Tài liệu Bài học giải tích - hình học lớp 11 - HK2

TRƯỜNG THPT LONG KHÁNH TỔ TOÁN Biên Soạn: Thầy Hà Lê Anh TẬP BÀI HỌC GIẢI TÍCH - HÌNH HỌC LỚP 11 - HỌC KÌ 2 Họ tên học sinh: ......................................................................... Lớp: ........... NIÊN KHÓA 2014 – 2015 Trang 1 Trang 2 PHẦN I. GIẢI TÍCH BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  n0 thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = n0 ; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  n0 và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Ví dụ : CMR với mọi n là số nguyên dương : 1) 1+2+3+…….+n= n( n  1) 2 2) An  n3  n chia hết cho 3 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 3 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 4 BÀI 2. DÃY SỐ 1. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập �* các số nguyên dương gọi là dãy số vô hạn. * �� un = u (n) . Ta gọi un là số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) của Kí hiệu u : � n a u ( n ) . Đặt dãy số. 2. Cách cho một dãy số:  Cho bằng công thức của số hạng tổng quát  Cho bằng công thức truy hồi  Cho bằng cách mô tả Ví dụ : 1) Cho dãy số (u n ) với un  (1)n 3n n a) Xác định 5 số hạng đầu tiên của dãy b) Viết dãy số dưới dạng khai triển …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 5 u1  1 � un 1  un  7 � 2) Cho dãy số (u n ) xác định bởi � a) Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy b) CMR: un  7n  6 với mọi n �1 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3. Dãy số tăng, dãy số giảm:  (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.  un+1 – un > 0 với  n  N*  un1 un  1 với n  N* ( un > 0).  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.  un+1 – un< 0 với  n  N*  Ví dụ : Xét tính tăng giảm của các dãy số sau : a) Dãy số ( un ) với un  n 2 b) Dãy số ( un ) với un  1 n 1 Trang 6 un1 un  1 với n  N* (un > 0) ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 4. Dãy số bị chặn:  (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. Ví dụ : CMR a) Dãy số (un) với un  n 2  4n  3 bị chặn dưới b) Dãy số (un) với un  2n  1 bị chặn n 1 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Trang 7 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Trang 8 BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) Ví dụ : Dãy nào sau đây là cấp số cộng a) Dãy số 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 b) Dãy số 1; -3 ; -7 ; -11 ; -15 ; -18 c) Dãy số (un ) với un  2n  1 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Trang 9 2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2 Ví dụ : a)Cho cấp số cộng ( un ) biết u1  1 ; u3  3 .Tìm u4 ; u6 b)Một đội công nhân trồng các trụ điện từ cây số 3 đến cây số 5 . Cứ 200 mét trồng một trụ . Hỏi có tất cả bao nhiêu trụ điện được trồng ? …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 10 3. Tính chất các số hạng: uk  uk 1  uk 1 2 với k  2 Ví dụ : Tìm x để 3 số 10-3x ; 2 x 2  3 ; 7- 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2  ...  un  n(u1  un ) 2 = n� 2u1  (n  1)d � � � 2 Ví dụ: Cho cấp số cộng (un ) với un  3n  1 a) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên. b) Biết Sn = 260 . Tìm n ? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. Trang 11 BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) Khi q = 0 , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0 , 0 , ……, 0 , ……. Khi q = 1 , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , u1 ,......u1 ,...... ……. Ví dụ : Trong các dãy số sau , dãy số nào là cấp số nhân a) u1  3 và un 1  4un với mọi n �1 b) un  3n 2  1 2. Số hạng tổng quát: un  u1.q n1 với n  2 Ví dụ : Cho cấp số nhân (u n ) có u1  3; u2  2 . Tìm các số hạng thứ 3, 4, 5 , 6 của cấp số nhân . …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. Trang 12 3. Tính chất các số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k  2 a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân � b 2  ac Ví dụ : a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân . Chứng minh a) (a 2  b 2 )(b2  c 2 )  (ab  bc)2 b) (bc+ca+ab) 3 = abc (a+b+c) 3 ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Trang 13 4. Tổng n số hạng đầu tiên: � Sn  nu1 � u (1  q n ) � Sn  1 � 1 q � v� � i q 1 v� � i q �1 Ví dụ : Cho cấp số nhân có số hạng thứ 3 bằng 24 và số hạng thứ 4 bằng 48 . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………... …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………... …………………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………... …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………... …………………………………………………………………………………………… ………………… Trang 14 ………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………… ………………… CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. lim  un   0 hay u n � 0 khi n � +�. Kí hiệu: n� � Ví dụ: Xét dãy (un ) với un  (1) n n a) Biểu diễn trên trục số 10 số hạng đầu tiên của dãy b) Tìm các số hạng của dãy sao cho khoảng cách từ các số hạng đó đến số 0 bé hơn 1 1 ? ; bé hơn ?; bé hơn 0.01?; bé hơn 0.001? 10 23 lim  un   0 c) Chứng minh n� � …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 15 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới  un  a   0. Kí hiệu: dương vô cực ( n � �), nếu nlim �� lim  un   a hay u n � a khi n � +�. n��  un   lim  un  .  Chú ý: nlim �� Ví dụ : Chứng minh (un ) với un  2n  1 có giới hạn bằng không khi n � � 2 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 16 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………… ………………… Luyện tập : Chứng minh rằng lim n 1 1 n 1 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1 a) lim  0 , lim k  0 , n �Z  n n   n b) lim q  0 với q  1 . c) un=c (c là hằng số) => lim(un)=limc=c. 2. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim  un �vn   lim  un  �lim  vn   a �b lim  un .vn   lim un .lim vn  a.b lim un lim  un  �ι vn lim  vn  a ,  vn b 0 n �*; b 0  lim un  lim  un   a ,  un �0 ,a �0  Ví dụ: Tìm lim 3n 2  n n2  1 …………………………………………………………………………………………… Trang 17 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Ví dụ : Tìm lim 1  4n 2 1  2n …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  1. Cấp số nhân vô hạn ( u n ) có công bội q, với q  1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Ví dụ : Cho cấp số nhân (u n ) có un  1 1 là cấp số nhân lùi vô hạn n có q = 2 2 Trang 18 Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) , gọi S = u1  u2  u3  .......  un  ..... S  lim Sn  u1 1 q Chứng minh : …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Ví dụ : Tính tổng S = 1 1 1 1    ........  n  ...... 3 9 27 3 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 4. Dãy số dần tới vô cực: a) Định nghĩa Trang 19 Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  un � � khi n dần tới dương vô cực  n � � nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= � hay un � � khi n � �. Ta nói dãy số (un) có giới hạn là � khi n � � nếu lim  un   �.Ký hiệu: lim(un)= � hay un � �khi n � �. b) Các giới hạn đặc biệt lim n k  �với k nguyên dương lim q k  � nếu q>1 c) Định lý: Định lý 2  Nếu lim un  a và lim vn  �� thì lim un 0 vn  Nếu lim un  a  0 ;limv n  0; vn  0n � lim un  � vn  Nếu lim un  �;lim vn  a  0 � lim un vn  � Ví dụ : Tìm lim 3n3  2n  1 2n 2  n …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Tìm lim 2n3  n 3n  2 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Trang 20