Tài liệu Bài giảng nguyên hàm giải tích 12

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 5/15/2015 1 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 5/15/2015 2 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu: a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : 2 ' a)Ta có (x )  2x nên F(x) = x 2 b) Ta thấy (sin x ) '  cos x nên F(x) = sinx khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) 5/15/2015 3 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2 cos x 1 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x ln 10 5/15/2015 4 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là: F ( x)  F (a) hay  f ( a ) lim xa xa  F ( x)  F (b)  f (b) lim x b x b  • Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng: F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]. 5/15/2015 5 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. 5/15/2015 6 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là:  f ( x )dx  F ( x )  C ,C   . trong đó f(x)dx là vi phân của F(x). Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f. (  f ( x )dx )'  f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 5/15/2015 7 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp  0dx  C  dx   1dx  x C x  dx  x  1  1  C (  1) 1  x dx  ln x  C 5/15/2015 8 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp cos( kx  b )  C ,k  0.  sin( kx  b )dx   k sin( kx  b ) C  cos( kx  b )dx  k x kx a e x kx a dx   C( 0    1 ) e dx   C   ln a k 1  cos 2 x dx  tan x  C 5/15/2015  1 dx   cot x  C 2 sin x 9 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K, với a là số thực khác 0 thì:  [f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx  af ( x )dx  a  f ( x )dx Chú ý: 5/15/2015 [  f ( x )dx ] '  f ( x )  f ( t )dt  F ( t )  C   f [u( x )]u'( x )dx  F [u( x )]  C  f ( u )du  F ( u )  C 10 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: Nêu  f ( x )dx  F ( x )  C thì  1 f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d ( ax  b ) a 1  F ( ax  b )  C a u ' ( x)  u ( x) dx  ln u ( x)  C  dx  2 x C x 5/15/2015 n n n 1  x dx  n  1 x  C dx n n n 1  n x  n 1 x  C n dx 1  x n  (n  1) x n1  C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai: A. B. e dx  e  C  x x 2 dx  2 x  C  sin xdx  cos x  C  2 x D.  xdx  C 2 C. 5/15/2015 12 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải x  3x  5x 3 3 1 3 1 2 f ( x)  x  3 3 x  3 5 x  x  (3 x)  (5 x)  f ( x)dx   [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3  (3 x)  (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3  3  x 5  x C 3 4 4 3 2 3 3 34 3 4 5 3 4  x   x  3  x C 3 4 4 5/15/2015 13 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x 2 f ( x)  (3  2 )  (3 )  2.3 .2  (2 ) x x x  9  2.6  4 x Vậy  5/15/2015 x 2 x x 2 x x x x 2 x 9 6 4 f ( x)dx   2.  C ln 9 ln 6 ln 4 14 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số: sin x  2 f( x) 2 3 sin x 3 Giải sin x  2 sin x 2  1  f ( x)     2  2 3 sin x 3 3  sin x  3 Vậy 2  1 2  sin x  dx   cos x  cot x  C   2   3 3 sin x  3 3 5/15/2015 15 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x )  8 sin  6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x)  8 sin  6 sin 3 3 3 Vậy x 3 x  2(3 sin  4 sin )  2 sin x 3 3  f ( x)dx   (2 sin x)dx  2( cos x)  C  2 cos x  C 5/15/2015 16 Bảng các nguyên hàm mở rộng a  0 1  sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  C dx 1  ax  b  a ln ax  b  C 1  cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  C 1 1  cos 2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax  b 1 ax  b dx  e C a  1 1 ( ax  b )  ( ax  b ) dx    C (  1)  a  1 1 1  sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C 5/15/2015 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f( x) 2 x2  x  3 1 1 1 f ( x)  2   2 x  x  3 2 ( x  1)( x  3 ) 2 2 3 [( x  )  ( x  1)] 1 5 1 1 1 2    (  ) 3 3 2 5 x  1 ( x  1)( x  ) x 2 2 1 1 1 dx   dx ] Vậy  f ( x )dx  [  3 5 x 1 x 2 1  [ln x  1  ln x  3 / 2  C ] 5 1 x 1  ln C 5/15/2015 5 x  3/ 2 18 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải f ( x)  1  2  sin x  cos x 1  2 [1  cos( x  Vậy  5/15/2015  4  )] 1 2  sin x  cos x 1 2  2 cos( x  1  4 ) x  2 2 sin (  ) 2 8 2 dx 1 x  f ( x ) dx   cot(  )  C  2 8 2 2 sin 2 ( x   ) 2 2 8 1 19 Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )  e x  e  x  2dx Giải x 2 x 2 2 x 2 f ( x )  e x  e  x  2  (e  e ) | e  e x 2 Xét e  e x 2 x 2 x 2 | x x 0   x0 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C Xét x 2 e e x 2 x 2 x 2 0 x0 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C 5/15/2015 20