THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
TẬP
2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phân loại chi tiết
Hệ thống ví dụ phong phú
Bài tập có đáp số đầy đủ
Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012
1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác ..............................................3
Loại 1.
Các phương trình lượng giác cơ bản ...................................................................3
Loại 2.
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .......................................................... 15
Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác ......................................................... 23
Loại 1.
Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản ...................................................................... 23
Loại 2.
Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 29
Loại 3.
Phép đặt ẩn phụ t tan x .................................................................................. 34
2
Loại 4.
Phép đại số hóa t = tanx ..................................................................................... 38
Chủ đề 3. Phương trình tích ................................................................................................... 43
2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng
giác
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
1
1. Phương trình sin x m
* Điều kiện có nghiệm: 1 có nghiệm m 1;1 .
x arcsin m 2k
* Công thức nghiệm: Với m 1;1 , ta có 1
( k ).
x arcsin m 2k
y
1
Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn
y=sinx
m
;
2 2
của phương trình
sin x m
(
-
π
2
O
arcsinm
Hình 1).
Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arcsin m
π
2
x
-1
luôn tồn tại duy nhất.
Hình 1
2. Phương trình cos x m
2
* Điều kiện có nghiệm: 2 có nghiệm m 1;1 .
* Công thức nghiệm: Với m 1;1 , ta có 2 x arccos m 2k ( k ).
3
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
1
y=cosx
Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn
m
0; của phương trình sin x m (Hình 2).
π
2
O
π
x
arccosm
Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arccos m
luôn tồn tại duy nhất.
-1
Hình 2
3
3. Phương trình tan x m
y
y=tanx
Với mọi m , ta có 3 x arctan m k ( k ).
m
Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng
2 ; 2
phương trình tan x m (Hình 3).
của
-
π
2
π
2
O
x
arctanm
Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 3
4. Phương trình cot x m
4
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
y=cotx
Với mọi m , ta có 4 x arc cot m k ( k ).
m
Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương
π
2
O
trình cot x m (Hình 4).
π
x
arccotm
Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất.
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản:
f x g x 2k
+) sin f x sin g x
( k );
f x g x 2k
+) cos f x cos g x f x g x 2k ( k ).
f x g x k
+) tan f x tan g x
( k ).
f x 2 k
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. GPT: 2cos 2 x sin x 2
1
Giải
1
2 1 sin 2 x sin x 2
2sin 2 x sin x 0
sin x 2 sin x 1 0
5
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
sin x 0
1
sin x 2
x k
x 2k , ( k ).
6
5
x 6 2k
1
Ví dụ 2. GPT: sin 2x cos x 0
Giải
1
2sin x cos x cos x 0
cos x 2 sin x 1 0
cos x 0
1
sin x 2
x k
2
x 2k , ( k ).
6
7
x 6 2k
Ví dụ 3. GPT: sin2 x cos 2 2x 1 .
1
Giải
1
cos 2 2x 1 sin 2 x
cos 2 2x cos 2 x
2
3
cos 2x cos x
.
cos 2x cos x
2
2x x 2k
2x x 2k
x 2k
2k
x 3
x 2k ( 2k k 2k k ).
3
3
6
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
3
cos 2x cos x
2x x 2k
2x x 2k
x 2k
3
3
.
x 2k
Vậy nghiệm của 1 là: x 2k , x 2k , x 2k ( k ).
3
3
3
Ví dụ 4. GPT: sin 3x sin
5x
x
cos .
2
2
1
Giải
1
sin 3x 1 sin 3x sin 2x
2
sin 3x sin 2x
3x 2x 2k
3x 2x 2k
x 2k
2k ( k ).
x 5 5
Ví dụ 5. GPT: sin 3x 1 cos 4x cos 3x sin 4x .
1
Giải
1
cos 3x sin 4x sin 3x cos 4x sin 3x
sin 7x sin 3x
7x 3x 2k
7x 3x 2k
x k
2
( k ).
x k
10
5
7
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1
Ví dụ 6. GPT: sin 4x sin 7x cos 3x cos 6x .
Giải
1
1 cos11x cos 3x 1 cos 9x cos 3x
2
2
cos11x cos 9x
cos11x cos 9x
11x 9x 2k
11x 9x 2k
x k
20 10
( k ).
x k
2
Ví dụ 7. GPT:
1
cos 2 x
tan x 1 .
1
3
Giải
1
12 1 tan x 0
3
cos x
tan 2 x tan x 0
3
tan x tan x 1 0
3
tan x 0
1
tan x 3
x k
( k ).
x 6 k
2
Ví dụ 8. GPT: 2sin x sin x 1 0 .
2 cos x 3
1
8
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: 2cos x 3 0 cos x 3 x 2k ( k ).
2
6
x 2k
2
sin x 1
Ta có 1 2sin 2 x sin x 1 0
1 x 6 2k ( k ).
sin
x
2
7
x 6 2k
y
π
+2kπ 1
2
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn
sin x 1
1 được biểu diễn bằng những điểm đen.
sin x 2
các họ nghiệm của 1 là 2k , 7 2k ( k ).
2
6
π
+2kπ
6
-1
O
x
1
-π
+2kπ
6
7π
+2kπ
6
-1
Chú ý: Khi biểu diễn họ x 2k ( k , n * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
n
ta được:
+) Một điểm trong trường hợp n 1 .
+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 . Hai điểm này là các
điểm biểu diễn giá trị 2k với k 0 , 1 .
n
+) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n 3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá
trị 2k với k 0 , 1 , …, n 1 .
n
9
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
-1
y
y
y
1
1
1
O
x
1
-1
O
-1
1
-1
Ví dụ 9. Giải phương trình 1 5sin x 2cos 2 x
-1
O
1
x
-1
n3
n2
x
n4
cos x 0 .
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 .
1 5 sin x 2cos 2 x 0
.
1
cos x 0
Ta thấy
2
2
3
1 5sin x 2 1 sin 2 x 0
2sin 2 x 5sin x 3 0
sin x 3 1 voâ nghieäm
sin x 1
2
x 2k
6
.
x 7 2k
6
3
cos x 0 x k .
2
10
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
π
+2kπ 1
2
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 2 và 3 trên
đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm
-1
O
x
1
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm
-π
+2kπ
6
7π
+2kπ
6
của 1 là: k , 2k ( k ).
2
6
π
- +2kπ -1
2
Ví dụ 10. Giải phương trình
1
8 cos2 x
sin x .
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 x k .
2
2
sin x 0
Ta có 1 1
.
sin 2 x
8cos 2 x
3
4
4
8 sin 2 x cos 2 x 1 cos x 0
.
cos x 0
2sin 2 2x 1
cos 4x 0
4x k
2
x k .
8
4
11
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
y
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 4 trên đường
5π
+2kπ
8
1
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
7π
+2kπ
8
trong hai điều kiện 2 , 3 (điểm được khoanh trắng), ta
π
+2kπ
8
-1
được các họ nghiệm của 1 là:
8
O
-5π
+2kπ
8
1
x
-π
+2kπ
8
-7π
+2kπ
8
2k , 38 2k , 58 2k , 78 2k ( k )
3π
+2kπ
8
-1
-3π
+2kπ
8
Chú ý: Họ nghiệm x 2k ( k ) thực ra là tập hợp 2k k . Ta có
n
n
2k
n
k 2k k
2k k ... n 1 .
2
n
2 2k
n
k
x 2k
2
x n 2k
nói cách khác x 2k
( k ).
n
...
2
x n 1 n 2k
12
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1) sin x 3 cos x 0 .
2) sin x cos x 1 .
4
3) sin 3x cos 2x sin 2x cos x .
4) cos x 4 cos 2 x 3 cos
x
0.
2
5) 2sin x 4sin 3 x 3sin x sin 2x 0 .
6) sin x sin 2x cos x cos 2x 0 .
7) sin x sin 2x cos x cos 2x 0 .
Bài 2. Giải các phương trình sau
1) cos x cos 7x sin 2 x .
cos 6x
4
2)
1 1
sin x cos x
2
.
sin 2x
3)
1 1
sin x cos x
2
.
sin 2x
4) sin 2x 1 tan 2x tan x 1 .
5) sin 2x tan x 1 sin 2x tan 2x .
6)
2 3 cos x 2sin2 x2 4
2cos x 1
1.
1 .
7) tan 2 x 3tan 2 x cos 2x
2
cos x
D. Đáp số
Bài 1 1) k ( k ).
3
2) k , 5 k ( k ).
12
6
3) k , k ( k ).
8
4
4) 4k , 4k ( k ).
5) k , k , k ( k ).
8
2 4
6) 2k , 2k ( k ).
6
3
5
7
7) 2k , 2k ( k ).
3
3
13
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Bài 2 1) k , k ( k ).
5
2) 2k , 7 2k ( k ).
12
12
k
( k ).
8 2
3) 2k , 7 2k ( k ).
12
12
4)
5) x k ( k ).
6) 4 2k ( k ).
3
7) k ( k ).
4
14
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:
1
A sin x B cos x C ,
trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( A 2 B 2 0 ).
* Cách giải: chia hai vế của 1 cho
A
A 2 B2
A
Vì
2
2
A B
2
B
2
2
A B
A 2 B 2 , ta được phương trình tương đương:
sin x
2
B
A2 B 2
cos x
C
A2 B 2
.
A
cos
A 2 B2
1 nên tồn tại 0;2 để:
.
B
sin
A2 B 2
Do đó: 1 sin x cos cos x sin
C
A2 B2
sin x
C
A2 B2
2
.
Ta thấy 2 là phương trình có dạng cơ bản sin f x m .
* Chú ý:
+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình 1 :
1
+)
có nghiệm A 2 B 2 C2 0 .
B
cos
A 2 B2
Nếu chọn 0;2 để:
thì 1 cos x
A
sin
A2 B 2
C
A2 B 2
.
15
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
A
cos
A 2 B2
Nếu chọn 0;2 để:
thì 1 sin x
B
sin
A2 B 2
B
cos
A 2 B2
Nếu chọn 0;2 để:
thì 1 cos x
A
sin
A2 B 2
C
A 2 B2
C
2
A B
2
.
.
Trong từng trường hợp, việc chọn phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
+) Một số công thức hay sử dụng:
4
4
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x ,
sin x cos x 2 sin x 2 cos x 3 ,
sin x 3 cos x 2 sin x 2 cos x ,
3
6
sin x 3 cos x 2 sin x 2 cos x 5 ,
3
6
6
6
3
3
3 sin x cos x 2 sin x 2 cos x ,
3 sin x cos x 2 sin x 2cos x 2 .
B. Một số ví dụ
1
Ví dụ 1. GPT: sin x 3 cos x 1 0 .
Giải
Ta có
1
1 sin x 3 cos x 1
2
2
2
sin x cos cos x sin sin
3
3
6
16
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
sin x sin
3
6
x 2k
3
6
x 5 2k
3
6
x
x
2k
2
7 2k
6
( k ).
1
Ví dụ 2. GPT: 2 2 sin xcos x sin x cos x 0 .
Giải
Ta có
1
sin 2x 1 sin x cos x
2
sin 2x sin x cos 3 cos x sin 3
4
4
sin 2x sin x 3
4
2x x 3 2k
4
2x x 2k
4
x 3 2k
4
( k ).
x 2k
12
3
Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 1 sin x cos x .
2
Ví dụ 3. GPT:
3 sin x
cos 2x 1
.
2 cos x
1
Giải
Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 x k .
2
Ta có
1
2
2 3 sin x cos x cos 2x 1
17
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
3 sin 2x cos 2x 1
3
sin 2x 1 cos 2x 1
2
2
2
6
sin 2x cos cos 2x sin sin
6
6
6
sin 2x sin
6
2x 2k
6
6
2x 7 2k
6
6
x k
( k ).
2
x 3 k
(thỏa mãn 2 )
2
Ví dụ 4. [ĐHD07] GPT sin x cos x
2
2
3 cos x 2 .
1
Giải
2
Ta có sin x cos x
2
2
sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x 1 sin x . Do đó
2
1
2
2
2
sin x 3 cos x 1
1 sin x 3 cos x 1
2
2
2
sin x cos cos x sin 1
3
3 2
sin x 1
3
2
x 2k
3
6
5
x 2k
3
6
x 2k
6
( k ).
x 2k
2
18
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Ví dụ 5. [ĐHD09] GPT
3 cos 5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 .
1
Giải
Ta có 2sin 3x cos 2x sin 5x sin x . Do đó
1
3 cos 5x sin 5x 2 sin x
3
cos 5x 1 sin 5x sin x
2
2
sin 5x cos 2 cos 5x sin 2 sin x
3
3
sin 5x 2 sin x
5x
5x
3
2 x 2k
3
2 x 2k
3
x k
6
2
( k ).
x k
18
3
Ví dụ 6. [ĐHA09] GPT
1 2 sin x cos x
1 2 sin x 1 sin x
1
3.
Giải
x 2k
6
sin x 1
7
2 x
Đk:
2k .
6
sin x 1
x 2k
2
Ta có 1 2sin x 1 sin x sin x 1 2sin 2 x sin x cos 2x . Do đó
1
cos x sin 2x 3 sin x cos 2x
sin 2x 3 cos 2x cos x 3 sin x
19
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1 sin 2x 3 cos 2x 1 cos x 3 sin x
2
2
2
2
sin 2x cos cos 2x sin sin cos x cos sin x
3
3
6
6
6
sin 2x sin x
3
2x x 2k
3
6
2x 5 x 2k
3
6
x 2k
18
3
( k ).
x 2k
2
Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm của 1 là 2k ( k ).
18
3
Ví dụ 7. Cho phương trình 2 sin x cos x 1 a
sin x 2 cos x 3
1 , ( a
là tham số).
1) Giải phương trình khi a 1 .
3
2) Tìm a để 1 có nghiệm.
Giải
Xét phương trình sin x 2cos x 3 0
2 .
2
Ta có 12 2 32 4 0
vô nghiệm sin x 2cos x 3 0 x .
2
Do đó
1
2sin x cos x 1 a sin x 2 cos x 3
2 a sin x 2a 1 cos x 3a 1 .
1) a 1 : 1 trở thành 5 sin x 5 cos x 0 tan x 1 x k ( k ).
3
3
3
4
2
2
2
2) Ta có 2 a 2a 1 3a 1 4a 2 6a 4 2 a 2 3a 2 .
20
- Xem thêm -
.PDF 
50 
286 
72 
