Bài giảng phương trìng lượng giác

  • Số trang: 50 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 21 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TẬP 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác ..............................................3 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ...................................................................3 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .......................................................... 15 Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác ......................................................... 23 Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản ...................................................................... 23 Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 29 Loại 3. Phép đặt ẩn phụ t  tan x .................................................................................. 34 2 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ..................................................................................... 38 Chủ đề 3. Phương trình tích ................................................................................................... 43 2 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết  1 1. Phương trình sin x  m * Điều kiện có nghiệm:  1 có nghiệm  m   1;1 .  x  arcsin m  2k * Công thức nghiệm: Với m   1;1 , ta có  1   ( k   ).  x    arcsin m  2k y 1 Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn y=sinx m   ;    2 2 của phương trình sin x  m ( - π 2 O arcsinm Hình 1). Ta thấy với mỗi m   1;1 , giá trị arcsin m π 2 x -1 luôn tồn tại duy nhất. Hình 1 2. Phương trình cos x  m  2 * Điều kiện có nghiệm:  2  có nghiệm  m   1;1 . * Công thức nghiệm: Với m   1;1 , ta có  2   x   arccos m  2k ( k   ). 3 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y 1 y=cosx Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn m  0;  của phương trình sin x  m (Hình 2). π 2 O π x arccosm Ta thấy với mỗi m   1;1 , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất. -1 Hình 2  3 3. Phương trình tan x  m y y=tanx Với mọi m , ta có  3   x  arctan m  k ( k   ). m Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng   2 ; 2  phương trình tan x  m (Hình 3). của - π 2 π 2 O x arctanm Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất. Hình 3 4. Phương trình cot x  m  4 4 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y y=cotx Với mọi m , ta có  4   x  arc cot m  k ( k   ). m Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng  0;  của phương π 2 O trình cot x  m (Hình 4). π x arccotm Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất. Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản:  f  x   g  x   2k +) sin f  x    sin  g  x     ( k   );  f  x     g  x   2k +) cos  f  x    cos  g  x    f  x    g  x   2k ( k   ). f  x   g  x   k +) tan  f  x    tan  g  x     ( k   ).  f  x   2  k B. Một số ví dụ Ví dụ 1. GPT: 2cos 2 x  sin x  2  1 Giải  1    2 1  sin 2 x  sin x  2  2sin 2 x  sin x  0  sin x  2 sin x  1  0 5 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  sin x  0   1  sin x  2   x  k   x    2k , ( k   ). 6   5   x  6  2k  1 Ví dụ 2. GPT: sin 2x  cos x  0 Giải  1  2sin x cos x  cos x  0  cos x  2 sin x  1  0  cos x  0   1  sin x   2  x    k 2    x     2k , ( k   ). 6   7  x  6  2k Ví dụ 3. GPT: sin2 x  cos 2 2x  1 .  1 Giải  1  cos 2 2x  1  sin 2 x  cos 2 2x  cos 2 x  2  3  cos 2x  cos x   .  cos 2x   cos x  2  2x  x  2k    2x   x  2k  x  2k   2k  x  3    x  2k (  2k k    2k k   ). 3 3 6 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  3  cos 2x  cos    x   2x    x  2k    2x  x    2k  x    2k 3 3   .  x    2k Vậy nghiệm của  1 là: x  2k , x    2k , x    2k ( k   ). 3 3 3 Ví dụ 4. GPT: sin 3x  sin 5x x cos . 2 2  1 Giải  1  sin 3x  1  sin 3x  sin 2x  2  sin 3x  sin 2x  3x  2x  2k    3x    2x  2k  x  2k    2k ( k   ).  x  5  5 Ví dụ 5. GPT: sin 3x  1  cos 4x   cos 3x sin 4x .  1 Giải  1  cos 3x sin 4x  sin 3x cos 4x  sin 3x  sin 7x  sin 3x  7x  3x  2k    7x    3x  2k  x  k 2   ( k   ).  x    k  10 5 7 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  1 Ví dụ 6. GPT: sin 4x sin 7x  cos 3x cos 6x . Giải  1   1  cos11x  cos 3x   1  cos 9x  cos 3x  2 2  cos11x   cos 9x  cos11x  cos    9x  11x    9x  2k   11x  9x    2k  x    k 20 10   ( k   ).  x     k  2 Ví dụ 7. GPT: 1 cos 2 x  tan x  1 .  1 3 Giải  1     12  1   tan x  0 3  cos x   tan 2 x  tan x  0 3  tan x  tan x  1   0 3   tan x  0   1  tan x  3   x  k   ( k   ).   x  6  k 2 Ví dụ 8. GPT: 2sin x  sin x 1  0 . 2 cos x  3  1 8 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: 2cos x  3  0  cos x  3  x     2k ( k   ). 2 6  x    2k 2   sin x  1   Ta có  1  2sin 2 x  sin x  1  0   1   x   6  2k ( k   ). sin x    2  7  x  6  2k y π +2kπ 1 2 Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn  sin x  1  1 được biểu diễn bằng những điểm đen.  sin x   2  các họ nghiệm của  1 là   2k , 7   2k ( k   ). 2 6 π +2kπ 6 -1 O x 1 -π +2kπ 6 7π +2kπ 6 -1 Chú ý: Khi biểu diễn họ x    2k ( k   , n  * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác n ta được: +) Một điểm trong trường hợp n  1 . +) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n  2 . Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị   2k với k  0 , 1 . n +) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n  3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá trị   2k với k  0 , 1 , …, n  1 . n 9 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 -1 y y y 1 1 1 O x 1 -1 O -1 1 -1  Ví dụ 9. Giải phương trình 1  5sin x  2cos 2 x  -1 O 1 x -1 n3 n2 x n4 cos x  0 .  1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x  0 . 1  5 sin x  2cos 2 x  0 .  1    cos x  0 Ta thấy  2   2  3   1  5sin x  2 1  sin 2 x  0  2sin 2 x  5sin x  3  0  sin x  3  1  voâ nghieäm     sin x   1  2  x     2k 6   .  x  7   2k  6  3  cos x  0  x    k . 2 10 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y π +2kπ 1 2 Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  2  và  3  trên đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm -1 O x 1 điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm -π +2kπ 6 7π +2kπ 6 của  1 là:   k ,    2k ( k   ). 2 6 π - +2kπ -1 2 Ví dụ 10. Giải phương trình 1 8 cos2 x  sin x .  1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x  0  x    k . 2  2 sin x  0  Ta có  1   1 .  sin 2 x  8cos 2 x  3  4  4 8 sin 2 x cos 2 x  1   cos x  0    . cos x  0  2sin 2 2x  1  cos 4x  0  4x    k 2  x    k . 8 4 11 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 y Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  4  trên đường 5π +2kπ 8 1 tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một 7π +2kπ 8 trong hai điều kiện  2  ,  3  (điểm được khoanh trắng), ta π +2kπ 8 -1 được các họ nghiệm của  1 là:  8 O -5π +2kπ 8  1 x -π +2kπ 8 -7π +2kπ 8  2k , 38  2k , 58  2k , 78  2k ( k   ) 3π +2kπ 8 -1 -3π +2kπ 8  Chú ý: Họ nghiệm x    2k ( k   ) thực ra là tập hợp   2k k   . Ta có n n   2k n  k      2k k         2k k    ...    n  1 . 2 n 2   2k n   k  x    2k  2  x    n  2k nói cách khác x    2k   ( k   ). n  ...  2  x      n  1 n   2k   12 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) sin x  3 cos x  0 . 2) sin x cos x  1 . 4 3) sin 3x cos 2x  sin 2x cos x .   4) cos x 4 cos 2 x  3  cos  x  0. 2  5) 2sin x 4sin 3 x  3sin x  sin 2x  0 . 6) sin x  sin 2x  cos x  cos 2x  0 . 7) sin x  sin 2x  cos x  cos 2x  0 . Bài 2. Giải các phương trình sau   1) cos x cos 7x  sin  2 x    . cos 6x 4   2) 1  1 sin x cos x  2 . sin 2x 3) 1  1 sin x cos x  2 . sin 2x 4) sin 2x  1  tan 2x tan x   1 . 5) sin 2x  tan x  1  sin 2x tan 2x  . 6)  2 3  cos x  2sin2  x2  4  2cos x 1   1.  1 . 7) tan 2  x  3tan 2 x  cos 2x 2 cos x D. Đáp số Bài 1 1)   k ( k   ). 3 2)   k , 5  k ( k   ). 12 6 3) k ,   k ( k   ). 8 4 4) 4k , 4k ( k   ). 5) k ,   k ,   k ( k   ). 8 2 4 6) 2k ,   2k ( k   ). 6 3 5 7 7) 2k ,   2k ( k   ). 3 3 13 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài 2 1) k , k ( k   ). 5 2)    2k , 7   2k ( k   ). 12 12  k  ( k   ). 8 2 3)   2k ,  7   2k ( k   ). 12 12 4) 5) x  k ( k   ). 6) 4  2k ( k   ). 3 7)    k ( k   ). 4 14 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:  1 A sin x  B cos x  C , trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( A 2  B 2  0 ). * Cách giải: chia hai vế của  1 cho A A 2  B2  A Vì   2 2  A B 2   B     2 2   A B     A 2  B 2 , ta được phương trình tương đương: sin x  2 B A2  B 2 cos x  C A2  B 2 . A  cos    A 2  B2  1 nên tồn tại    0;2  để:  . B sin    A2  B 2  Do đó:  1  sin x cos   cos x sin   C A2  B2  sin  x     C A2  B2  2 . Ta thấy  2  là phương trình có dạng cơ bản sin f  x    m . * Chú ý: +) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình  1 :  1 +) có nghiệm  A 2  B 2  C2  0 . B  cos    A 2  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  cos  x     A sin    A2  B 2  C A2  B 2 . 15 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 A  cos     A 2  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  sin  x     B sin     A2  B 2  B  cos    A 2  B2 Nếu chọn    0;2  để:  thì  1  cos  x     A sin     A2  B 2  C A 2  B2 C 2 A B 2 . . Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp. +) Một số công thức hay sử dụng:  4  4   4    4 sin x  cos x  2 sin x    2 cos x   ,  sin x  cos x  2 sin x    2 cos x  3 ,     sin x  3 cos x  2 sin x    2 cos x   , 3   6   sin x  3 cos x  2 sin x    2 cos x  5 , 3  6  6 6   3    3 3 sin x  cos x  2 sin x    2 cos x   ,  3 sin x  cos x  2 sin x    2cos x  2 . B. Một số ví dụ  1 Ví dụ 1. GPT: sin x  3 cos x  1  0 . Giải Ta có  1  1 sin x  3 cos x  1 2 2 2  sin x cos   cos x sin   sin  3 3 6 16 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44    sin x    sin  3 6  x      2k 3 6    x    5  2k  3 6 x    x     2k 2 7   2k 6 ( k   ).  1 Ví dụ 2. GPT: 2 2 sin xcos x  sin x  cos x  0 . Giải Ta có  1  sin 2x   1  sin x  cos x  2  sin 2x  sin x cos 3  cos x sin 3  4 4   sin 2x  sin x  3  4   2x  x  3  2k 4    2x    x  2k  4  x  3  2k 4   ( k   ).  x    2k  12 3 Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức  1  sin x  cos x  . 2 Ví dụ 3. GPT: 3 sin x  cos 2x  1 . 2 cos x  1 Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x  0  x    k . 2 Ta có  1  2  2 3 sin x cos x  cos 2x  1 17 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   3 sin 2x  cos 2x  1 3 sin 2x  1 cos 2x   1 2 2 2  6  sin 2x cos   cos 2x sin   sin   6  6   6  sin 2x    sin   6  2x       2k 6 6    2x    7   2k  6 6  x  k   ( k   ). 2  x  3  k (thỏa mãn  2  )  2 Ví dụ 4. [ĐHD07] GPT sin x  cos x 2 2  3 cos x  2 .  1 Giải  2 Ta có sin x  cos x 2 2  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  1  sin x . Do đó 2  1 2 2 2  sin x  3 cos x  1  1 sin x  3 cos x  1 2 2 2  sin x cos   cos x sin   1 3 3 2    sin x    1 3 2  x      2k 3 6    5  x     2k  3 6  x     2k 6   ( k   ).  x    2k  2 18 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ 5. [ĐHD09] GPT 3 cos 5x  2sin 3x cos 2x  sin x  0 .  1 Giải Ta có 2sin 3x cos 2x  sin 5x  sin x . Do đó  1  3 cos 5x  sin 5x  2 sin x  3 cos 5x  1 sin 5x  sin x 2 2  sin 5x cos 2  cos 5x sin 2  sin x 3 3    sin 5x  2  sin x  5x     5x   3 2  x  2k 3 2    x  2k 3  x     k 6 2   ( k   ).  x    k  18 3 Ví dụ 6. [ĐHA09] GPT  1 2 sin x  cos x  1 2 sin x  1 sin x   1  3. Giải  x     2k 6  sin x   1  7  2  x  Đk:   2k . 6 sin x  1   x    2k  2   Ta có  1  2sin x  1  sin x   sin x  1  2sin 2 x  sin x  cos 2x . Do đó  1  cos x  sin 2x  3  sin x  cos 2x   sin 2x  3 cos 2x  cos x  3 sin x 19 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  1 sin 2x  3 cos 2x  1 cos x  3 sin x 2 2 2 2  sin 2x cos   cos 2x sin   sin  cos x  cos  sin x 3 3 6 6   6   sin 2x    sin   x 3  2x      x  2k 3 6    2x    5  x  2k  3 6  x     2k 18 3   ( k   ).  x    2k  2 Kết hợp với điều kiện để  1 có nghĩa ta có tập nghiệm của  1 là    2k ( k   ). 18 3 Ví dụ 7. Cho phương trình 2 sin x  cos x  1  a sin x  2 cos x  3  1 , ( a là tham số). 1) Giải phương trình khi a  1 . 3 2) Tìm a để  1 có nghiệm. Giải Xét phương trình sin x  2cos x  3  0  2 . 2 Ta có 12   2   32  4  0  vô nghiệm  sin x  2cos x  3  0 x .  2 Do đó  1  2sin x  cos x  1  a  sin x  2 cos x  3    2  a  sin x   2a  1 cos x  3a  1 .  1) a  1 :  1 trở thành 5 sin x  5 cos x  0  tan x  1  x    k ( k   ). 3 3 3 4 2 2 2   2) Ta có  2  a    2a  1   3a  1  4a 2  6a  4  2 a 2  3a  2 . 20
- Xem thêm -