TËp ®oµn bu chÝnh viÔn th«ng viÖt nam
Häc viÖn c«ng nghÖ bu chÝnh viÔn th«ng
Bµi gi¶ng
IT
To¸n cao cÊp 1
(Häc phÇn gi¶i tÝch)
PT
(Dành cho khối ngành kinh tế)
Biªn so¹n: NguyÔn ThÞ Dung
Hµ Néi - 2013
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu .................................................................................................................................. 3
IT
Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ..................................................................................... 6
1.1. Dãy số thực ................................................................................................................... 6
1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn ..................................... 6
1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì ...................................................... 6
1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ ................................................................................... 7
1.2. Các khái niệm cơ bản về hàm số................................................................................. 9
1.2.1. Các khái niệm cơ bản ........................................................................................... 9
1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản .................................................................................... 11
1.3. Giới hạn của hàm số ................................................................................................... 12
1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số ................................................................................. 12
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn ....................................................................... 14
1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ .................................................................................... 17
1.3.4. Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn ..................................................... 18
1.4. Hàm số liên tục ......................................................................................................... 21
1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục.................................................................................... 21
1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục ............................................................... 21
1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng ........................ 23
Bài tập.................................................................................................................................. 24
PT
Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN .................................................................................. 28
2.1. Đạo hàm của hàm số ................................................................................................ 28
2.1.1. Khái niệm đạo hàm ............................................................................................. 28
2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .................................................................................... 29
2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản .............................................................. 30
2.2. Vi phân của hàm số .................................................................................................. 33
2.2.1. Định nghĩa vi phân .............................................................................................. 33
2.2.2. Các quy tắc tính vi phân ...................................................................................... 33
2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng ....................................................................... 33
2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao .................................................................................... 34
2.3.1. Đạo hàm cấp cao ................................................................................................. 34
2.3.2. Vi phân cấp cao ................................................................................................... 36
2.4. Các định lí giá trị trung bình .................................................................................... 37
2.4.1. Định lí Fermat ..................................................................................................... 37
2.4.2. Định lí Rolle ....................................................................................................... 37
2.4.3. Định lí Lagrange ................................................................................................. 38
2.4.4. Định lí Cauchy .................................................................................................... 39
2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin ............................................................. 39
2.5. Một số ứng dụng của đạo hàm ................................................................................. 40
2.5.1. Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định................................ 40
2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số ....................................................................... 43
2.5.3. Cực trị của hàm số .............................................................................................. 44
2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng........................... 45
Bài tập ................................................................................................................................. 46
Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ................................................................................ 51
4
PT
IT
3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ........................................................................... 51
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số ...................................................................................... 51
3.1.2. Tích phân bất định .............................................................................................. 51
3.1.3. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ......................................................... 52
3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định ................................................ 53
3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ .............................................................................. 56
3.2. Tích phân xác định .................................................................................................. 61
3.2.1. Khái niệm tích phân xác định ............................................................................. 61
3.2.2. Điều kiện khả tích ............................................................................................... 63
3.2.3. Tính chất của tích phân xác định ........................................................................ 64
3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định ............................................................................. 65
3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định .............................................. 67
3.3. Tích phân suy rộng ................................................................................................... 70
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn .................................................................... 70
3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn ................................................. 73
Bài tập ................................................................................................................................ 75
Chương 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN ...................................................................................... 79
4.1. Các khái niệm cơ bản .............................................................................................. 79
4.1.1. Tập hợp n , khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn ..................... 79
4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến ......... 79
4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến .......................................................................... 80
4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến ....................................................................... 82
4.2. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần ........................................................................ 83
4.2.1. Đạo hàm riêng ..................................................................................................... 83
4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp............................................................................ 84
4.2.3. Vi phân toàn phần ............................................................................................... 85
4.2.4. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ...................................................................... 89
4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn ...................................................................................... 92
4.3. Cực trị của hàm nhiều biến ....................................................................................... 95
4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc ................................................................ 95
4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn ..................... . 99
Bài tập .............................................................................................................................. ..100
Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................................... 103
5.1. Khái niệm chung về phương trình vi phân ............................................................ 103
5.2. Phương trình vi phân cấp một ................................................................................ 103
5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một....................................................... 104
5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một ................................................ 105
5.3. Phương trình vi phân cấp hai .................................................................................. 112
5.3.1. Các khái niệm cơ bản ......................................................................................... 112
5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ............................................................ 113
Bài tập ................................................................................................................................ 126
ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý ................................................................................................................ 129
Tài liệu tham khảo ................................................................................................................ 141
5
LỜI NÓI ĐẦU
Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế. Học
phần này bao gồm những nội dung sau:
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Chương 3: Phép tính tích phân
Chương 4: Hàm số nhiều biến số
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một
biến và hàm số một biến liên tục.
Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến.
IT
Chương 4 dành cho hàm số nhiều biến số.
Chương 5 trình bày những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải một số
phương trình vi phân cấp một, cấp hai.
PT
Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về
phép tính vi tích phân, phương trình vi phân. Nhờ đó, sinh viên có kiến thức nền tảng để học tiếp
các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này biết vận dụng nghiên cứu các
vấn đề chuyên môn của mình.
Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không quá đi sâu
vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm hiểu trong các tài liệu
tham khảo.
Để cho việc tự học của sinh viên được dễ dàng hơn, tác giả đã đưa thêm một số ví dụ minh
họa vào bài giảng, từ đó sinh viên có thể hiểu lí thuyết và tự giải các dạng bài tập tương tự.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý
kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng.
Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013
Tác giả
3
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1. DÃY SỐ THỰC
1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
Định nghĩa:
Hàm số
u:
n u( n ) un
gọi là một dãy số thực.
Dãy số thường được viết dưới dạng un hoặc u1 , u2 ,..., un ,...
un gọi là số hạng tổng quát của dãy số
un .
Dãy un được gọi là
tăng nếu un un 1 , n
IT
Định nghĩa:
tăng ngặt nếu un un 1 , n
PT
giảm nếu un un 1 , n
giảm ngặt nếu un un 1 , n
.
Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu.
Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt.
Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy
un
bị chặn trên nếu A
sao cho un A , n
un
bị chặn dưới nếu B
sao cho un B , n
un
bị chặn nếu tồn tại M
sao cho un M , n
.
Ví dụ 1.1:
Dãy số un với un
1
1 1 1
1
gồm các số hạng là 1, , , ,..., ,...
n
2 3 4
n
un là dãy giảm ngặt, bị chặn.
1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì
6
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Dãy un được gọi là có giới hạn l
số n0
nếu với mỗi số dương cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại
sao cho:
( n
) n n0 un l .
Kí hiệu lim un l hoặc un l khi n .
n
Dãy un được gọi là hội tụ nếu có số l
để lim un l.
n
Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
Dãy un được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số
n0
sao cho:
(n
) n n0 un A.
Kí hiệu lim un .
n
n0
IT
Dãy un được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số
sao cho:
(n
) n n0 un A.
Kí hiệu lim un .
n
PT
1
0.
n n
Ví dụ 1.2: Chứng minh lim
Giải:
0,
1
1
0 n
n
Chọn n0 là số tự nhiên mà n0
Ta có: n n0 n
1
1
1
0 .
n
1
0.
n n
Vậy lim
Ví dụ 1.3: Xét dãy un gồm các số hạng
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800,
1 1 1 1
1
, , , ,..., ,...
9 10 11 12
n
Ta thấy lim un 0.
n
Ví dụ 1.4: Xét dãy un trong đó với mọi n .
7
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Dễ thấy lim un a.
n
1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ
A. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.1: Nếu dãy
un
có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
B. Tính bị chặn
* Dãy un hội tụ thì bị chặn trong tập
.
C. Tính chất đại số của dãy hội tụ
1. lim un a lim un a .
n
n
2. lim un 0 lim un 0.
n
n
3. lim un a, lim vn b lim(un vn ) a b.
n
n
n
4. lim un a lim un a , là hằng số.
n
IT
n
5. lim un 0, vn bị chặn lim(un vn ) 0.
n
n
6. lim un a, lim vn b lim(un vn ) ab.
n
n
n
un a
.
n v
b
n
7. lim un a, lim vn b 0 lim
n
PT
n
D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
1. Giả sử lim un l và a l b . Khi đó n0
n
sao cho n n0 a un b.
2. Giả sử lim un l và n0 :n n0 a un b. Khi đó a l b.
n
3. Giả sử 3 dãy un , vn , wn thoả mãn:
n0 : n n0 un vn wn và lim un lim wn l.
n
n
Khi đó lim vn l.
n
4. Giả sử n n0 , un vn và lim un . Khi đó lim vn .
n
n
E. Tính chất của dãy số đơn điệu
1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
3. Dãy un tăng và không bị chặn trên thì dần đến .
4. Dãy un giảm và không bị chặn dưới thì dần đến .
8
Chương 1: Hàm số và giới hạn
1 n
Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng en 1 hội tụ.
n
Giải:
Trước hết ta sẽ chỉ ra en tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có:
en 1
n
1
1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1
n(n 1)...(n n 1) 1
1 n
2
3
n
n
1.2 n
1.2.3
n
1.2...n
nn
11
1 1
1 1
1 1 1
2! n
k! n
2 k 1
1 1 n 1
1
1 1
n
n
n! n
n
Suy ra
n 1
1
1
1 1
1
2
en 1 1
1 1 1
1
1
2! n 1 3! n 1 n 1
n 1
1
1
2 n 1
1
1
2
n
... 1
1
... 1
1
1
... 1
n ! n 1 n 1 n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1
IT
Nhận xét: en 1 nhiều hơn en một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của en nhỏ
hơn số hạng tương ứng của en 1 (vì 1
1 1
1
1 1
1
2 2 n1 ,
2! 3!
n!
2 2
2
PT
Ngoài ra en 2
1
1
1
) . Suy ra en 1 en .
n
n 1
1
Như vậy en 2 2 3, n . Dãy en tăng và bị chặn trên nên hội tụ.
1
1
2
n
1
Gọi giới hạn của en là số e , có lim 1 e
n
n
( e 2,718 )
Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là ln x (đọc là lôgarit tự nhiên của x , hay lôgarit Nêpe của
x) .
1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
A. Định nghĩa hàm số
Cho X , Y .
Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X một phần tử duy
nhất y Y .
f : X Y
x y f ( x)
9
Chương 1: Hàm số và giới hạn
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Phần tử x X được gọi là biến số.
Số thực y f ( x) gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ).
Tập f ( X ) f ( x) : x X gọi là miền giá trị của hàm số f .
Người ta thường kí hiệu hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là y f ( x). Khi
đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho biểu thức f ( x) có nghĩa.
B. Các phép toán trên các hàm số
Cho hai hàm số f : X
, g:X
Các hàm số
f g:X
f g:X
fg : X
( f g )( x) f ( x) g ( x)
( f g )( x) f ( x) g ( x)
( fg )( x) f ( x) g ( x)
IT
xác định bởi
PT
theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số f , g .
Ngoài ra, nếu g ( x) 0 với x X thì hàm số
f
:X
g
xác định bởi
f
f ( x)
( x)
g
g ( x)
gọi là thương của hai hàm số f , g .
C. Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu
Định nghĩa:
Giả sử X là tập số thực sao cho x X với x X và f là hàm số xác định trên X.
f được gọi là hàm số chẵn nếu f ( x) f ( x) , x X .
f được gọi là hàm số lẻ nếu f ( x ) f ( x ) , x X .
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O.
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên X.
f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số 0 sao cho với mọi x X , ta có:
10
Chương 1: Hàm số và giới hạn
x + X và f (x + ) = f (x).
Số T dương bé nhất trong các số gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f ( x).
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là
tăng trên X nếu: (x1 , x2 X ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
tăng ngặt trên X nếu: (x1 , x2 X ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
giảm trên X nếu: (x1 , x2 X ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
giảm ngặt trên X nếu: (x1 , x2 X ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
f được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X.
f được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X.
Định nghĩa:
IT
Hàm số f (x) được gọi là
bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho: f ( x ) A , x X
bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: f ( x ) B , x X
PT
bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho B f ( x ) A , x X .
D. Hàm số hợp
Định nghĩa:
Cho các hàm số
f : X Y và g: Y
Hàm số hợp của hai hàm số f , g kí hiệu là g f và xác định như sau:
g f: X
x g f ( x) g ( f ( x)).
* Người ta còn diễn tả định nghĩa hàm số hợp bằng lược đồ như sau:
g f
X
x
f
Y
f (x)
g
g ( f ( x )) g f ( x)
Ví dụ 1.6: Hàm số z sin( x3 x 2) là hợp của hai hàm số u x 3 x 2 và z sin u .
11
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Nói cách khác, z g f trong đó
f:
và
3
x u f ( x) x x 2
g:
u g (u ) sin u
E. Hàm số ngược
Cho song ánh f : X Y ( X , Y
).
Ánh xạ ngược f 1 : Y X
y x f 1 ( y )
gọi là hàm số ngược của hàm số f.
x f 1 ( y ) y f ( x).
Người ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, nên nói hàm số y f 1 ( x ) là hàm số ngược
IT
của hàm số f ( x ) (chẳng hạn hàm số y log a x là hàm số ngược của hàm số y a x ).
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân
giác thứ nhất.
1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
A. Các hàm số sơ cấp cơ bản
).
PT
1. Hàm lũy thừa: f ( x ) x ( x 0,
2. Hàm số mũ: f ( x) a x (a 0, a 1).
3. Hàm số lôgarit: f ( x) log a x (a 0, a 1).
4. Các hàm số lượng giác: f ( x) s inx, f ( x) cosx, f ( x) tanx, f ( x) cotx .
5. Các hàm số lượng giác ngược:
f ( x) arcsin x, f ( x) arccosx, f ( x) arctgx, f ( x) arccotgx
Hàm arcsin là hàm số ngược của hàm sin: , 1,1 .
2 2
arcsin: 1,1 ,
2 2
x arcsinx
Như vậy, y arcsin x x sin y.
Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số cos : 0, 1,1 .
12
Chương 1: Hàm số và giới hạn
arccos : 1,1 0,
x arccosx
Như vậy, y arccos x x cos y.
Hàm arctan là hàm số ngược của hàm số tan : , .
2 2
,
2 2
arctan :
x arctanx
Như vậy, y arctanx x tany.
Hàm arccot là hàm số ngược của hàm cot : (0, ) .
arccot :
0,
IT
x arccotx
Như vậy, y arccotx x coty .
1
1
Ví dụ 1.7: Tính arcsin , arccos , arctan0, arccot1.
2
2
PT
Giải:
arcsin
1
1
vì sin và ,
2 6
6 2
6 2 2
Tương tự arccos
Nhận xét:
1
, arctan0 0, arccot1= .
2 3
4
Có x sin(arcsin x) cos arcsin x arcsin x arccosx
2
2
arcsin x arccosx
2
.
Tương tự, arctanx arccotx
2
.
B. Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng,
trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.
13
Chương 1: Hàm số và giới hạn
1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số
A. Định nghĩa giới hạn hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập X (a, b) \ x0 , x0 (a, b).
f được gọi là có giới hạn l
khi x dần đến x0 nếu với mỗi số dương cho trước bé tùy ý,
tồn tại một số dương sao cho:
(x X ) 0 x x0 f ( x) l .
Kí hiệu : lim f ( x ) l
x x0
hoặc
f ( x) l.
x x0
Chú ý: Với điều kiện 0 x x0 , ta chỉ cần xét những điểm x dần đến x0 nhưng khác x0 . Hàm
số f có thể không xác định tại x0 .
B. Định nghĩa giới hạn một phía
IT
Cho hàm số f xác định trên khoảng X ( x0 , b).
Số thực l được gọi là giới hạn phải của hàm số f ( x ) tại x0 nếu với mỗi số dương cho trước
bé tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:
PT
(x X ) x0 x x0 f ( x) l .
Kí hiệu: lim f ( x ) l hoặc f ( x0 ) l.
x x0
Cho hàm số f xác định trên khoảng X (a, x0 ).
Số thực l được gọi là giới hạn trái của hàm số f ( x ) tại x0 nếu với mỗi số dương cho trước bé
tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:
(x X ) x0 x x0 f ( x) l
Kí hiệu: lim f ( x ) l hoặc f ( x0 ) l.
x x0
Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x ) l là lim f ( x) lim f ( x) l.
x x0
x x0
x x0
C. Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực
Các giới hạn khi x0 , l được định nghĩa như sau:
1. Cho hàm số f xác định trên tập X (a, b) \ x0 , x0 (a, b).
lim f ( x ) nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:
x x0
(x X ) 0 x x0 f ( x) A.
14
Chương 1: Hàm số và giới hạn
lim f ( x ) nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:
x x0
(x X ) 0 x x0 f ( x) A.
2. Cho hàm số f xác định trên khoảng X (a, ).
lim f ( x) l
nếu 0, A
x
:(x X ) x A f ( x) l .
lim f ( x ) nếu A 0, B
:(x X ) x B f ( x) A.
lim f ( x ) nếu A 0, B
:(x X ) x B f ( x) A.
x
x
3. Cho hàm số f xác định trên khoảng X (, a ) .
lim f ( x ) l nếu 0, A
:(x X ) x A f ( x) l .
IT
x
lim f ( x ) nếu A 0, B
:(x X ) x B f ( x) A.
lim f ( x ) nếu A 0, B
:(x X ) x B f ( x) A.
x
x
PT
Tương tự, ta có các định nghĩa lim f ( x) , lim f ( x) .
x x0
x x0
Ví dụ 1.8: Bằng định nghĩa, hãy chứng minh:
x 0
Giải:
1
0.
x x
b) lim
a) lim sin x 0;
a) Có sin x x x.
0 ( bé), lấy
(x) : 0 x sin x 0 lim sin x 0.
x 0
b) 0 ,
1
1
x A. Từ đó:
x
* 0, A
1
* 0, A
: (x) x A
1
1
1
0 . Vậy lim 0.
x x
x
: (x) x A
1
1
0 . Vậy lim 0.
x x
x
15
Chương 1: Hàm số và giới hạn
1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn
A. Sự liên hệ với dãy số
Định lí 1.2: Giả sử (a, b) chứa điểm x0 và f là hàm số xác định trên tập X (a, b) \ x0 . Khi đó
lim f ( x) l nếu và chỉ nếu
x x0
x X
n
lim xn x0 lim f ( xn ) l.
n
n
Chứng minh:
* Giả sử lim f ( x) l. Khi đó:
x x0
0, 0 (x X ) : 0 x x0 f ( x) l .
Với xn X
Có lim xn x0 nên n0
n
lim f ( xn ) l .
n
: n n0 xn x0
: n n0 f ( xn ) l
IT
Như vậy 0, n0
* Ngược lại, giả sử với xn X , lim xn x0 lim f ( xn ) l , ta chứng minh
n
PT
lim f ( x) l.
x x0
n
Thật vậy, giả sử f ( x) không có giới hạn l khi x x0 . Khi đó 0, 0, x mà
0 x x0 nhưng
n
*
, lấy
f ( x) l .
1
1
, xn để 0 xn x0 và f ( xn ) l .
n
n
Ta có xn X , lim xn x0 nhưng lim f ( xn ) l (vô lý). Vậy lim f ( x) l.
n
x x0
n
Nhận xét: Có thể chứng minh định lí 1.2 đúng cả khi x0 , l .
Ví dụ 1.9: Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim sin x.
x
Giải:
Đặt f ( x) sin x.
Lấy dãy xn với xn
2
2n , ta có lim xn và lim f ( xn ) 1.
n
n
Mặt khác, nếu lấy dãy xn với xn 2n ta cũng có lim xn nhưng lim f ( xn ) 0 1.
n
n
16
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Vậy không tồn tại lim f ( x).
x
B. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.3: Nếu lim f ( x ) l thì l là duy nhất.
x x0
C. Tính bị chặn
Định lí 1.4 : Nếu lim f ( x ) l thì f (x ) bị chặn trong một lân cận đủ bé của x0 ( x x0 ).
x x0
D. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp
Định lí 1.5: Giả sử lim f ( x) l , khi đó:
x x0
Nếu c l thì c f ( x) với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ).
Nếu l d thì f ( x) d với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ).
Nếu c l d thì c f ( x) d với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ).
x x0
IT
Định lí 1.6: Giả sử lim f ( x ) l . Khi đó:
Nếu c f (x ) với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) thì c l.
Nếu f ( x ) d với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) thì l d .
PT
Nếu c f ( x ) d với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) thì c l d .
Định lí được chứng minh bằng phản chứng (Dựa vào định lí 1.5)
Định lí 1.7: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số f , g , h thoả mãn các điều kiện:
f ( x ) g ( x ) h( x ) với mọi x trong lân cận nào đó của x0 .
lim f ( x) lim h( x) l.
x x0
x x0
Khi đó lim g ( x) l.
x x0
Định lí 1.8: Giả sử f ( x) g ( x) với mọi x trong lân cận nào đó của x0 và lim f ( x) . Khi
x x0
đó lim g ( x) .
x x0
Chú ý: Các định lí trên được phát biểu tương tự trong các trường hợp x0 , x0 .
Định lí 1.8 cũng được phát biểu tương tự khi g ( x) .
x x0
E. Các phép tính đại số của hàm có giới hạn
Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn là hữu hạn)
17
Chương 1: Hàm số và giới hạn
1. lim f ( x) l lim f ( x) l .
x x0
x x0
2. lim f ( x) 0 lim f ( x) 0.
x x0
x x0
3. lim f ( x) l1 , và lim g ( x) l2 lim f ( x) g ( x) l1 l2 .
x x0
x x0
x x0
4. lim f ( x) l lim f ( x) l , .
x x0
x x0
5. lim f ( x) 0 và g ( x) bị chặn trong lân cận của x0 ( x x0 ) lim f ( x) g ( x) 0.
x x0
x x0
6. lim f ( x) l1 và lim g ( x) l2 lim f ( x) g ( x) l1l2 .
x x0
x x0
x x0
7. lim f ( x) l1 và lim g ( x) l2 0 lim
x x0
x x0
x x0
f ( x) l1
.
g ( x ) l2
Mệnh đề: (Trường hợp giới hạn là vô hạn)
1. Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l
x x0
x x0
thì lim f ( x) g ( x) .
x x0
IT
x x0
thì lim f ( x) g ( x) .
x x0
2. Nếu lim f ( x) và lim g ( x) thì lim f ( x) g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) thì lim f ( x) g ( x) .
x x0
x x0
PT
x x0
3. Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l 0 thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l 0 thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l 0 thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) l 0 thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
4. Nếu lim f ( x) và lim g ( x) thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
Nếu lim f ( x) và lim g ( x) thì lim f ( x).g ( x) .
x x0
x x0
x x0
5. Nếu lim f ( x) 0 và f ( x) 0 với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) thì lim
1
.
f ( x)
Nếu lim f ( x) 0 và f ( x) 0 với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) thì lim
1
.
f ( x)
x x0
x x0
x x0
x x0
(Mệnh đề trên đúng cả khi x x0 , x x0 , x , x )
18
Chương 1: Hàm số và giới hạn
F. Giới hạn của hàm số hợp
Mệnh đề: Cho các hàm số f : X Y , g : Y .
Giả sử lim f ( x) a và lim g ( y ) l.
ya
x x0
f ( x) a với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ).
Khi đó lim g f ( x) l.
x x0
Chứng minh:
Với mọi 0 , vì lim g ( y ) l nên 0 sao cho
ya
(y Y ) : 0 y a g ( y ) l .
Do lim f ( x) a và f ( x) a với mọi x đủ gần x0 ( x x0 ) nên
x x0
với 0, 1 0 : (x X ) 0 x x0 1 0 f ( x) a
IT
g ( f ( x)) l .
Chứng tỏ (x X ) : 0< x x0 1 g ( f ( x)) l .
Vậy lim g f ( x) l.
x x0
PT
G. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp
Định lí 1.10: Nếu hàm số sơ cấp f ( x ) xác định tại x0 thì lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
Ví dụ 1.10: Tìm các giới hạn:
a) lim (x 2);
x2
c) lim
x 0
x
;
x
b) lim
x 3
d) lim
x4
x2 9
;
x 3
2x 1 3
;
x2 2
1
e) lim sin x.cos .
x 0
x
Giải:
a) lim (x 2) = 2 + 2 = 4;
x2
b) lim
x 3
x2 9
lim( x 3) 6;
x 3 x 3
c) lim
x 0
x
x
lim 1
x x 0 x
19
Chương 1: Hàm số và giới hạn
lim
x 0
x
x
lim
1 1
x x 0 x
x
;
x
Vậy không tồn tại lim
x 0
2x 1 3
2( x 4).( x 2 2)
2.2 2 2
lim
lim
2;
x
4
x
4
2.3
3
x2 2
( x 4).( 2 x 1 3)
d) lim
x 4
e) lim sinx 0, cos
x 0
1
1
1 lim sin x.cos 0.
x 0
x
x
Ví dụ 1.11: Tìm các giới hạn:
a)
lim 5 x5 2 x3 3x 4 ;
x
b) lim
4x 3
.
x6
IT
x 6
Giải:
2 3 4
a) 5x5 2 x3 3 x 4 x5 5 2 4 5
x
x
x
PT
2 3 4
Vì lim x 5 và lim 5 2 4 5 5 nên lim 5 x5 2 x 3 3 x 4 .
x
x
x
x
x
x
b) lim 4 x 3 21
x6
lim x 6 0.
x 6
Vì khi x 6 ta luôn có x 6 nên x 6 0
lim
x 6
1
4x 3
. Vậy lim
.
x6 x 6
x6
1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ
sin x
x
lim
1
x 0
x 0 sin x
x
a) lim
x
x
1
1
b) lim 1 lim 1 e.
x
x
x
x
Tổng quát: Nếu lim u ( x) 0 và u ( x) 0 với mọi x trong lân cận nào đó của x0 ( x x0 )
x x0
1
sin u ( x)
1.
x x0
u ( x)
thì lim 1 u ( x) u ( x ) e và lim
x x0
20
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Ví dụ 1.12: Tính lim
x 0
cos x cos 3x
.
x2
Giải:
lim
x 0
cos x cos 3x
2 sin 2 x.sin( x)
sin 2 x.sin x
lim
lim
.4 4.
2
2
x
0
x
0
x
x
2 x.x
x2 1
Ví dụ 1.13: Tìm lim 2
x x 1
x 2 1
2
.
Giải:
2
x 1
lim 2
x x 1
x 2 1
2
2
lim 1 2
x
x 1
x 2 1
2
= e.
1.3.4. Đại lượng vô cùng bé (VCB), đại lượng vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa:
Hàm số : X
IT
A. Đại lượng VCB
được gọi là đại lượng VCB khi x dần đến x0 (hoặc vô cùng bé tại x0 )
nếu lim ( x) 0 .
x x0
PT
( x0 có thể là hoặc ).
Tương tự, ta có các định nghĩa VCB khi x x0 , x x0 .
Ví dụ 1.14:
Hàm số ( x) sin x là đại lượng VCB khi x 0.
1
là VCB khi x .
x3
x 2 ( x 1) là VCB khi x 1.
So sánh các VCB:
Cho ( x), ( x) là các VCB tại x0 .
* Nếu lim
x x0
( x)
0 thì gọi là VCB cấp cao hơn tại x0 , kí hiệu o( ) tại x0 .
( x)
Khi đó, gọi là VCB cấp thấp hơn tại x0 .
( x)
1 thì , được gọi là các VCB tương đương tại x0 .
x x0 ( x )
* Nếu lim
Kí hiệu ~ tại x0 .
21
- Xem thêm -
.PDF 
147 
567 
101 
