H¬n n÷a f (1)  arctan 1  arccot1          0. 2 4 4 2 Do ®ã: f ( x)  0, x  �. Ta cã ®pcm. 10. XÐt khai triÓn: ( x  1) n  Cnn  Cnn 1 x  Cnn 2 x 2  ...  (1)n 1 Cn1 x n 1  (1)n Cn0 x n §¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta cã: n ( x  1) n 1  Cnn 1  2 Cnn 2 x  ...  ( 1) n1 ( n  1) Cn1 x n 2  ( 1) n n Cn0 x n 1 Nh©n hai vÕ cña biÕu thøc trªn cho x, ta ®îc: n x ( x  1) n1   Cnn1 x  2 Cnn 2 x 2  ...  ( 1) n 1 (n  1) Cn1 x n1  (1)n n Cn0 x n TiÕp tôc lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta cã: n (n  1).x ( x  1) n2  n.( x  1) n1   Cnn1  22 Cnn 2 x  ...  (1) n 1 (n  1)2 Cn1 x n 2  (1) n n 2 Cn0 x n1 Cho x  1 , ta ®îc: 0  Cnn1  22 Cnn 2  ...  (1)n 1 (n  1) 2 Cn1  (1)n n 2 Cn0 hay (1) n n 2 Cn0  (1) n 1 (n  1)2 Cn1  ...  22 Cnn 2  Cnn 1  0 Ta cã ®pcm. 11. XÐt khai triÓn: 0 1 2 2 2009 2010 (1  x) 2010  C2010  C2010 x  C2010 x 2  C2010 x 2  ...  C2010 x 2009  C2010 x 2010 §¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta ®îc: 1 2 2009 2010 2010 (1  x) 2009  C2010  2 C2010 x  ...  2009 C2010 x 2008  2010 C 2010 x 2009 Cho x  1 , ta cã: 1 2 2009 2010 0  C2010  2 C2010  ...  2009 C2010  2010 C2010 1 3 2009 2 4 2010  C2010  3C2010  L  2009C2010  2C2010  4C2010  L  2010C2010 . Ta cã ®pcm. 12. XÐt khai triÓn: 100 99 98 1 0 ( x 2  x)100  C100 x 200  C100 x198 x  C100 x196 x 2  ...  C100 x 2 x99  C100 x100 100 99 98 1 0  C100 x 200  C100 x199  C100 x198  ...  C100 x101  C100 x100 §¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta ®îc: 100 (2 x  1) ( x 2  x)99  100 99 98 1 0 200 C100 x199  199 C100 x198  198 C100 x197  ...  101 C100 x100  100 C100 x 99 1 Cho x   , ta cã: 2 199 0  200 C 100 100 1    2 99 198  199 C 99 100 100 1  1 1   100C    101C100   2 2 0 100 100 99 1 1  1   ...  101 C100   2 2  100 C 0 100 101 1  102C   2 2 100 1    2 199  L  200C 100 100 1   2  0. Ta cã ®pcm. 13. T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng: C21n 1  2·2·C22n1  3·22·C23n 1  L  (1) k 1·2 k 1·C2kn1  L  (2n  1)·22 n ·C22nn11  2011. Tríc hÕt, ta sÏ rót gän: Sn  C21n 1  2·2·C22n1  3·22·C23n 1  L  (1) k 1·2k 1·C2kn1  L  (2n  1)·22 n ·C22nn11 XÐt khai triÓn: (1  x) 2 n1  C20n1  C21n1 x  C22n 1 x 2  ...  C22nn1 x 2 n  C22nn11 x 2 n 1 . LÊy ®¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta ®îc: (2n  1) (1  x) 2 n  C21n 1  2 C22n 1 x  ...  2n C22nn1 x 2 n1  (2n  1) C22nn11 x 2 n Cho x  2 , ta ®îc: 2n  1  C21n 1  2 2 C22n 1  ...  2n 22 n 1 C22nn1  (2n  1) 2 2 n C22nn11 . Do ®ã, víi mäi sè tù nhiªn n th×: S n  2n  1 . Suy ra: Sn  2011  2n  1  2011  n  1005 . VËy gi¸ trÞ n cÇn t×m lµ 1005. 14. Ta cÇn tÝnh: Sn  2n1 Cn1  2·2n 2 Cn2  3·2n 3 Cn3  L  nCnn . 2 n 1 S 1 1 1 Ta thÊy: nn1  Cn1  2 Cn2    3 Cn3    L  n Cnn   2 2 2 2 XÐt khai triÓn: ( x  1) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn 1 x n 1  Cnn x n §¹o hµm hai vÕ theo biÕn x, ta cã: n ( x  1) n 1  Cn1  2 Cn2 x  ...  ( n  1) Cnn 1 x n1  n Cnn x n1 . n 1 1 3 Cho x  , ta cã: n   2 2 n2 1 1  C  2 C    ...  (n  1) Cnn 1   2 2 1 n 2 n n 1 Suy ra: Sn 3  n   n 1 2 2  S n  n 3n 1 . n1 1  n C   2 n n . VËy tæng cÇn tÝnh lµ: S n  n 3n1 .