HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
BÀI GIẢNG MÔN
CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên:
Ths. Vũ Anh Đào
Điện thoại/E-mail:
[email protected]
Bộ môn:
Kỹ thuật điện tử
Giới thiệu môn học
•
•
•
Mục đích:
Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản để phân tích và tổng hợp hệ thống
điều khiển kỹ thuật trong miền thời gian và miền tần số bằng công cụ toán học, tập
trung chủ yếu là các vấn đề trong miền liên tục. Môn học thuộc lĩnh vực lý thuyết
điều khiển, và là những cơ sở cơ bản nhất của lý thuyết hệ thống điều khiển được
ứng dụng cho kỹ thuật. Các phương pháp được đề cập đến để phân tích và tổng hợp
hệ thống là phương pháp kinh điển và phương pháp không gian trạng thái. Sinh
viên được làm quen với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng
và tổng hợp hệ thống
Thời lượng: 3 đvht
– Lý thuyết : 37 tiết
– Kiểm tra : 2 tiết
– Thí nghiệm: 6 tiết
Điểm thành phần:
– Chuyên cần
: 10%
– Kiểm tra
: 10%
– Thí nghiệm
: 10%
– Thi kết thúc học phần: 70%
Nội dung môn học
PHẦN I. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
Chương 1: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ liên tục
Chương 2: Đặc tính của các khâu cơ bản và của hệ thống ĐKTĐ liên tục
Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống ĐKTĐ liên tục
Chương 4: Khảo sát chất lượng hệ thống ĐKTĐ liên tục
Chương 5: Tổng hợp hệ thống ĐKTĐ liên tục
PHẦN II. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Chương 6: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ rời rạc
Chương 7: Phân tích và thiết kế hệ thống ĐKTĐ rời rạc
Tài liệu tham khảo
[1]. Vũ Anh Đào, Đặng Hoài Bắc, Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động,
HVCNBCVT, 2008.
[2]. Phạm Công Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001
[3]. Nguyễn Văn Hoà, Cơ sở Lý thuyết điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001.
[4]. Nguyễn Thương Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động thông thường và hiện
đại, NXB KHKT, 2005.
[5]. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice - Hall
International Editions, Seventh Edition 1995.
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ
1.1 Giới thiệu chung
•
•
•
ĐK học là khoa học nghiên cứu về các quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều
khiển trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học công nghệ, môi trường...
Điều khiển học kỹ thuật là khoa học nghiên cứu về quá trình thu thập, xử lý tín hiệu
và điều khiển các quá trình và hệ thống thiết bị kỹ thuật. Khái niệm điều khiển được
hiểu là tập hợp tất cả các tác động mang tính tổ chức của một quá trình nhằm đạt
được mục đích mong muốn của quá trình đó. Hệ thống điều khiển mà không có sự
tham gia trực tiếp của con người trong quá trình điều khiển được gọi là điều khiển
tự động.
Một HTĐKTĐ hở (không có đường phản hồi) mô tả trong hình 1.1 gồm hai thành
phần cơ bản là đối tượng điều khiển (Object) và thiết bị điều khiển (Controller):
Tín hiệu vào
Thiết bị Tín hiệu điều khiển Đối tượng Tín hiệu ra
điều khiển
điều khiển
Hình 1.1 Hệ thống điều khiển hở
•
Nhiệm vụ cơ bản của điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển để có được giá trị đầu ra
mong muốn. Những tác động từ bên ngoài lên hệ thống được gọi là tác động nhiễu
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
5
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.1.1 Sơ đồ khối
•
Hệ thống có đường phản hồi gọi là hệ kín, mô tả trong hình 1.2. f được gọi là tín
hiệu phản hồi, e là sai lệch. Trong thực tế, các hệ thống điều khiển được sử dụng
đều là các hệ kín, tức thông tin đầu ra được đưa quay trở về đầu vào để góp phần
tạo ta tín hiệu điều khiển.
e
u
Thiết bị Tín hiệu điều khiển Đối tượng Tín hiệu ra
điều khiển
điều khiển
x
y
f
Thiết bị
đo
Hình 1.2 Hệ thống điều khiển kín
•
Có ba phương thức điều khiển là phương thức điều khiển theo chương trình,
phương thức bù nhiễu và phương thức điều khiển theo sai lệch (đây là phương pháp
điều khiển phổ biến nhất)
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
6
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.1.2 Phân loại hệ thống ĐKTĐ
•
•
Theo tính chất của các phần tử, HTĐKTĐ được phân làm 2 loại chính là hệ
tuyến tính và hệ phi tuyến.
– Hệ tuyến tính: tất cả các phần tử đều tuyến tính.
– Hệ phi tuyến: có ít nhất 1 phần tử có tính phi tuyến.
Dựa vào tính chất truyền tín hiệu, HTĐKTĐ được phân làm 2 loại là hệ
liên tục và hệ rời rạc (các khái niệm liên tục và rời rạc ở đây được hiểu theo
biến thời gian).
– Hệ liên tục: thông tin truyền đi liên tục ở tất cả các khâu.
– Hệ rời rạc: thông tin truyền đi bị gián đoạn ở một khâu nào đó
•
Dựa vào lượng thông tin thu thập ban đầu về ĐTĐK và tính chất của nó, HTLTTT
được phân ra làm 2 loại là hệ thông thường và hệ thích nghi
– Hệ thông thường: cấu trúc và tham số của thiết bị điều khiển là không
đổi với đối tượng điều khiển cụ thể
– Hệ thích nghi: Khi đối tượng điều khiển có thông tin ban đầu không
đầy đủ hay quá trình công nghệ có yêu cầu đặc biệt
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
7
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.2 Các phương pháp mô tả động học
1.2.1 Mô tả trong miền thời gian
•
Hàm truyền đạt: : là tỉ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo biến đổi Laplace với
điều kiện đầu triệt tiêu
– Một HTĐKTĐ thường được biểu diễn dưới dạng PTVP dạng tổng quát:
W ( p) =
L { y ( t )}
L {u ( t )}
Biến đổi Laplace 2 vế, ta có hàm truyền đạt:
a0
dny
dt n
+ a1
d n−1 y
dt n−1
+ ... + an−1
dy
d mu
d m−1 y
du
+ an y = b0 m + b1 m−1 + … + bm−1
+ bmu
dt
dt
dt
dt
Và phương trình đặc trưng:
a0 p n + a1 p n−1 + ... + an−1 p + an = 0
– Nghiệm tử số của hàm truyền đạt được gọi là các điểm không (zero) và nghiệm mẫu
số được gọi là các điểm cực (pole)
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
8
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Hệ phương trình không gian trạng thái
⎧ x = Ax + Bu
⎨
⎩ y = Cx + Du
⎡ a11 a12
⎢a
a
A = ⎢ 21 22
⎢ ...
...
⎢
⎣ an1 an 2
... a1n ⎤
⎡ b11 b12
⎥
⎢b
... a2 n ⎥
b
, B = ⎢ 21 22
⎢ ... ...
... ... ⎥
⎥
⎢
... ann ⎦
⎣ bn1 bn 2
... b1r ⎤
⎡ c11 c12
⎥
⎢c
... b2r ⎥
c22
C = ⎢ 21
⎢ ...
... ... ⎥
...
⎥
⎢
... bnr ⎦
⎣cm1 cm 2
c1n ⎤
⎡ d11 d12
⎥
⎢d
... c2n ⎥
d 22
, D = ⎢ 21
⎢ ...
... ... ⎥
...
⎥
⎢
... cmn ⎦
⎣ d m1 d m 2
...
d1r ⎤
... d 2r ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... d mr ⎦
...
x, dx/dt là các vector các biến trạng thái n chiều, u là vector tín hiệu vào r chiều, y là
vector tín hiệu ra m chiều
D
u (t )
B
x (t )
+
x (t )
t
∫ ( ) dτ
+
C
o
+
y (t )
Hình 1.3 Sơ đồ cấu trúc
trạng thái hệ liên tục
+
A
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
9
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Chuyển từ hàm truyền đạt sang hệ phương trình trạng thái:
– Nếu hệ thống có hàm truyền đạt dạng:
W ( p) =
– Đặt:
⎧ y = x1
⎪ dx
⎪ 1 = x2 − A1x1
⎪ dt
⎪ dx
⎪ 2 = x3 − A2 x1
⎪ dt
⎨
⎪...
⎪ dxn−1
= xn − An−1x1
⎪
⎪ dt
⎪ dxn
⎪⎩ dt = Ku − An x1
12/31/2009
Y ( p)
U ( p)
=
K
n
p + A1 p
n −1
+ ... + An−1 p + An
⎧ x = Ax + Bu
⎨
⎩ y = Cx + Du
Ta có hệ PTTT:
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0
⎢x ⎥ ⎢ 0
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢ ... ⎥ ⎢ ...
⎢ ⎥ ⎢
⎣ xn ⎦ ⎣ − An
1
0
...
...
...
...
− An −1
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥ ⎢x ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ 2⎥ + ⎢ ⎥u
⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− A1 ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ K ⎦
0
0
...
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
y ( t ) = [1 0 ... 0] ⎢ 2 ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Vũ Anh Đào - PTIT
10
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Trên cơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệ thống
(hình 1.5) và sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống (hình 1.6)
⎧ y = x1
⎪ dx
⎪ 1 = x2 − A1x1
⎪ dt
⎪ dx
⎪ 2 = x3 − A2 x1
⎪ dt
⎨
⎪...
⎪ dxn−1
= xn − An−1x1
⎪
⎪ dt
⎪ dxn
⎪⎩ dt = Ku − An x1
u
yn
k0
1 yn
p
yn−1
y2
1
p
An−1
An
1 y2
p
A2
y1
1
p
y = y1
A1
Hình 1.5 Mô hình hệ thống
u (t )
y
B
+
⎧ x = Ax + Bu
⎨
⎩ y = Cx + Du
t
∫0 (
y
) dτ
C
+
+
y (t )
A
Hình 1.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
11
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
– Nếu hệ thống có hàm truyền đạt dạng:
W ( p) =
Y ( p ) B0 p m + B1 p m−1 + ... + Bm−1 p + Bm
=
U ( p)
p n + A1 p n−1 + ... + An−1 p + An
– Đặt:
⎧ y = x1
⎪ dx
⎪ 1 = x2 − A1x1 + B0u
⎪ dt
⎪ dx
⎪ 2 = x3 − A2 x1 + B1u
⎪ dt
⎨
⎪...
⎪ dxn−1
= xn − An−1x1 + Bm−1u
⎪
⎪ dt
⎪ dxn
⎪⎩ dt = Bmu − An x1
12/31/2009
Ta có hệ PTTT:
⎧ x = Ax + Bu
⎨
⎩ y = Cx + Du
⎡ x1 ⎤ ⎡ − A1 1 ...
⎢ x ⎥ ⎢ − A 0 ...
⎢ 2⎥ = ⎢ 2
⎢ ... ⎥ ⎢ ... ... ...
⎢ ⎥ ⎢
⎣ xn ⎦ ⎣ − An 0 ...
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ B0 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ B1 ⎥⎥
+
u
...⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ Bm ⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
y ( t ) = [1 0 ... 0] ⎢ 2 ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
Vũ Anh Đào - PTIT
12
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Chú ý: Hệ luôn phải thoả mãn điều kiện n-m=1 bằng cách thêm vào tử số các hệ số
B0=0, B1=0… Trên cơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệ
thống (hình 1.7) và sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống (hình 1.8)
⎧ y = x1
⎪ dx
⎪ 1 = x2 − A1x1 + B0u
⎪ dt
u
⎪ dx
⎪ 2 = x3 − A2 x1 + B1u
⎪ dt
⎨
⎪...
⎪ dxn−1
= xn − An−1x1 + Bm−1u
⎪
⎪ dt
⎪ dxn
⎪⎩ dt = Bmu − An x1
Bm−1
yn
Bm
1
p
yn−1 1
p
yn
An
B0
B1
y2 1
p
y1
A2
An −1
1 y = y1
p
A1
Hình 1.7. Mô hình hệ thống
u (t )
y
B
+
⎧ x = Ax + Bu
⎨
⎩ y = Cx + Du
t
∫0 (
y
) dτ
C
+
+
y (t )
A
Hình 1.8. Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
13
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.2.2 Mô tả hệ thống trong miền tần số
•
Để xác định các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết ta phải xác định được hàm
truyền đạt tần số bằng cách thay p = jω vào hàm truyền đạt của hệ thống đã cho
U
U
Y
Wh ( p )
(a)
Wh ( p )
Y
(b)
Hình 1.9 Sơ đồ hệ thống hở (a) và hệ thống kín (b)
1.2.2.1 Các đặc tính tần số của hệ hở
Giả sử hệ thống hở được mô tả bởi hàm truyền đạt:
Wh ( p ) = W1 ( p ) .W2 ( p ) ...Wn ( p )
Nếu hàm truyền tần số của các phần tử được mô tả dưới dạng:
jϕ ω
W jω = A ω .e i ( )
i
(
)
i
( )
thì hàm truyền tần số của hệ hở được tính theo biểu thức:
n
n
j ∑ ϕi ( ω )
Wh ( jω ) =
Ai (ω ) .e i =1
12/31/2009
∏
i =1
Vũ Anh Đào - PTIT
14
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Các đặc tính tần số của hệ hở là:
– Đặc tính biên tần (BT):
A (ω ) =
n
∏ Ai (ω )
i =1
– Đặc tính pha tần (hay pha tần logarithm – PT- PTL)
n
ϕ ( ω ) = ∑ ϕi ( ω )
i =1
– Đặc tính biên tần logarithm (BTL)
L (ω ) = 20 lg A (ω ) =
n
∑
20 lg Ai (ω ) =
i =1
n
∑ Li (ω )
i =1
– Như vậy, đặc tính BTL và PTL của hệ hở bằng tổng đại số của các đặc tính
BTL và PTL của các phần tử thành phần.
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
15
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.2.2.2 Các đặc tính tần số của hệ kín
• Hàm truyền đạt tần số của hệ kín là:
jϕ ω
A (ω ) e ( )
A (ω )
=
Wk ( jω ) =
− jϕ (ω )
jϕ (ω )
1 + A (ω ) e
+ A (ω )
e
•
Sử dụng công thức Eurler:
e
ta được:
− jϕ (ω )
Wk ( jω ) =
•
= cos ϕ (ω ) − j sin ϕ (ω )
A (ω )
A (ω ) + cos ϕ (ω ) − j sin ϕ (ω )
Tách phần thực và phần ảo, ta có:
Wk ( jω ) =
12/31/2009
A (ω ) ⎡⎣ A (ω ) + cos ϕ (ω ) ⎤⎦
1 + A2 (ω ) + 2 cos ϕ (ω ) A (ω )
+j
Vũ Anh Đào - PTIT
A (ω ) sin ϕ (ω )
1 + A2 (ω ) + 2 cos ϕ (ω ) A (ω )
16
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Các đặc tính tần số của hệ hở là:
– Đặc tính biên tần (BT):
Ak (ω ) =
A (ω )
1 + A2 (ω ) + 2 cos ϕ (ω ) A (ω )
– Đặc tính PT
ϕk (ω ) = arctg
12/31/2009
sin ϕ (ω )
A (ω ) + cos ϕ (ω )
Vũ Anh Đào - PTIT
17
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.3 Các nguyên tắc biến đổi sơ đồ khối
1.3.1 Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp
•
Các phần tử mắc nối tiếp nhau nếu tín hiệu ra của phần tử trước là tín hiệu vào của
phần tử sau (hình 1.10)
U
W1
U1
W2
U2
Wn
Y
U
W1.W2 ...Wn
Y
Hình 1.10 Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp
•
Từ hình 1.10 ta có:
W1 = U1 U , W2 = U 2 U1 , Wn = Y U n−1
•
Vậy hàm truyền đạt của hệ thống:
W ( p) =
12/31/2009
Y
= W1.W2 ...Wn
U
Vũ Anh Đào - PTIT
18
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.3.2 Hệ thống gồm các phần tử mắc song song
•
•
Các phần tử mắc song song nếu chúng có cùng tín hiệu vào, tín hiệu ra bằng tổng
đại số của các tín hiệu ra thành phần(hình 1.11).
Từ hình 1.11, ta có:
U1 = U
W1
Y1 = W1U
Y1
Y2 = W2U , ...
U
Yn = WnU
Un = U
Hàm truyền đạt:
W ( p) =
W2
U
Y
Y2
W1 + W2 + ... + Wn
Y
Yn
Y = Y1 + Y2 + ... + Yn
•
U2 = U
Wn
Hình 1.11. Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc song song
Y
= W1 + W2 + ... + Wn
U
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
19
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.3.3 Hệ thống gồm các phần tử mắc phản hồi (hồi tiếp)
•
Hệ thống có mạch mắc phản hồi gồm hai loại là phản hồi âm và phản hồi dương
(hình 1.12).
U
E
U
Y
W1
F
E
Y
W1
F +
W2
W2
(a)
(b)
Hình 1.12 Sơ đồ hệ thống có mạch phản hồi âm (a) và dương (b)
– Hệ phản hồi âm (hình 1.12a)
Hệ phản hồi dương (hình 1.12b):
⎧E = U − F
W1
Y
⎪
⎨Y = W1E ⇒ W ( p ) = =
U 1 + W1W2
⎪F = W Y
2
⎩
12/31/2009
⎧E = U + F
W1
⎪
Y
⎨Y = W1E ⇒ W ( p ) = =
U 1 − W1W2
⎪F = W Y
⎩
2
Vũ Anh Đào - PTIT
20
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.3.4 Chuyển đổi vị trí các tín hiệu
1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệu vào
• Từ trước ra sau một khối (hình 1.13):
– Từ hình 1.13 (a):
Y = (U1 + U 2 )W
U1
W
U1
U2
Y
W
– Từ hình 1.13 (b):
Y
U2
W
(a)
Y = U1W + U 2W = (U1 + U 2 )W
(b)
Hình 1.13 Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối
– Vậy tín hiệu chuyển từ trước ra sau một khối thì tín hiệu đó phải đi qua một
khối mới có hàm truyền đạt chính bằng khối đó.
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
21
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Từ sau ra trước một khối (hình 1.14):
– Từ hình 1.14 (a):
Y = U1 + U 2W
U1
– Từ hình 1.14 (b): U 2
Y = (U1. (1 W ) + U 2 )W
= U1 + U 2W
U1
Y
W
(a)
1W
W
U2
(b)
Hình 1.14 Chuyển tín hiệu vào từ sau ra trước một khối
– Vậy tín hiệu chuyển từ sau ra trước một khối thì tín hiệu đó phải đi qua một
khối mới có hàm truyền đạt chính bằng nghịch đảo của khối đó.
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
22
Y
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệu ra
•
Từ trước ra sau một khối (hình 1.15):
– Từ hình 1.15 (a):
Y1
U
⎧Y1 = U
⎨
⎩Y2 = UW
– Từ hình 1.15 (b):
W
1W
U
Y2
Y1
Y2
W
(a)
(b)
Hình 1.15 Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối
⎪⎧Y1 = UW (1 W ) = U
⎨
⎪⎩Y2 = UW
– Vậy muốn chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối thì tín hiệu đó phải đi
qua một khối mới có hàm truyền đạt chính bằng nghịch đảo của khối đó
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
23
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Từ sau ra trước một khối (hình 1.16):
– Từ hình 1.16 (a):
⎧Y1 = UW
U
⎨
W
Y
=
UW
⎩ 2
– Từ hình 1.16 (b):
Y1
W
U
Y2
W
(a)
⎧Y1 = UW
⎨
⎩Y2 = UW
Y1
Y2
(b)
Hình 1.16 Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối
– Vậy muốn chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối thì tín hiệu đó phải đi
qua một khối mới có hàm truyền đạt chính bằng chính khối đó
1.3.4.3 Các bộ cộng liền nhau có thể đổi chỗ cho nhau (hình 1.17)
Y
U1
U3
U2
Hình 1.17
(a)
12/31/2009
Y
U1
U2
U3
(b)
Vũ Anh Đào - PTIT
24
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Ví dụ 1.1. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có sơ đồ như hình 1.18:
– Cách 1: Chuyển A về B (chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước khối W3), sau đó
hoán đổi vị trí của A và B.
– Cách 2: Chuyển B về A (chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau khối W3), sau đó
hoán đổi vị trí của A và B.
W6
U
W1
+
+
B
W2
W3
A
W4
Y
W5
Hình 1.18
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
25
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Theo cách 1, hệ thống tương đương hình 1.19.
W2
1 − W2 .W3 .W6
W236 =
•
W6
Từ hình 1.20:
W12356
W1.W236
=
1 + W5.W1.W236
U
W1
+
W3
+
W2
B
A’
W3
W4
W3
W4
Y
W5
•
Hàm truyền đạt hở:
Wh = W12356 .W3 .W4
•
Hàm truyền đạt kín:
Wk =
Wh
1 + Wh
=
W12356 .W3 .W4
1 + W12356 .W3 .W4
12/31/2009
Hình 1.19
U
W1
W236
B
Y
W5
Vũ Anh Đào - PTIT
Hình 1.20
26
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
1.4 Graph tín hiệu
• Ở các nhánh của Graph đánh dấu mũi tên và hàm truyền tương ứng.
Ở các nút của Graph đánh dấu mối liên hệ giữa các phần tử.
• Graph được dùng để xác định hàm truyền đạt của hệ thống điều
khiển tự động với các đặc điểm sau:
– Graph là đồ hình gồm các nhánh và các nút.
– Mỗi một nút của graph được biểu diễn bằng một điểm và ghi tên một đại
lượng nào đó. Nút gốc là lượng vào, nút ngọn là lượng ra.
– Một nhánh nối nút gốc và nút ngọn có mũi tên, trên đó ghi giá trị hàm
truyền đạt tương ứng với một khâu nào đó (hình 1.21). Hàm truyền đạt của
một nhánh bằng tỉ số giữa giá trị nút ngọn và giá trị nút gốc:
yi
aij
yj
aij = y j yi
Hình 1.21 Các biểu hiện nhánh và nút của Graph
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
27
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
•
Các tính chất quan trọng của Graph tín hiệu:
– Graph tín hiệu chỉ sử dụng cho các hệ thống tuyến tính.
– Các phương trình dùng để vẽ Graph phải là các phương trình đại số.
– Các nút được dùng để biểu thị các biến. Thông thường các nút được sắp xếp từ
trái qua phải, từ đầu vào đến đầu ra.
– Trong nhánh, các tín hiệu chỉ đi theo hướng mũi tên.
– Nhánh hướng từ nút đến biểu diễn sự phụ thuộc của vào chứ không có chiều
ngược lại.
– Tín hiệu đi qua nhánh từ đến sẽ được nhân với hệ số khuếch đại của nhánh, .
•
Ví dụ 1.2. Dùng Graph biểu diễn hệ phương trình sau:
⎧ y2 = a12 y1 + a32 y3
⎪
⎪ y3 = a23 y2 + a43 y4
⎨
⎪ y4 = a24 y2 + a34 y3 + a44 y4
⎪⎩ y5 = a25 y2 + a45 y4
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
28
a32
a12
y1
y3
y2
y4
y5
y4
y5
a. y2 = a12 y1 + a32 y3
a43
a32
a12
a23
y1
b.
y3
y2
y2 = a12 y1 + a32 y3
a44
y3 = a23 y2 + a43 y4
a43
a32
a12
a34
a23
y1
y3
y2
y4
y5
a24
y2 = a12 y1 + a32 y3
c. y3 = a23 y2 + a43 y4
y4 = a24 y2 + a34 y3 + a44 y4
a43
a32
a12
a45
a34
a23
y1
a44
y3
y2
y4
a24
y5
a25
y2 = a12 y1 + a32 y3
d.
y3 = a23 y2 + a43 y4
y4 = a24 y2 + a34 y3 + a44 y4
y5 = a25 y2 + a45 y4
12/31/2009
ì
Cá
ớ
â
Vũ Anh Đào - PTIT
G
í
iệ
29
í
Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ...
a2
a1
y1
y2
a1 + a2 + a3
a3
Hình 1.23. Graph của nhánh mắc song song
y1
y3
y2
a2
a1
y4
y4
y1
a3
a1.a2 .a3
Hình 1.24 Graph của nhánh mắc nối tiếp
y1
a1
y2
y2
y1
a1
1 + a1a2
− a2
Hình 1.25. Graph của nhánh mắc phản hồi
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
30
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục
2.1 Giới thiệu chung
•
•
•
Có hai loại tín hiệu bên ngoài tác động và hệ thống, đó là tín hiệu đặt trước và
nhiễu. Trong các HTĐK, tín hiệu đặt trước thường là một hằng số.
Nhiễu sẽ làm cho đầu ra của hệ thống bị lệch khỏi giá trị mong muốn. Nó có thể là
những đột biến tăng (đường 1) hay giảm (đường 2), có thể theo một đường nhất
định (tiền định) (đường 3) hay ngẫu nhiên (đường 4 – hình 2.1).
Dựa vào miền làm việc của tín hiệu thì HTĐKTĐ có hai đặc tính cơ bản là đặc tính
thời gian và đặc tính tần số. Dựa vào đặc tính của hệ thống thì ta có đặc tính động
(đặc trưng cho quá trình quá độ ) và đặc tính tĩnh (đặc trưng cho quá trình xác lập).
x(t)
3
1
2
4
t
Hình 2.1
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
1
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
2.2 Đặc tính thời gian của hệ thống
•
•
Khi phân tích một HT, ta thường dùng tín hiệu chuẩn làm tín hiệu vào, đặc tính của
hệ thống được đánh giá bằng cách nghiên cứu đáp ứng của hệ thống trong miền thời
gian. Việc đánh giá cuối cùng các đặc tính của HTĐK là dựa vào các đáp ứng thời
gian.
Đáp ứng thời gian thường được chia thành hai phần là đáp ứng ở trạng thái quá độ
và đáp ứng ở trạng thái xác lập. Ký hiệu y(t) là đáp ứng của một hệ thống liên tục
thì ta có thể viết:
y ( t ) = yqd ( t ) + y xl ( t )
trong đó yqd(t) là đáp ứng ở trạng thái quá độ và yxl(t) là đáp ứng ở trạng thái xác lập.
• Đáp ứng quá độ là phần đáp ứng thời gian mà nó tiến tới 0 sau một khoảng thời
gian rất lớn:
lim y t = 0
•
qd
t →∞
()
Đáp ứng xác lập là phần đáp ứng thời gian sau khi quá trình quá độ kết thúc. Đáp
ứng xác lập vẫn có thể thay đổi trong những trường hợp cố định, ví dụ như khi đầu
vào là sóng sin, hàm dốc tăng theo thời gian.
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
2
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
•
Để đơn giản khi xét tính chất của một hệ thống, ta thường chia nhỏ nó thành các
phần tử. Đặc tính thời gian của phần tử là sự thay đổi của phần tử theo thời gian khi
tác động ở đầu vào là những tín hiệu chuẩn. Các đặc tính đó bao gồm hàm quá độ,
đường quá độ, hàm quá độ xung và đường quá độ xung.
Tín hiệu vào
Phần tử
x
Tín hiệu ra
y
Hình 2.2 Mô hình biểu diễn phần tử
•
Các hàm thời gian này đều mô tả sự biến thiên của tín hiệu ra khi phần tử chuyển từ
trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác do sự tác động của một trong
các nhiễu chuẩn. Để đơn giản, ta xét trạng thái cân bằng ban đầu của các phần tử là
không ( y(0)=0)
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
3
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
2.2.1 Tín hiệu tác động ở đầu vào
•
Tín hiệu bậc thang đơn vị 1(t):
•
⎧0 khi t ≤ 0
1( t ) = ⎨
⎩1 khi t > 0
Tín hiệu xung đơn vị δ(t):
⎧0 khi t ≠ 0
d
δ ( t ) = 1( t ) = ⎨
dt
⎩∞ khi t = 0
δ (t )
1( t )
1
t
0
1( t )
(a)
∫−∞ δ ( t ) = 1
•
Tín hiệu tuyến tính:
1( t )
(b)
y ( t ) = atx ( t )
– Hàm δ(t) có tính chất:
∞
t
0
t
0
(c)
Hình 2.3.
y ( t ) = atu ( t )
y ( t ) = at 2 x ( t )
t
0
(d)
(a). Đồ thị hàm 1( t ) ; (b). Đồ thị hàm δ ( t )
c. Hàm tuyến tính; d. Hàm parabol
trong đó là hằng số thực.
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
4
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
•
Hàm parabol:
y ( t ) = at 2 x ( t )
trong đó là hằng số thực
• Tín hiệu có dạng bất kỳ x(t): có thể được mô tả thông qua hàm 1(t) và δ(t):
– Biểu diễn x(t) qua hàm 1(t): dựa vào tích phân Duyamen (khi α→0):
x ( t ) = x (α ) .1( t ) +
dx (τ )
.1( t − τ ) dτ
0 dτ
∫
t
– Biểu diễn x(t) qua hàm δ(t): (khi α→0):
x (t ) =
12/31/2009
t +α
∫α
x (τ ) .δ ( t − τ ) dτ
Vũ Anh Đào - PTIT
5
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
2.2.2 Phản ứng của phần tử
• Hàm quá độ h(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm 1(t).
Nếu x ( t ) = 1( t ) thì L ⎡⎣1( t ) ⎤⎦ = 1 p
Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và hàm quá độ của phần tử là:
W ( p) =
•
L ( h (t ))
L (1( t ) )
= p.L ⎡⎣ h ( t ) ⎤⎦ ⇒
L ⎡⎣ h ( t ) ⎤⎦ =
W ( p)
p
Đường quá độ:
Được ký hiệu là H(t), là phản ứng của phần tử khi tín hiệu tác động ở đầu vào là
nhiễu bậc thang có biên độ bằng A dạng A.1(t). Dựa vào nguyên lý xếp chồng của
phần tử tuyến tính:
H ( t ) = A.h ( t ) ⇒ L ( H ( t ) ) =
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
AW
. ( p)
p
6
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
•
Hàm quá độ xung (hàm trọng lượng) k(t): là phản ứng của phần tử khi đầu vào là
hàm δ(t).
L ⎡⎣δ ( t ) ⎤⎦ = 1 ⇒ L ⎡⎣ k ( t ) ⎤⎦ = W ( p )
• Đường quá độ xung K(t):là phản ứng của phần tử khi đầu vào là hàm A.δ(t)
Theo tính chất của δ(t) ta có thể viết:
t
∫0
x ( t ) = x ( t ) . δ ( t − τ ) .dτ =
t
∫0 x (τ )δ ( t − τ ).dτ
Trong đó x(τ) là giá trị hàm x(t) tại thời điểm t= τ và δ(t-τ) là giá trị hàm δ(t) được
phát tại thời điểm t= τ .
Theo nguyên lý xếp chồng, ta có thể xác định đáp ứng y(t) của phần tử:
y (t ) =
12/31/2009
t
∫0 x (τ ) k ( t − τ ) .dτ
Vũ Anh Đào - PTIT
7
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
•
Mối liên hệ giữa hàm quá độ h(t) và hàm trọng lượng k(t):
Ta nhận thấy L ⎡⎣ h ( t ) ⎤⎦ =
W ( p)
và L ⎡⎣ k ( t ) ⎤⎦ = W ( p )
p
Vì L ⎧
⎨
dh ⎫
⎬ = p.L {h ( t )}.
⎩ dt ⎭
Vậy:
12/31/2009
k (t ) = h '(t )
Vũ Anh Đào - PTIT
8
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
2.3 Đặc tính tần số của hệ thống
•
•
•
Đặc tính tần số của phần tử mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của
phần tử ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số dao động điều hòa tác động ở đầu
vào của phần tử.
Muốn tìm các đặc tính tần số của hệ thống, trước hết ta phải tìm hàm truyền đạt tần
số của hệ thống bằng cách thay p=jω vào hàm truyền đạt của nó
m
m−1
Ar jϕ(ω) b0.( jω) +b1.( jω) +... +bm−1. jω+bm
W( jω) A=(ω ) =eA A =
Av r v a0.( jω)n +a1.( jω)n−1 +... + an−1. jω+ an
Tách riêng phần thực, phần ảo của tử số và mẫu số trong (2.29) ta được:
R (ω ) + jI1 (ω )
jϕ ω
W ( jω ) = A (ω ) .e ( ) = 1
R2 (ω ) + jI 2 (ω )
Trong đó A (ω ) = Ar Av là đặc tính biên tần của phần tử; R1 (ω ) , R2 (ω ) là đặc tính
phần thực của tử số và mẫu số; I1 (ω ) , I 2 (ω ) là đặc tính phần ảo của tử số và mẫu số
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
9
Chương 2. Các đặc tính của hệ liên tục…
•
Tách phần thực và phần ảo của biểu thức trên ta được:
•
R (ω ) .R2 (ω ) + I1 (ω ) .I 2 (ω )
R2 (ω ) .I1 (ω ) − R1 (ω ) .I 2 (ω )
jϕ ω
A (ω ) .e ( ) = 1
+
j
R22 (ω ) + I 22 (ω )
R22 (ω ) + I 22 (ω )
Đặc tính phần thực của phần tử:
R (ω ) =
•
R22 (ω ) + I 22 (ω )
Đặc tính phần ảo của phần tử:
I (ω ) =
•
R1 (ω ) .R2 (ω ) + I1 (ω ) .I 2 (ω )
R2 (ω ) .I1 (ω ) − R1 (ω ) .I 2 (ω )
R22 (ω ) + I 22 (ω )
Ta nhận thấy R(ω) là hàm chẵn, nghĩa là R(ω) = R(-ω); còn I(ω) là hàm lẻ, nghĩa là
I(ω) = -R(-ω)
12/31/2009
Vũ Anh Đào - PTIT
10