Bài giảng về phương trình lượng giác

  • Số trang: 55 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

PHẠM HỒNG PHONG  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa: pham hong phong, phuong trinh luong giac Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung ....................................................................... 5 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ................................................................................. 5 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 15 Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác ..................................................23 Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản ...................................................................................... 23 Loại 2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ................................................. 31 Loại 3. Phép đại số hóa t  tan 2x ................................................................................................. 41 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ................................................................................................... 45 Chủ đề 3. Phương trình tích ...............................................................................48 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình cơ bản đối với sin Xét phương trình sin x  m . (0.1)  Điều kiện có nghiệm: (0.1) có nghiệm  m   1;1 .  Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1 , ta có  x  arcsin m  2k (0.1)   ( k   ).  x    arcsin m  2k Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn y      2 ; 2  1 của phương trình sin x  m ( y=sinx m Hình 1). - π 2 O arcsinm Ta thấy với mỗi m   1;1 , giá trị arcsin m luôn tồn tại duy nhất. π 2 x -1 Hình 1 2. Phương trình cơ bản đối với cos Xét phương trình cos x  m .  Điều kiện có nghiệm: (0.2) có nghiệm  m   1;1 .  Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1 , ta có (0.2) (0.2)  x   arccos m  2k ( k   ). 5 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y 1 y=cosx Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn m  0;   của phương trình sin x  m (Hình 2). π 2 O π x arccosm Ta thấy với mỗi m   1;1 , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất. -1 Hình 2  3 3. Phương trình cơ bản đối với tan y Xét phương trình tan x  m . y=tanx (0.3) m Với mọi m , (0.3) có nghiệm và - (0.3)  x  arctan m  k ( k   ). π 2 π 2 O x arctanm    Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng   ;  của  2 2 phương trình tan x  m (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất. Hình 3 4. Phương trình cơ bản đối với cot Xét phương trình cot x  m . (0.4) 6 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y y=cotx Với mọi m , (0.4) có nghiệm và m (0.4)  x  arctan m  k ( k   ). Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương π 2 O π x arccotm trình cot x  m (Hình 4). Ta thấy với mỗi m , giá trị arc cot m luôn tồn tại duy nhất. Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản:   f  x   g  x   2k sin  f  x    sin  g  x     ( k   );  f  x     g  x   2k  cos  f  x    cos  g  x    f  x    g  x   2k ( k   );   f  x   g  x   k  tan  f  x    tan  g  x     ( k   );   f  x    k  2   f  x   g  x   k cot  f  x    cot  g  x     ( k   ).  f  x   k B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình 2cos2 x  sin x  2 . 1 Giải. Ta có 7 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1  2 1  sin 2 x   sin x  2  2sin 2 x  sin x  0  sin x  2 sin x  1  0   x  k sin x  0     1   x   2k , ( k   ). sin x   6  2  5 x   2k 6  Ví dụ 2. Giải phương trình: 1 sin 2 x  cos x  0 . Giải. Cách 1. 1  2sin x cos x  cos x  0  cos x  2 sin x  1  0  cos x  0   1 sin x   2 Cách 2. 1    x  2  k     x    2k , ( k   ).  6   x  7  2k 6     sin 2 x   cos x  sin 2 x  sin   x   2    2k    2 x   x  2  2k x   6  3 , ( k   ).      2 x  3  x  2k  x  3  2k   2 2 y 1 Chú ý. Trong ví dụ trên, ta thấy khi giải bằng hai cách khác nhau ta được các công thức nghiệm khác nhau. Tuy nhiên các công thức nghiệm nói trên cùng thể hiện một tập nghiệm của -1 O 1 x phương trình. -1 Ví dụ 3. Giải phương trình: sin 2 x  cos2 2 x  1 . 1 Giải. 8 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1  cos 2 x  cos x .  cos2 2 x  1  sin 2 x  cos2 2 x  cos2 x    cos 2 x   cos x  2  2 x  x  2k     2 x   x  2k   3  x  2k 2k  2k   ( 2k k        x k    ). 2 k  x  3  3  3   cos 2 x  cos   x  Vậy nghiệm của 1 là: x   2  3  2k   x   2 x    x  2k     3 3 .   2 x  x    2k  x    2k 2k  2k  , x  , x    2k ( k   ). 3 3 3 Ví dụ 4. Giải phương trình: sin 3x  sin 5x x cos . 2 2 1 Giải. Ta có 1  sin 3x  12  sin 3x  sin 2 x   sin 3x  sin 2 x  3 x  2 x  2k 3 x    2 x  2k    x  2k  ( k   ).  x    2 k 5 5  Ví dụ 5. Giải phương trình: sin 3x 1  cos 4 x   cos 3x sin 4 x . 1 Giải. 1  cos 3x sin 4 x  sin 3 x cos 4 x  sin 3x  sin 7 x  sin 3 x k  x  7 x  3 x  2 k   2 ( k   ).      7 x    3x  2k  x    k  10 5 Ví dụ 6. Giải phương trình: sin 4 x sin 7 x  cos 3 x cos 6 x . 1 Giải. 1   12  cos11x  cos 3x   12  cos 9 x  cos 3x   cos11x   cos 9 x 9 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   k10  x  20 11x    9 x  2k ( k   ).  cos11x  cos   9 x       11x  9 x    2k  x   2  k Ví dụ 7. Giải phương trình: 1 tan x  1. 2 cos x 3 1 Giải. 1 tan x 1    1  tan x  0  tan x  tan x  1   0  tan 2 x    0 2 3 3 3  cos x    tan x  0  x  k  ( k   ).     tan x  1  x    k  3 6  Ví dụ 8. Giải phương trình: 2sin 2 x  sin x  1 0 2 cos x  3 1 Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: 2 cos x  3  0  cos x  3   x    2k ( k   ). 2 6   x   2k  2  sin x  1  2  Ta có 1  2sin x  sin x  1  0   1   x    2k ( k   ). sin x   2   2  x  7  2k 6  y π +2kπ 1 2 Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn sin x  1 sin x   1 được biểu diễn bằng những điểm đen.  2  các họ nghiệm của 1 là  2  2k , 7 6  2k ( k   ). π +2kπ 6 -1 O x 1 -π +2kπ 6 7π +2kπ 6 -1 10 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Chú ý. Khi biểu diễn họ x    2k ( k   , n  * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác n ta được:  Một điểm trong trường hợp n  1 .  Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n  2 . Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị    2k với k  0 , 1 . 2 n điểm cách đều nhau trong trường hợp n  3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị  -1 2k với k  0 , 1 , …, n  1 . n y y y 1 1 1 O 1 x -1 -1 O 1 x -1 n2 n3 Ví dụ 9. Giải phương trình 1  5sin x  2cos 2 x  cos x  0 . -1 O 1 x -1 n4 1 Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x  0 . 1  5sin x  2 cos 2 x  0 1 .     cos x  0  2  3 Ta thấy  2  1  5sin x  2 1  sin 2 x   0  2sin 2 x  5sin x  3  0 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   x    2k  sin x  3  1  voâ nghieäm  6 .     1 7  sin x     2 x  2k  6  3  cos x  0  x    k . 2 y π +2kπ 1 2 Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  2  và  3 trên đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm -1 O x 1 điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của 1 là: Ví dụ 10. Giải phương trình: -π +2kπ 6 7π +2kπ 6    k ,   2k ( k   ). 2 6 π - +2kπ -1 2 1  sin x . 8cos 2 x Giải. Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x  0  x  1   k . 2 sin x  0  Ta có 1   1 . 2  sin x  8cos 2 x  4  2  3  4 2 2 8sin x cos x  1   cos x  0     2sin 2 2 x  1  cos 4 x  0 cos x  0  4x    k  k  x   . 2 8 4 12 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  4  trên đường 5π +2kπ 8 1 tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một 7π +2kπ 8 trong hai điều kiện  2  ,  3 (điểm được khoanh trắng), ta π +2kπ 8 -1 được các họ nghiệm của 1 là: Chú ý. Họ nghiệm x      O x 1 -π +2kπ 8 -7π +2kπ 8  3 5 7  2k ,  2k ,  2k  ,  2k ( k   ) 8 8 8 8 3π +2kπ 8 -5π +2kπ 8 -1 -3π +2kπ 8 2k ( k   ) thực ra là tập hợp   2kn k   . Ta có n     k      2k k      2n   2k k    ...     n  1 . 2n   2k k    x    2k  2  x     n   2k  2k nói cách khác x    n   ( k   ). ...   x     n  1 2n   2k 2 k n x  Ví dụ 11. [ĐHB06] Giải phương trình: cot x  sin x 1  tan x tan   4 . 2  1 sin x  0 k  Giải. ĐK: cos x  0  sin 2x  x  . 2 cos x  0  2 Ta có 1  tan x tan sin x sin 2x cos x cos 2x  sin x sin 2x cos 2x x 1  1    . 2 cos x cos 2x cos x cos 2x cos x cos 2x cos x x   cot x  sin x 1  tan x tan   cot x  tan x  2  Do đó 1  cos x sin x sin x  cos x  cos2 x  sin 2 x sin x cos x  sin22 x . 2 1  4  sin 2 x  (TMĐK) sin 2x 2 13 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44     2 x   2 k  x   k   6 12 ( k   ).      2 x  5  2k  x  5  k   6 12 C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) sin x  3 cos x  0 . 2) sin x cos x  14 . 3) sin 3x cos 2 x  sin 2 x cos x . 4) cos x  4 cos 2 x  3  cos x 0. 2 5) 2sin x  4sin 3 x  3sin x   sin 2 x  0 . 6) sin x  sin 2 x  cos x  cos 2 x  0 . 7) sin x  sin 2 x  cos x  cos 2 x  0 . Bài 2. Giải các phương trình sau  sin  2  x  4   . 1) cos x cos 7 x cos6 x 2) 1 sin x  cos1 x  3) 1 sin x  cos1 x  sin 22 x . 2 sin 2 x . 4) sin 2 x 1  tan 2 x tan x   1 . 5) sin 2 x  tan x 1  sin 2 x tan 2 x  . 6)  2  3  cos x 2sin 2  x2  4  2cos x 1 1. 7) tan  2  x   3 tan 2 x  cos 2 x 1 cos 2 x . D. Đáp số Bài 1 1) 2k ,  6  3  k ; 2)  12  2 k3 ; 7) 2k ,  712  2k ; 4)  k ,  3 5 6  k ; 3) k ,  8  2 k3 . Bài 2 1) k ,  k  ; 5) x  k ; 6) 8 2 4 3  k4 ; 4) k 5 4 k 5 , 4 k 7 ; 5) k , ; 2)  12  2k , 7 12  8  k2 ,  2k ; 3)  4  k ;6)  12  2k ,  2k ; 7)  4  k . 14 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng: 1 A sin x  B cos x  C , trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( A2  B 2  0 ). * Cách giải: chia hai vế của 1 cho A A2  B 2 sin x  A2  B 2 , ta được phương trình tương đương: B A2  B 2 cos x  C A2  B 2 . A  cos        A B  A2  B 2 Vì    1 nên tồn tại    0; 2  để:  .   2 2 2 2 B  A B   A B  sin    A2  B 2 2 2 Do đó: 1  sin x cos   cos x sin   C A2  B 2  sin  x     C A2  B 2  2 . Ta thấy  2  là phương trình có dạng cơ bản sin  f  x    m . * Chú ý: +) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình 1 : 1 +) có nghiệm  A2  B 2  C 2  0 . B  cos    A2  B 2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì 1  cos  x     A sin    A2  B 2 C 2 A  B2 . 15 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 A  cos     A2  B 2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì 1  sin  x     B sin     A2  B 2 B  cos   2  A  B2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì 1  cos  x     A sin     A2  B 2 C A2  B 2 C A2  B 2 . . Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp. +) Một số công thức hay sử dụng: sin x  cos x  2 sin  x  4   2 cos  x  4  , sin x  cos x  2 sin  x  4   2 cos  x  34  , sin x  3 cos x  2sin  x  3   2 cos  x  6  , sin x  3 cos x  2 sin  x  3   2 cos  x  56  , 3 sin x  cos x  2sin  x  6   2 cos  x  3  , 3 sin x  cos x  2sin  x  6   2cos  x  23  . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình: sin x  3 cos x  1  0 . 1 Giải Ta có 1  1 3 1    sin x  cos x   sin x cos  cos x sin  sin 2 2 2 3 3 6 16 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44      x    2 k  x   2k      3 6 2 ( k   ).  sin  x    sin     3 6   x    5  2k  x  7  2k   6 3 6 Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 2 sin x cos x  sin x  cos x  0 . 1 Giải Ta có 1  sin 2 x   1 3 3  sin x  cos x   sin 2 x  sin x cos  cos x sin 4 4 2 3 3   2 x  x   2 k  x   2k   3   4 4 ( k   ).  sin 2 x  sin  x       4    2 x    x  2k  x    2k   12 3 4 Nhận xét. Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức  Ví dụ 3. Giải phương trình: 3 sin x  1  sin x  cos x  . 2 cos 2 x  1 . 2 cos x 1 Giải Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x  0  x    k . 2  2 Ta có 1   2 3 sin x cos x  cos 2 x  1  3 sin 2 x  cos 2 x  1 3 1 1     sin 2 x  cos 2 x    sin 2 x cos  cos 2 x sin  sin    2 2 2 6 6  6    2 x     2k       6 6  sin  2 x    sin       7  6 6     2x    2k  6 6 17 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  x  k ( k   ) (thỏa mãn  2  ).    x  2  k 3  Ví dụ 4. [ĐHD07] Giải phương trình: 2 x x   sin  cos   3 cos x  2 . 2 2  1 Giải 2 x x x x x x  Ta có  sin  cos   sin 2  cos 2  2 sin cos  1  sin x . Do đó 2 2 2 2 2 2  1  sin x  3 cos x  1   sin x cos 1 3 1 sin x  cos x  2 2 2  1   1   cos x sin   sin  x    3 3 2 3 2        x  3  6  2k   x   6  2k ( k   ).      x    5  2k  x    2k   3 6 2 Ví dụ 5. [ĐHD09] Giải phương trình: 3 cos 5 x  2 sin 3 x cos 2 x  sin x  0 . 1 Giải Ta có 2sin 3 x cos 2 x  sin 5 x  sin x . Do đó 1  3 cos 5 x  sin 5 x  2sin x   sin 5 x cos 3 1 cos 5 x  sin 5 x  sin x 2 2 2  2 2   cos 5 x sin  sin x  sin  5 x    sin x 3 3 3   2  k   5 x  3  x  2k x   6  2 ( k   ).     5 x  2    x  2k  x    k   3 18 3 18 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ 6. [ĐHA09] Giải phương trình: 1  2sin x  cos x  1  2 sin x 1  sin x  1 3. Giải sin x   12 Đk:  sin x  1    x   6  2k  7   x   2k . 6     x  2  2k   Ta có 1  2sin x 1  sin x   sin x  1  2sin 2 x   sin x  cos 2 x . Do đó 1  cos x  sin 2 x  3  sin x  cos 2 x   sin 2 x  3 cos 2 x  cos x  3 sin x  1 3 1 3 sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin x 2 2 2 2  sin 2 x cos      cos 2 x sin  sin cos x  cos sin x 3 3 6 6    2 x    x  2k      3 6  sin  2 x    sin   x    3  6   2 x    5  x  2k  3 6  2k   x     18 3 (   k   ).  x    2k  2 Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm của 1 là  Ví dụ 7. Cho phương trình 2 sin x  cos x  1 a sin x  2 cos x  3 1 , ( a  2k  ( k   ). 18 3 là tham số). 1 1) Giải phương trình khi a  . 3 19 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2) Tìm a để 1 có nghiệm. Giải Xét phương trình sin x  2 cos x  3  0 2 . 2 Ta có 12   2   32  4  0   2  vô nghiệm  sin x  2cos x  3  0 x . Do đó 1  2sin x  cos x  1  a  sin x  2 cos x  3  1 1) a  : 1 trở thành 3 2 5 3  2  a  sin x   2a  1 cos x  3a  1 . sin x  53 cos x  0  tan x  1  x   2   k ( k   ). 4 2 2) Ta có  2  a    2a  1   3a  1  4a 2  6a  4  2  a 2  3a  2  . 1 Do đó 1 có nghiệm  2  a 2  3a  2   0  a 2  3a  2  0    a  2 . 2 Ví dụ 8. Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m . 1 1) Giải phương trình khi m  1 . 2) Tìm m để 1 có nghiệm. Giải Ta có 1 1 1  cos 2 x  m  sin 2 x  3cos 2 x  1  2m .  1  cos 2 x   sin 2 x  2 2 1) m  1  1 trở thành sin 2 x  3cos 2 x  3  2sin x cos x  3 1  2sin 2 x   3  2sin x cos x  6sin 2 x  0  sin x cos x  3sin 2 x  0  sin x  cos x  3sin x   0 20
- Xem thêm -