Tài liệu Bài giảng Xác suất - Thống kê - Đặng Phước Huy, Trường Đại học Đà Lạt

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z ÑAËNG PHÖÔÙC HUY XAÙC SUAÁT - THOÁNG KE (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -Y Ñaø Laït 2008 Z Môc lôc PhÇn I: X¸c suÊt PhÇn II: Thèng kª Phần I X¸c suÊt Ch-¬ng 1 C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 1.1 PhÐp thö ngÉu nhiªn- BiÕn cè ngÉu nhiªn 1.1.1 PhÐp thö ngÉu nhiªn Bªn c¹nh c¸c hiÖn t-îng gäi lµ tÊt ®Þnh cã c¸c hiÖn t-îng gäi lµ “ngÉu nhiªn”. §Ó minh häa cho c¸c hiÖn t-îng cã tÝnh ngÉu nhiªn chóng ta xem mét sè vÝ dô: a. Gieo con xóc x¾c, kÕt qu¶ lµ mét trong c¸c mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6. b. Quan s¸t l-îng kh¸ch t¹i mét kh¸ch s¹n trong mét th¸ng cè ®Þnh nµo ®ã. c. §o thêi gian sèng cña bãng ®Ìn do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt. Râ rµng ë vÝ dô (a), kh«ng thÓ biÕt ch¾c ®-îc mÆt sè nót nµo sÏ x¶y ra tr-íc mçi lÇn gieo. Trong vÝ dô (b) l¹i cµng kh«ng thÓ ®o¸n tr-íc ®-îc l-îng kh¸ch ë th¸ng nµy trong n¨m lµ bao nhiªu (chõng nµo ngµy cuèi cña th¸ng nµy ch-a qua). Trong vÝ dô (c), ta kh«ng thÓ biÕt gi¸ trÞ vÒ thêi gian sèng cña bãng ®Ìn tr-íc mçi lÇn ®o. C¸c hiÖn t-îng trªn cã mét ®Æc ®iÓm chung lµ chØ khi kÕt thóc hµnh ®éng (gieo con xóc x¾c xong, thèng kª l-îng kh¸ch ®Õn hÕt ngµy cuèi cïng cña th¸ng ®-îc quan s¸t, kÕt thóc viÖc ®o thêi gian sèng cña bãng ®Ìn) míi biÕt ®-îc kÕt qu¶. Ta nãi c¸c hiÖn t-îng ®ã lµ ngÉu nhiªn vµ hµnh ®éng gieo con xóc x¾c, quan s¸t l-îng kh¸ch... ®-îc gäi lµ phÐp thö ngÉu nhiªn (hay lµ thÝ nghiÖm ngÉu nhiªn). Tãm l¹i, ta quan niÖm: PhÐp thö ngÉu nhiªn: lµ mét phÐp thö mµ kÕt côc x¶y ra cña nã chØ cã thÓ biÕt ch¾c ch¾n khi phÐp thö kÕt thóc. Ta sÏ th-êng dïng ch÷ E ®Ó chØ cho mét phÐp thö ngÉu nhiªn (®«i khi gäi ng¾n gän lµ phÐp thö). Lý thuyÕt x¸c suÊt nghiªn cøu tÝnh quy luËt cña c¸c hiÖn t-îng ngÉu nhiªn mang tÝnh æn ®Þnh (tÝnh chÊt ®¸m ®«ng). TÝnh chÊt nµy thÓ hiÖn, ch¼ng h¹n, qua vÝ dô sau: Khi gieo mét ®ång xu, nÕu quan s¸t sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè {mÆt sÊp} trong tõng lÇn gieo th× chóng ta kh«ng thÓ dù ®o¸n ®-îc kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña biÕn cè nµy. Tuy nhiªn, 3 §Æng Ph-íc Huy 4 nÕu tiÕn hµnh sè lÇn gieo kh¸ lín trong nh÷ng ®iÒu kiÖn ®ång ®Òu nhau, th× cã thÓ x¸c ®Þnh tÝnh æn ®Þnh cña sè lÇn {mÆt sÊp} x¶y ra. T-¬ng tù nh- vËy, nÕu gi¶ thiÕt mäi bãng ®Ìn do mét nhµ m¸y s¶n xuÊt lµ cïng mét quy tr×nh c«ng nghÖ vµ ®iÒu kiÖn m«i tr-êng (tÝnh ®ång ®Òu). Khi ®ã nÕu lÊy yÕu tè “thêi gian sèng cña bãng ®Ìn” lµm chØ tiªu ®¸nh gi¸ chÊt l-îng s¶n phÈm s¶n xuÊt ra, ch¼ng h¹n ta tuyªn bè mét bãng ®Ìn lµ ®¹t yªu cÇu khi {thêi gian sèng cña nã > 20000 giê}, gäi biÕn cè nµy lµ A. Chóng ta kh«ng thÓ biÕt ®-îc A cã x¶y ra hay kh«ng tr-íc mçi lÇn ®o tõng bãng ®Ìn, nh-ng nÕu tiÕn hµnh ®o mét sè l-îng lín c¸c bãng ®Ìn do nhµ m¸y s¶n xuÊt th× kh¶ n¨ng x¶y ra cña biÕn cè A sÏ æn ®Þnh. Nãi tãm l¹i, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· m« h×nh hãa to¸n häc c¸c hiÖn t-îng ngÉu nhiªn mang tÝnh æn ®Þnh theo nghÜa ®¸m ®«ng nh- trªn (mét lêi bµn kh¸ lý thó vÒ vÊn ®Ò nµy cã thÓ xem trong [1]). 1.1.2 Kh«ng gian biÕn cè cña phÐp thö ngÉu nhiªn BiÕn cè ngÉu nhiªn: Khi thùc hiÖn mét phÐp thö E, cã thÓ x¶y ra c¸c kÕt côc kh¸c nhau. Ta gäi mçi kÕt côc cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn (hoÆc ng¾n gän lµ biÕn cè). BiÕn cè c¬ b¶n: Mét biÕn cè trong phÐp thö E gäi lµ c¬ b¶n nÕu nh- nã kh«ng thÓ ph©n chia ®-îc thµnh c¸c biÕn cè kh¸c (nã x¶y ra kh«ng phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn hoÆc kh«ng xuÊt hiÖn cña c¸c biÕn cè kh¸c) cña phÐp thö. VÝ dô 1.1.1. PhÐp thö E: gieo con xóc x¾c. XÐt c¸c biÕn cè cña phÐp thö nµy: Ek = {mÆt sè nót k}; k = 1, 2, . . . 6, A = {MÆt cã sè nót ch½n}. C¸c biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö lµ E1 , E2 , E3, E4 , E5 , E6. BiÕn cè A kh«ng lµ biÕn cè c¬ b¶n v× nã x¶y ra phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn cña mét trong c¸c biÕn cè hoÆc E2 , hoÆc E4 , hoÆc E6 . Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n: lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c biÕn cè c¬ b¶n cña mét phÐp thö. Ký hiÖu lµ Ω. VÝ dô 1.1.2. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö trong VÝ dô(1.1.1) lµ tËp {Ek }k=1,2,...6 . VÝ dô 1.1.3. Gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ: Ω = {Eij | i, j = 1, 2, . . . , 6} = {(Ei , Ej ) | i, j = 1, 2, . . . , 6} víi ký hiÖu Ek nh- trong VÝ dô (1.1.1). Trong tr-êng hîp nµy tËp Ω cã 36 biÕn cè. VÝ dô 1.1.4. Trong vÝ dô (b) Môc 1.1.1, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ: Ω = {0, 1, 2, . . . , N0 } víi N0 lµ sè nguyªn d-¬ng kh¸ lín nµo ®ã. Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 5 VÝ dô 1.1.5. Trong vÝ dô (c) Môc 1.1.1, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ: Ω = [0, ∞). VÝ dô 1.1.6. §Ó kiÓm tra chÊt l-îng mét l« hµng gåm N s¶n phÈm, ng-êi ta dïng ph-¬ng ph¸p lÊy mÉu ngÉu nhiªn. TiÕn hµnh lÊy ngÉu nhiªn k s¶n phÈm trong l« (k 6 N ), sè phÕ phÈm ghi nhËn ®-îc trong mÉu lÊy ra sÏ lµm c¬ së cho viÖc ®¸nh gi¸ chÊt l-îng cña l« hµng. Nh- vËy, trong tr-êng hîp nµy phÐp thö E chÝnh lµ mét lÇn lÊy ngÉu nhiªn ra tõ l« hµng k s¶n phÈm. Mét biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö chÝnh lµ mét bé gåm k s¶n phÈm sau mét lÇn lÊy ra. Sè l-îng biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy b»ng chÝnh sè lÇn lÊy ra k s¶n phÈm kh«ng kÓ thø tù trong N s¶n phÈm, tøc lµ b»ng CNk = N! k!(N − k)! Ghi chó. Dùa vµo kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cã thÓ ®Þnh nghÜa biÕn cè cña mét phÐp thö E nh- sau: Mét biÕn cè ngÉu nhiªn cña phÐp thö E lµ mét tËp con cña Ω. Víi ®Þnh nghÜa nµy cã thÓ m« t¶ tèt h¬n c¸c biÕn cè cña mét phÐp thö ngÉu nhiªn. ThËt vËy, nh»m minh häa ta xÐt phÐp thö gieo con xóc x¾c trong VÝ dô (1.1.1): - Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ: Ω = {E1 , E2, E3 , E4 , E5, E6 }. V× b¶n th©n Ω còng lµ tËp con cña chÝnh nã nªn Ω lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn cña phÐp thö (mÖnh ®Ò t-¬ng øng cho biÕn cè ngÉu nhiªn nµy lµ: “mét trong c¸c mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6 x¶y ra”. §©y lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö). - MÖnh ®Ò “Mäi mÆt cã sè nót tõ 1 ®Õn 6 lµ kh«ng x¶y ra”, sù kiÖn nµy lu«n lu«n kh«ng xuÊt hiÖn khi thùc hiÖn phÐp thö. Nã thÓ hiÖn cho mét biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra vµ nÕu xem tËp trèng (ký hiÖu ∅) còng lµ tËp con cña mét tËp hîp, th× mÖnh ®Ò trªn t-¬ng øng víi mét biÕn cè chÝnh lµ tËp ∅. BiÕn cè nµy gäi lµ biÕn cè trèng. - MÖnh ®Ò “MÆt cã sè nót ch½n x¶y ra” t-¬ng øng víi tËp con {E2 , E4, E6 } cña Ω nªn nã còng lµ mét biÕn cè cña phÐp thö trªn. 1.1.3 Quan hÖ trªn c¸c biÕn cè XÐt phÐp thö E víi kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n Ω. Ta cã c¸c kh¸i niÖm sau: BiÕn cè hîp: Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña Ω (tøc lµ hai tËp con cña Ω), th× tËp E ∪ F còng lµ mét biÕn cè cña phÐp thö vµ gäi lµ biÕn cè hîp cña hai biÕn cè trªn. Nh- vËy, E ∪ F x¶y ra khi vµ chØ khi hoÆc E hoÆc F x¶y ra. BiÕn cè giao: Còng víi hai biÕn cè nh- trªn, th× tËp E ∩ F ®-îc gäi lµ biÕn cè giao cña hai biÕn cè E vµ F. Nã x¶y ra khi vµ chØ khi ®ång thêi c¶ E vµ F cïng x¶y ra. BiÕn cè trèng: Lµ biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö. Ký hiÖu lµ ∅ (xem ghi chó môc tr-íc). BiÕn cè ch¾c ch¾n: Lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö. Ta dïng cïng ký hiÖu kh«ng gian c¸c biÕn cè c¬ b¶n Ω ®Ó chØ cho biÕn cè nµy. §Æng Ph-íc Huy 6 Hai biÕn cè xung kh¾c: Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña Ω, hai biÕn cè nµy gäi lµ xung kh¾c nhau nÕu nh- E ∩ F = ∅. NghÜa lµ, E vµ F kh«ng ®ång thêi x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö. Chó ý: + NÕu hai biÕn cè E vµ F xung kh¾c ta dïng ký hiÖu E + F thay cho E ∪ F (gäi lµ tæng cña hai biÕn cè xung kh¾c). §«i khi, ®Ó cho tiÖn ta viÕt EF thay cho E ∩ F (vµ gäi lµ tÝch cña hai biÕn cè). + C¸c ®Þnh nghÜa hîp vµ giao hai biÕn cè ®-îc më réng tù nhiªn cho tr-êng hîp cã nhiÒu biÕn cè. Hai biÕn cè ®èi lËp: Víi E lµ biÕn cè bÊt kú cña Ω, ta gäi E lµ biÕn cè ®èi lËp cña E nÕu nh-: EE = ∅ vµ E + E = Ω. NghÜa lµ, khi tiÕn hµnh phÐp thö, chØ cã thÓ E x¶y ra vµ E kh«ng x¶y ra, hoÆc E x¶y ra vµ E kh«ng x¶y ra. VÝ dô 1.1.7. Trong vÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2, xÐt hai biÕn cè sau: E = { MÆt cã sè nót 1 hoÆc 3 }= {E1, E3 } F = { MÆt cã sè nót 1 hoÆc 5 }= {E1, E5 }. Khi ®ã biÕn cè a). E ∪ F = {E1, E3 , E5 } = E1 ∪ E3 ∪ E5 nh- vËy E ∪ F x¶y ra khi vµ chØ khi E1 , hoÆc E3 , hoÆc E5 x¶y ra. b). NÕu lÊy E = {E1, E3 , E5 } vµ F = {E1 , E2 , E3 } th× biÕn cè giao E ∩ F = {E1 , E3 } = E1 ∪ E3 . VËy E ∩ F x¶y ra khi vµ chØ khi E1 x¶y ra hoÆc E3 x¶y ra. c). c¸c biÕn cè trèng cña phÐp thö, ch¼ng h¹n ∅ = Ei Ej ; i 6= j ∅ = AB, A = {MÆt sè nót ch½n}; B = {MÆt sè nót lÎ}. d). BiÕn cè ®èi lËp, ch¼ng h¹n A = {MÆt sè nót ch½n}, A = B = {MÆt sè nót lÎ} C = E2 , C = Ω − C = {E1, E3 , E4 , E5, E6 }. Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 7 1.2 X¸c suÊt 1.2.1 C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè HÖ biÕn cè ®Çy ®ñ: XÐt phÐp thö E vµ kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n Ω cña nã. Víi mét hÖ c¸c tËp con cña Ω lµ {H1 , H2 , . . . , Hn }(Hk ⊂ Ω, k = 1, 2, . . . , n), ta nãi hÖ nµy lµ ®Çy ®ñ nÕu nh- c¸c biÕn cè trong hÖ tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: Hi Hj = ∅; ∀i 6= j (TÝnh xung kh¾c) vµ H1 + H2 + · · · + Hn = Ω (TÝnh ®Çy ®ñ). HÖ ®Çy ®ñ nµy gäi lµ ®ång kh¶ n¨ng nÕu nh-: khi tiÕn hµnh phÐp thö E, mçi biÕn cè Hi cã kh¶ n¨ng x¶y ra nh- nhau. §Þnh nghÜa x¸c suÊt cæ ®iÓn: Gi¶ sö {H1 , H2 , . . . , Hn } lµ mét hÖ c¸c biÕn cè ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng cña mét phÐp thö E. Víi A biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö (tøc lµ A ⊆ Ω) cã tÝnh chÊt: A lµ biÕn cè hîp cña m biÕn cè nµo ®ã trong hÖ trªn (ta nãi cã m tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra) (m 6 n). Khi ®ã, kh¶ n¨ng ®Ó A x¶y ra ®-îc x¸c ®Þnh b»ng mét gi¸ trÞ gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A, ký hiÖu lµ P (A) vµ cho bëi: P (A) = sè tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra m = . n sè biÕn cè trong hÖ ®Çy ®ñ (1.2.1) VÝ dô 1.2.1. Gieo mét con xóc x¾c c©n ®èi trong VÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2. -LÊy hÖ ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng lµ: {E1 , E2, E3 , E4 , E5, E6 }. XÐt biÕn cè A = {MÆt sè nót ch½n}. Râ rµng: A = E2 ∪ E4 ∪ E6 = E2 + E4 + E6 (cã 3 tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra) nªn x¸c suÊt cña A ®-îc tÝnh: 1 3 = . 6 2 -LÊy A biÕn cè ®èi lËp cña A, tøc lµ A = {MÆt sè nót lÎ}. Râ rµng hai biÕn cè nµy lËp thµnh hÖ ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng {A, A}. Do ®ã cã thÓ tÝnh x¸c suÊt A tõ hÖ nµy: P (A) = 1 P (A) = . 2 VÝ dô 1.2.2. Trong VÝ dô (1.1.3) Môc 1.1.2, khi gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c (c©n ®èi) ta biÕt kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö lµ mét hÖ gåm 36 biÕn cè nh- sau: Ω = {Eij | i, j = 1, 2, . . . , 6} = {(Ei , Ej ) | i, j = 1, 2, . . . , 6}. §Ó ý r»ng Ω còng lµ mét hÖ c¸c biÕn cè ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö. XÐt biÕn cè A = {Tæng sè nót mÆt xuÊt hiÖn cña hai con xóc x¾c lµ 7}. §Æng Ph-íc Huy 8 Khi ®ã A = E16 + E25 + E34 + E43 + E52 + E61 (cã 6 tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra) nªn 1 6 = . 36 6 B©y giê nÕu gäi Bk = {Tæng sè nót mÆt xuÊt hiÖn cña hai con xóc x¾c lµ k}(k = 2, 3, . . . , 12). HiÓn nhiªn khi thùc hiÖn phÐp thö kÕt qu¶ x¶y ra khi lÊy tæng sè nót 2 mÆt xuÊt hiÖn cña 2 con xóc x¾c chØ cã thÓ lµ mét sè thuéc {2, 3, . . . , 12}, nghÜa lµ hÖ {B2 , B3, . . . , B12} ®Çy ®ñ (dÔ dµng kiÓm tra Bi Bj = ∅ (i 6= j) P (A) = 12 X Bk = Ω (lµ biÕn cè ch¾c ch¾n)). k=2 Khi ®ã biÕn cè A = B7 (tøc lµ trong hÖ ®Çy ®ñ nµy cã 1 tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra). Tuy nhiªn x¸c suÊt cña A kh«ng thÓ lµ 1 P (A) = 11 v× c¸c biÕn cè trong hÖ trªn kh«ng ®ång kh¶ n¨ng x¶y ra (ch¼ng h¹n, xÐt B2 vµ B3 . §Ó B2 x¶y ra chØ khi nµo E11 x¶y ra, nh-ng ®Ó B3 x¶y ra th× hoÆc E12 hoÆc E21 x¶y ra, tøc lµ kh¶ n¨ng x¶y ra cña B3 kh«ng ®ång ®Òu nh- B2 . §iÒu nµy ®-îc thÓ hiÖn tõ x¸c suÊt t-¬ng øng cña chóng, v× ta cã 1 2 1 P (B2 ) = 36 6= P (B3 ) = 36 = 18 ). B¹n ®äc thö t×m mét hÖ ®Çy ®ñ kh¸c cho vÝ dô nµy mµ cã tÝnh ®ång kh¶ n¨ng ®Ó cã thÓ tÝnh P (A) th«ng qua ®ã? VÝ dô 1.2.3. Mét l« hµng cã N s¶n phÈm, trong ®ã cã r phÕ phÈm (r < N ). LÊy ngÉu nhiªn trong l« hµng n s¶n phÈm (n < N). H·y tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè A = {cã k phÕ phÈm trong n s¶n phÈm ®ã}. Ta xem mçi s¶n phÈm ®Òu cã thÓ cã mÆt trong n s¶n phÈm lÊy ra víi kh¶ n¨ng nhnhau, khi ®ã mçi biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö chÝnh lµ mét bé gåm n s¶n phÈm ®-îc lÊy ra vµ tËp hîp c¸c biÕn cè c¬ b¶n nµy chÝnh lµ mét hÖ c¸c biÕn cè ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng víi sè l-îng c¸c biÕn cè cña hÖ lµ: CNn (xem VÝ dô (1.1.6) Môc 1.1.2). BiÕn cè A x¶y ra chØ khi trong n s¶n phÈm lÊy ra cã k phÕ phÈm ph¶i ®-îc lÊy tõ sè r phÕ phÈm (vµ cã Crk kh¶ n¨ng lÊy ®-îc nh- vËy), ®ång thêi (n − k) s¶n phÈm cßn l¹i lµ tèt vµ chóng ph¶i ®-îc lÊy tõ (N − r) s¶n phÈm tèt cña l« hµng (cã CNn−k −r kh¶ n¨ng lÊy nhvËy). Do ®ã sè tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra sÏ b»ng tÝch cña hai sè kh¶ n¨ng trªn, tøc lµ x¸c suÊt cña A cho bëi: C k C n−k P (A) = r nN −r . CN Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 9 VÝ dô 1.2.4. Mét ®oµn tµu gåm 25 toa, trong ®ã cã 6 toa chë hµng. T¹i mét ga nµo ®ã ng-êi ta muèn c¾t l¹i mét toa mét c¸ch ngÉu nhiªn. TÝnh x¸c suÊt ®Ó toa ®ã lµ toa hµng? Gäi A = {Toa c¾t ra lµ toa hµng}. DÔ dµng thÊy cã 6 tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra (t-¬ng øng víi sè toa chë hµng). Sè l-îng toa cña ®oµn tµu chÝnh lµ sè biÕn cè trong hÖ ®Çy ®ñ vµ ®ång kh¶ n¨ng cña phÐp thö, vËy: P (A) = 6 . 25 Trong nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ, c¸c kÕt côc x¶y ra cña phÐp thö ngÉu nhiªn kh«ng thÓ lµ tËp h÷u h¹n c¸c biÕn cè. Ch¼ng h¹n, phÐp thö gieo c©y kim r¬i trªn mét mÆt bµn, vÞ trÝ ®iÓm g·y khi kiÓm tra søc chÞu lùc cña mét thanh d»n...§èi víi c¸c tr-êng hîp nh- vËy, c«ng thøc x¸c suÊt (1.2.1) kh«ng thÓ ¸p dông ®-îc. Tuy nhiªn mét më réng cña ®Þnh nghÜa x¸c suÊt trªn ®-îc x©y dùng nh- sau: §Þnh nghÜa x¸c suÊt h×nh häc: Gi¶ sö phÐp thö E ®-îc tiÕn hµnh vµ kÕt qu¶ cña nã lµ mét ®iÓm nµo ®ã n»m trong miÒn h×nh häc S (mäi ®iÓm trong S ®Òu cã thÓ lµ kÕt qu¶ cña phÐp thö víi kh¶ n¨ng x¶y ra nh- nhau, kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö trong tr-êng hîp nµy lµ miÒn S). Gäi A lµ mét tËp con cña S (nªn A lµ mét biÕn cè). Khi ®ã x¸c suÊt cña A cho bëi: Mes(A) sè ®o A P (A) = = (1.2.2) Mes(S) sè ®o S ë ®©y, Mes = ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...nÕu nh- miÒn S lµ miÒn trªn ®-êng th¼ng, trong kh«ng gian 2 chiÒu, trong kh«ng gian 3 chiÒu t-¬ng øng... VÝ dô 1.2.5. Gieo ngÉu nhiªn mét c©y kim trªn mét mÆt bµn S. Trªn mÆt bµn cã ®¸nh dÊu mét chÊm cè ®Þnh. TÝnh x¸c suÊt biÕn cè A = {®Çu mòi kim ch¹m tróng chÊm cè ®Þnh}? Râ rµng trong tr-êng hîp nµy ph¶i dïng c«ng thøc (1.2.2): P (A) = dt(A) 0 = = 0. dt(S) dt(S) Khi kh¶o s¸t mét thÝ nghiÖm ngÉu nhiªn, tÝnh qui luËt vÒ sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè (nµo ®ã) kh«ng thÓ ®-îc ph¸t hiÖn ë tõng thÝ nghiÖm riªng lÎ, mµ ng-êi ta ph¶i tiÕn hµnh thÝ nghiÖm víi sè lÇn lÆp l¹i (trong cïng ®iÒu kiÖn) kh¸ lín, gäi lµ lo¹t thÝ nghiÖm (hoÆc lo¹t phÐp thö). Nãi kh¸c ®i, trong thùc nghiÖm th-êng ng-êi ta quan t©m ®Õn mét ®¹i l-îng gäi lµ tÇn suÊt cña mét biÕn cè theo nghÜa sau TÇn suÊt: TiÕn hµnh n lÇn ®éc lËp mét thÝ nghiÖm ®Ó quan s¸t sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè A (trong mçi lÇn thÝ nghiÖm, A chØ cã thÓ x¶y ra kh«ng qu¸ mét lÇn). Gäi f lµ sè lÇn A x¶y ra trong n lÇn thÝ nghiÖm ®ã. TÇn suÊt cña biÕn cè A lµ tØ sè: f . n §Æng Ph-íc Huy 10 ChÝnh tÇn suÊt nµy lµ gi¸ trÞ mµ trong thùc nghiÖm ng-êi ta cã thÓ nhËn ®-îc vµ khi quan s¸t víi c¸c lo¹t phÐp thö kh¸c nhau, mçi lo¹t phÐp thö víi sè lÇn tiÕn hµnh thÝ nghiÖm kh¸ lín, ng-êi ta nhËn thÊy tØ lÖ trªn lµ æn ®Þnh (tøc lµ nã giao ®éng quanh mét sè cè ®Þnh nµo ®ã). Sè cè ®Þnh nµy biÓu thÞ cho kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn cña biÕn cè A vµ ®-îc gäi lµ x¸c suÊt cña A. Nh- vËy cã thÓ quan niÖm x¸c suÊt cña biÕn cè A nh- sau: §Þnh nghÜa x¸c suÊt theo nghÜa thèng kª: X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ gi¸ trÞ æn ®Þnh cña tÇn suÊt cña nã khi sè phÐp thö ®-îc tiÕn hµnh ®ñ lín. Theo quan niÖm nµy mét biÕn cè trèng (tøc lµ biÕn cè kh«ng thÓ x¶y ra khi tiÕn hµnh phÐp thö) sÏ cã x¸c suÊt 0 v× tÇn suÊt cña nã lu«n b»ng 0. Ch¼ng h¹n biÕn cè A = {MÆt cã sè nót 7} trong phÐp thö gieo con xóc x¾c th× A lµ biÕn cè trèng, tÇn suÊt cña A lu«n b»ng 0 nªn x¸c suÊt A b»ng 0. Tuy nhiªn mét biÕn cè cã x¸c suÊt 0 ch-a h¼n lµ kh«ng x¶y ra khi tiÕn hµnh phÐp thö. §iÒu nµy dÔ hiÓu v× tÇn suÊt cña nã cã thÓ chØ lµ xÊp xØ 0 (khi tiÕn hµnh phÐp thö víi sè lÇn kh¸ lín), do vËy vÉn cã thÓ trong mét lÇn nµo ®ã cña lo¹t thö nµy biÕn cè x¶y ra. Ch¼ng h¹n, phÐp thö gieo c©y kim trong VÝ dô (1.2.5) biÕn cè A cã x¸c suÊt 0, nh-ng vÉn cã kh¶ n¨ng A x¶y ra trong mét lÇn gieo nµo ®ã (tuy ®iÒu nµy kh¸ h·n h÷u). 1.2.2 C¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt §Ó ®-a ra c¸c tÝnh chÊt tæng qu¸t cña x¸c suÊt, ta trë l¹i VÝ dô (1.1.1) Môc 1.1.2 khi gieo con xóc x¾c c©n ®èi. Kh«ng gian biÕn cè c¬ b¶n lµ Ω = {Ek | k = 1, 2, . . . , 6}. Cã c¸c nhËn ®Þnh sau ®©y: + Víi A lµ mét biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö nµy: A lµ tËp con cña Ω nªn A lµ hîp cña mét sè nµo ®ã c¸c biÕn cè trong Ω. Sè tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó A x¶y ra chÝnh b»ng sè c¸c biÕn cè c¬ b¶n hîp thµnh A. NÕu gäi k lµ sè nµy th× k kh«ng thÓ qu¸ 6 vµ kh«ng Ýt h¬n 0, suy ra: 06k66 ⇒06 k 6 6 =1 6 6 nªn 0 6 P (A) 6 1. + Râ rµng Ω lµ biÕn cè ch¾c ch¾n vµ sè tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó nã x¶y ra b»ng 6 nªn P (Ω) = t-¬ng tù P (∅) = 0 6 =0 6 =1 6 (v× kh«ng cã tr-êng hîp nµo ®Ó ∅ x¶y ra). + XÐt hai biÕn cè xung kh¾c A = {Ei , Ej , Ek } (i 6= j 6= k) B = Em (m ∈ {1, 2, . . . , 6} − {i, j, k}). DÔ thÊy P (A + B) = P ({Ei , Ej , Ek , Em } = 3 1 4 = + = P (A) + P (B). 6 6 6 Tõ trªn ta thÊy x¸c suÊt cña mét biÕn cè cã tÝnh chÊt nh- sau TÝnh chÊt cña x¸c suÊt: Víi Ω lµ kh«ng gian c¸c biÕn cè c¬ b¶n cña mét phÐp thö, E lµ mét biÕn cè bÊt kú cña nã (E lµ tËp con cña Ω). Ta cã: Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 11 (a) 0 6 P (E) 6 1 (b) P (Ω) = 1, P (∅) = 0 (c) Víi E, F lµ hai biÕn cè xung kh¾c: P (E + F ) = P (E) + P (F ). Chó ý: tÝnh chÊt (c) cã thÓ ®-îc më réng cho mét d·y c¸c biÕn cè xung kh¾c. Cô thÓ, nÕu d·y c¸c biÕn cè E1 , E2 , . . . lµ xung kh¾c tõng ®«i (nghÜa lµ: En Em = ∅; n 6= m) th× [
X X
Ek = P Ek = P (Ek ). P k k k VÝ dô 1.2.6. Víi A lµ biÕn cè bÊt kú cña mét phÐp thö E, ta biÕt A vµ A lµ ®èi lËp nªn chóng còng xung kh¾c do ®ã: P (A + A) = P (A) + P (A). H¬n n÷a Ω = A + A nªn P (A) = 1 − P (A). (1.2.3) VÝ dô 1.2.7. Víi E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú cña phÐp thö, ta t×m c«ng thøc cho P (E ∪ F ). Gäi Ω lµ kh«ng gian c¸c biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö th× E vµ F lµ hai tËp con cña Ω. NÕu quan niÖm theo tËp hîp ta cã thÓ biÓu diÔn: E ∪ F = E + (F \ E). §Ó ý E vµ (F \ E) xung kh¾c nªn P (E ∪ F ) = P (E) + P (F \ E). H¬n n÷a cã thÓ viÕt F = EF + (F \ E) vµ ta còng cã EF xung kh¾c víi (F \ E) nªn P (F \ E) = P (F ) − P (EF ). Tõ ®ã ta cã c«ng thøc P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (EF ). (1.2.4) VÝ dô 1.2.8. Gieo ®ång thêi hai ®ång xu c©n ®èi, kh«ng gian c¸c biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy lµ: Ω = {(S, S), (S, N), (N, S), (N, N )}. Gäi E = {§ång xu thø 1 lµ mÆt S}, F = {§ång xu thø 2 lµ mÆt S}. TÝnh P (E ∪ F )? DÔ dµng thÊy E = {(S, S), (S, N)} vµ F = {(S, S), (N, S)}. §Æng Ph-íc Huy 12 Tõ c«ng thøc (1.2.4) ta cã P (E ∪ F ) =P (E) + P (F ) − P (EF ) 2 2 = + − P ({(S, S)}) 4 4 3 1 =1 − = . 4 4 Chó ý r»ng x¸c suÊt cña biÕn cè trªn còng cã thÓ tÝnh trùc tiÕp tõ 3 P (E ∪ F ) = P ({(S, S), (S, N), (N, S)}) = . 4 1.2.3 X¸c suÊt cã ®iÒn kiÖn- c«ng thøc nh©n x¸c suÊt VÝ dô më ®Çu Ta xÐt phÐp thö gieo ®ång thêi 2 con xóc x¾c c©n ®èi. Kh«ng gian c¸c biÕn cè c¬ b¶n cña phÐp thö nµy lµ tËp gåm 36 phÇn tö d¹ng Eij (xem VÝ dô (1.1.3) Môc 1.1.2). Gäi E = {Con xóc x¾c 1 cã sè nót 6 2}, F = {Tæng sè nót trªn hai con xóc x¾c lµ 7}. Khi ®ã E ={E11 , E12, E13, E14 , E15, E16, E21, E22, E23 , E24, E25, E26 } (gåm 12 phÇn tö) F ={E16 , E25, E34, E43 , E52, E61} (gåm 6 phÇn tö) EF ={E16 , E25}. Theo c«ng thøc x¸c suÊt cæ ®iÓn ta cã P (EF ) = 2 . 36 NÕu tÝnh liªn quan ®Õn x¸c suÊt cña biÕn cè E th× P (EF ) = 12 2 2 × = P (E) × . 36 12 12 (∗) §Ó ý r»ng nÕu ®Æt ®iÒu kiÖn biÕn cè E lµ ®· x¶y ra, th× víi ®iÒu kiÖn nµy biÕn cè F x¶y ra chØ khi EF x¶y ra. Nãi kh¸c ®i, nÕu biÕt E ®· x¶y ra th× sè tr-êng hîp thuËn lîi ®Ó F x¶y ra trong ®iÒu kiÖn nµy chØ cßn b»ng sè biÕn cè c¬ b¶n trong tËp EF . Ta gäi x¸c suÊt cña biÕn cè F (x¶y ra) biÕt r»ng biÕn cè E ®· x¶y ra lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña F cho biÕt E, 2 ký hiÖu lµ P (F | E) vµ x¸c suÊt nµy b»ng 12 . Tõ (*) ta cã c«ng thøc P (EF ) = P (E)P (F | E). Tõ ®ã ta cã thÓ ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn nh- sau Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 13 §Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: Cho E vµ F lµ hai biÕn cè bÊt kú trong mét phÐp thö. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè F biÕt r»ng E ®· x¶y ra (®äc lµ x¸c suÊt cña F khi biÕt E) ký hiÖu P (F | E) ®-îc cho bëi P (F | E) = P (EF ) P (E) (1.2.5) ®Ó (1.2.5) cã nghÜa ph¶i cã P (E) > 0. VÝ dô 1.2.9. Mét tói cã chøa 10 tÊm thÎ ®-îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 10, lÊy ngÉu nhiªn tõ tói ra mét tÊm. H·y tÝnh x¸c suÊt ®Ó lÊy ra ®-îc tÊm sè 10, biÕt r»ng tÊm lÊy ra cã sè kh«ng bÐ h¬n 5. Gäi E = { tÊm lÊy ra cã sè >5 } vµ F = { lÊy ra tÊm sè 10 }. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P(F/E). V× EF x¶y ra khi vµ chØ khi tÊm lÊy ra ®ång thêi > 5 vµ cã sè lµ 10, tøc lµ EF = F. Tõ ®ã theo c«ng thøc (1.2.5) ta cã 1 1 P (F/E) = 10 6 = . 6 10 C«ng thøc nh©n x¸c suÊt: Tõ c«ng thøc x¸c suÊt ®iÒu kiÖn suy ra P (EF ) = P (E)P (F | E) vµ gäi lµ c«ng thøc nh©n x¸c suÊt. Tæng qu¸t ta cã c«ng thøc nh©n x¸c suÊt trªn n biÕn cè nh- sau: Gi¶ sö A1, A2 , . . . , An lµ n biÕn cè trong mét phÐp thö E. Khi ®ã P (A1A2 · · · An ) = P (A1 )P (A2 | A1)P (A3 | A1A2) · · · P (An | A1A2 · · · An−1 ). (1.2.6) VÝ dô 1.2.10. Mét hép cã 7 bi ®en vµ 5 bi tr¾ng. LÊy hó häa liªn tiÕp tõ hép ra 2 bi (kh«ng hoµn l¹i). TÝnh x¸c suÊt ®Ó 2 bi lÊy ra ®Òu ®en? Gäi E vµ F theo thø tù lµ biÕn cè bi lÊy ra lÇn thø nhÊt vµ thø hai lµ ®en. V× lÇn thø 6 nhÊt lÊy ra bi ®en nªn trong hép cßn 6 bi ®en vµ 5 bi tr¾ng, do ®ã P (F | E) = 11 , cßn x¸c 7 suÊt P (E) = 12 . VËy x¸c suÊt cÇn t×m lµ P(EF) P (EF ) =P (E).P (F/E) 42 7 6 . = . = 12 11 132 VÝ dô 1.2.11. Cã 3 lä gièng nhau ®ùng c¸c thuèc lo¹i a, b, c nh-ng kh«ng cã nh·n. Mét ng-êi ghi hó häa nh·n thuèc cho mçi lä b»ng c¸c ch÷ a, b, c (nh·n trªn mçi lä ®-îc ghi kh¸c nhau). TÝnh x¸c suÊt sao cho kh«ng cã nh·n nµo ®óng víi lo¹i thuèc cã trong lä cña nã? §Æng Ph-íc Huy 14 Gäi A, B, C t-¬ng øng lµ c¸c biÕn cè lä ghi nh·n a, b, c ®óng víi lo¹i thuèc cã trong nã. Tr-íc tiªn ta tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè cã Ýt nhÊt mét lä ®-îc ghi ®óng, x¸c suÊt nµy lµ P (A ∪ B ∪ C). Ta cã P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC) (c«ng thøc trªn xem nh- bµi tËp). TÝnh c¸c x¸c suÊt trong tæng trªn nh- sau: • DÔ thÊy: P (A) = P (B) = P (C) = 1 3 • P (AB) = P (A)P (B | A), x¸c suÊt B biÕt r»ng A ®· x¶y ra, nghÜa lµ sau khi cã mét lä ghi ®óng th× chØ cßn 2 lä nªn kh¶ n¨ng ghi ®óng lä tiÕp theo chØ cßn 1, vËy P (B | A) = 12 , tøc lµ P (AB) = (1/3)(1/2) = 1/6 . T-¬ng tù cho c¸c x¸c suÊt cña giao hai biÕn cè kh¸c còng b»ng 1/6 • §Ó tÝnh P(ABC) ta viÕt P (ABC) =P {(AB)C} = P (AB)P (C | AB) 1 = P (C | AB) 6 tuy nhiªn khi AB ®· x¶y ra, tøc lµ cã 2 lä ®· ghi ®óng nh·n, nªn lä cßn l¹i lu«n ®óng nh·n, nghÜa lµ P (C | AB) = 1, v× thÕ 1 P (ABC) = 6 do ®ã P (A ∪ B ∪ C) =1 − 1 1 + 2 6 2 = . 3 VËy x¸c suÊt ®Ó kh«ng cã lä nµo ghi ®óng nh·n lµ 1 − P (A ∪ B ∪ C) = 1 − 1.2.4 2 3 = 13 . C¸c biÕn cè ®éc lËp Hai biÕn cè E vµ F (cña mét phÐp thö) ®-îc gäi lµ ®éc lËp nÕu nhP (EF ) = P (E)P (F ). Chó thÝch: tõ c«ng thøc (1.2.5), dÔ thÊy E vµ F ®éc lËp nÕu P (E | F ) = P (E) (t-¬ng tù cho P (F | E) = P (F )). NghÜa lµ, E vµ F ®éc lËp nÕu viÖc x¶y ra cña biÕn cè E kh«ng ¶nh h-ëng g× ®Õn biÕn cè F cã x¶y ra hay kh«ng. Tr-êng hîp hai biÕn cè E vµ F kh«ng ®éc lËp ta nãi chóng lµ phô thuéc. Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 15 VÝ dô 1.2.12. Trong vÝ dô (1.1.3) môc (1.1.2), khi gieo ®ång thêi hai con xóc x¾c, nÕu gäi E1 = {Tæng sè nót trªn 2 mÆt x¶y ra lµ 6} F = {sè nót con xóc x¾c mét x¶y ra lµ 4}. Khi ®ã P (E1 F ) = P {(E4 , E2)} = 1 36 trong khi 5 5 6 . = . 36 36 216 VËy E1 vµ F kh«ng ®éc lËp. §iÒu nµy cã thÓ lý gi¶i nÕu chóng ta ®Ó ý khi con xóc x¾c mét x¶y ra mÆt cã sè nót bÐ h¬n 6, th× c¬ héi cho biÕn cè tæng hai mÆt b»ng 6 x¶y ra lµ cã hy väng. Nãi c¸ch kh¸c, nÕu con xóc x¾c mét x¶y ra mÆt sè nót 6 th× kh«ng cßn kh¶ n¨ng nµo ®Ó biÕn cè E1 sÏ x¶y ra. Nh- vËy c¬ héi x¶y ra sù kiÖn tæng hai mÆt b»ng 6 phô thuéc vµo mÆt x¶y ra cña con xóc x¾c thø nhÊt, nªn E1 vµ F kh«ng thÓ ®éc lËp. B©y giê gäi E2 = {tæng sè nót trªn mÆt x¶y ra cña hai con lµ 7}. Ta cã P (E1 )P (F ) = P (E2 F ) = P {(E4 , E3 )} = 1 . 36 Trong khi 1 6 vËy E2 vµ F ®éc lËp. (Cã thÓ lý gi¶i t¹i sao hai phÐp thö?) P (E2 )P (F ) = 1 1 = 6 36 biÕn cè trªn lµ ®éc lËp dùa vµo b¶n chÊt · Chó ý: §Þnh nghÜa vÒ tÝnh ®éc lËp cã thÓ më réng cho sè biÕn cè lín h¬n hai. Cô thÓ: bé c¸c biÕn cè E1 , E2 , . . . , En trong mét phÐp thö ®-îc gäi lµ ®éc lËp nhau (®éc lËp trong toµn bé) nÕu nh- mäi bé gåm k biÕn cè bÊt kú E10 , E20 , . . . , Ek0 lÊy tõ n biÕn cè trªn (k 6 n), tháa P (E10 E20 · · · Ek0 ) = P (E10 )P (E20 ) · · · P (Ek0 ). VÝ dô 1.2.13. Mét hép cã 4 viªn bi ®-îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 4. LÊy hó häa tõ hép ra mét bi. §Æt E = {1, 2}, F = {1, 3}, G = {1, 4}. Khi ®ã dÔ thÊy P (EF ) = P (E)P (F ) = 1 4 1 4 1 P (F G) = P (F )P (G) = 4 P (EG) = P (E)P (G) = tuy nhiªn 1 = P (EF G) 6= P (E)P (F )P (G). 4 Tõ ®ã, mÆc dï E, F, G ®éc lËp tõng ®«i nh-ng chóng kh«ng ®éc lËp toµn bé. §Æng Ph-íc Huy 16 1.2.5 C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ vµ c«ng thøc Bayes C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ TÝnh x¸c suÊt qua hÖ ®Çy ®ñ: Cho hai biÕn cè E vµ F cña mét phÐp thö nµo ®ã. Chóng ta cã thÓ biÓu diÔn E nh- sau: E = EF ∪ EF . Chó ý r»ng hai biÕn cè hîp thµnh biÕn cè E ë trªn lµ xung kh¾c nªn ta cã P (E) =P (EF ) + P (EF ) =P (E | F )P (F ) + P (E | F )P (F ) (do c«ng thøc(1.2.6)) tõ c«ng thøc (1.2.3) suy ra P (E) = P (E | F )P (F ) + P (E | F )(1 − P (F )). (1.2.7) C«ng thøc (1.2.7) cã thÓ ph¸t biÓu lµ: x¸c suÊt cña biÕn cè E lµ trung b×nh cã träng sè gi÷a x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña E cho biÕt F vµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña E cho biÕt F , víi träng sè cña mçi x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn nµy chÝnh lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÒu kiÖn t-¬ng øng cña nã x¶y ra. C«ng thøc nµy cßn gäi lµ c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ. VÝ dô 1.2.14. Cã hai hép, hép I gåm 2 bi tr¾ng vµ 7 bi ®en, hép II gåm 5 bi tr¾ng vµ 6 bi ®en. Ng-êi ta gieo mét ®ång xu c©n ®èi, sau ®ã lÊy hó häa mét bi tõ hép I hoÆc II phô thuéc vµo viÖc mÆt S hay N x¶y ra. BiÕt r»ng bi lÊy ra lµ tr¾ng. TÝnh x¸c suÊt ®Ó tr-íc ®ã mÆt S x¶y ra? Gäi W lµ biÕn cè bi lÊy ra mµu tr¾ng, H lµ biÕn cè mÆt S x¶y ra. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P (H | W ) ®-îc tÝnh nh- sau: P (W | H)P (H) P (HW ) = PW P (W ) P (W | H)P (H) = P (W | H)P (H) + P (W | H)P (H ) 2 1 · 22 = 2 1 9 25 1 = . 67 · + 11 · 2 9 2 P (H | W ) = (do (1.2.7)) VÝ dô 1.2.15. §Ó tr¶ lêi mét c©u hái d¹ng tr¾c nghiÖm nhiÒu ph-¬ng ¸n lùa chän (MCQMultiple choice query) mét sinh viªn hoÆc biÕt c©u tr¶ lêi hoÆc ®o¸n hó häa. Gäi p lµ x¸c suÊt mµ anh ta biÕt c©u tr¶ lêi vµ (1-p) lµ x¸c suÊt anh ta ®o¸n hó häa. Gi¶ sö r»ng x¸c suÊt sinh viªn ®o¸n hó häa ®óng c©u tr¶ lêi lµ 1/m, víi m lµ sè kh¶ n¨ng lùa chän cña c©u hái. Mét sinh viªn tr¶ lêi mét c©u hái, biÕt r»ng anh ta tr¶ lêi ®óng. TÝnh x¸c suÊt sinh viªn ®ã biÕt c©u tr¶ lêi ®èi víi c©u hái nµy? §Æt C vµ K t-¬ng øng lµ biÕn cè sinh viªn tr¶ lêi c©u hái ®óng vµ biÕn cè anh ta thËt Ch-¬ng 1. C¸c kh¸i niÖm vÒ x¸c suÊt 17 sù biÕt c©u tr¶ lêi. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P (K | C). P (C | K)P (K) P (KC) = P (C) P (C | K)P (K) + P (C | K)P (K) p = p + (1/m)(1 − p) mp . = 1 + (m − 1)p P (K | C) = Ch¼ng h¹n, nÕu m = 5, p = 1/2 th× x¸c suÊt sinh viªn biÕt c©u tr¶ lêi ®èi víi mét c©u hái víi ®iÒu kiÖn anh ta tr¶ lêi ®óng lµ: 5/6. VÝ dô 1.2.16. Mét ph-¬ng ph¸p xÐt nghiÖm m¸u, hiÖu lùc ph¸t hiÖn ®óng ng-êi m¾c bÖnh nh- sau: x¸c suÊt kÕt luËn cã “d-¬ng tÝnh” ®èi víi ng-êi cã bÖnh lµ 95 phÇn tr¨m, x¸c suÊt kÕt luËn cã “d-¬ng tÝnh” ®èi víi ng-êi kháe m¹nh lµ 1 phÇn tr¨m (tøc lµ, nÕu mét ng-êi kháe m¹nh ®-îc xÐt nghiÖm th× víi x¸c suÊt 0,01 kÕt qu¶ xÐt nghiÖm theo ph-¬ng ph¸p nµy sÏ suy r»ng anh ta lµ cã bÖnh). BiÕt r»ng tØ lÖ ng-êi m¾c bÖnh lµ 0,5 phÇn tr¨m. Mét ng-êi ®-îc kiÓm tra, kÕt qu¶ xÐt nghiÖm ng-êi ®ã lµ “d-¬ng tÝnh”. TÝnh x¸c suÊt ng-êi ®ã thËt sù cã bÖnh? Gäi E lµ biÕn cè kÕt qu¶ xÐt nghiÖm mét ng-êi nµo ®ã lµ “d-¬ng tÝnh”, D lµ biÕn cè gÆp ng-êi cã bÖnh thËt sù. X¸c suÊt cÇn tÝnh lµ P (D | E). P (DE) P (E | D)P (D) = P (E) P (E | D)P (D) + P (E | D)P (D) (0, 95)(0, 005) = (0, 95)(0, 005) + (0, 01)(0, 995) 95 ≈ 0, 323. = 294 P (D | E) = Chó ý: C«ng thøc (1.2.7) cã thÓ ph¸t triÓn tæng qu¸t h¬n. Gi¶ sö F1 , F2, . . . , Fn lµ mét hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè (xem Môc 1.2), víi E lµ biÕn cè bÊt kú (trong cïng phÐp thö víi hÖ c¸c biÕn cè trªn) ta cã: n X P (E) = P (E | Fi )P (Fi ). (1.2.8) i=1 (B¹n ®äc cã thÓ dÔ dµng chøng minh c«ng thøc trªn khi ph©n tÝch biÕn cè E nh- sau) E = (EF1) ∪ (EF2) ∪ . . . ∪ (EFn ) lµ hîp cña n biÕn cè xung kh¾c, phÇn cßn l¹i ®-îc suy ra t-¬ng tù c¸ch lµm trong chøng minh c«ng thøc (1.2.7). VÒ ý nghÜa c«ng thøc nµy hoµn toµn gièng c«ng thøc (1.2.7), P(E) lµ trung b×nh cã träng sè cña tËp n ®iÓm {P (E | Fi)} t-¬ng øng tËp träng sè {P (Fi)}(còng cÇn ®Ó ý r»ng tæng c¸c träng sè nµy b»ng 1). C«ng thøc Bayes §Æng Ph-íc Huy 18 Còng tõ chó ý trªn, nÕu biÕt biÕn cè E ®· x¶y ra, ng-êi ta quan t©m kh¶ n¨ng ®Ó mét trong sè c¸c biÕn cè trong hÖ ®Çy ®ñ lµ cã thÓ x¶y ra. Tõ c«ng thøc (1.2.8) vµ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn ta cã P (EFk ) P (E) P (E | Fk )P (Fk ) ; = Pn i=1 P (E | Fi )P (Fi ) P (Fk | E) = ∀k = 1, 2, . . . , n (1.2.9) c«ng thøc (1.2.9) ®-îc gäi lµ c«ng thøc Bayes. (C¸c vÝ dô trªn lµ øng dông cña c«ng thøc nµy).