Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN
§ÆNG VIÖT HïNG
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
MŨ – LOGA
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 2
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =
( a)
n
m
với m, n là số tự nhiên.
1
Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1: 1
a = a, ∀a
a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì m
m
a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
Nhóm công thức 2:
a m .a n = a m + n
m
am
= a m−n
an
(a )
m n
= a mn = ( a n )
( )
m
n
am = a n =
n
ab = n a . n b ,
n
a na
=
, ∀a ≥, b > 0
b nb
m
n
a
1
→ a = a2 ;
1
3
1
a = a3 ; n a = an
∀a, b ≥ 0
Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .
d) D = 3
b) B = 5
23 3 2
.
3 2 3
b3 a
.
a b
C = 5 23 2 2 .
c)
e) D = 4 3 a8 .
f) F =
5
3
b2 b
.
b b
Ví dụ 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2
1
−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .
−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .
1
a
c)
−0,2
1
d) (1 − a )
−
1
3
> (1 − a )
−
1
2
e) ( 2 −
.
3
a)4
> (2 − a) .
2
1 2 1
f) >
a
a
< a2 .
−
1
2
.
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
3+ 2 −
(
3− 2
) (
1
2
3+ 2
)
1
2
+
3− 2
−1
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 3
b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
4x
.
4x + 2
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
1
2
2010
b) Tính tổng S = f
+ f
+ ... + f
.
2011
2011
2011
Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) =
5
π 2
π
a) và
2
2
6
d)
7
3
7
và
8
10
3
2
π
b)
2
2
π
và
5
π
e)
6
5
π
và
5
3
3
c)
5
10
4
4
và
7
5
2
2
Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?
1) 4 x = 5 1024
4) ( 3 3 )
2x
2)
1
=
9
x−2
5 2
25
x
x +1
=
2 8
5) .
9 27
1
0, 25
.322 x −8 =
0,125
8
x
x
1
10) ( 12 ) . ( 3 ) =
6
−x
8
125
−x
3) 81 − 3 x =
3
6)
2
27
=
64
11) 71− x.41− x =
x 2 −5 x + 6
3 x −7
9
9)
49
8) 0, 2 x = 0,008
7)
1
32
=1
7
=
3
7 x −3
1
28
II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức logarith sau
log 2 4;
log 3 81;
log
2
32; log
2
(8 2 )
Hướng dẫn giải:
• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2
→ log 2 4 = 2
y
• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4
→ log3 81 = 4
• log
• log
( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10
(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log (8 2 ) = 7
32 = y ⇔
2
y
2
y
2
10
5
3
7
2
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là lenx)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔
b < c ⇔ 0 < a < 1
3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Ví dụ 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log
2
24 = log
( 2)
8
2
Trang 4
= 8...
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1
a 5 a 3 a2
b) Q = log
.
a4 a
a
a
a a a a.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
b) Ta có
a 5 a 3 a2
a4 a
=
1
2
a.a 5 .a 3
1
1
a 2 .a 4
=
a a a a = a a
1 2
1+ +
a 5 3
1 1
+
a2 4
1
a.a 2
=
28
a 15
3
a4
= a
=
28 3
−
a 15 4
=
67
a 60
→ P = log 1
67
a 60
a
3
a.a 4
=
7
a.a 8
=
15
a 16
→ Q = log
67
1 − 60
67
= log 1 = − .
a
60
a
a
15
a 16
= log
15
8
a
( a)
=
15
.
8
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) log 1 125 = .....................................................
2)
5
log
2
64 = ....................................................................
3) log16 0,125 = ..................................................
4) log 0,125 2 2 = ..........................................................
5) log 3 3 3 3 3 = ................................................
6)
log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
(
)
a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................
(
)
b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................
Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at
Ví dụ 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6,
( )
3
log 3 4
1
= ( 3 ) 2
log 3 4
= ( 3 )
1
1
log 3 4
2 = ( 4 ) 2 = 2...
log 2
64
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) 2log8 15 = .....................................................
1 log81 5
3)
= .....................................................
3
log3 4
( 9)
3
2) 2
2
= ....................................................................
4)
= ....................................................................
Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
x = a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có
→ x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y
log a y
y = a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3
b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
4
4 10
a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
3
b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3
3
Công thức 4: log a
Chứng minh:
−
1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1 + log 1
3
3
3
3
3
3
3
c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log
−3
1
3
3
3
5
2
32 = log
23 + log
2
2 = log
2
6
2
( 2)
+ log
1
3
1
10
= −3 − = − .
3
3
2
2
Trang 5
( 2)
= 6 + 2 = 8.
x
= log a x − log a y , (4)
y
x = a log a x
x a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có
→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
y = a
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
y
4
5
32
5 4 7
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
3
2 3 6
16
m
Công thức 5: log a b = m.log a b , (5)
Chứng minh:
Ví dụ: log 2
(
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b
)
m
= a m.loga b
Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm
log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6
Ví dụ 1:
1
log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =
1
5
log 2 32 =
4
4
Ví dụ 2:
−4
1
62.45
1
2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1 = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
1
50 3
Ví dụ 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
Công thức 6: log a n b = log a b , (6)
n
Chứng minh:
( )
Đặt log a n b = y ⇒ a n
y
= b ⇔ a ny = b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =
1
log a b
n
1
log a b ⇒ dpcm
n
1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
log 2 16 = log 1 16 =
Ví dụ 1 :
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m =
Ví dụ 2: log 3 5 4 125 = log
1
3 4
1
53
(5 )
3
9
= 4 log 5 5 = ;
1
4
3
m
log a b
n
( 32 2 ) = log( ) ( 2 )
11
log 2
2
2
3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
=
11
log
3
2
2=
11
.
3
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A =
log 3 3 27 = log 3
3
(3 3 )
27
log 1 5 = log − 1
3 2
3 9
log
3
33
52
3
2
Trang 6
27
log 3 3 27 + log 1 5
9
3
.
4
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
Hướng dẫn giải:
=2
1
13
13
26
=
log 3 3 5 = −2. = − .
1
5
5
−
2
1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8
→A=
81
32
27
log 3 3 27 + log 1 5
3 9
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:
(
4
26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−
)
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =
log c b
⇒ dpcm
log c a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
.
=
log b a log b a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a
→ B = log 25 15 = ?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .
1
1− a
log 3 5 = − 1 =
1
1
a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=
→
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 = a
5
1− a
1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =
→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a
Ví dụ 2: Cho log a b = 3. Tính
a) A = log
b
a
b
.
a
b) B = log
ab
b
.
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =
1
3
.
a)
A = log
b
a
b
= log
a
b
a
b − log
b
a
a=
1
1
−
=
b
b log
log b
log a
a
a
b
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
1
b − log
a
b
−
log
a
1
b − log
a
a
=
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
=
Trang 7
1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=
→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3
b
2
log a
b
b
a = log a b − 1 = 3 − 1
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
log
=
2
b
b
log a b − 2
a log b
3−2
a
a
a2
a
a 2
a
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b
a
b
=
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
=
−
=
→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+
1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
b
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2
( ab ) a
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
=
1
−
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 4: Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b) B = log b 3 ab 2 .
3
b
a
Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b
→ P = log 3 5
=?
8
b
b) Cho log ab a = 2
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:
c) log 2
(
Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c
Ví dụ 1: 49
log 7 2
=2
log 7 49
= 2 = 4;
2
( 2)
log 2 27
= 27
log 2 2
)
logb a
= c logb a ⇒ dpcm
1
2
= 27 = 3 3...
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 36log6 5 + 3
log3 4
− 3log9 36 = ..........................................................................
32 − log3 2.4 2
= ...........................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .......................................................................
log
3
b) B =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP :
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau
1) log 25−1 5 4 5
2) log 3 3 729
3) log
9
3
1
4) log 9
3
3
1 log27 81
7)
3
5)
log 33
(3 3 )
8) 103+2log10 3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
12
6)
9
27
log 3 4
9) 43log8 3+2log16 5
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
1
10) 9 2
log3 2−2log 27 3
13) 25log5 6 + 49log7 8
1+log 9 4
16) 3
+4
2−log 2 3
+5
log125 27
Trang 8
log 9 2−log 1 5
11) 42+log 2 3
12) 3
14) 10 3 log10 8
15)
17)
25
1
log 8 5
+ 49
3
log 7 16
log 7 15 − log 7 30
1
log 6 7
Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho
a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b.
b) Cho log53 = a, tính log2515.
c) Cho log96 = a, tính log1832.
d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308.
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)
a+b 1
= ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab.
3
2
1
b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab
2
log c a + log c b
2a + 3b
c) log c
=
, với 4a2 + 9b2 = 4ab
4
2
d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1.
log a c
log a b + log a x
e)
f) log ax bx =
= 1 + log a b
log ab c
1 + log a x
log a N − log b N log a N
1
1
1
k (k + 1)
, với b2 = ac.
h)
+
+ ... +
=
g)
=
log a x log a 2 x
log a k x 2log a x
logb N − log c N log c N
a) lg
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 9
02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3. Giới hạn đặc biệt
1
x) x
x
1
= lim 1 + = e
x →0
x →±∞
x
ln(1 + x)
ln(1 + u )
lim
= 1
→ lim
=1
x →0
u
→
0
x
u
ex −1
eu − 1
• lim
= 1
→ lim
=1
x →0 x
u →0 u
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
• lim (1 +
e2 x − 1
1) lim
x →0
x
ln(1 + 3 x)
4) lim
x →0
x
•
• lim
x →0
−
x
3
−1
x →0
x
ln(1 + 4 x)
5) lim
x →0
2x
2) lim
e
sin x
sin u ( x)
= 1
→ lim
=1
x →0 u ( x )
x
e3 x − e 2 x
x →0
x
e−4 x − 1
6) lim
x →0
3x
3) lim
Hướng dẫn giải:
e2 x − 1
e −1
1) lim
= lim
.2 = 2
x →0
x →0
x
2x
2x
2) lim
x →0
e
−
−x
e 3 − 1 −1
−1
1
= lim
. = −
→
x
0
−
x
x
3
3
3
x
3
( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − 1 − lim e2 x − 1 = 3 − 2 = 1.
e3 x − e 2 x
= lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x
3) lim
4) lim
ln(1 + 3 x)
ln(1 + 3 x)
= lim
.3 = 3
x →0
x
3x
5) lim
ln(1 + 4 x)
ln(1 + 4 x)
= lim
.2 = 2
x
→
0
2x
4x
x →0
x →0
e −4 x − 1 −4
e−4 x − 1
4
= lim
. = −
x →0
x
→
0
3x
3
−4 x 3
6) lim
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các giới hạn sau:
ln (1 + 4 x )
1) lim
x →0
x
sin
2
2
2) lim
x →0
e x − cos x
x2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
eax − ebx
x
x →0
3) lim
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
esin 2 x − esin x
4) lim
x
x →0
x +1
7) lim
x →+∞ x − 2
x
5) lim
x →+∞ 1 + x
2 x −1
x
Trang 10
1
6) lim 1 +
x →+∞
x
3x − 4
8) lim
x →+∞ 3 x + 2
x +1
3
x +1
x
2x + 1
9) lim
x →+∞ x − 1
x
4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
y = a x
→ y′ = a x .ln a
Hàm mũ:
y = au
→ y ′ = u ′.au .ln a
y = e x
→ y′ = e x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có
y = eu
→ y ′ = u ′.eu
1
→ y′ =
y = log a x
x.ln a
Hàm logarith:
u′
y = log u
→ y′ =
a
u.ln a
1
→ y′ =
y = ln x
x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có
u′
y = ln u
→ y′ =
u
Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:
Hàm sơ cấp
Hàm hợp
y = k
→ y′ = 0
y = ku
→ y ′ = k .u ′
1
1
→ y′ = − 2
x
x
1
y = x
→ y′ =
2 x
y=
y = x n
→ y′ = n.x n −1 ⇒
y = sin x
→ y′ = cos x
→ y ′ = − sin x
y = cos x
1
→ y′ =
y = tan x
cos 2 x
−1
y = cot x
→ y′ =
sin 2 x
1
u′
→ y′ = − 2
u
u
u′
y = u
→ y′ =
2 u
y=
y = u n
→ y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒
y = sin u
→ y′ = u ′.cos u
→ y ′ = −u ′.sin u
y = cos u
u′
→ y′ =
y = tan u
cos 2 u
−u ′
y = cot u
→ y′ =
sin 2 u
u
uv′ − u ′v
→ y′ =
y =
v
v2
y = u.v
→ y′ = uv′ + u ′v
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x2 − x + 1
y = 4 x3 − 3 x + 2
x+3
Hướng dẫn giải:
1) y = 4 x3 − 3 x + 2
2) y = 3
(
1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2
)
1
2) y = 3
1
4
(
)(
1
→ y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2
4
)
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1)
−3
4
3
−
′
x2 − x + 1 x2 − x + 1 3
1 x2 − x + 1 3 x2 − x + 1
=
→ y′ = .
.
=
x+3
3 x+3 x+3
x+3
3
3
−
−
′
1 x 2 − x + 1 3 (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1 1 x 2 − x + 1 3 x 2 + 5 x − 4
= .
.
= .
.
3 x+3
( x + 3) 2
( x + 3) 2
3 x+3
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 11
2
2
1
4
1
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1) 3
→ y′ = .
. ( sin ( 2 x − 1) )′ = .
cos ( 2 x − 1)
3
3
3 sin ( 2 x − 1)
3 sin ( 2 x − 1)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 + 3 1 + 5x
11
1) y =
2) y = 9 + 6 5 x9
1 + 2x
(
)
(
x−
)
1
3
8) y =
e2 x + e x
e2 x − e x
9) y = esin 3 x −
11) y = 2 x.ecos x
13) y = ecos x .ln ( cos x )
14) y = ln x + x 2 + 1
(
16) y = log 1 x 4 − cos 2 x
)
17) y =
ln
(
2
x − cot x
4x
(
10) y = cos x.ecot x
(
x+4
3
6) y = e−3 x .sin 4 x
5) y = x5 − x e −2 x
4) y = x 2 − 4 x + 4 e x
7) y = x.e
3) y = 4 sin
12) y = ln x 2 + 4 x − sinx
)
15) y =
)
ln ( 2 x + 1)
)
x +1
18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x)
3x − 4
Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng?
1) y = x.e
−
x2
2
(
)
2) y = ( x + 1) .e x
→ y '− y = e x
→ xy ' = 1 − x 2 y
3) y = e 4 x + 2e − x
→ y '''− 13 y '− 12 y = 0
5) y = e − x .sin x
→ y ''+ 2 y '+ 2 y = 0
1
7) y = x 2 .e x
→ y ''− 2 y '+ y = e x
2
(
)(
)
8) y = x 2 + 1 . e x + 2011
→ y' =
10) y =
6) y = esin x
→ y '.cos x − y.sin x − y '' = 0
(
)
2 xy
+ e x x2 + 1
2
x +1
1
→ xy ' = y ( y.ln x − 1)
1 + x + ln x
1
→ xy '+ 1 = e y
1+ x
1 + ln x
11) y =
→ 2x2 y ' = x2 y 2 + 1
x (1 − ln x )
9) y = ln
(
)
Ví dụ 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây?
(
)
1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1
1
f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x
x
3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5
4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1)
1
5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5
2
2) f '( x) +
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 12
03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHẦN 1
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Khái niệm: Là phương trình có dạng a x = b , trong đó 0 < a ≠ 1.
Cách giải:
+ Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu b ≤ 0 thì a x = b ⇔ x = log a b
Ví dụ mẫu:
Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .
Hướng dẫn giải:
Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x.
1
5
x
7
2
5
⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 + .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔ = 5 ⇔ x = log 5 5
5
5
2
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5.
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342
2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3x −1 + 3x − 2
4) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351
7) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x
x
1 1
+
2 2
x +1
1
+
2
2) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1
3)
5) 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x − 2 + 3x − 3
8) 4 x +1 + 4 x −1 = 2.6 x − 4.6 x − 2
6) 7.5 x − 2.5x −1 = 11
9)
x −2
= 22
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
a = 1
Cơ sở phương pháp: Sử dụng các công thức lũy thừa đưa phương trình về dạng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔
f ( x) = g ( x)
a m .a n = a m + n
Các công thức lũy thừa cơ bản:
am
= a m−n
an
(a )
m n
n
= a m.n = a n.m = ( a n )
m
n
a = a
→ a−n =
m
m
1
an
Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
1) 2 x
2
+3 x −2
= 16 x +1
2) 3− x
2
1
243
Hướng dẫn giải:
+4 x
=
x +10
x +5
3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15
x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0
→
x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2
2
x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔
243
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.
1) 2 x
3)
2
+3 x −2
x +10
16 x −10
=
= 16 x +1 ⇔ 2 x
x +5
x
0,125.8 −15 ,
2
+3 x − 2
(1) .
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 13
x − 10 ≠ 0 x ≠ 10
Điều kiện:
⇔
x − 15 ≠ 0
x ≠ 15
x +10
x +5
4.
3.
1
x + 10
x+5
= 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8
x − 10
x − 15
=
0
x
4( x + 10)
60
⇔
=
⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150
→
x − 10
x − 15
x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
Do 16 = 24 ; 0,125 =
(
x
)
x
27
2 9
1) . =
64
3 8
2) 4.9
x −1
=3 2
3) (
2 x +1
5 + 2)
x −1
=(
x −1
5 − 2 ) x +1
Hướng dẫn giải:
x
x
x
3
x
3
27
2 9
2 9 3
3 3
1) . =
⇔ . = ⇔ =
→ x = 3.
64
3 8
3 8 4
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
2) 4.9
x −1
=3 2
2 x +1
⇔
4.9x −1
3.2
2x − 3
=1 ⇔ 3
2 x +1
2
.2
2−
2 x +1
2
( 2)
3− 2x
2x − 3
=1⇔ 3
.
3
=1⇔
2
2x − 3
0
3
3
=1 =
⇔ x = 2.
2
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
x
Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16.
3) (
5 + 2)
=(
x −1
5+2
)(
3
3
9
= ⇔ x= .
2
2
x −1
)
(
1
= 5+2
5+2
1− x
1
x =1
⇔ ( x − 1) 1 +
(1) ⇔ x − 1 =
= 0 ⇔ x = −2
x +1
x +1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do
2x
5 − 2 ) x +1 , (1) .
Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.
(
81x
81 18.81 9
= 9.2.4 x ⇔ =
⇔
81
16
4
2
5 − 2 = 1
→ 5−2=
)
−1
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1) 2 2
(
)
1
x +3 2
x
2
x −1
=4
2)
(
3+ 2
)
x 2 −5 x
=
(
3− 2
)
6
2
3) 5 x − 3x
2
+1
(
= 2 5x
2
−1
− 3x
2
−2
)
Hướng dẫn giải:
1) 2 2
(
)
1
x +3 2
(
3
(1) ⇔ 2 (
x
)
x +1
x
2
x −1
(1) .
= 4,
x > 0
Điều kiện:
x ≠1
) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9.
x −1
x
(
)
x −1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.
2)
Do
(
3+ 2
(
)
3+ 2
x 2 −5 x
)(
=
(
)
( 2 ).
6
3− 2 ,
)
3 − 2 = 1
→
(
)
3− 2 =
(
1
3+ 2
)
=
(
3+ 2
)
−1
.
x = 2
⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔
x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
( 2) ⇔ (
3+ 2
)
x2 −5 x
=
(
3+ 2
)
−6
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
2
3) 5 x − 3x
2
+1
(
= 2 5x
2
−1
− 3x
2
−2
)⇔5
x2
Trang 14
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
− 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x
5
9
5
9
x2
x2
3
3 2 25 2
125
5
5
5
⇔ 5 x = 3x ⇔ =
⇔ =
→ x = ± 3.
5
9
27
3
3
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) ( 0, 2 )
x − x2
(3 + 2 2 )
(
4) 9. 3
1
7)
8
)
=5
(
4 x −1
x2 − x
3
2)
2
6 x −10
= 3− 2 2
)
= 81
= 16.
( 4)
3
x
5) 10
x
1 1
10) 3x. =
3 27
2
=
3
2 x +3
3)
2 x +3
x −1
x −1
x 2 − x −5
8) 9
x
11)
5 x 2 − 4 x −1
x 2 − 4 x −1
(
=1
1
=
3
10 − 3
)
6) e
5 x −7
9)
5 x −3 x3
(
= 19 + 6 10
)
x 2 −1
1
=
e
x +1
27 x −1
x 2 −3
4 x−2
1
= .81 x + 2
9
2 x 2 −1
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
a f ( x ) = ...
Cơ sở phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0
→
a
f ( x)
= ...
2
1
; a 2n = ( a n )
n
a
Chú ý: a − n =
Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải các phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2
Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.
t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔
t = 25
x
+ Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+ Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:
3x = 1 = 30
2
x = 0
1
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔ x 1
⇔
−
2
3 = = 3
3
x = −2
9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1) 5
x
1− x
−5
+4=0
2) 3
x
x
2
− 8.3
+ 15 = 0
3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
Hướng dẫn giải:
1) 5
x
− 51−
+ 4 = 0, (1) .
x
Điều kiện: x ≥ 0.
(1) ⇔ 5
x
−
5
5
x
( )
+4=0⇔ 5
x
2
+ 4.5
x
5
− 5 = 0
→
5
x
x
x =0
x = 0
⇔
⇔
x = 1
= 5 x = 1
=1
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 15
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
3 x =3
x
2x
x
x = 2
2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0
→
⇔
x
x = log 3 5 = log 3 25
3 =5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.
( )
2 x +8
3) 3
− 4.3
x+5
( )
( )
( )
2( x + 4)
+ 27 = 0 ⇔ 3
− 4.3
x+4
2( x + 4)
.3 + 27 = 0 ⇔ 3
− 12.3
x+4
3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
+ 27 = 0
→ x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 92 x − 32 x − 6 = 0
2) 2 x − 4 x−1 = 1
4) 100 x − 10 x+1 + 16 = 0
5) 9 x − 10.3x + 9 = 0
3) 25 x − 5 x − 12 = 0
6) 3x + 2.32− x = 9
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Loại 1: Phương trình có chứa a f ( x ) ,b f ( x ) , c f ( x ) , d f ( x )
m
n
a c
d
= = . Để giải phương trình dạng này ta chia cả hai vế cho b f ( x ) với b = min {a, b, c, d } hay
b b
b
gọi một cách dân rã, ta chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức lũy thừa mà có cơ số nhỏ nhất.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
trong đó
Hướng dẫn giải:
3 x 2
= ⇒ x = −1
x
2x
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3. + 7. − 6 = 0 ⇔
.
x
2
2
3
= −3 < 0
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
−
1
−
1
−
1
2) 4 x + 6 x = 9 x
4) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
1) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0
Hướng dẫn giải:
x
1) Chia cả hai vế của (1) cho 9 ta được
4 x 4
=
12
16
4
4
3
3
x =1
→ x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84. + 27. = 0 ⇔ 27. − 84. + 64 = 0
2
x = 2
9
9
3
3
4 16 4
= =
9 3
3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
2) Điều kiện: x ≠ 0.
3 t 1 + 5
=
t
t
2t
t
1
9
6
3
3
2
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔ − − 1 = 0 ⇔ − − 1 = 0 ⇔ 2 t
x
4 4
2
2
3 1− 5
<0
=
2
2
x
x
2x
x
t
1+ 5
1
3 1+ 5
3
Từ đó ta được =
⇔ t = log 3
→ x = − = − log 1+ 5 .
2
2
2
t
2
2
2
3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 16
3 x 4 3 −2
= =
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81. + 45. − 36 = 0 ⇔ 81. + 45. − 36 = 0 ⇔
→ x = −2.
x
4
4
2
2
3
= −1 < 0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
4) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
3 x 3
. =
x
x
x
3x
2x
x
2
2
12 18
27
3
3
3
⇔ 3 + 4. − − 2. = 0 ⇔ 2. + − 4. − 3 = 0 ⇔
→ x = 1.
x
8 8
8
2
2
2
3
.
= −2 < 0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 10.25 x − 29.10 x + 10.4 x = 0
2) 5.36 x = 3.16 x + 2.81x
3) 25 x + 3.15 x + 2.9 x = 0
4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0
2
2
5) 4.49 x − 17.14 x = 392.4 x
2
6) 25 x + 4.9 x = 5.15 x
Loại 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do ab = 1 ⇔ ( ab )
f ( x)
= 1
→ b f ( x) =
1
a
f ( x)
→ b f ( x) =
Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0)
1
t
Chú ý:
Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:
(
(
)(
5 + 2 )(
2 +1
Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:
) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...
2 − 1 = 1;
( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)
3± 2 2 =
2
7±4
2
Ví dụ mẫu. Giải các phương trình sau:
1)
(
2+ 3
) +(
x
2− 3
)
x
=4
2)
3) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x
(
3
...
3+ 8
4) ( 2 + 3 )
x
) +(
x
( x −1)
2
3
3− 8
)
+ (2 − 3)
x
=6
x − 2 x −1
2
=
4
2− 3
Hướng dẫn giải:
1)
(
Do
Đặt
2+ 3
) +(
x
(
2+ 3
(
2+ 3
2− 3
)
x
= 4,
)(
2 − 3 =1⇔
)
= t ,(t > 0)
→
x
)
(
(
(1) .
2+ 3
) .(
2− 3
x
)
x
2− 3
)
x
= 1
→
(
2− 3
)
x
=
1
(
2+ 3
)
x
1
= .
t
t = 2 + 3
1
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0
→
t
t = 2 − 3
Với t = 2 + 3 ⇔
(
2+ 3
)
x
=2+ 3 =
(
2+ 3
) → x = 2.
2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Với t = 2 − 3 ⇔
(
2+ 3
)
(
x
=2− 3 = 2+ 3
)
−1
=
(
3
3+ 8
2+ 3
)
−2
Trang 17
→ x = −2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.
2)
(
Do
Đặt
3
3+ 8
(
3
(
) +(
x
3+ 8
3
)(
3+ 8
)
3
x
3
3− 8
)
x
( 2).
= 6,
) (
)(
(
)
3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔
= t ,(t > 0)
→
(
3
3− 8
)
x
) .(
x
3
3− 8
)
x
= 1
→
(
3
3− 8
)
x
=
1
(
3
3+ 8
)
x
1
= .
t
t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0
→
t
t = 3 − 8
(
8⇔(
)
8) =3−
Với t = 3 + 8 ⇔
3
3+ 8
Với t = 3 −
3
3+
x
(
= 3+ 8 ⇔ 3+ 8
x
(
8 = 3− 8
)
)
x
3
−1
= 3 + 8
→ x = 3.
(
⇔ 3+ 8
x
3
) = (3 − 8 )
−1
→ x = −3.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
3) ( 5 −
21 )
x
+ 7 (5 +
21 )
x
x
x
=2
x+ 3
x
5 − 21
5 + 21
⇔
+ 7.
= 8,
2
2
x
( 3) .
x
x
5 − 21 5 + 21 5 − 21 5 − 21
5 − 21
1
→
Ta có
.
=
= 1
=
x
2
2
2 2
2
5 + 21
2
x
x
5 + 21
5 − 21 1
→
Đặt
= t ,(t > 0)
= .
2
2
t
t = 1
1
→ 1
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0
t
t =
7
x
5 + 21
Với t = 1 ⇔
→ x = 0.
= 1
2
x
5 + 21
1
1
Với t = ⇔
→ x = log 5+
=
7
2
7
21
2
1
.
7
x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm x = log
5 + 21
7
2
4) ( 2 + 3 )
( x −1)2
(2 − 3 )(2 +
+ (2 − 3)
3 )( 2 + 3 )
Đặt t = ( 2 + 3 )
x2 − 2 x
x 2 − 2 x −1
x2 − 2 x
=
(
)
(
)
+ (2 − 3)
x2 − 2 x
x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3
+ (2 − 3)
x2 − 2 x
, (t > 0)
→(2 − 3)
= 4 ⇔ (2 + 3)
x2 − 2 x
x2 − 2 x
= 4,
( 4 ).
1
= .
t
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
(
(
t = 2 + 3
2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0
→
⇔
t
t = 2 − 3
2+ 3
)
)
x2 − 2 x
x2 − 2 x
Trang 18
=2+ 3
x2 − 2 x = 1
⇔ 2
x − 2 x = −1
=2− 3
Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm
x = 2 ± 2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) ( 5 +
24 )
(
5−2 6
5)
(
2 −1 +
7)
(
)
= 10
4)
(
2 +1 − 2 2 = 0
6)
(
x
x
) (
x
) (
x
5 + 21 +
x
= 10
24 )
) + (5 + 2
3)
x
7+3 5
7−3 5
2)
+ 7
=8
2
2
+ (5 −
x
)
6
x
x
)
x
4 − 15
) + (4 +
x
) +(
10 + 3
x2
15
)
10 − 3
)
x
x2 − 1
=8
= 10 + 4
x
5 − 21 = 5.22
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Trang 19
04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ BẢN
Khái niệm:
Là phương trình có dạng log a f ( x) = log a g ( x), (1) .
trong đó f(x) và g(x) là các hàm số chứa ẩn x cần giải.
Cách giải:
a > 0; a ≠ 1
- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa f ( x) > 0
g ( x) > 0
- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1) ⇔
f ( x) = g ( x)
a =1
Chú ý:
- Với dạng phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = ab
- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n = 2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x = log a x n
- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng
g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔
2
f ( x) = [ g ( x)]
log a a x = x; a log a x = x
- Các công thức Logarith thường sử dụng:
x
log a ( xy ) = log a x + log a y; log a = log a x − log a y
y
1
m
log an x m = log a x; log a b =
n
log b a
Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
(
)
1
2) lg x = lg ( x + 1)
2
1) log 1 x 2 + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 )
3
3
8− x 1
= log 1 x
4
2
2
3) log 2
(
)
4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2
Hướng dẫn giải:
x > 1
x + 3x − 4 > 0
x > 1
x < −4
2
1) log 1 x + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) ⇔ 2 x + 2 > 0
⇔ x > −1
⇔ x = 2
→ x = 2.
2
2
x = −3
3
3
x + 3x − 4 = 2 x + 2
x + x − 6 = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2
(
)
x > 0
x > 0
1+ 5
x
>
0
x
>
0
1
1+ 5
x =
2) lg x = lg ( x + 1) ⇔ x + 1 > 0
⇔
⇔
⇔
→x =
2
2
2
lg x = lg ( x + 1) x = x + 1
2
2
2lg x = lg x + 1
( )
x = 1 − 5
2
( )
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
8− x 1
= log 1 x,
4
2
2
3) log 2
Trang 20
1+ 5
.
2
( 3) .
8 − x > 0
Điều kiện:
⇔ 0 < x < 8.
x > 0
Khi đó ( 3) ⇔ log 2
−
8− x
1
8− x
8− x
1
= − log 2 x ⇔
=x 2 ⇔
=
⇔ x (8 − x ) = 4
4
2
4
4
x
1
⇔ − x 2 + 8 x = 16 ⇔ ( x − 4 ) = 0
→ x = 4.
2
Nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 4.
(
)
4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2,
( 4)
x < 5
5 − x > 0
x < 5
⇔ x ≠ 4
⇔
Điều kiện: 5 − x ≠ 1
x ≠ 4
2
2
x
−
2
x
+
65
>
0
x
−
1
+
64
>
0,
∀
x
∈
R
)
(
Khi đó ( 4 ) ⇔ x 2 − 2 x + 65 = ( 5 − x ) ⇔ 8 x + 40 = 0
→ x = −5.
2
Nghiệm x = –5 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = –5.
Bình luận:
Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương trình. Ở
ví dụ 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4
(
2)
1
1
log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log5 ( 2 x + 1)
2
2
)
1
3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1
=0
4.2 x − 3
2
Hướng dẫn giải:
1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4,
(1) .
x + 3 > 0
x > −3
Điều kiện:
⇔
⇔ x > 2.
x − 2 > 0 x > 2
Khi đó, (1) ⇔ lg ( x + 3) − lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ⇔ lg
2
( x + 3)
2
( x − 2)
= lg 0, 4 ⇔
( x + 3)
2
( x − 2)
= 0, 4 =
2
2
⇔ 2 ( x − 2 ) − 5 ( x + 3) = 0
5
x = 7
⇔ 2 x − 13 x − 7 = 0
→
x = − 1
2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 7.
1
1
2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log 5 ( 2 x + 1) , ( 2 ) .
2
2
2
x > −5
x
+
>
5
0
Điều kiện: x − 3 > 0 ⇔ x > 3 ⇔ x > 3.
2 x + 1 > 0
1
x > −
2
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)
Học online: www.moon.vn
- Xem thêm -