Tài liệu Bài giảng vectơ trong không gian toán 11

BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1.Vectơ trong không gian ĐỊNH NGHĨA VECTƠ V E C T Ơ 2 VECTƠ CÙNG PHƯƠNG 2 VECTƠ BẰNG NHAU VEC TƠ-KHÔNG PHÉP CỘNG CÁC VEC TƠ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ PHÉP TRỪ HAI VECTƠ PHÉP NHÂN VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAIVÉC TƠ MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG • Qui tắc 3 điểm. Với ba điểm A,B,C bất kì luôn có: • Qui tắc hình bình hành. Nếu ABCD là hình bình hành thì:    AB  BC  AC    BC  BA  AC    AB  AD  AC • Tính chất trung điểm đoạn thẳng:    GA  GB  0  G là trung điểm đoạn thẳng AB  1    Với O bất kì: OG  OA  OB • Tính chất trọng tâm tam giác: 2     GA  GB  GC  0 G là trọng tâm ∆ ABC    1     Với O bất kì: OG  (OA  OB  OC ) 3 • Tính chất trọng tâm tứ diện.       GD  0 G là trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC 1     Với O bất kì: OG   OA  OB  OC  OD   4  • Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện. G là trọng tâm tứ diện ABCD      GA  GB  GC  GD  0   1     Với O bất kì: OG   OA  OB  OC  OD  4 A •Nếu gọi P,Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD thì:    GA  GB  2GP    GC  GD  2GQ P B G D Q Khi đó: C            GA  GB  GC  GD  0  2GP  2GQ  0  GP  GQ  0  G là trung điểm đoạn thẳng PQ  G là trọng tâm của tứ diện ABCD • Chứng minh tính chất trọng tâm tứ diện. G là trọng tâm tứ diện ABCD      GA  GB  GC  GD  0   1     Với O bất kì: OG   OA  OB  OC  OD  4 •Với điểm O bất kì ta có:    GA  OA  OG    GB  OB  OG    GC  OC  OG    GD  OD  OG A P B G D Q C            GA  GB  GC  GD  0  4OG  OA  OB  OC  OD  0  1      OG  (OA  OB  OC  OD ) 4 Bởi vậy: 2.Các véc tơ đồng phẳng  a  c Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. Nhận xét: B Nếu ta vẽ:       OA  a; OB  b; OC  c  C  c  b   A b a O    Thì: Ba véc tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng Ví dụ1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định rõ ba véc tơ nào sau đây đồng phẳng hoặc không đồng phẳng. 1) 2) 3) 4)   DA, DC , DD ' (Không đồng phẳng)   DA, DC , D ' B ' (Đồng phẳng)   BC ' , CB ' , D 'C ' (Không đồng phẳng)   AA ', CC ', DB ' ( đồng phẳng) B A C D A’ D’ B’ C’ Định lí 1.      Cho ba vectơ a, b, c trong đó a, b không cùng phương. Khi đó ba véc tơ    a , b, c đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l sao cho:    c  k a  lb  b O  c B  a A C    Định lí 2. Nếu ba vectơ a, b, c không đồng phẳng      thì với mọi vectơ xta đều có: x  k a  lb  mc Trong đó bộ 3 số k,l, m là duy nhất. Chứng minh:  c Từ O vẽ         OA  a, OB  b, OC  c, OX  x Vẽ XX’ song song (hoặc trùng) với OC cắt mp(OAB) tại X’    Ta có: OX  OX '  X ' X 1   X ' X  mc  2  Vì C O A  a  x b     ' a, b, OX đồng phẳng, a, b không cùng phương    '  OX  k a  lb  3      Từ (1),(2),(3) ta có: x  OX  k a  lb  mc X B X’ Chứng minh bộ ba số k,l,m là duy nhất. Nếu còn có bộ ba số k’, l’ , m’ sao cho:     x  k ' a  l ' b  m' c       ' ' ' Thì: k a  lb  mc  k a  l b  m c      ( k  k ') a  (l  l ')b  ( m  m ')c  0(*)  l '  l  m'  m  b c Nếu k’  k thì (*)  a  k k' k k'    Suy ra a, b, c đồng phẳng ( trái với giả thiết) Vậy: k’ = k Chứng minh tương tự ta cũng có l’ = l, m’ = m Vậy bộ ba số k, l, m là duy nhất. Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnha. Gọi M, N lần lượt     '  là trung điểm của AD và BB’.Đặt AB  a , AD  b , AA  c      a)Biểu diễn MN , A'C theo a , b, c  b)Chứng minh: MNA’C. a A B     M Giải: a) MN  MA  AB  BN b C 1   1  D   ba c N c 2   2    A’ A ' C  A ' A  AB  BC     c  a  b D’ C’    b)Ta có: a.b  0, b.c  0, c.a  0      2  2 1 2 1   1  1 MN . A ' C  ( b  a  c) ( c  a  b)   b  a  c 2 2 2 2 2 2 a a 2  a   0 Như vậy: MNA’C 2 2 B’ BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1, 2, 4, 6, 7 (SGK trang 59) Xin chân thành cảm ơn sự chú ý theo dõi của các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh!