Tài liệu Bài giảng toán cao cấp 1

PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 Chương 2: BỔ TÚC CÁC THUẬT TOÁN VỀ MA TRẬN & HỆ PHƯƠNG TRÌNH. Trong kỹ thuật ít khi ta tìm được nghiệm chính xác của các bài toàn dưới dạng một biểu thức giải tích. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tính (PP tính, hay toán học tính toán) cho ta các PP gần đúng, tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình đại số, của phương trình, hệ phương trình vi phân; cách tính gần đúng các đạo hàm, vi phân, xấp xỉ các hàm phức tạp hay hàm cho dưới dạng bảng số bằng các hàm đơn giản.. 1. Khái niệm về các dạng ma trận: 1.1. Khái niệm: Trong vòng nửa thế kỷ nay, lý thuyết ma trận đã được ứng dụng vào các ngành khoa học như toán, lý, cơ học v.v.. Dạng ma trận có ưu điểm là giúp cho việc trình bày thuật toán được ngắn gọn, đơn giản. Đồng thời, do mối quan hệ chặt chẽ giữa các đại lượng liên quan, cung cấp được những thông tin đầy đủ về những điều cần biết trong lập luận tính toán và thực hành thiết kế. Mặt khác, lý thuyết ma trận rất thuận tiện cho việc lập trình để thực hiện quá trình tự động tính toán, thiết kế trên máy tính điện tử. Ma trận được sử dụng rộng rãi trong PP số vì: 1.Kí hiệu ma trận là 1 trong những kí hiệu cô đọng và rõ ràng trong diễn toán. 2.Cho phép tổ chức 1 cách có hệ thống các số liệu, rất phù hợp với tính toán trên MTĐT. 3.Có thể nhận dạng, vận dụng, điều khiển và phân tích những mảng số liệu bằng những hệ thức toán học chặt chẽ và chính xác. Trong thực tế ta thường gặp 1 hệ n phương trinh đại số tuyến tính với n ẩn số, ví dụ: ⎧ 2 x1 − x 2 =0 ⎪ ⎨− x1 + 3x 2 − x 3 = 2 ; ⎪ − x 2 + 2x 3 = 4 ⎩ Nếu gộp các hệ số, các ẩn số và các số hạng tự do vào các mảng, ta có thể viết lại dưới dạng ma trận sau: ⎡ 2 − 1 0 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ 0⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢− 1 3 − 1⎥ ⎨x 2 ⎬ = ⎨2 ⎬ ; ⎢⎣ 0 − 1 2 ⎥⎦ ⎪⎩ x 3 ⎪⎭ ⎪⎩4⎪⎭ Hoặc cô đọng hơn: Tổng quát: ⎯⎯→ [A] {x} = {b} hay A x = ⎧ a11 x1 ⎪ ⎨ a 21 x1 ⎪a x ⎩ m1 1 + a12 x 2 + a 22 x 2 + a m2 x 2 ⎯⎯→ b ; + .. + a1n x n + .. + a 2 n x n + .. + a mn x n = b1 = b2 = bm ⇒ [A] {x} = {b}; Trong cơ học kết cấu, ta đã biết rằng giữa các thành phần nội lực và các thành phần chuyển vị của một phần tử thanh trong hệ phẳng có mối quan hệ như sau: Khoa XD DD&CN-BKĐN 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 Ni = Ei . Ai .u i ; Li Qi = E .I E .I 12 Ei .I i .vi − i 2 i .θ 1i − i 2 i .θ 2i ; 3 Li Li Li M 1i = − 6 E i .I i 4 E .I 2 E .I .vi + i i .θ 1i + i i .θ 2i ; 2 Li Li Li M 2i = − 6 E i .I i 2 E .I 4 E .I .vi + i i .θ 1i + i i .θ 2i ; 2 Li Li Li Trong đó: Ni - lực dọc trong phần tử i; Qi - lực cắt trong phần tử i; M1i - mô men uốn tại đầu 1 của phần tử; M2i - mô men uốn tại đầu 2; ui - biến dạng dọc trục của phần tử i; vi - chuyển vị thẳng tương đối (theo phương vuông góc với trục thanh) giữa 2 đầu của phần tử; θ1i - góc xoay tại đầu 1 của phần tử; θ2i - góc xoay tại đầu 2; Đặt ⎧ Ni ⎫ ⎪Q ⎪ ⎪ ⎪ S i = ⎨ i ⎬ gọi là vec tơ nội lực của phần tử; ⎪ M 1i ⎪ ⎪⎩M 2i ⎪⎭ ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ ⎪ U i = ⎨ i ⎬ gọi là vec tơ chuyển vị của phần tử; ⎪θ1i ⎪ ⎪⎩θ 2i ⎪⎭ ⎡ Ei . Ai ⎢ L ⎢ i ⎢ 0 ⎢ ki = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ của phần tử; 0 12 Ei .I i L3i 6 E .I − i2 i Li 6 Ei .I i − L2i 0 6 Ei .I i L2i 4 Ei .I i Li 2 Ei .I i Li − ⎤ ⎥ ⎥ 6 Ei .I i ⎥ ⎡ai − ⎢ L2i ⎥ ⎢ 0 = 2 Ei .I i ⎥ ⎢ 0 ⎥ Li ⎥ ⎢⎣ 4 Ei .I i ⎥ ⎥ Li ⎦ 0 0 0 bi di di di ei fi 0⎤ d i ⎥⎥ gọi là ma trận độ cứng fi ⎥ ⎥ ei ⎦ Các hệ thức trên có thể viết lại dưới dạng ma trận: Si = ki.Ui; Một số bài toán có thể đưa về đại số ma trận: -Phân tích trạng thái ứng suất-biến dạng trong kết cấu, vật thể; -Phân bố dòng chảy trong hệ thống thủy lực phức tạp; -Xác định biên độ dao động trong các hệ cơ học; -Phân bố dòng điện trong mạng phức tạp; -Các bài toán trường (nhiệt, thấm..); -Các bài toán về sóng và chuyển động sóng; Khoa XD DD&CN-BKĐN 5 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 -Các bài toán không dừng khác; -Các bài toán về tối ưu hóa; -Các bài toán phân tích thống kê về kinh tế, xã hội.. 1.2. Định nghĩa: Ma trận là một mảng các số hoặc ký hiệu được sắp xếp thứ tự theo m hàng và n cột. Ta có các kí hiệu khác nhau: ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 A ≡ [A] ≡ [aij] ≡ ⎢ a i1 ⎢ ⎢ .. ⎢a m1 ⎣ a12 a 22 ai 2 .. a m2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ .. a mj .. a mn ⎥⎦ .. a1 j .. a1n .. a 2 j .. a1n .. a ij .. a in Phần tử aij nằm trên hàng thứ i và cột thứ j. Tổng quát, MT có m hàng và n cột (mảng chữ nhật). Kích thước (cỡ) của MT là mxn. 1.3. Các loại Ma trận cơ bản: 1.3.1. Ma trận hàng: Ma trận chỉ có 1 hàng, cỡ 1xn (m=1) Kí hiệu: B ≡ [B] ≡ [b1j] ≡ [b1 b2 .. bn]. Còn gọi là vectơ hàng. 1.3.2. Ma trận cột: Ma trận chỉ có 1 cột, cỡ mx1 (n=1) Kí hiệu: ⎧ c1 ⎫ ⎪c ⎪ ⎯⎯→ ⎪ 2⎪ T T c ≡ [c] ≡ [ci1] ≡ [c1 c2 .. cm] ≡ ⎨ ⎬ ; ⎪ .. ⎪ ⎪⎩cm ⎪⎭ Còn gọi là vectơ cột hay vectơ. 1.3.3. Ma trận vuông: Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m=n). Cấp của ma trận vuông là số hàng (cột) Tính toán định thức và nghịch đảo chỉ tiến hành được trên ma trận vuông. 1.3.4. Ma trận đường chéo: Ma trận vuông có các số hạng bằng 0 trừ các số hạng trên đường chéo chính. Khoa XD DD&CN-BKĐN 6 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 ⎡D⎦ ≡ ⎡d11 d22 .. dnn⎦ ≡ ⎡dii⎦ Kí hiệu: Để tiết kiệm ô nhớ, khi lưu trữ trong MTĐT ta dùng mảng 1 chiều D(I) = dii 1.3.5. Ma trận vô hướng: Ma trận chéo nhưng các số hạng khác 0 đều bằng nhau Kí hiệu: ⎧a khi i = j ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a .. a ⎦ với aij = ⎨ ⎩ 0 khi i # j Số vô hướng là một ma trận cấp 1 (chỉ có 1 phần tử). 1.3.6. Ma trận đơn vị: Ma trận chéo có mọi số hạng trên đường chéo chính bằng 1. ⎧1 khi i = j Kí hiệu: [ I ]n ≡ ⎡ 1 1 .. 1 ⎦ với iij = ⎨ ⎩0 khi i # j Cỡ của ma trận đơn vị thường không cần biết. 1.3.7. Ma trận rỗng: Ma trận có mọi số hạng đều bằng 0. Kí hiệu: [ 0 ]n Tương tự ta có vectơ không {0}. 1.3.8. Ma trận đối xứng: Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị bằng nhau. aij = aji Ma trận đối xứng rất hay gặp trong các bài toán kỹ thuật. Để tiết kiệm ô nhớ thường chỉ cần lưu trữ một nửa ma trận theo đường chéo chính. 1.3.9. Ma trận phản xứng: Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị đối nhau. aij = aji Tất nhiên, các số hạng trên đường chéo chính đều bằng 0. 1.3.10.Ma trận tam giác: Có 2 loại: Ma trận tam giác trên (phải): Các số hạng bên dưới (trái) đường chéo chính đều bằng 0, Kí hiệu: U (upper) Ma trận tam giác dưới (trái): Các số hạng bên trên (phải) đường chéo chính đều bằng 0, Kí hiệu: L (lower) Khoa XD DD&CN-BKĐN 7 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 1.3.11.Ma trận vệt (băng, dãi): Với k đường chéo, các phần tử không nằm trên đường chéo chính và một số đường chéo đều bằng 0, trừ các phần tử khác nằm trên băng (có trục là đường chéo chính) có bề rộng là k. Trong các bài toán cơ học ta thường gặp các loại ma trận băng đối xứng. Khi đó ta có điều kiện: aij = 0 với j > i + n0. Trong đó chiều rộng của băng sẽ là k=2n0 +1 (n0 là số đường chéo có phần tử ≠ 0 ở một bên đườngn chéo n phần tử phầnchính. tử Khi n0 = 0 ⇒ ma trận chéo) 0 0 ⎡ x x .. ⎢ x x ⎢ ⎢ x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Đối xứng ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ x ⎤ =0 ⎥ .. x ⎥ ⎥ x .. x ⎥ x x .. x ⎥ x x .. x ⎥ ⎥ x x .. ⎥ x x⎥ ⎥ x ⎦⎥ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ Nửa dãi x x x x x x x x .. .. .. .. .. .. x x x x x x x x x x x x 0 x x x x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥ Để tiết kiệm bộ nhớ trên máy tính, các phần tử của ma trận được lưu trữ trong một ma trận chữ nhật: số hàng bằng số hàng của ma trận gốc, số cột là n0 +1. Cùng một phần tử nằm trong 2 ma trận sẽ có chung chỉ số hàng, còn chỉ số cột có quan hệ như sau: j’ = j - i + 1; Trong đó: j’ là chỉ số cột trong ma trận chữ nhật, j là chỉ số cột trong ma trận vuông. 2. Các phép tính với ma trận: 2.1. Phép chuyển trí: [A]T [A]T là ma trận chuyển trí của [A] nếu hàng của [A]T là cột của [A] và ngược lại. Ta có aTij = aji ⎡a b Ví dụ: Cho [A] = ⎢ ⎣d e c⎤ f ⎥⎦ ⎡a ⎢ sẽ có [A]T = ⎢ b ⎢⎣ c d⎤ ⎥ e⎥ ; f ⎥⎦ Nếu [A] có cỡ mxn thì [A]T có cỡ là nxm; MT chuyển trí của MT đối xứng là chính nó: AT = A; Đảo lại nếu có AT = A thì A là MT đối xứng. Chuyển trí của MT phản xứng là MT đối: AT = -A; Chuyển trí của MT chia khối là MT chuyển trí của các MT con đã chuyển trí: ⎡ A11 [A] = ⎢ ⎣ A21 Khoa XD DD&CN-BKĐN A12 A22 A13 ⎤ A23 ⎥⎦ ⇒ T ⎡ A11 ⎢ T [A]T = ⎢ A12 ⎢ AT ⎣ 13 T ⎤ A21 T ⎥ A22 ⎥; T ⎥ A23 ⎦ 8 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 [AT]T = A; 2.2. Phép cộng, trừ: [A] ± [B] Điều kiện: Các ma trận phải có cùng kích thước (m x n) Tổng (hiệu) của ma trận [A] và [B] là ma trận [C] có các số hạng: cij = aij + bij Ví dụ: ⎧ ⎪ ⎡ 2 3 1⎤ ⎡1 1 2⎤ ⎪ ⎢ 0 − 1 2 ⎥ ± ⎢2 4 0 ⎥ = ⎨ ⎦ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎪⎩ ⎡+ 3 4 + 3⎤ ⎢ 2 +3 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢− 2 − 5 2 ⎥ ⎣ ⎦ (tong ) (hieu) Phép cộng và trừ có tính chất giao hoán và kết hợp: [A] ± [B] = ± [B] + [A]. [A] + [B] ± [C] = ([A] + [B]) ± [C]. ([A] ± [B])T = [A]T ± [B]T. Cộng (trừ) hai ma trận cỡ (m x n) nói chung phải thực hiện m x n phép tính. Nếu là ma trận đặc biệt (đối xứng, băng) số phép tính có thể giảm. 2.3. Phép phân tích ma trận thừa số: Mọi [A] đều có thể phân tích được thành tổng của, hoặc: +Hai ma trận: một ma trận đối xứng, một ma trận phản xứng. Cho ma trận [A], nếu ký hiệu: B1 = 1 (A + AT) 2 (ma trận đối xứng) B2 = 1 (A - AT) 2 (ma trận phản xứng) Sẽ có A = B1 + B2; .⎤ ⎡ 1 5⎤ ⎡ 1 3.5⎤ ⎡ 0 15 = ⎢ + ⎢ ; Ví dụ: ⎢ ⎥ ⎥ . 0 ⎥⎦ ⎣ 2 7⎦ ⎣ 3.5 7 ⎦ ⎣− 15 +Ba ma trận: một ma trận đường chéo, hai ma trận tam giác (trên và dưới). A=D+L+U Nếu A đối xứng thì LT = U, ta có A = D + L + LT 2.4. Phép nhân ma trận với 1 vô hướng λ: Tích của [A] với vô hướng λ là 1 ma trận [C] với các phần tử đã được nhân với λ: cij = λaij . Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ Khi nhân với (-1) ta được ma trận đổi dấu so với ma trận xuất phát: (-1)[A] = [-A]. Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phối và tính kết hợp: λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); Khoa XD DD&CN-BKĐN (α + β)A = αA + βA; 9 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 2.5. Phép nhân hai ma trận: [A].[B] Điều kiện: Hai ma trận phải tương thích, nghĩa là số cột của ma trận đứng trưóc phải bằng số hàng của ma trận đứng sau. Kí hiệu:[C]mxp = [A]mxn.[B]nxp Qui tắc: muốn có số hạng tổng quát cij phải nhân lần lượt các số hạng của hàng thứ i của [A] với các số hạng thuộc cột thứ j của [B] rồi cộng lại: cij = n ∑ a ir . brj (i= 1÷ m; j= 1÷ p) r =1 ⎡ 1 2 3⎤ ⎡ a x ⎤ ⎡ a + 2b + 3c x + 2 y + 3z ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4 5 6⎥ ⎢ b y ⎥ = ⎢ 4a + 5b + 6c 4 x + 5y + 6z ⎥ ; ⎢⎣ 7 8 9⎥⎦ ⎢⎣ c z ⎥⎦ ⎢⎣ 7a + 8b + 9c 7 x + 8 y + 9z ⎥⎦ Ví dụ: Số phép tính là m x n x p, tuy nhiên có thể rút bớt nếu không thực hiện với các số hạng rỗng, ví dụ với ma trận băng đối xứng: 0 ⎤ ⎧ 4⎫ ⎧ (2)(4) + (−1)(1) ⎡2 − 1 0 ⎫ ⎧ 7 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 2 − 1 0 ⎪ 1⎪ ⎪(−1)(4) + (2 )(1) + (−1)(2)⎪⎪ ⎪⎪− 4⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬; ⎢ 2 − 1⎥ ⎪2⎪ ⎪ (−1)(1) + (2)(2) + (−1)(3) ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎭ ⎪⎩ 1 ⎪⎭ 1 ⎦ ⎪⎩ 3⎪⎭ ⎪⎩ (−1)(2) + (1)(3) ⎣ Ở đây chỉ thực hiện 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính. Tính chất của phép nhân: 2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán: Nói chung A B # B A Vì: -A có thể tương thích với B, nhưng B có thể không tương thích với A. -Nếu cả A và B lẫn B và A đều tương thích nhưng kích thước 2 tích có thể khác nhau, ví ⎧ 1⎫ ⎡ 3 4⎤ ⎧ 1⎫ dụ: ⎨ ⎬ 3 4 = ⎢ # 3 4 ⎨ ⎬ = 11; ⎥ ⎣ 6 8⎦ ⎩ 2⎭ ⎩ 2⎭ [ ] [ ] -Nếu cả 2 tích cùng kích thước cũng có thể khác nhau, ví dụ: ⎡0 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡0 1⎤ ⎢1 0⎥ ⎢0 1⎥ = ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A B C1 # ⎡1 1⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎢0 1⎥ ⎢1 0⎥ = ⎢1 0⎥ ; ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ B A C2 Vậy bạn cần phân biệt thứ tự các ma trận trong phép nhân. Trường hợp hoán vị được khi: +Nhân MT vô hướng với MT vuông cùng cấp: ⎡ λa11 λa12 ⎢ ... ⎡ λ ⎦ [A] = [A] ⎡ λ ⎦ = [λA] ≡ ⎢ ..... ⎢⎣λa n1 λa n 2 Khoa XD DD&CN-BKĐN ... λa1n ⎤ ⎥ ... ⎥ ; ... λa nn ⎥⎦ nxn 10 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 +Đặc biệt với MT đơn vị và MT rỗng: [I][A]= [A][I]=[A] ; [0][A]=[A][0]=[0] +Nhân 2 MT chéo cùng cấp: ⎡ aii ⎦ ⎡ bii ⎦ = ⎡ aii ⎡ a11b11 ⎢ bii ⎦ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a 22 b22 ⎤ ⎥ ⎥ = ⎡ bii ⎦ ⎡ aii ⎦ ; ⎥ ... ⎥ a nn bnn ⎦ 2.5.2. Tính kết hợp và tính phân phối: Có thể áp dụng cho phép nhân nhưng phải chú ý thứ tự MT. -Kết hợp: A B C = (A B) C = (A) (B C). -Phân phối: A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C. (tốn bộ nhớ hơn vế 1) α(A B) = α(A) B = A (αB). 2.5.3. Tính chất của MT tích chuyển trí: (A B)T = BT AT ; (A B C)T = CT BT AT ; (A AT)T = (AT)T (AT) = A AT . (A B C.. P Q)T = QT PT .. CT BT AT ; (Vậy A AT luôn đối xứng) Nếu A đối xứng: (BT A B)T = BT AT B = BT A B. (Vậy BT A B cũng đối xứng) Chú ý: Trong phép nhân MT tích có thể bằng 0, nhưng chưa chắc 2 MT thành phần là MT rỗng [0]. Nhưng ngược lại, nếu 1 trong 2 MT thành phần (A hoặc B) là rỗng thì chắc chắn MT tích (AB hoặc BA) là rỗng. Nói chung, không thể giảm ước MT một cách đơn giản như các số thường vì không có phép chia MT (AB = CB nhưng chưa chắc A = C, ngược lại thì đúng!). 2.6. Phép nghịch đảo ma trận: [A]-1 Điều kiện: 1. Ma trận vuông; 2. Không suy biến (det A # 0) Định nghĩa: Nghịch đảo của MT vuông [A] là MT [A]-1 cùng kích thước với [A] và thỏa mãn đẳng thức: [A] [A]-1 = [A]-1 [A] = [ I ]. Tính chất: 1. Nếu A khả nghịch thì A-1 tồn tại duy nhất; Thực vậy, nếu X là một ma trận mà: X.A = I ⇒ X.A.A-1 = I.A-1 = A-1 ⇒ X.I = A-1 Tức là X = A-1. 2. (A B)-1 = B-1 A-1; Khoa XD DD&CN-BKĐN (A B .. M N)-1 = N-1 M-1 .. B-1 A-1; 11 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 Giả sử X = A B ⇒ X-1 X = X-1 A B ⇒ I = X-1 A B ⇒ I B-1 = X-1 A B B-1 ⇒ B-1 = X-1 A. ⇒ B-1 A-1 = X-1 A A-1 ⇒ B-1 A-1 = X-1. Vậy B-1 A-1 = (A B)-1. Với k là 1 vô hướng thì: (kA)-1 = A −1 ; k 3. (A-1 )-1 = A; Dễ thấy: A-1 (A-1 )-1 = I ⇒ A A-1 (A-1 )-1 = A I ⇒ I (A-1 )-1 = A ⇒ (A-1 )-1 = A. 4. (AT)-1 = (A-1)T; Ta có: (A-1)T AT = (A A-1)T = IT = I; Vậy (A-1)T là nghịch đảo của AT hay (AT)-1 = (A-1)T; 5. Nếu A đối xứng, A-1 cũng đối xứng. Ta có: (AT)-1 = (A-1)T. Nếu A là ma trận đối xứng thì A-1 = (AT)-1 = (A-1)T. Vậy A-1 là ma trận đối xứng. 6. Với MT chéo giả: ⎡A11 A22 . . .Ann ⎦-1 = ⎡A-111 A-122 . . . A-1nn ⎦ . Các phương pháp nghịch đảo 1 MT vuông: 1. Giải hệ n phương trình n ẩn số: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A]-1 ~ 2. Giải bằng MT liên hợp A với phần phụ ĐS Aij . 3. Phương pháp Gauss (PP khử dần hệ số) 4. Phương pháp Jordan (Joocđăng) 5. Phương pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác) 6. Phương pháp viền quanh (đảo MT tam giác) 7. Phương pháp lặp khác.. Thuật toán và chương trình xác định MT đảo theo PP khử Gauss: Bước 1: Cho MT A, lập MT đơn vị E (ta có A A-1 = E) Bước 2: Tiến hành quá trình khử Gauss đối với MT A, đồng thời thực hiện các thao tác tương tự với MT E. Kết quả nhận được MT đảo A-1 từ MT E. (Thuật toán khử Gauss xem phần giải hệ phương trình đại số tuyến tính) Khoa XD DD&CN-BKĐN 12 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 YG yL 2.7. Ma trận biến đổi toạ độ: Trong các bài toán cơ học, ta thường có nhu cầu xác định các đặc trưng cơ học của các phần tử hoặc của hệ kết cấu (nội lực, tải trọng, chuyển vị..) trong các hệ toạ độ khác nhau cũng như biến đổi toạ độ của chúng từ hệ toạ độ này sang một hệ toạ độ khác. AyG AyL Giả sử có vectơ A và 2 hệ toạ độ 3 chiều: hệ toạ độ chuẩn (chung, toàn cục) XG,YG,ZG và hệ toạ độ cục bộ (riêng) xL,yL,zL. Toạ độ của vectơ A trên hệ XG,YG,ZG là AxG, AyG, AzG, zL và trên hệ xL,yL,zL là AxL, AyL, AzL. AxL A xL AxG AzL XG AzG ZG Định nghĩa côsin định hướng giữa 2 hệ toạ như sau: λ11 = cos( X L , X G ); λ12 = cos( X L , YG ); λ13 = cos( X L , Z G ); λ 21 = cos(YL , X G ); λ 22 = cos(YL , YG ); λ 23 = cos(YL , Z G ); (3 − 2.1) λ31 = cos(Z L , X G ); λ32 = cos(Z L , YG ); λ33 = cos(Z L , Z G ); Ta có công thức chuyển trục toạ độ như sau: AxL = λ11 . AxG + λ12 . AyG + λ13 . AzG ; AyL = λ 21 . AxG + λ 22 . AyG + λ 23 . AzG ; (3 − 2.2) AzL = λ31 . AxG + λ32 . AyG + λ33 . AzG ; Hay hệ thức ma trận giữa AxL, AyL, AzL và AxG, AyG, AzG như sau: ⎡ AxL ⎤ ⎡ λ11 ⎢ A ⎥ = ⎢λ ⎢ yL ⎥ ⎢ 21 ⎢⎣ AzL ⎥⎦ ⎢⎣λ31 λ12 λ 22 λ32 λ13 ⎤ ⎡ AxG ⎤ λ 23 ⎥⎥ . ⎢⎢ AyG ⎥⎥; (3 − 2.3) λ33 ⎥⎦ ⎢⎣ AzG ⎥⎦ hay AL = T.AG; (3-2.3a) Tương tự ta có hệ thức ma trận giữa AxG, AyG, AzG và AxL, AyL, AzL: ⎡ AxG ⎤ ⎡λ11 ⎢ A ⎥ = ⎢λ ⎢ yG ⎥ ⎢ 12 ⎢⎣ AzG ⎥⎦ ⎢⎣λ13 λ 21 λ31 ⎤ ⎡ AxL ⎤ λ 22 λ32 ⎥⎥ . ⎢⎢ AyL ⎥⎥; (3 − 2.4) λ 23 λ33 ⎥⎦ ⎢⎣ AzL ⎥⎦ hay AG = TT.AL; (3-2.4a) Ma trận T gọi là ma trận biến đổi toạ độ giữa 2 hệ toạ độ xL,yL,zL và XG,YG,ZG. Thế (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: AG = TT. T.AG; ⇒ TT. T = I ; Nghĩa là TT là nghịch đảo của T. Hay TT = T-1; Ta gọi T là ma trận trực giao. Khoa XD DD&CN-BKĐN 13 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 3. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính: + a12 x 2 + a 22 x 2 ..... + a n2 x 2 ⎧ a11x1 ⎪a x ⎪ 21 1 ⎨ ⎪ ..... ⎪⎩a n1x1 + ... + a1n x n + ... + a 2 n x n = b1 = b2 + ... + a nn x n = ⇒ [A] {x} = {b}; bn Trong thực tế ma trận hệ số A có thể là: +Ma trận đầy đủ, không đối xứng. +Ma trận băng. +Ma trận đối xứng. 3.1. Phương pháp khử Gauss (khử ẩn liên tiếp): Thực chất của phương pháp Gauss là khử dần các phần tử của ma trận hệ số để cuối cùng có được một ma trận tam giác trên. Quá trình thực hiện được chia làm nhiều vòng, ở mỗi vòng được bắt đầu với hàng thứ 2 của ma trận, lấy hàng đó trừ đi hàng thứ nhất nhân với phần tử đầu tiên của hàng đó và chia cho phần tử đầu tiên của hàng thứ nhất. Và sau mỗi vòng bậc của ma trận cần biến đổi giảm đi 1. Để đơn giản ta trình bày PP giải cho hệ 4 phương trình sau (và việc mở rộng cho n tùy ý là hoàn toàn tương tự): ⎧a11 x1 ⎪a x ⎪ 21 1 ⎨ ⎪a 31 x1 ⎪⎩a 41 x1 + a12 x 2 + a 22 x 2 + a13 x 3 + a 23 x 3 + a14 x 4 + a 24 x 4 = b1 = b2 + a 32 x 2 + a 42 x 2 + a 33 x 3 + a 43 x 3 + a 34 x 4 + a 44 x 4 = b3 = b4 ; (3-3.1) Sau vòng thứ nhất (giả sử a11 # 0, nếu a11=0 thì có thể đổi vị trí ẩn số và thứ tự phương trình để có a11#0), ma trận hệ số có cột thứ nhất chỉ còn phần tử a11: ⎡a11 a12 ⎢ 0 a (1) 22 ⎢ (1) ⎢ 0 a32 ⎢ (1) ⎣ 0 a42 a13 (1) 23 (1) 33 (1) 43 a a a a14 ⎤ (1) ⎥ a24 ⎥ (1) a34 ⎥ (1) ⎥ a44 ⎦ Sau vòng thứ hai (biến đổi ma trận với các phần tử a(1)ij với i=3..n, j=3..n), có được ma trận hệ số: ⎡a11 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 a12 (1) a22 a13 (1) a23 ( 2) 33 ( 2) 43 0 a 0 a a14 ⎤ (1) ⎥ a24 ⎥ ( 2) ⎥ a34 ( 2) ⎥ a44 ⎦ ⎡a11 a12 ⎢ 0 a (1) 22 Và sau vòng thứ ba: ⎢ ⎢0 0 ⎢ 0 ⎣0 a13 (1) 23 ( 2) 33 a a 0 a14 ⎤ (1) ⎥ a24 ⎥ ( 2) ⎥ a34 ( 3) ⎥ a44 ⎦ Hệ phương trình (3-3.1) trở thành hệ phương trình đại số tuyến tính có ma trận hệ số là ma trận tam giác. Tổng quát: như vậy sau khi thực hiện n-1 vòng tính như trên đối với ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do B, ta có được hệ phương trình: Khoa XD DD&CN-BKĐN 14 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 ⎡a11 a12 ⎢ 0 a (1) 22 ⎢ ⎢0 0 ⎢ 0 ⎢0 ⎢ ⎣ .. a1 n −1 .. (1) 2 n −1 a1 n ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ b1 ⎫ a2(1n) ⎥⎥ ⎪ x2 ⎪ ⎪ b2(1) ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎥.⎨ .. ⎬ = ⎨ .. ⎬; (3 − 3.2) ⎥ an( n−−1 2n) ⎥ ⎪ xn −1 ⎪ ⎪bn( n−1− 2 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ an( nn−1) ⎥⎦ ⎪⎩ xn ⎪⎭ ⎪⎩ bn( n −1) ⎪⎭ a .. .. ( n − 2) .. an −1 n −1 Các phần tử của các ma trận A và B trong mỗi vòng tính (gọi k là chỉ số thứ tự của vòng lặp đang thực hiện) được biến đổi theo các công thức sau: aij( k ) = aij( k −1) − a sj( k −1) . ais( k −1) ; a ss( k −1) bi( k ) = bi( k −1) − bs( k −1) . ( k −1) is ( k −1) ss a a (3-3.3) ; k = 1,2, K, n − 1; i, j = k + 1, k + 2,K, n; Từ đó ta được giá trị các ẩn: bn( n −1) x n = ( n −1) ; a nn (b = ( n −2) n −1 x n −1 a b (j j −1) − xj= − a n( n−1− 2n) .x n ( n−2) n −1 n −1 n ∑a r = j +1 ( j −1) jr ); (3-3.4) .x r ; a (j jj−1) j = n − 2, n − 3, K ,1; 3.1.1. Trường hợp ma trận hệ số đối xứng: Trường hợp ma trận hệ số đối xứng cách tính toán thực hiện tương tự, ngoài ra do tính chất đối xứng aij = aji nên ở vòng thứ k theo (3-3.3) ta có: aij( k ) = aij( k −1) − asj( k −1) . a (k ) ji =a ( k −1) ji −a ( k −1) si . ais( k −1) ; ass( k −1) a (jsk −1) ass( k −1) ; Trước phép biến đổi Gauss có aij = aji, và sau biến đổi theo các công thức trên cũng có a(k)ij = a(k)ji, vậy trước và sau phép biến đổi Gauss các phần tử đối xứng vẫn giữ nguyên tính đối xứng. Do đó, thuật toán khử chỉ phải tiến hành đối các phần tử từ ma trận tam giác trên. Aïp dụng công thức (3-3.3) với các phần tử từ ma trận tam giác trên (có j≥i) và aij = aji: Khoa XD DD&CN-BKĐN 15 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 a si( k −1) ⎫ a =a −a . ( k −1) ⎪ a ss ⎪ ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) a si bi = bi − bs . ( k −1) ⎬ (3 − 3.5) a ss ⎪ i = s + 1, s + 2, K , n ⎪ ⎪ j = i, i + 1, K , n ⎭ ( k −1) ij (k ) ij ( k −1) sj 3.1.2. Trường hợp ma trận hệ số là ma trận dãi đối xứng: Tương tự như trường hợp ma trận đối xứng, thuật toán khử chỉ phải tiến hành đối các phần tử từ ma trận tam giác trên, ngoài ra trong mỗi vòng phép khử chỉ làm thay đổi các phần tử trong phạm vi chiều rộng của băng (vì sau các phép biến đổi các phần tử còn lại bằng 0 hoặc không thay đổi). Vì vậy ở vòng thứ k miền tính toán được xác định như hình vẽ: ⎡x ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ .. x x x a ( k −1) ss x .. x x x x .. x x x x .. x x x x .. x x x x .. x x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥ Aïp dụng công thức (3-3.5) với các phần tử có chỉ số hàng từ i=s+1 đến s+n0 và chỉ số cột j=i đến s+n0: ⎫ ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) a si aij = aij − a sj . ( k −1) ;⎪ ⎪ a ss ( k −1) ⎪ a ⎪ bi( k ) = bi( k −1) − bs( k −1) . si( k −1) ; ⎬ (3 − 3.6) a ss ⎪ k = 1,2, K , n − 1; ⎪ i = s + 1, s + 2, K , s + n0 ; ⎪ ⎪ ⎪⎭ j = i, i + 1, K , s + n0 ; ⎡ x x .. x x ⎢ x x .. x x ⎢ ⎢ Miền I x x .. x ⎢ (i=1, ⎢ .. ,n-n0) x x .. ⎢ x x ⎢ Miền II x ⎢ ⎢ (i=n-n0+1, .. ,n) ⎢ ⎢⎣ x x .. x x x x .. x x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ n0 hàng Cách tính các ẩn số được tiến hành theo 2 miền như sau: Miền I: xn = bn( n −1) ; ( n −1) a nn bi − xi = (3-3.7) n ∑ aij .x j j = i +1 aii ; Khoa XD DD&CN-BKĐN 16 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 i= n − 1, n − 2, K , n − n0 + 1; Miền II: bi − xi = i + n0 ∑ a .x j = i +1 ij j aii (3-3.8) ; i= n − n0 , n − n0 − 1, K ,1; 3.2. Phương pháp khử Gauss với phép chia cho phần tử chính: Tư tưởng của phương pháp này là chọn trong các hệ số aij hệ số có trị tuyệt đối lớn nhất được gọi là phần tử chính, dòng chứa phần tử chính gọi là dòng chính. Tiếp theo thực hiện việc khử ẩn với dòng chính sao cho cột chứa phần tử chính sau khi khử trừ phần tử chính còn các phần tử khác đều bằng 0. Bỏ cột và dòng chứa phần tử chính (khử đi 1 ẩn) và tiếp tục tương tự với hệ phương trình còn lại. Việc chia cho phần tử chính làm cho giá trị tuyệt đối của phép chia là bé nhất vì vậy giảm được sai số tính toán. 3.3. Phương pháp cải tiến Jordan Gauss: Nếu trong phương pháp chia cho phần tử chính ở mỗi bước ta không bỏ đi dòng chứa phần tử chính và những dòng đã chứa phần tử chính ở các bước trước không tham gia vào việc chọn phần tử chính trong các bước tiếp theo thì ta sẽ đưa hệ phương trình đã cho về hệ tương đương với MT hệ số dạng đường chéo. Kết quả là ta có thể xác định giá trị của các ẩn số từ từng phương trình của hệ tương đương. ⎧ x1 ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ (= 0) = b1( n +1) = b2 ( n +1) x2 = b3( n +1) ; ... x3 .... (= 0) xn = bn ( n +1) Ta có thể cùng một lúc thực hiện các phép tính biến đổi trên ma trận A và ma trận đơn vị I. Khi ma trận A trở thành ma trận đơn vị thì ma trận đơn vị I ban đầu trở thành nghịch đảo của ma trận A. Đây là thuật toán để tìm nghịch đảo của ma trận A. 3.4. Phương pháp căn bậc hai: (khi MT hệ số là MT đối xứng) Nội dung của PP gồm 2 giai đoạn: -Giai đoạn thuận: Biễu diễn MT A dưới dạng tích hai MT chuyển trí của nhau: A = TT.T, trong đó: ⎡ t11 ⎢0 T= ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣0 t12 t 22 ... 0 ... t1n ⎤ t 2n ⎥ ⎥, ... ... ⎥ ⎥ ... t nn ⎦ Khoa XD DD&CN-BKĐN ⎡ t11 ⎢t T ⎢ 12 T = ⎢ ... ⎢ ⎣t1n 0 t 22 ... t 2n 0⎤ 0⎥ ⎥; ... ... ⎥ ⎥ ... t nn ⎦ ... 17 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 Nhân TT với T rồi đồng nhất với các phần tử của A ta được: t11 = a11 ; a ij − tij = t1j = a1 j t11 ; (j > 1) tii = a ii − i −1 ∑ t ki2 ; (1< i ≤ n), k =1 i −1 ∑ t ki t kj k =1 ; (i < j) t ii tij = 0 ; (i > j) Như vậy hệ PT Ax = b được chuyển thành việc giải 2 hệ tam giác: TTy = b, Tx = y. -Giai đoạn nghịch: Viết lại các hệ tam giác dưới dạng tường minh: ⎧t11 y1 ⎪t y ⎪ 12 1 ⎨ ⎪ .... ⎪⎩t1n y1 ⎧t11 x1 ⎪ 0 ⎪ ⎨ ⎪ .... ⎪⎩ + t 22 y2 + t 2 n y2 + t12 x 2 t 22 x 2 ...+ t nn yn ...+ t1n x n ...+ t 2n x n Khoa XD DD&CN-BKĐN t nn x n = b1 = b2 ... = bn = y1 = y2 ... = yn ⇒ ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ y1 = ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ yi = ⎪⎩ ⎧ ⎪ ⎪ xn = ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ xi = ⎪⎩ b1 ; t11 i −1 bi − ∑ t ki y k k =1 t ii ; (i > 1) yn ; t nn yi − n ∑t k = i +1 t ii ik xk ; (i < n) 18 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2 Chương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo PP cải tiến Jordan Gauss: Giải HPT ĐSTT bằng PP khử Gauss Chương trình con giải HPT có ma trận hệ số là MT tam giác START START Nhập n, A(aij), B(bi) (i, j = 1, 2, .., n). Nhập n, A(aij), B(bi) (i = 1, 2, .., n), i ≤ j ≤ n. i = 1, 2, .., n ann≠0 sai đúng aii≠0 (Nếu aii=0 phải đổi vị trí ẩn số và thứ tự phương trình) xn = bn/ann i = n-1, n-2, .., 1 j = i+1, .., n S = bi pj = aji/aii j = i+1, .., n k = i+1, .., n S = S - aij.xj ajk = ajk - pj.aik aii≠0 bj = bj - pj.bi sai đúng xi = S/aii Ptrình Vô nghiệm Gọi CT con giải HPT có hệ số là MT tam giác RETURN In xi (i= 1, 2, ..n) STOP Khoa XD DD&CN-BKĐN 19 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 3 Chương 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG. 1. Thuật toán nội suy: 1.1. Giới thiệu Trong thực tế ta thường gặp bài toán: bằng đo đạc hoặc thực nghiệm ta có được giá trị của hàm số y=f(x) tại các điểm x0, x1, x2.. xn trên đoạn [a, b] là y0, y1, y2.. yn trong khi chưa biết được biểu thức giải tích của hàm số đó. Yêu cầu xác định giá trị của hàm tại một số điểm trung gian khác. Để gải bài toán trên, ta xây dựng hàm F(x) có biểu thức đơn giản sao cho: có giá trị trùng với giá trị của hàm f(x) tại các điểm x0, x1, x2.. xn, còn tại các điểm khác trên đoạn [a. b] thì F(x) khá gần f(x). Bài toán xây dựng hàm F(x) như vậy gọi là bài toán nội suy. Hàm F(x) gọi là hàm nội suy của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Có thể có nhiều hàm F(x) thoả mãn các điều kiện của bài toán nội suy, nhưng người ta thường chọn đa thức làm hàm nội suy. Vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc xác định giá trị của chúng cũng đơn giản. Mặt khác, nếu ta chọn hàm nội suy F(x) là đa thức bậc không quá n thì đa thức đó là duy nhất. 1.2. Thuật toán nội suy bậc nhất để tra bảng 1 chiều: 1.2.1. Bài toán: Giả sử quan hệ giữa 2 đại lượng x và y được cho trước bởi n điểm dưới dạng bảng như sau: Khi biết một giá trị x0 bất kỳ nào đó và x0 ∈ [xi-1, xi], ta cần xác định x y giá trị y0 ∈ [yi-1, yi] tương ứng. x1 y1 Thuật toán: Để xác định y0, giả thuyết rằng trên đoạn đã cho quan x2 y2 hệ giữa x và y là bậc nhất. Khi đó ta có phép nội suy bậc nhất như sau: .. .. xi yi .. .. xn yn -Giả sử giá trị tìm được của x0 trong bảng tra thỏa mãn điều kiện xi-1 < x0 < xi . -Cho rằng y biến đổi bậc nhất theo x trên đoạn [xi-1, xi], đồ thị biểu diễn quan hệ x-y là đoạn thẳng AB với A(xi-1, yi-1) và B(xi, yi), điểm cần tìm C(x0, y0) được xác định dễ dàng theo quan hệ đồng dạng của các tam giác ABE và ACD: y0 = yi-1 +CD Mà CD AD = BE AE y i − y i −1 ( x − x i −1 ) ; x i − x i −1 0 ⇒ CD = ⇒ y0 = yi-1 + Khoa XD DD&CN-BKĐN y i − y i −1 ( x − x i −1 ) ; x i − x i −1 0 y B yi C y0 yi-1 (3-5.1)O A D E xi-1 x0 xi 20 x PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 3 1.2.2. Chương trình: -Đọc số liệu bảng tra vào các vectơ X(n), Y(n). Cho giá trị x0; -Tìm vị trí của x0 trong bảng tra thỏa: xi-1 ≤ x0 ≤ xi như sau: i:=1; REPEAT i:=i+1; UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]); -Xác định y0 theo công thức trên (3-5.1). Ghi chú: Nếu x0 xn có thể ngoại suy theo khoảng cuối cùng (xn-1, xn). 1.3. Thuật toán nội suy bậc nhất để tra bảng 2 chiều: 1.3.1. Bài toán: Giả sử quan hệ hàm 2 biến z=f(x,y) được cho dưới dạng bảng 2 chiều z(x,y): y y2 y1 .. .. yj-1 y0 yj .. .. yn x x1 x2 .. xi-1 zi-1,j-1 x0 z1 xi zi,j-1 zi-1,j z0 z2 zi,j .. xm Biết x0 và y0, ta phải xác định giá trị z0= f(x0,y0) tương ứng theo phép nội suy bậc nhất. -Giả sử tìm được vị trí của x0 và y0 trong bảng tra, thỏa điều kiện: xi-1 < x0 < xi yj-1 < y0 < yj . -Trên cột (j-1) nội suy theo x0 để tìm được z1 (tức là z1=f(x0,yj-1): z1 = zi-1,j-1 + zi , j −1 − zi −1, j −1 xi − xi −1 ( x0 − xi −1) ; (3-5.2) -Trên cột j nội suy theo x0 để tìm được z2 (tức là z2=f(x0,yj): z2 = zi-1,j + zi , j − zi −1, j Khoa XD DD&CN-BKĐN xi − xi −1 ( x0 − xi −1) ; (3-5.3) 21 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 3 -Nội suy z0 từ z1 và z2 theo y0: ( ) z2 − z1 y − y j −1 ; y j − y j −1 0 z0 = z 1 + (3-5.4) 1.3.2. Chương trình: -Đọc số liệu bảng tra vào các vectơ X(m), Y(n) và Z(m,n). Cho giá trị x0 và y0; ⎧ xi −1 ≤ x0 ≤ xi -Tìm vị trí của x0 và y0 trong bảng tra thỏa điều kiện: ⎨ ; ⎩ y j −1 ≤ y0 ≤ y j i:=1; REPEAT i:=i+1; UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]); j:=1; REPEAT j:=j+1; UNTIL (y0<=Y[j]) AND ((y0>=Y[j-1]); -Xác định z0 theo trình tự với các công thức trên. 1.4. Xấp xỉ n+1 điểm mốc (nút) cho trước bằng đa thức bậc n: 1.4.1. Bài toán: Quan hệ giữa hai đại lượng x và y được cho bởi n+1 điểm rời rạc (điểm mốc) bất kỳ. Giả thuyết dạng của hàm y=f(x) là một đa thức bậc n: y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 +..+ anxn; Cần xác định đa thức này, tức cần xác định các hệ số của đa thức (a0, a1, a2,.. , an) sao cho đồ thị của hàm đi qua n+1 điểm đã cho. -Số liệu đã cho: x x1 x2 .. xi .. xn xn+1 y y1 y2 .. yi .. yn yn+1 Theo điều kiện đặt ra để đồ thị của hàm đi qua n+1 điểm mốc đã cho ta phải có: f(x1) = a0 + a1 x1 + a2 x12 +..+ an x1n = y1; f(x2) = a0 + a1 x2 + a2 x22 +..+ an x2n = y2; .. .. .. f(xn) = a0 + a1 xn + a2 xn 2 +..+ an xn n = yn; f(xn+1) = a0 + a1 xn+1 + a2 xn+1 2 +..+ an xn+1 n = yn+1; Khoa XD DD&CN-BKĐN 22 PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 3 ⎡ 1 x1 ⎢ 1 x2 ⇒ ⎢⎢ .. .. ⎢ ⎢⎣ 1 x n+1 Hay x12 x 22 x n2+1 x1n ⎤ ⎧ a 0 ⎫ ⎧ y1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 2n ⎥ ⎪ a1 ⎪ ⎪ y 2 ⎪ = ⎥ ⎨ .. ⎬ ⎨ .. ⎬ ; ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ .. x nn+1 ⎦⎥ ⎪⎩a n ⎪⎭ ⎪⎩ y n +1 ⎪⎭ .. .. (3-5.5) An+1,n+1 X = B; Như vậy vectơ hệ số của đa thức cần tìm chính là nghiệm của hệ PT đại số tuyến tính (3-5.5). 1.4.2. Chương trình: -Đọc số liệu tọa độ của n+1 điểm mốc vào các vectơ x(n+1), y(n+1); -Xây dựng hệ PT(3-5.5): FOR i:=1 TO n+1 DO BEGIN A[i,1]:=1; FOR j:=2 TO n+1 DO A[i,j]:= A[i,j-1]*x[i]; B[i]:=Y[i]; END; -Giải hệ PT An+1,n+1 X = B theo các PP đã biết. 1.5. Đa thức nội suy Lagrăng (LAGRANGE) với nút không cách đều: 1.5.1. Bài toán: Giả sử trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm nút a ≤ x0 < x1 < x2 <.. - Xem thêm -