Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Bai giang trong tam mu logarith

.PDF
81
220
117

Mô tả:

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM MŨ – LOGA Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái niệm về Lũy thừa  Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên. 1  Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên. a m  Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = ( a) n m với m, n là số tự nhiên. 1 Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a . 2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa  a 0 = 1, ∀a  Tính chất 1:  1  a = a, ∀a  a > 1: a m > a n ⇔ m > n  Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n  am > bm ⇔ m > 0  Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m m  a < b ⇔ m < 0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa  Nhóm công thức 1:  Nhóm công thức 2: a m .a n = a m + n m am = a m−n an (a ) m n = a mn = ( a n ) ( ) m n am = a n = n ab = n a . n b , n a na = , ∀a ≥, b > 0 b nb m n a 1  → a = a2 ; 1 3 1 a = a3 ; n a = an ∀a, b ≥ 0 Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại) a) A = 4 x 2 3 x . d) D = 3 b) B = 5 23 3 2 . 3 2 3 b3 a . a b C = 5 23 2 2 . c) e) D = 4 3 a8 . f) F = 5 3 b2 b . b b Ví dụ 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau? 2 1 − − a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 . −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) . 1   a c) −0,2 1 d) (1 − a ) − 1 3 > (1 − a ) − 1 2 e) ( 2 − . 3 a)4 > (2 − a) . 2  1 2  1  f)   >   a a < a2 . − 1 2 . Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:  a) A =   3+ 2 − ( 3− 2     ) ( 1 2 3+ 2 ) 1 2 +  3− 2  −1 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . 4x . 4x + 2 a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.  1   2   2010  b) Tính tổng S = f  + f   + ... + f  .  2011   2011   2011  Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = 5 π 2 π a)   và   2 2 6 d)   7 3 7 và   8 10 3 2 π b)   2 2 π và   5 π e)   6 5 π và   5 3  3 c)   5 10 4  4 và   7 5 2 2 Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau? 1) 4 x = 5 1024 4) ( 3 3 ) 2x 2) 1 =  9 x−2 5 2   25 x x +1 = 2  8  5)   .    9   27  1  0, 25  .322 x −8 =   0,125  8  x x 1 10) ( 12 ) . ( 3 ) = 6 −x 8 125 −x 3) 81 − 3 x = 3 6)   2 27 = 64 11) 71− x.41− x = x 2 −5 x + 6 3 x −7  9  9)    49  8) 0, 2 x = 0,008 7) 1 32 =1 7 =  3 7 x −3 1 28 II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm về Logarith Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức logarith sau log 2 4; log 3 81; log 2 32; log 2 (8 2 ) Hướng dẫn giải: • log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2  → log 2 4 = 2 y • log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4  → log3 81 = 4 • log • log ( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10 (8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log (8 2 ) = 7 32 = y ⇔ 2 y 2 y 2 10 5 3 7 2 Chú ý: Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là lenx) 2) Các tính chất cơ bản của Logarith • Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0. • log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > 1 • Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔  b < c ⇔ 0 < a < 1 3) Các công thức tính của Logarith Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1) Chứng minh: Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log 2 24 = log ( 2) 8 2 Trang 4 = 8... Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) P = log 1 a 5 a 3 a2 b) Q = log . a4 a a a a a a a. Hướng dẫn giải: a) Ta có b) Ta có a 5 a 3 a2 a4 a = 1 2 a.a 5 .a 3 1 1 a 2 .a 4 = a a a a = a a 1 2 1+ + a 5 3 1 1 + a2 4 1 a.a 2 = 28 a 15 3 a4 = a = 28 3 − a 15 4 = 67 a 60  → P = log 1 67 a 60 a 3 a.a 4 = 7 a.a 8 = 15 a 16  → Q = log 67  1 − 60 67 = log 1   = − .  a  60 a a 15 a 16 = log 15 8 a ( a) = 15 . 8 Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) log 1 125 = ..................................................... 2) 5 log 2 64 = .................................................................... 3) log16 0,125 = .................................................. 4) log 0,125 2 2 = .......................................................... 5) log 3 3 3 3 3 = ................................................ 6) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................ Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: ( ) a) P = log a a 3 a 5 a = .................................................................................................................................. ( ) b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................ Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2) Chứng minh: Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at Ví dụ 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6, ( ) 3 log 3 4  1 = ( 3 ) 2    log 3 4 = ( 3 )  1 1 log 3 4  2 = ( 4 ) 2 = 2...  log 2 64 Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) 2log8 15 = .....................................................  1 log81 5  3)   = .....................................................  3  log3 4 ( 9) 3 2) 2 2 = .................................................................... 4) = .................................................................... Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3) Chứng minh:  x = a log a x Áp dụng công thức (2) ta có   → x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y log a y  y = a Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3 b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4 Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: 4 4 10 a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = . 3 3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 3 b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1 3 3  Công thức 4: log a   Chứng minh: − 1 1 3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1    3   3  3 3 3 3 3 c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log −3 1 3 3 3 5 2 32 = log 23 + log 2 2 = log 2 6 2 ( 2) + log 1 3 1 10 = −3 − = − . 3 3 2 2 Trang 5 ( 2) = 6 + 2 = 8. x  = log a x − log a y , (4) y  x = a log a x x a log a x Áp dụng công thức (2) ta có   → = log y = a log a x −log a y log a y y a a  y = a x Áp dụng công thức (1) ta được : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm  y 4 5 32 5 4 7 = log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = . 3 2 3 6 16 m Công thức 5: log a b = m.log a b , (5) Chứng minh: Ví dụ: log 2 ( Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b ) m = a m.loga b Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6 Ví dụ 1: 1 log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 = 1 5 log 2 32 = 4 4 Ví dụ 2: −4 1 62.45 1 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1 = log 1 81 = log 1   = −4. 2 3 3 3 3 3 3 3 20 3 3 3 1 50 3 Ví dụ 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 = log 5 25 = 2. 2 2 3 1 Công thức 6: log a n b = log a b , (6) n Chứng minh: ( ) Đặt log a n b = y ⇒ a n y = b ⇔ a ny = b Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b = 1 log a b n 1 log a b ⇒ dpcm n 1 log 2 16 = 2.4 = 8. 1 22 2 1 log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30. 1 25 5 log 2 16 = log 1 16 = Ví dụ 1 : Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = Ví dụ 2: log 3 5 4 125 = log 1 3 4 1 53 (5 ) 3 9 = 4 log 5 5 = ; 1 4 3 m log a b n ( 32 2 ) = log( ) ( 2 ) 11 log 2 2 2 3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) = 11 log 3 2 2= 11 . 3 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A =  log 3 3 27 = log 3 3 (3 3 )  27   log 1  5  = log − 1 3 2 3  9   log 3  33   52 3 2 Trang 6  27  log 3 3 27 + log 1  5  9 3  . 4 1 1 log 3 + log 1   81 3 3   Hướng dẫn giải: =2  1 13 13 26 = log 3 3 5 = −2. = − . 1  5 5  − 2 1 = log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8  →A= 81 32  27  log 3 3 27 + log 1  5  3  9  1 1 log 3 + log 1   81 3 3  log c b Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: ( 4 26 5 = 4. = −8 + 4 5 2− ) Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau log a b = log a c.log c b log b b 1 + Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b = . = log b a log b a Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho log 2 14 = a  → A = log 2 49 = ? b) Cho log15 3 = a  → B = log 25 15 = ? Hướng dẫn giải: a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1. Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) . 1 1− a  log 3 5 = − 1 =  1 1  a a b) Ta có log15 3 = a ⇔ a = =  → log 3 15 1 + log 3 5 log 3 = a  5 1− a 1 1 log 3 15 1 1 B = log 25 15 = = a = a =  →B = . log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a ) 2 (1 − a ) a Ví dụ 2: Cho log a b = 3. Tính a) A = log b a b . a b) B = log ab b . a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a = 1 3 . a) A = log b a b = log a b a b − log b a a= 1 1 − =  b  b  log log b   log a    a   a  b Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 1 b − log a b − log a 1 b − log a a = Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 = Trang 7 1 1 1 1 3 −1 3 −1 − = − =  →A= . 1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2 3 −2 3−2 3 −2 3 b 2 log a  b b a = log a b − 1 = 3 − 1 Cách khác: Ta có được A = log b = log = log = 2   b   b  log a b − 2 a log b 3−2 a    a  a2 a a 2  a  a b 1 1 1 1 b) B = log ab − = − . = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b a b = 1 1 1 2 3 −1 2 3 −1 = − =  →B = . 1 1 1 + log a b 1 1 1+ 3 3 + 1 3 + 1 log b a + + 2 2 2 3 2 b2 2 log a 2 b  b  b a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 . Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab = 2   ( ab )  a  a log a ab 1 + log a b a 1+ 3 Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: a) log 6 3.log 3 36 = ...................................................................... = 1 − b) log 3 8.log 4 81 = ...................................................................... 1 .log 25 3 2 = ................................................................. 5 Ví dụ 4: Cho log a b = 7. Tính a a) A = log a b . b) B = log b 3 ab 2 . 3 b a Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: 49 a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b  → P = log 3 5 =? 8 b b) Cho log ab a = 2  → Q = log ab =? a Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh: c) log 2 ( Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c Ví dụ 1: 49 log 7 2 =2 log 7 49 = 2 = 4; 2 ( 2) log 2 27 = 27 log 2 2 ) logb a = c logb a ⇒ dpcm 1 2 = 27 = 3 3... Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 36log6 5 + 3 log3 4 − 3log9 36 = .......................................................................... 32 − log3 2.4 2 = ........................................................................................... 27 log3 4 c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = ....................................................................... log 3 b) B = BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau 1) log 25−1 5 4 5 2) log 3 3 729 3) log 9 3 1 4) log 9 3 3  1 log27 81 7)    3  5) log 33 (3 3 ) 8) 103+2log10 3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 12 6)   9 27 log 3 4 9) 43log8 3+2log16 5 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 1 10) 9 2 log3 2−2log 27 3 13) 25log5 6 + 49log7 8 1+log 9 4 16) 3 +4 2−log 2 3 +5 log125 27 Trang 8 log 9 2−log 1 5 11) 42+log 2 3 12) 3 14) 10 3 log10 8 15) 17) 25 1 log 8 5 + 49 3 log 7 16 log 7 15 − log 7 30 1 log 6 7 Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b. b) Cho log53 = a, tính log2515. c) Cho log96 = a, tính log1832. d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308. Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa) a+b 1 = ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab. 3 2 1 b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab 2 log c a + log c b 2a + 3b c) log c = , với 4a2 + 9b2 = 4ab 4 2 d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1. log a c log a b + log a x e) f) log ax bx = = 1 + log a b log ab c 1 + log a x log a N − log b N log a N 1 1 1 k (k + 1) , với b2 = ac. h) + + ... + = g) = log a x log a 2 x log a k x 2log a x logb N − log c N log c N a) lg Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9 02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 3. Giới hạn đặc biệt 1 x) x x  1 = lim 1 +  = e x →0 x →±∞  x ln(1 + x) ln(1 + u ) lim = 1  → lim =1 x →0 u → 0 x u ex −1 eu − 1 • lim = 1  → lim =1 x →0 x u →0 u Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: • lim (1 + e2 x − 1 1) lim x →0 x ln(1 + 3 x) 4) lim x →0 x • • lim x →0 − x 3 −1 x →0 x ln(1 + 4 x) 5) lim x →0 2x 2) lim e sin x sin u ( x) = 1  → lim =1 x →0 u ( x ) x e3 x − e 2 x x →0 x e−4 x − 1 6) lim x →0 3x 3) lim Hướng dẫn giải:  e2 x − 1  e −1 1) lim = lim  .2  = 2 x →0 x →0 x  2x  2x 2) lim x →0 e −  −x   e 3 − 1  −1   −1 1 = lim  .   = − → x 0 − x x 3  3    3  x 3 ( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − 1 − lim e2 x − 1 = 3 − 2 = 1. e3 x − e 2 x = lim x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x 3) lim 4) lim ln(1 + 3 x)  ln(1 + 3 x)  = lim  .3 = 3 x →0 x  3x  5) lim ln(1 + 4 x)  ln(1 + 4 x)  = lim  .2  = 2 x → 0 2x  4x  x →0 x →0  e −4 x − 1  −4   e−4 x − 1 4 = lim  .   = − x →0 x → 0 3x 3  −4 x  3   6) lim BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính các giới hạn sau: ln (1 + 4 x ) 1) lim x →0 x sin 2 2 2) lim x →0 e x − cos x x2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) eax − ebx x x →0 3) lim Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 esin 2 x − esin x 4) lim x x →0  x +1  7) lim   x →+∞  x − 2   x  5) lim   x →+∞  1 + x  2 x −1 x Trang 10  1 6) lim  1 +  x →+∞  x  3x − 4  8) lim   x →+∞  3 x + 2  x +1 3 x +1 x  2x + 1  9) lim   x →+∞  x − 1  x 4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith  y = a x  → y′ = a x .ln a  Hàm mũ:   y = au  → y ′ = u ′.au .ln a  y = e x  → y′ = e x Đặc biệt, khi a = e thì ta có   y = eu  → y ′ = u ′.eu 1  → y′ =  y = log a x  x.ln a  Hàm logarith:  u′  y = log u  → y′ = a  u.ln a 1  → y′ =  y = ln x  x Đặc biệt, khi a = e thì ta có  u′  y = ln u  → y′ =  u Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp: Hàm sơ cấp Hàm hợp  y = k  → y′ = 0  y = ku  → y ′ = k .u ′ 1 1  → y′ = − 2 x x 1 y = x  → y′ = 2 x y=  y = x n  → y′ = n.x n −1 ⇒  y = sin x  → y′ = cos x   → y ′ = − sin x  y = cos x  1  → y′ =  y = tan x  cos 2 x   −1  y = cot x  → y′ =  sin 2 x 1 u′  → y′ = − 2 u u u′ y = u  → y′ = 2 u y=  y = u n  → y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒  y = sin u  → y′ = u ′.cos u   → y ′ = −u ′.sin u  y = cos u  u′  → y′ =  y = tan u  cos 2 u   −u ′  y = cot u  → y′ =  sin 2 u u uv′ − u ′v  → y′ =  y =    v v2  y = u.v  → y′ = uv′ + u ′v  Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x2 − x + 1 y = 4 x3 − 3 x + 2 x+3 Hướng dẫn giải: 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 2) y = 3 ( 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2 ) 1 2) y = 3 1 4 ( )( 1  → y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2 4 ) 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) −3 4 3 − ′ x2 − x + 1  x2 − x + 1 3 1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1  = → y′ = .     .  = x+3 3  x+3   x+3   x+3  3 3 − − ′ 1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4 = .  .  = .  . 3  x+3   ( x + 3) 2 ( x + 3) 2  3  x+3  Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 2 2 1 4 1 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3  → y′ = . . ( sin ( 2 x − 1) )′ = . cos ( 2 x − 1) 3 3 3 sin ( 2 x − 1) 3 sin ( 2 x − 1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 + 3 1 + 5x 11 1) y = 2) y = 9 + 6 5 x9 1 + 2x ( ) ( x− ) 1 3 8) y = e2 x + e x e2 x − e x 9) y = esin 3 x − 11) y = 2 x.ecos x 13) y = ecos x .ln ( cos x ) 14) y = ln x + x 2 + 1 ( 16) y = log 1 x 4 − cos 2 x ) 17) y = ln ( 2 x − cot x 4x ( 10) y = cos x.ecot x ( x+4 3 6) y = e−3 x .sin 4 x 5) y = x5 − x e −2 x 4) y = x 2 − 4 x + 4 e x 7) y = x.e 3) y = 4 sin 12) y = ln x 2 + 4 x − sinx ) 15) y = ) ln ( 2 x + 1) ) x +1 18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x) 3x − 4 Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng? 1) y = x.e − x2 2 ( ) 2) y = ( x + 1) .e x  → y '− y = e x  → xy ' = 1 − x 2 y 3) y = e 4 x + 2e − x  → y '''− 13 y '− 12 y = 0 5) y = e − x .sin x  → y ''+ 2 y '+ 2 y = 0 1 7) y = x 2 .e x  → y ''− 2 y '+ y = e x 2 ( )( ) 8) y = x 2 + 1 . e x + 2011  → y' = 10) y = 6) y = esin x  → y '.cos x − y.sin x − y '' = 0 ( ) 2 xy + e x x2 + 1 2 x +1 1  → xy ' = y ( y.ln x − 1) 1 + x + ln x 1  → xy '+ 1 = e y 1+ x 1 + ln x 11) y =  → 2x2 y ' = x2 y 2 + 1 x (1 − ln x ) 9) y = ln ( ) Ví dụ 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây? ( ) 1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1 1 f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x x 3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5 4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1) 1 5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5 2 2) f '( x) + Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHẦN 1 DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN  Khái niệm: Là phương trình có dạng a x = b , trong đó 0 < a ≠ 1.  Cách giải: + Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu b ≤ 0 thì a x = b ⇔ x = log a b  Ví dụ mẫu: Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 . Hướng dẫn giải: Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x. 1 5 x 7  2 5 ⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5 5  5 2 2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5. 2  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3x −1 + 3x − 2 4) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351 7) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x x 1 1   +  2 2 x +1 1 +  2 2) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1 3) 5) 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x − 2 + 3x − 3 8) 4 x +1 + 4 x −1 = 2.6 x − 4.6 x − 2 6) 7.5 x − 2.5x −1 = 11 9) x −2 = 22 DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ a = 1  Cơ sở phương pháp: Sử dụng các công thức lũy thừa đưa phương trình về dạng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) a m .a n = a m + n  Các công thức lũy thừa cơ bản: am = a m−n an (a ) m n n = a m.n = a n.m = ( a n ) m n a = a  → a−n = m m 1 an  Ví dụ mẫu: Ví dụ 1. Giải các phương trình sau 1) 2 x 2 +3 x −2 = 16 x +1 2) 3− x 2 1 243 Hướng dẫn giải: +4 x = x +10 x +5 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 x = 2 = 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0  →  x = −3 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3. 2 2  x = −1 1 2) 3− x + 4 x = ⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔  243 x = 5 Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5. 1) 2 x 3) 2 +3 x −2 x +10 16 x −10 = = 16 x +1 ⇔ 2 x x +5 x 0,125.8 −15 , 2 +3 x − 2 (1) . Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13  x − 10 ≠ 0  x ≠ 10 Điều kiện:  ⇔  x − 15 ≠ 0  x ≠ 15 x +10 x +5 4. 3. 1 x + 10 x+5 = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4. = −3 + 3. 8 x − 10 x − 15 = 0 x  4( x + 10) 60 ⇔ = ⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150  → x − 10 x − 15  x = 20 Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: Do 16 = 24 ; 0,125 = ( x ) x 27 2 9 1)   .   = 64 3 8 2) 4.9 x −1 =3 2 3) ( 2 x +1 5 + 2) x −1 =( x −1 5 − 2 ) x +1 Hướng dẫn giải: x x x 3 x 3 27 2 9 2 9 3 3 3 1)   .   = ⇔  .  =   ⇔   =    → x = 3. 64 3 8 3 8 4 4 4 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. 2) 4.9 x −1 =3 2 2 x +1 ⇔ 4.9x −1 3.2 2x − 3 =1 ⇔ 3 2 x +1 2 .2 2− 2 x +1 2 ( 2) 3− 2x 2x − 3 =1⇔ 3 .  3  =1⇔    2 2x − 3 0 3  3  =1 =   ⇔ x = 2.  2 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = . 2 x Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16. 3) ( 5 + 2) =( x −1 5+2 )( 3 3 9 =  ⇔ x= . 2 2 x −1 ) ( 1 = 5+2 5+2 1− x 1   x =1 ⇔ ( x − 1)  1 + (1) ⇔ x − 1 =  = 0 ⇔  x = −2 x +1 x +1   Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2. Do 2x 5 − 2 ) x +1 , (1) . Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. ( 81x  81  18.81  9  = 9.2.4 x ⇔   = ⇔  81 16  4  2 5 − 2 = 1  → 5−2= ) −1 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:  1)  2 2  ( ) 1 x +3 2  x   2 x −1 =4 2) ( 3+ 2 ) x 2 −5 x = ( 3− 2 ) 6 2 3) 5 x − 3x 2 +1 ( = 2 5x 2 −1 − 3x 2 −2 ) Hướng dẫn giải:  1)  2 2  ( ) 1 x +3 2 ( 3 (1) ⇔ 2 ( x ) x +1  x   2 x −1 (1) . = 4, x > 0 Điều kiện:  x ≠1 ) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9. x −1 x ( ) x −1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9. 2) Do ( 3+ 2 ( ) 3+ 2 x 2 −5 x )( = ( ) ( 2 ). 6 3− 2 , ) 3 − 2 = 1  → ( ) 3− 2 = ( 1 3+ 2 ) = ( 3+ 2 ) −1 . x = 2 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔  x = 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3. ( 2) ⇔ ( 3+ 2 ) x2 −5 x = ( 3+ 2 ) −6 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 2 3) 5 x − 3x 2 +1 ( = 2 5x 2 −1 − 3x 2 −2 )⇔5 x2 Trang 14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x 5 9 5 9 x2 x2 3 3 2 25 2 125 5 5 5 ⇔ 5 x = 3x ⇔   = ⇔   =    → x = ± 3. 5 9 27 3  3 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ( 0, 2 ) x − x2 (3 + 2 2 ) ( 4) 9. 3 1 7)   8 ) =5 ( 4 x −1 x2 − x 3 2)   2 6 x −10 = 3− 2 2 ) = 81 = 16. ( 4) 3 x 5) 10 x 1  1  10) 3x.  =    3   27   2 =   3 2 x +3 3) 2 x +3 x −1 x −1 x 2 − x −5 8) 9 x 11) 5 x 2 − 4 x −1 x 2 − 4 x −1 ( =1 1 =   3 10 − 3 ) 6) e 5 x −7 9) 5 x −3 x3 ( = 19 + 6 10 ) x 2 −1 1 =  e x +1 27 x −1 x 2 −3 4 x−2 1 = .81 x + 2 9 2 x 2 −1 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ  a f ( x ) = ...  Cơ sở phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0  →  a f ( x) = ... 2 1 ; a 2n = ( a n ) n a  Chú ý: a − n =  Ví dụ mẫu: Ví dụ 1. Giải các phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0 Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 . 2 Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0. t = 5 Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔  t = 25 x + Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 . + Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2. Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 . Hướng dẫn giải: 3x = 1 = 30 2 x = 0 1 Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1 ⇔ − 2 3 = = 3 3  x = −2  9 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 1) 5 x 1− x −5 +4=0 2) 3 x x 2 − 8.3 + 15 = 0 3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 Hướng dẫn giải: 1) 5 x − 51− + 4 = 0, (1) . x Điều kiện: x ≥ 0. (1) ⇔ 5 x − 5 5 x ( ) +4=0⇔ 5 x 2 + 4.5 x 5 − 5 = 0  → 5 x x  x =0 x = 0 ⇔ ⇔ x = 1 = 5  x = 1 =1 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.  3 x =3 x 2x x x = 2  2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0  → ⇔ x x = log 3 5 = log 3 25  3 =5   Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25. ( ) 2 x +8 3) 3 − 4.3 x+5 ( ) ( ) ( ) 2( x + 4) + 27 = 0 ⇔ 3 − 4.3 x+4 2( x + 4) .3 + 27 = 0 ⇔ 3 − 12.3 x+4 3x + 4 = 3 ⇒ x = −3 + 27 = 0  →  x+4 2 3 = 9 = 3 ⇒ x = −2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 92 x − 32 x − 6 = 0 2) 2 x − 4 x−1 = 1 4) 100 x − 10 x+1 + 16 = 0 5) 9 x − 10.3x + 9 = 0 3) 25 x − 5 x − 12 = 0 6) 3x + 2.32− x = 9 DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Loại 1: Phương trình có chứa a f ( x ) ,b f ( x ) , c f ( x ) , d f ( x ) m n a c d  =   =   . Để giải phương trình dạng này ta chia cả hai vế cho b f ( x ) với b = min {a, b, c, d } hay b b b gọi một cách dân rã, ta chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức lũy thừa mà có cơ số nhỏ nhất. Ví dụ 1. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 . trong đó Hướng dẫn giải:  3  x 2   = ⇒ x = −1 x 2x 3 2 3 3 Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔  . x  2 2 3     = −3 < 0  2  Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: − 1 − 1 − 1 2) 4 x + 6 x = 9 x 4) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 1) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 Hướng dẫn giải: x 1) Chia cả hai vế của (1) cho 9 ta được  4  x 4   = 12 16 4 4 3 3 x =1 →   x ⇔ (1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0  2  x = 2  9 9 3 3  4  16  4    = =   9 3  3  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2. 2) Điều kiện: x ≠ 0.  3 t 1 + 5   = t t 2t t 1 9 6 3 3 2 Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t  x 4 4 2 2  3  1− 5 <0   = 2  2  x x 2x x t 1+ 5  1  3  1+ 5 3 Từ đó ta được   = ⇔ t = log 3  → x = − = − log 1+ 5   .   2 2 2 t   2  2 2 3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16  3  x 4  3  −2   = =   x x 2x x 9 2 2 9 6 3 3 ⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔   → x = −2. x  4 4 2 2 3    = −1 < 0  2  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2. 4) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0   3 x 3 .  = x x x 3x 2x x 2 2  12   18   27  3 3 3  ⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔  → x = 1. x  8 8  8  2 2 2 3   . = −2 < 0   2  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 10.25 x − 29.10 x + 10.4 x = 0 2) 5.36 x = 3.16 x + 2.81x 3) 25 x + 3.15 x + 2.9 x = 0 4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0 2 2 5) 4.49 x − 17.14 x = 392.4 x 2 6) 25 x + 4.9 x = 5.15 x Loại 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1 Cách giải: Do ab = 1 ⇔ ( ab ) f ( x) = 1  → b f ( x) = 1 a f ( x) → b f ( x) = Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0)  1 t Chú ý:  Một số cặp a, b liên hợp thường gặp: ( ( )( 5 + 2 )( 2 +1  Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp: ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1... 2 − 1 = 1; ( 2 ± 1) 3 = (2 ± 3) 3± 2 2 = 2 7±4 2 Ví dụ mẫu. Giải các phương trình sau: 1) ( 2+ 3 ) +( x 2− 3 ) x =4 2) 3) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3 x ( 3 ... 3+ 8 4) ( 2 + 3 ) x ) +( x ( x −1) 2 3 3− 8 ) + (2 − 3) x =6 x − 2 x −1 2 = 4 2− 3 Hướng dẫn giải: 1) ( Do Đặt 2+ 3 ) +( x ( 2+ 3 ( 2+ 3 2− 3 ) x = 4, )( 2 − 3 =1⇔ ) = t ,(t > 0)  → x ) ( ( (1) . 2+ 3 ) .( 2− 3 x ) x 2− 3 ) x = 1  → ( 2− 3 ) x = 1 ( 2+ 3 ) x 1 = . t t = 2 + 3 1 Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0  → t t = 2 − 3  Với t = 2 + 3 ⇔ ( 2+ 3 ) x =2+ 3 = ( 2+ 3 ) → x = 2. 2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95  Với t = 2 − 3 ⇔ ( 2+ 3 ) ( x =2− 3 = 2+ 3 ) −1 = ( 3 3+ 8 2+ 3 ) −2 Trang 17  → x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2. 2) ( Do Đặt 3 3+ 8 ( 3 ( ) +( x 3+ 8 3 )( 3+ 8 ) 3 x 3 3− 8 ) x ( 2). = 6, ) ( )( ( ) 3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔ = t ,(t > 0)  → ( 3 3− 8 ) x ) .( x 3 3− 8 ) x = 1  → ( 3 3− 8 ) x = 1 ( 3 3+ 8 ) x 1 = . t t = 3 + 8 1 Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0  → t t = 3 − 8 ( 8⇔( ) 8) =3−  Với t = 3 + 8 ⇔ 3 3+ 8  Với t = 3 − 3 3+ x ( = 3+ 8 ⇔ 3+ 8 x ( 8 = 3− 8 ) ) x 3 −1 = 3 + 8  → x = 3. ( ⇔ 3+ 8 x 3 ) = (3 − 8 ) −1  → x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3. 3) ( 5 − 21 ) x + 7 (5 + 21 ) x x x =2 x+ 3 x  5 − 21   5 + 21  ⇔  + 7.  = 8,  2   2  x ( 3) . x x  5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21   5 − 21  1 → Ta có  .    =   = 1   = x   2    2  2   2 2   5 + 21     2  x x  5 + 21   5 − 21  1 → Đặt   = t ,(t > 0)   = . 2   2   t t = 1 1 → 1 Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0  t t =  7 x  5 + 21   Với t = 1 ⇔  → x = 0.  = 1   2  x  5 + 21  1 1  Với t = ⇔  → x = log 5+  =  7  2  7 21 2 1  . 7 x = 0 1 Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log  5 + 21   7  2 4) ( 2 + 3 ) ( x −1)2 (2 − 3 )(2 + + (2 − 3) 3 )( 2 + 3 ) Đặt t = ( 2 + 3 ) x2 − 2 x x 2 − 2 x −1 x2 − 2 x = ( ) ( ) + (2 − 3) x2 − 2 x x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x −1 4 ⇔ 2 − 3 (2 + 3) + 2 − 3 (2 − 3) =4 2− 3 + (2 − 3) x2 − 2 x , (t > 0)  →(2 − 3) = 4 ⇔ (2 + 3) x2 − 2 x x2 − 2 x = 4, ( 4 ). 1 = . t Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 ( (  t = 2 + 3  2+ 3 1 2 Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0  → ⇔ t t = 2 − 3  2+ 3  ) ) x2 − 2 x x2 − 2 x Trang 18 =2+ 3  x2 − 2 x = 1 ⇔ 2  x − 2 x = −1 =2− 3  Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2  Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm  x = 2 ± 2  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ( 5 + 24 ) ( 5−2 6 5) ( 2 −1 + 7) ( ) = 10 4) ( 2 +1 − 2 2 = 0 6) ( x x ) ( x ) ( x 5 + 21 + x = 10 24 ) ) + (5 + 2 3) x 7+3 5  7−3 5  2)   + 7   =8 2  2    + (5 − x ) 6 x x ) x 4 − 15 ) + (4 + x ) +( 10 + 3 x2 15 ) 10 − 3 ) x x2 − 1 =8 = 10 + 4 x 5 − 21 = 5.22 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19 04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ BẢN  Khái niệm: Là phương trình có dạng log a f ( x) = log a g ( x), (1) . trong đó f(x) và g(x) là các hàm số chứa ẩn x cần giải.  Cách giải: a > 0; a ≠ 1  - Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f ( x) > 0  g ( x) > 0  - Biến đổi (1) về các dạng sau: (1) ⇔ f ( x) = g ( x) a =1 Chú ý: - Với dạng phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = ab - Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n = 2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x = log a x n - Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔  2  f ( x) = [ g ( x)] log a a x = x; a log a x = x - Các công thức Logarith thường sử dụng:  x log a ( xy ) = log a x + log a y; log a   = log a x − log a y  y 1 m log an x m = log a x; log a b = n log b a  Ví dụ mẫu: Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: ( ) 1 2) lg x = lg ( x + 1) 2 1) log 1 x 2 + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) 3 3 8− x 1 = log 1 x 4 2 2 3) log 2 ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2 Hướng dẫn giải:  x > 1   x + 3x − 4 > 0 x > 1   x < −4    2 1) log 1 x + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) ⇔ 2 x + 2 > 0 ⇔  x > −1 ⇔   x = 2  → x = 2.  2  2   x = −3 3 3  x + 3x − 4 = 2 x + 2  x + x − 6 = 0   Vậy phương trình có nghiệm x = 2. 2 ( ) x > 0  x > 0  1+ 5 x > 0  x > 0 1 1+ 5      x = 2) lg x = lg ( x + 1) ⇔  x + 1 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ →x =   2  2 2  lg x = lg ( x + 1)  x = x + 1  2 2 2lg x = lg x + 1  ( )    x = 1 − 5   2 ( ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 8− x 1 = log 1 x, 4 2 2 3) log 2 Trang 20 1+ 5 . 2 ( 3) . 8 − x > 0 Điều kiện:  ⇔ 0 < x < 8. x > 0 Khi đó ( 3) ⇔ log 2 − 8− x 1 8− x 8− x 1 = − log 2 x ⇔ =x 2 ⇔ = ⇔ x (8 − x ) = 4 4 2 4 4 x 1 ⇔ − x 2 + 8 x = 16 ⇔ ( x − 4 ) = 0  → x = 4. 2 Nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 4. ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2, ( 4) x < 5 5 − x > 0 x < 5   ⇔ x ≠ 4 ⇔ Điều kiện: 5 − x ≠ 1 x ≠ 4  2  2 x − 2 x + 65 > 0 x − 1 + 64 > 0, ∀ x ∈ R )  ( Khi đó ( 4 ) ⇔ x 2 − 2 x + 65 = ( 5 − x ) ⇔ 8 x + 40 = 0  → x = −5. 2 Nghiệm x = –5 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = –5. Bình luận: Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương trình. Ở ví dụ 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay. Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ( 2) 1 1 log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log5 ( 2 x + 1) 2 2 )  1  3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1  =0 4.2 x − 3  2 Hướng dẫn giải: 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4, (1) . x + 3 > 0  x > −3 Điều kiện:  ⇔ ⇔ x > 2. x − 2 > 0 x > 2 Khi đó, (1) ⇔ lg ( x + 3) − lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ⇔ lg 2 ( x + 3) 2 ( x − 2) = lg 0, 4 ⇔ ( x + 3) 2 ( x − 2) = 0, 4 = 2 2 ⇔ 2 ( x − 2 ) − 5 ( x + 3) = 0 5 x = 7 ⇔ 2 x − 13 x − 7 = 0  → x = − 1  2 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 7. 1 1 2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log 5 ( 2 x + 1) , ( 2 ) . 2 2 2   x > −5 x + > 5 0    Điều kiện:  x − 3 > 0 ⇔  x > 3 ⇔ x > 3. 2 x + 1 > 0  1  x > −  2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan