Tài liệu BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT và TỪ BIẾN CỦA BÊ TÔNG cho các lớp cao học ngành Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp Ngô Thế Phong - ĐHXD LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Mục lục Mục lục..........................................................................................................................................................1 Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT......................................................................................................4 1. Sơ lược về các tính chất biến dạng của vật liệu:....................................................................................4 2. Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) Œ :.........................................................................4 3. Mô hình vật thể chùng đơn giản  :.........................................................................................................4 4. Mô hình 3 thông số:...............................................................................................................................4 a) Phương trình vi phân cơ bản:.............................................................................................................4 b) Trường hợp   const (từ biến):........................................................................................................6 c) Trường hợp   const   0 (chùng ứng suất):...................................................................................6 d) Trường hợp tải trọng bất kỳ (theo thời gian):     t  ....................................................................6 e) Trường hợp biến dạng bất kỳ (theo thời gian):     t  ...................................................................6 5. Quy luật chung của biến dạng tuyến tính:.............................................................................................7 6. Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát:.............................................................................................7 a) Nhắc lại một số quan hệ trong lý thuyết đàn hồi:..............................................................................7 b) Quan hệ ứng suất-biến dạng trong lít thuyết đàn hồi - nhớt:.............................................................9 7. Các phương pháp giải bài toán đàn hồi nhớt:......................................................................................10 a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere:..................................10 b)Phương pháp biến đổi Laplace:........................................................................................................10 c) Phương pháp tiệm cận của I.Iliusin:................................................................................................10 8. Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính:..............................................................................................11 a) Nguyên lý tương tự nhiệt độ - thời gian:.........................................................................................11 b) Nhiệt và mô hình 3 thông số:...........................................................................................................11 c) Các dạng bài toán nhiệt đàn hồi nhớt:.............................................................................................12 d) Xác định các thông số bằng thực nghiệm:.......................................................................................12 e) Phương pháp tải trọng nhiệt ảo cho trường hợp T thay đổi bậc thang (tải trọng không đổi):.........13 Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG.......................................................................................14 1. Những đặc điểm biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng dài hạn:.....................................14 2. Quan hệ ứng suất - biến dạng đối với lý thuyết tuyến tính:.................................................................14 3. Các phương án biểu diễn từ biến:........................................................................................................15 a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:....................................................................................................16 b) Lý thuyết di truyền đàn hồi:............................................................................................................16 c) Lý thuyết già:...................................................................................................................................16 4. Trạng thái ứng suất-biến dạng của thanh đồng chất trong điều kiện từ biến tuyến tính:.....................17 a) Dưới tác dụng của ngoại lực:...........................................................................................................17 b) Biến dạng cưỡng bức:......................................................................................................................17 5. Bài toán tổng quát của lý thuyết từ biến tuyến tính:............................................................................18 a) Quan hệ ứng suất- biến dạng:..........................................................................................................18 b) Trường hợp trạng thái ứng suất do tải trọng gây ra:........................................................................19 c) Trường hợp trạng thái ứng suất sự thay đổi của biến dạng gây ra:..................................................21 d) Ứng suất nhiệt có xét đến từ biến:...................................................................................................22 6. Quan hệ ứng suất-biến dạng theo lý thuyết già:..................................................................................24 a) Cách 1: chia nhỏ tích phân...............................................................................................................24 b) Cách 2:.............................................................................................................................................25 7. Ứng suất-biến dạng của bêtông và cốt thép theo lý thuyết già khi không nứt:....................................26 a) Ứng suất gây nên bởi M:.................................................................................................................26 b) Ứng suất gây nên bởi N đặt ở trọng tâm hình học của tiết diện:.....................................................27 c) Ứng suất do co ngót của bêtông:.....................................................................................................27 d) Ứng suất gây nên bởi lực ép trước trong BTCT ƯLT:....................................................................28 8. Tính chuyển vị của dầm tĩnh định:......................................................................................................28 a) Chuyển vị gây nên vởi các yếu tố lực tác dụng dài hạn:.................................................................28 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(2)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP b) Chuyển vị do co ngót của bêtông....................................................................................................29 9. Tính dầm tĩnh định theo lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:..................................................................30 10. Tính dầm bêtông cốt thép có vết nứt khi làm việc:............................................................................32 11. Tính hệ thanh BTCT siêu tĩnh theo phương pháp lực........................................................................34 a) Khái niệm chung:.............................................................................................................................34 b) Phương trình chính tắc trên cơ sở lý thuyết già cải tiến:.................................................................35 c) Trình tự tính toán:............................................................................................................................37 d) Tính toán theo sự chuyển vị gối tựa và co ngót:..............................................................................38 e) Phương pháp dựa trên cơ sở lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến:.......................................................38 f) Phương pháp lực trên cơ sở lý thuyết già cải tiến và phân nhỏ tích phân:.......................................39 g) Phương pháp đơn giản để tính hệ siêu tĩnh chịu chuyển vị cưỡng bức:..........................................41 h) Phương pháp chuyển vị để tính hệ thanh:.......................................................................................42 13. Xác định các đặc trưng tính toán.......................................................................................................42 14. Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………..42 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(3)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Phần 1: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT 1. Sơ lược về các tính chất biến dạng của vật liệu: - Có tải trọng thì có biến dạng đàn hồi ban đầu. - Giữ tải trọng thì biến dạng tăng - Dỡ tải thì có biến dạng dư - Các giá trị cụ thể phụ thuộc vào vật liệu cụ thể: thép ≠ chất dẻo ≠ gỗ ≠ bêtông - Có biến dạng thì có chùng ứng suất. - Một trong các phương pháp nghiên cứu các biến dạng trên là mô hình hóa vật liệu. 2. Mô hình vật thể từ biến đơn giản (mô hình lưu biến) Œ : - Đàn hồi lý tưởng:  dh  E - Nhớt lý tưởng:  nh  K - Vật thể từ biến: quan hệ ứng suất - biến dạng:    nh   dh   E  dh    E  K gọi là phương trình lưu biến.     K  nh     dh   nh Mo hinh Kelvin 1868 0 - Giải phương trình với   const   0 và t  0 thì   0 ta được:   E E   1  e  k t    là   phương trình biểu diễn từ biến. - Nếu   const   0    E tuân theo định luật Hook. - Mô hình khởi điểm: không có chùng ứng suất. 3. Mô hình vật thể chùng đơn giản  :    nh   dh   nh  dh   E     E  dh dh dh    n K trong đó   nh  Knh  nh   K    dh   nh n K E E - Giải phương trình với t  0 và   const ta có:    e  k t là phương trình biểu 0 diễn chùng ứng suất. 4. Mô hình 3 thông số: a) Phương trình vi phân cơ bản: Cả hai mô hình trước đều không thể hiện được tính chất thực của vật liệu  tăng thêm thông số: Mô hình Ž :Maxwell  nh   dh1      dh1 dh 2     nh   dh1   dh 2 E2 K E E K  1 2        E  E E  E E  E   K  1 2 1 2 1 2 nh nh   dh1  E1 dh1   dh 2  E 2  dh 2   hoặc nH E  n  Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(4)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP trong đó: H  E2 - môđun đàn hồi tức thời; E E1E2 - môđun đàn hồi lâu dài; E1  E2 n K - thời gian chùng ứng suất; E1  E2 Mô hình  :  nh   dh 2      nh dh1     nh   dh 2   dh1 K  E1  E 2  K  E1    hay nH E  n     E E   K  2 2 nh nh   dh1  E1 dh1   dh 2  E 2 dh 2   với H  E1  E2 ; E  E1; n  K E2 Mô hình  :  nh1   dh1    nh1   dh1   nh 2  KK K    nh1   nh 2   K1  K 2   2    1 2   E1 E1  nh1  Knh1  nh 2  Knh 2   dh1  E1 dh1  B n  A K1K 2 K2 với A  E ; B  K1  K 2 ; n  E 1 1 hay Mô hình ‘ :  nh1   nh 2        nh1 nh 2 dh1     nh1   dh1 KK K  K2  K 2 1   hoặc A  1 2   B n   E1 E1  nh1  Knh1  nh 2  Knh 2   dh1  E1 dh1 K1K 2 K1  K 2 với A  E ; B  K 2 ; n  E 1 1 Nhận xét: 1- Bậc của phương trình vi phân bằng số phần tử nhớt. 2- Khi không có phần tử đàn hồi mắc song song thì biến dạng dài hạn tăng lên vô cùng (mô hình  ) 3- Khi có phần tử đàn hồi mắc song song với phần tử nhớt thì biến dạng dài hạn là hữu hạn và xác định bởi môđun đàn hồi dài hạn. 4- Khi ứng suất tăng rất nhanh thì phần tử nhớt tỏ ra như là cứng. Khi đó hệ biến dạng theo môđun đàn hồi tức thời. 5- Trong ‘  hệ Œ không có phần tử đàn hồi mắc nối tiếp, môđun đàn hồi tức thời là lớn vô cùng. 6- Môđun đàn hồi tức thời luôn luôn lớn hơn môđun đàn hồi dài hạn. Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(5)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP 7- Trong ‘  hệŽ Œ không tồn tại biến dạng dư. - Hệ có nhiều thông số (phần tử) có thể mô tả đường cong biến dạng chính xác hơn nhưng tính toán phức tạp và không dễ xác định các thông số thực nghiệm. Ta dừng lại ở mô hình 3 thông số: nH E  n  - Khi quá trình biến dạng xảy ra rất chậm thì  0,  0 và ta có định luật Hooke với môđun đàn hồi dài hạn E. , . Khi đó có định luật Hooke với môđun đàn hồi - Khi quá trình xảy ra rất nhanh, bỏ qua  ,  so với  tức thời H. - Vật liệu tuân theo phương trình như vậy gọi là vật liệu đàn hồi nhớt. - Điều kiện ban đầu lấy là trạng thái tự nhiên, tức là khi ứng với biến dạng nhớt  nh  0 . Khi đó biến dạng của hệ sẽ là:  0   H b) Trường hợp   const (từ biến): - Từ phương trình: nH E     Et E    Hn  ; nghiệm sẽ là:   Ce  Hn Hn E (  E là nghiệm riêng) - Ở trạng thái ban đầu:    0  Et    1 1  C      ; suy ra:       1  1  e Hn H H E E E H 1  1   luôn âm vì H  E . H E   - Rỡ tải ở thời điểm t  t 0 ;    0 (chất tải  ở trạng thái đầu   0 ): - Ta thấy   Et0 Et Hn  E  t t0   C   0 e Hn     0 e Hn   Ce - Khi t   thì   0 vật thể quay về trạng thái ban đầu. c) Trường hợp   const   0 (chùng ứng suất): - Từ phương trình:   n E 0 ; với điều kiện  t 0  0 t ta có:   E     E  e  n 0 0 0 t - Ở thời điểm đầu:  0   0 H , vậy phương trình trên có thể viết thành:   E   H  E  e  n 0 0 d) Trường hợp tải trọng bất kỳ (theo thời gian):     t  - Biến dạng ở thời điểm t sẽ là:   t   e - Ở thời điểm đầu    0 ta có:   t    0  Et Hn E  t Hn e  1   Hn t      n   E Hn e d 0 1  Hn t      n     C  E   t  Hn e d 0   t    t  H  E Hn      e d - Tiến hành tích phân từng phần rồi rút gọn lại ta được:   t   H H 2n 0 t  E (a) E - Hàm số K  t     e  Hn  t   là hàm số ảnh hưởng của lực ở thời điểm  đến biến dạng ở thời điểm t, còn gọi là hàm di truyền. e) Trường hợp biến dạng bất kỳ (theo thời gian):     t  - Ở thời điêm t  0 vật liệu ở trạng thái tự nhiên. Giải phương trình vi phân: nH E    n ta được: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(6)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP   t   H  t   - Hàm số R  t     e  t H E n  t   n     e  t  n d (b) 0 là hàm số ảnh hưởng của biến dạng ở thời điểm  đến ứng suất ở thời điểm t. - Biểu thức (b) có thể coi là lời giải của phương trình tích phân (a) và ngược lại. 5. Quy luật chung của biến dạng tuyến tính: - Phương trình vi phân nH E    n mô tả biến dạng của vật liệu, gần với quan sát thực nghiệm, nhưng có khuyết điểm: Et  H  E   Hn   const - Xét trường hợp , tốc độ biến dạng là:  t    e  ngay sau khi đặt tải: nH 2  H  E  0    nH 2 trong khi đó thì hầu hết thí nghiệm đối với vật liệu khác nhau (gỗ, thép, bêtông…) đều cho đường cong tiệm cận với trục đứng. - Dạng đường cong đó không thể phù hợp với quy luật biến dạng tuyến tình, dù là có nhiều số hạng trong  n  m phương trình vi phân: a0  a1 a2  ...  an   b0  b1 b2  ...  bm  - Trường hợp   const nghiệm của phương trình này là một tổng các hàm mũ mà đạo hàm của nó không thể có giá trị vô hạn khi t  0 - Vậy có thể viết quy luật chung của biến dạng như sau:   t   ở đây t0 là thời điểm bắt đầu của lịch sử biến dạng, có thể lấy là thành chế tạo.  t H t    K  t      d t0 hoặc t0  0 coi như thời điểm hoàn  1 t t 0    K  t    d  - Khi   const   0 , ta có:   t    0   H  0 0 H      t   K t  t0  tốc độ biến dạng: 0 giả sử thời điểm đầu t 0 thì:  0  giả sử thời điểm đầu t 0  0 : K  t   K  t  (kéo hoặc nén mẫu). - Khi t   , ta có: t  Biểu thức này cho phép rút ra đường cong thực nghiệm của 0  1        0   K   d   0  E  H  0    K   d 0  1 1  E H ; trong đó: E – giá trị môđun dài hạn. 6. Trường hợp trạng thái ứng suất tổng quát: a) Nhắc lại một số quan hệ trong lý thuyết đàn hồi: - Phương trình vật lý – quan hệ của ứng suất-biến dạng:  xy 1 21     xx   1    xx   kk   xy   yx   xy   yy  zz E 1  1    yy   kk E 1   1    zz   kk  E   Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD  xz   zx  yz   zy E G  2 1      xz  xz E G  21    yz   yz  E G  kk   xx   yy   zz  -(7)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP  xx - Ten-xơ ứng suất: T   yx  zx - Ten-xơ cầu ứng suất: T 0  xx   0 D   yx  zx  xy  yy  zy 0  0 0  xy  yy   0  zy  xz  yz  zz 0 0 0 0 0 với  0   kk 3 - ưs pháp TB. 0  xz  yz  T  T 0 ;  zz   0 T  T 0  D 1 - Gọi thành phần của D là S ij , có thể viết thành: Sij   ij   ij kk với 3  xx 1  xy 2  ij  1 khi i  j  ij  0 khi i  j 1  xz 2 1 1  yz (thừa số để biểu diễn nhất quán sau này) 2 2 1  yx  yy 2 1 1  zx  zy  zz 2 2    yy   zz  kk - Biến dạng trung bình:  0  xx  3 3 0 0 0 - Ten-xơ cầu biến dạng: T 0  0  0 0 đặc trưng cho sự thay đổi thể tích. 0 0 0 - Ten-xơ biến dạng: T   xx   0 D  1  yx 2 1  zx 2 1  xy 2  yy   0 1  zy 2 1  xz 2 1  yz 2 T  T 0  D   T  T 0 ;  zz   0 1 - Gọi thành phần của D  là eij , có thể viết thành: eij  eij   ij ekk với 3  ij  1 khi i  j  ij  0 khi i  j 1  1 Sij  Sij E 2G 1 1  2  kk   kk , với K 0  E - Từ phương trình vật lý rút ra:  kk  K0 E 1  2 nếu v = 0.5 thì không có sự thay đổi về thể tích vì  kk  0 - Rút ra quan hệ: eij  b) Quan hệ ứng suất-biến dạng trong lít thuyết đàn hồi - nhớt:   m P  a  a  ...  a  0 1 m  t t m là các toán tử vi phân. Quan hệ vi phân: Qeij  PSij trong đó:  n Q  b  b   ...  b  0 1 n  t t n  Sij, eij là các thành phần của tensơ ứng suất và biến dạng giống như trên 1 1    ; Q - Mô hình Maxwell: P  K E t t - Mô hình Kenvin: P  1; Q  E  K Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD .  t -(8)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP t  Sij  R  t ,  deij    0 Quan hệ tích phân: năm 1874 Bolsman đề nghị:  ; với R  t ,  và R1  t ,   t   R  t ,  de   1 kk  kk 0  là các hàm xác định bằng thực nghiệm, được gọi là hàm chùng ứng suất cắt và hàm biến dạng thể tích. - Đối với vật liệu già, môđun đàn hồi và các đặc trưng cơ học khác không phụ thuộc thời điểm đặt lực. Trạng thái ứng suất biến dạng của vật thể chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian từ lúc đặt tải đến thời t  Sij  R t    deij    0 điểm tính toán  t    . Do vậy:  Ngược lại ta có: t   R  t    de   1 kk  kk 0  t  e  Π  t    dSij    ij  0 ; với   t ,  và 1  t ,  là các hàm từ biến khi cắt và thay đổi thể tích.  t   Π  t    d   1 kk  kk 0        t - Tích phân từng phần biểu thức S ij   R t    0 Sij  R0eij  t   t  R t    e ij   d ; deij d d ta được: R t   0 dR dt - Nếu đòi hỏi ở thời điểm đầu vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: R0  2G . Đặt Γ  t    dR ta dt được: Sij  2Geij  t   t  Γ  t    eij   d ; tương tự:  kk  K 0 kk  t   0 với Γ 1  t    t  Γ  t    1 kk   d ; 0 dR1 dt - Ngược lại: 1 eij  Sij  t   2G t  K t  S ij   d 0  kk 1   kk  t   K0 t  K  t    1 kk    d 0 dΠ dΠ1   K  t   dt ; K1  t   dt với  1 1 ; Π1  0    Π  0   2G K0 7. Các phương pháp giải bài toán đàn hồi nhớt: a)Phương pháp Voltere (phương pháp tương tự đàn hồi) – Nguyên lý Voltere- Các phương trình cân bằng và phương trình hình học giống như trong lý thuyết đàn hồi. - Các phương trình vật lý: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(9)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP ~ Sij  2Geij   ~ Sij  2Geij  t    Γ  t    eij   d  kk  K kk  0 viết lại:  ~  1~ t G G Γ   K   t   Γ  t       d  2 0 kk kk 0 1  kk ~ ~   K  K 0  Γ1 t với t ~  Γ f  t   Γ  t    f    d  0  t ~  Γ1 f  t   Γ1  t    f   d 0    - Như vậy lời giải bài toán đàn hồi nhớt về hình thức trùng với bài toán đàn hồi. Khác nhau chỉ ở chỗ thay ~ ~ cho các hằng số đàn hồi G , K 0 ta đưa vào các toán tử tương ứng G , K . ~ ~ - Các toán tử G , K thực hiện các phép tính theo thời gian, còn lời giải đàn hồi có liên quan đến phép tính theo tọa độ. Như vậy phương pháp Voltere không giải được cho bài toán vật thể không đồng chất vì trong ~ ~ các toán tử G , K khi đó lại có chứa các hàm phụ thuộc tọa độ. b)Phương pháp biến đổi Laplace: - Có hàm f  t  , qua phép biến đổi toán tử Laplace ta có được ảnh của nó: Phép biến đổi Laplace: f  p    e  pt f  t  dt 0   pt Phép biến đổi Laplace-Karson: f *  p   p  e f  t  dt ; p- thông số thực 0   - Cho f p -ảnh sẽ tìm được f  t  -gốc. - Thực hiện phép biến đổi Laplace đối với các phương trình và điều kiện biên, ta có ảnh của chúng. Thí dụ đối với phương trình vật lý ta có: Sij   2G  Γ  eij ;  kk   K 0  Γ1   kk - Có thể viết: 2G   2G   ; K   K 0  Γ 1 . - Ta thấy phép biến đổi Laplace đã loại thời gian ra khỏi các phương trình nhưng có đưa thêm vào thông số p. Phương pháp giải: Xây dựng lời giải tương tự đàn hồi với các môđun G, K  trong đó các ứng suất, biến dạng, chuyển vị… đều được thay bằng ảnh của nó qua phép biến đổi Laplace. Sau đó tìm lại gốc (tức là các hàm cần tìm vừa phụ thuộc thời gian vừa phụ thuộc tọa độ) qua phép biến đổi Laplace ngược. Khó khăn lớn nhất của việc thực hiện phương pháp này là việc tìm gốc của ảnh. Trong nhiều trường hợp không làm được vì khó khăn toán học. Về nguyên lý thì phương pháp này áp dụng được cho bài toán vật thể không đồng chất. Vì phép biến đổi Laplace thực hiện đổi thông số t ra p chứ không tách thời gian ra khỏi tọa độ. c) Phương pháp tiệm cận của I.Iliusin :   pt - Phương pháp này sử dụng phép biến độ Laplace-Karson: f *  p   p  e f  t  dt 0 - Đặc điểm: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(10)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP + Nếu f  t   const thì f  p  f  t  + Nếu đối với t bất kỳ và hàm f  t  dương , nằm trong khoảng không đổi: f1  f  t   f 2 thì ảnh cũng nằm trong giới hạn đó. + Nếu f t cho dưới dạng tích phân: f  t    t 0 F  t    d   thì ảnh của nó là tích 2 ảnh: f  p   F  p   p  . Sự chuyển đổi này chỉ tồn tại khi     0 . + Ngược lại, nếu ảnh cho ở dạng tích như trên thì gốc cũng được biểu diễn qua tích phân như trên. - Nội dung của phương pháp này là qua phép biến đổi Laplace-Karson khử biến số thời gian t trong các biểu thức: phương trình cân bằng, điều kiện biên, phương trình vật lý, phương trình hình học giống như trong phép biến đổi Laplace. Sau đó xây dựng các lời giải tương tự đàn hồi và tìm lại gốc của nó. Trong đó đã có sự chuyển: 2G  R , Sij  Sij , eij  eij  Ở đây Iliusin sử dụng 2 thông số độc lập là  và  . Với những mối liên hệ như sau: 1  1  2    2   hay   1    với  là hằng số Lamé. 2  2G  3K   E  9 K 2    1  1 1    3 1     1     1 Có thể chuyển đổi các công thức của lý thuyết đàn hồi theo và K như sau:   E 9 K  2 1    1 1 1  2  E 3K  2   Vì   1 nên người ta khai triển các biểu thức của lời giải tương tự đàn hồi theo w thành các biểu thức đại số dễ dàng tìm thấy gốc của các ảnh. Đó là phương pháp gần đúng. 8. Lý thuyết nhiệt đàn hồi nhớt tuyến tính: - Vật liệu đàn hồi nhớt có tính chất cơ lý phụ thuộc vào nhiệt độ. - Kết cấu BTCT có thể sử dụng ở nhiệt độ dưới 200oC nhưng phải được kể đến nhiệt độ khi thiết kế. - Nhiệt độ tăng làm giảm cường độ và môđun đàn hồi. Theo một số nghiên cứu thì ở nhiệt độ 60-100 oC cường độ giảm 20-40% kéo dài > 6 giờ. a) Nguyên lý tương tự nhiệt độ - thời gian: - Khi tăng nhiệt độ, quá trình biến dạng xảy ra nhanh hơn. Người ta đề nghị dùng nguyên lý tương tự t dt nhiệt độ - thời gian qua biểu thức: t   0 a (thay thời gian bằng thời gian quy đổi t’). T ở biểu thức trên, aT là hàm số nào đó của nhiệt độ, đặc trưng cho sự thay đổi của các thông số biến dạng (thí dụ, sự thay đổi của các thông số đàn hồi và nhớt trong các mô hình đàn hồi - nhớt). - Như vậy trong khi giải bài toán nhiệt đàn hồi nhớt ta giải như bài toán nhiệt đàn hồi nhưng thay thời gian t bằng thời gian quy đổi t’. Nguyên lý này đã được dùng trong thí nghiệm để rút ngắn thời gian đo các đặc trưng từ biến, nhưng nhiều học giả còn nghi ngờ… b) Nhiệt và mô hình 3 thông số:  E1  E1  T    E2  E2  T  K  K  T   - Nhiệt độ là hàm số của t nên các thông số cũng là hàm số của t. - Lập phương trình lưu biến trên cơ sở: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(11)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP    1   2  E  1  E2 KE    T t   2    T  t      21    1   2  T  t  1  K E1 K  E1 E1    E  ;   K  E  1 1 2 2 2 2  1  E  1  E2 KE  1   21  - Đặt     T  t  , ta có phương trình lưu biến:  2   K E1 K  E1 E1   - Nếu giả thiết môi trường là đoạn nhiệt, tức là E1  0 (hoặc môđun đàn hồi tức thời thay đổi ít khi có sự thay đổi nhiệt độ, hoặc nhiệt độ thay đổi trong khoảng hẹp) thì phương trình lưu biến có dạng: E  1  E2   2   1    K E1 K   E1  - Nghiệm của phương trình trong điều kiện đầu    t  t  e 0 E1 t E2 dt K t 0  t  e K t 0 t 0  0;  t 0  0 là: E2 dt K dt t  1 - Nếu cho   t   1 ta có biến dạng toàn phần: F  t   e 0 E1 E2 dt K  t  0 K e 0 t t E2 dt K dt 1 - biến dạng đàn hồi khi  = 1 E1 E  2t 1 1   1 e K - Khi nhiệt độ là hằng số: F  t   E1 E2   gọi:   . Ta   1 E2 E   2t  1  e K  - b.dạng từ biến khi      =1 Ct   1 E2 E   2t  1  e K  - độ từ biến khi     quá trình là đẳng nhiệt c) Các dạng bài toán nhiệt đàn hồi nhớt: 1. Bỏ qua sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu khi nhiệt độ môi trường thay đổi. 2. Kể đến sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu nhưng trường nhiệt độ là đồng nhất và không ổn định. 3. Kể đến sự thay đổi tính chất cơ học của vật liệu nhưng trường nhiệt độ là không đồng nhất và không ổn định. - Loại bài toán thứ 1: có thể dùng các phương pháp đã nói ở trên để giải. Trong đó biểu thức biến dạng phải thêm phần T . - Loại bài toán thứ 2: nhiệt độ không phụ thuộc tọa độ, do đó nguyên lý Voltere có thể áp dụng được. - Loại bài toán thứ 3: nhiệt độ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. Ở đây nguyên lý Voltere và phép biến đổi toán tử đều không dùng được vì các phép tính theo thời gian và không gian là phụ thuộc. Vấn đề này bao gồm cả trường hợp phải giản bài toán cơ học đồng thời với bài toán truyền nhiệt. d) Xác định các thông số bằng thực nghiệm: - Xác định E1 và E2: E  2t  1 1  1 1 1 1 1 Ft   1  e K ; F  0    0  E1  ; F      E2   E1 E2  E1 0 E1 E2   0   Phải đo được  0 là biến dạng ngay sau khi đặt tải. - Xác định K: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(12)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP  2t  1    0  1 e K   K   E2  ln   E E2t 1 1  E2     0  ở mỗi thời điểm t ta có 1 giá trị K. Người ta thấy rằng ở mọi thang nhiệt độ khác nhau giá trị K thay đổi theo t: K  K max 1  e  t . Với  là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường.   e) Phương pháp tải trọng nhiệt ảo cho trường hợp T thay đổi bậc thang (tải trọng không đổi): Giả thiết nhiệt độ thay đổi hình bậc thang: - Ở thang nhiệt độ T1 các thông số là E21 và K1. - Ở thang nhiệt độ T2 trong khoảng thời gian t1, t2 các thông số là E22 và K2. - Ở thang nhiệt độ T3 trong khoảng thời gian t2, t3 các thông số là E23 và K3. - Từ thời điểm t1 nhiệt độ tăng lên T2. Khi đó biến dạng tăng và tốc độ từ biến càng tăng lên. Cũng lý luận tương tự khi nhiệt độ giảm ở thời điềm t3. - Để có đường cong từ biến C(t) như trên, ta có thể tưởng tượng răng ở thời điểm t1 có 1 tải trọng ảo không đổi P tác dụng vào hệ. Khí E 22 đó vật có thông số tốc độ biến dạng là: n 2  K2 - Biến dạng từ biến ở thời điểm t nằm giữa t1, t2 sẽ là: C  t   C  t1    1  P 1  e  n2  t  t1  E21  - Tải trọng ảo P được xác định từ điều kiện: khi t   ảnh hưởng của nhiệt độ T1 đến biến dạng từ biến phải không còn nữa, nghĩa là biến dạng từ biến chỉ phụ thuộc vào E22 và có giá trị cuối cùng là khi T  T2 . - Từ đó rút ra:  1  P 1 1   1  e  n1t1 E21 E22 E21 - Thay trở lại biểu thức tính Ct   ở trên ta có  1 E 22  Ct  trong khoảng (t1, t2) như sau:    1  1 1 Ct   1  e  n1t1    1  e  n1t1  1  e  n2  t  t1  E21 E21  E22   - Từ công thức trên ta thấy ảnh hưởng của T1 (qua E21 và n1) vào từ biến ở giai đoạn sau (t1, t2). Người ta gọi là tính di truyền của nhiệt độ trong quá trình biến dạng. - Tương tự ta có thể tìm được Ct    Ct  1 1  e  n1t1 E21  trong khoảng (t2, t3):     1  1   1  e  n1t1  1  e  n2  t  t1   E21  E22       1  1 1  1    1  e  n1t1    1  e  n1t1  1  e  n2  t  t1   1  e  n3  t  t 3  E21 E21    E22   E23   1   C  ti 1   1  e  ni  t  t i 1  - Nếu tính lần lượt ta nhận được : C  ti   C  ti 1    E  2i       Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD   -(13)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP Phần 2: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG 1. Những đặc điểm biến dạng của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng dài hạn: - Biến dạng toàn phần khi tải trọng không đổi theo thời gian:  *  t    dh     tb  t ,   - thời điểm đặt tải  dh   - biến dạng đàn trong đó: hồi tức thời - Tồn tại một cường độ dài dạn của bêtông: R dh + Khi   Rdh biến dạng từ biến tắt dần + Khi   Rdh biến dạng từ biến phát triển và kết thúc bằng phá hoại mẫu thử. Đối với bêtông ở tuổi 28 ngày: Rdh  0.8Rlt ; Rlt  0.78 R - Quan hệ giữa ứng suất và  dh   là tuyến tính. Trong khi đó quan hệ giữa ứng suất và  tb  t ,   nói chung là không tuyến tính. Trong đó tỷ số  R càng lớn thì càng ít tuyến tính.   0.5 Rlt Trong tính toán có thể coi gần đúng: khi  có thể  k  0.8Rk dùng lý thuyết biến dạng từ biến tuyến tính.   2    dh  1  R- Rỡ tải:  dh Biến dạng từ biến là biến dạng khôi phục nhưng lệch pha với tải trọng. Tải trọng đã hết nhưng biến dạng vẫn tiếp diễn. - Nguyên lý cộng tác dụng: Đối với biến dạng từ biến tuyến tính tồn tại nguyên lý cộng tác dụng:  *  t    *  t, 1    *  t , 2    *  t, 3  2. Quan hệ ứng suất - biến dạng đối với lý thuyết tuyến tính: - Giả thiết: đồng chất đẳng hướng, biến dạng nhỏ  có thể áp dụng nguyên lí cộng tác dụng. • Xét biến dạng toàn phần do   1 tác dụng:   t,   1  C t,  E   1 - biến dạng đàn hồi tức thời; E   C  t ,   - độ từ biến. 1 - Việc phân biệt và C  t ,   trong thí nghiệm không E   trong đó: phải là dễ. - Có thể biểu diễn:   t ,    1 1    t ,    ; với   t ,   - đặc trưng từ biến. E   Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(14)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - So sánh hai biểu thức thì thấy:   t ,    E    C  t ,   ; thực chất thì:  C  t,    t ,    tb   E    C  t ,    dh 1 E   • Biến dạng toàn phần ở thời điểm t do ứng suất không đổi  tác dụng ở thời điểm 1:  *  t     1     t ,  1  t   t  *   t ,   d - Trường hợp ứng suất thay đổi:   t     1     t ,  1     1  - Tính tích phân từng phần biểu thức trên, với chú ý E  t   1   t , t  ta được:  * t   t E t   t   t 1   t ,   d  - Vì biến dạng luôn giảm theo tuổi đặt tải nên:   t ,    0  biến dạng toàn phần luôn lớn hơn biến  dạng đàn hồi tức thời. • Biến dạng cắt thuần túy: tương tự như biến dạng dọc trục:  *t  τ t   G t    τ   t 1  1   G      t ,   d   trong đó: G  t  - môdun cắt;   t ,  - độ từ biến khi cắt; - Trong lý thuyết đàn hồi có quan hệ: G    E   21   1    với:  1   - hệ số Poisson trong giai đoạn đàn hồi.  1   C  t ,    với - Để có quan hệ   t ,  và C  t ,   trong giai đoạn từ biến, ta so sánh   E    1 1  1   G      t ,   : thay E   bằng C  t ,   và G   bằng  (t ,  ) trong biểu thức đàn hồi:   1 1    t ,  21   2   C  t ,     t ,   2C  t ,  1   2    với:  2   - hệ số Poisson trong giai đoạn từ biến. 21   1    1    t ,    2C  t ,  1   2     - Tính: G   E    1       2   C  t ,     1   2   C  t ,     2  t ,    1  t ,     E      E   với:  1  t ,   - Cuối cùng có:  1     2   C  t ,   E   t  1   1  t   τ t     τ t    t ,    1  t ,   d   1 E t      *  t   2 3. Các phương án biểu diễn từ biến: Tồn tại 3 phương án chính: - Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến (lý thuyết di truyền già) - Lý thuyết di truyền đàn hồi - Lý thuyết già a) Lý thuyết vật thể đàn hồi từ biến: - Theo Aruchiunhian.: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(15)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP   A   C  t ,      f  t      C 0  1  1  e   t      trong đó:    - hệ số già: khi  tăng thì  giảm; f  t    - hàm số xét đến độ dài tác dụng của tải trọng; - Môđun đàn hồi theo Aruchiunhian : E    E gh 1   e t  với: E gh - giá trị giới hạn của môđun đàn hồi bêtông;  ,  - các hệ số thực nghiệm; - Như vậy có 6 hằng số: E gh , C 0 , A1 ,  ,  ,  .  - Khi t   thì C  t ,     C 0   A1   là giá trị giới hạn độ từ biến.   Đặc điểm: đường cong độ từ biến không song song với nhau. Nó chỉ trở thành gần song song khi từ biến gần tắt. - Theo Prokopovits: C  t ,    C 0  Ae  t 1  e   t   - Alexandrovski đề nghị biểu thức với nhiều thông số hơn nhằm tiệm cận hơn với đường cong thực nghiệm. Tuy nhiên việc xác định các thông số cũng vất vả hơn.    b) Lý thuyết di truyền đàn hồi: t  t   t ,   *    t d , nếu cho - Từ công thức:   t    E t   1 E  E  t   E 0 và     C 0 , tức là chỉ đặt tải khi bêtông đã có tuổi khá lớn và quá trình già đi của bêtông coi như kết thúc. (Thực ra nó thích hợp với polime.) Sau khi biến đổi, công thức trên trở thành: t  t  * t    C 0    t  e   t   d ; C  t ,    C0 1  e   t   0  E0  Nhận xét: đường cong C  t ,   chỉ là sự tịnh tiến trên trục hoành. c) Lý thuyết già: - Theo lý thuyết già thì các đường cong độ từ biến song song với nhau. Có thể suy đường cong ở tuổi  từ đường cong ở tuổi 1: C  t ,    C  t   C   - Do đó:   1  C t      E 0    *  t     0    t 0  d  t   1  C  t   C     d   d  E t   (coi thời điểm đầu là 0) - Khi dùng lý thuyết già, thường biểu diễn qua đặc trưng từ biến :  t    0 E 0 t 1    t    0 d  t  d  1   t          d E 0  E t     - Nếu coi môđun đàn hồi không đổi thì:   0 1    t    1  t  E 0 E 0 Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD t 0 d  t  1    t       d d -(16)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP - Lý thuyết già này có sai số vì chấp nhận sự song song của đường cong độ từ biến. Do đó sinh ra lý thuyết già cải tiến. - Tính không song song thể hiện chủ yếu ở đoạn đầu đường cong, tức là khi vừa mới chất tải. Do vậy phải thêm 1 đoạn C   : C  t ,    C  t   C    C    C  t   C  1     t    0 E 0 t 1    t    0 d  t  d E 0  - Nếu giả thiết: E  t    t    0 E 0 1  k0   t  , ta có: 1 E t  1    t     1   t      1        d E 0  E t      t 0 d  t  1    t      1    k 0   d d biến đổi cuối cùng:  t  1    t  1    t    1    k 0  E  0    t 0 d  t      d  d  4. Trạng thái ứng suất-biến dạng của thanh đồng chất trong điều kiện từ biến tuyến tính: a) Dưới tác dụng của ngoại lực: - Điều kiện cân bằng:  *  t   P t  F P t  F - Nếu ở thời điểm t tác dụng P  t  thì ứng suất tức thời:   t   có nghĩa là:  *  t     t   từ biến không ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất.  x t dU     U   t    x  t  dx   x  t   E t  dx   t ,   d  1 t P t  l   t ,   d ; với U  t   - Với U   l , ta có: U   t   U  t   U   E   là chuyển vị đàn 1 FE  t   - Biến dạng:  x   t   x    hồi tức thời. - Khi P t   const , ta có: U   t   U  1  1    t ,  1   Nhận xét: Nếu trạng thái ứng suất không phụ thuộc từ biến thì biến dạng do từ biến chỉ thêm thừa số 1    t ,  1   khi tải trọng không phụ thuộc thời gian. b) Biến dạng cưỡng bức: - Thí dụ 1 thanh bị ngàm chịu sự thay đổi nhiệt độ T  t  , ta có biến dạng:  0  t   T  t   và ứng suất  *  t  - Dùng quan hệ:    t     t   0 t   t E t  0. t   - Vậy:   t   E  t      1 t   1       t ,   d . Vì chiều dài thanh không đổi nên:    t ,   d  E  t   0  t  (Phương trình Voltere loại 2)  - Nghiệm của phương trình trên có dạng:    t   E t    0  t    t  1  0   R  t ,   d    Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(17)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP trong đó R  t ,   là hàm giải được theo lý thuyết phương trình tích phân dạng Voltere. - Khi  1  t ta có lời giải của bài toán đàn hồi tức thời:   t   E  t   0  t  - Từ đó ta có:    t   Et  t  1  0   R  t ,   d     t  - Khi biến dạng cưỡng bức là ổn định (không thay đổi theo thời gian), tức là:   t   E  t   0  1    t ,    0 . Lại vì E  t  thay đổi đơn điệu nên:    t     t  (chùng với điều kiện: khi t   1 thì  ứng suất) 5. Bài toán tổng quát của lý thuyết từ biến tuyến tính: a) Quan hệ ứng suất- biến dạng: - Giả sử ở thời điểm  1 (tuổi  1 ) có tác dụng  x  1  không đổi theo thời gian. Biến dạng ngang có biến dạng đàn hồi tức thời và từ biến. - Phần biến dạng ngang đàn hồi tức thời là:   1  1   x  1  E  1  Phần biến dạng ngang từ biến là:   2  t ,  1  C  t ,  1   x  1  trong đó:  1  1  ;  2  t , 1  là các hệ số nở ngang tương ứng với phần biến dạng đàn hồi và biến dạng từ biến.  1  1  chỉ phụ thuộc tuổi  1 còn  2  t , 1  thì phụ thuộc cả thời gian tác dụng tải trọng  t   1  . - Biến dạng ngang toàn phần do  x  1  gây ra là:  x  1   1  1    2  t , 1    t , 1   E  1  chú ý rằng C  t ,  1     t ,  1  E  1   z t   y t   - Khi  x thay đổi theo thời gian:  x   x  t  thì biến dạng ngang toàn phần sẽ là: t  t   1     2  t ,     t ,     z  t    y  t    1  t  x   x    d 1 E t    E     ,  ,  - Khi có cùng 1 lúc 3 thành phần ứng suất x y z tác dụng:   x t  1  1  t    x  t   1  t   k  t  t   E t      t ,     1  t ,      k     1  t ,   d  x     1      t     t     t     t  x y z  k 1   C  t,  trong đó:   t ,    E     1     1  t ,    E     2  t ,   C  t ,    - Từ kết quả ở mục 2 suy ra biến dạng trượt:  1   1  t   τ xy  t   xy  t   2 E t   từ đó suy ra  y  t  ,  z  t  ,  yz  t  ,  Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD xz  t  t 1 τ xy       t ,     1  t ,    d    -(18)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP b) Trường hợp trạng thái ứng suất do tải trọng gây ra: - Gọi bài toán đàn hồi tức thời là bài toán về trạng thái ứng suất biến dạng của vật thể với các hằng số đàn hồi phụ thuộc thời gian; các lực thể tích và bề mặt xem là tĩnh định, tức là coi thời gian là thông số. Đối với bài toán đó các phương trình cân băng, điều kiện biên, phương trình biến dạng liên tục, quan hệ ứng suất biến dạng vẫn giữ nguyên, chỉ phải thay E , bằng E  t  ,  t  . - Đối với bài toán từ biến thì các phương trình cân bằng, phương trình hình học vẫn giống như bài toán đàn hồi tức thời. Gọi các vectơ lực bề mặt và thể tích (đơn vị) là F  x, y , z , t  và K  x, y , z , t  . - Phương trình cân bằng:       t   xy  t   xz t x    K x t  0  y z  x       yx  t   y  t   yz  t     K y t  0  y z  x     zx  t   z  t   t   zy    K z t  0  x y z   - Điều kiện biến dạng liên tục của Saint-Venant biểu diễn qua các thành phần biến dạng: 6 phương trình.    2    t   2  y  t   2  xy t x    2  x y  x2  y ....................................................   2     yz  t   zx t   t   xy 2   x  t           yz x  x y z     .......... .......... .......... .......... .......... ..  - Thay các biểu thức  x  t  ,  y  t  ,  z  t  ,  xy  t  ,  yz  t  ,  xz  t  vào ta có phương trình biến dạng liên tục đối với môi trường từ biến biểu diễn qua ứng suất:  2 y  t   2 x  t   1  t    2 k  t   2 k  t        1  1  t    y 2  y2  x2  x2  2    2 y     t    2 k    2 k     E t      x         t ,      t ,       1  t ,   d      1 2 2 2 2   1 1  1 t  x x     y    y     2   2 xy t  x y  Et  1  1  t  t  1   2 xy      t ,    1  t ,   d  x  y  - Giả thiết lực khối là không đổi, đưa phương trình cân bằng vào ta có dạng sau của hệ 6 PT biến dạng liên tục. Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(19)- LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI NHỚT VÀ TỪ BIẾN CỦA BÊTÔNG VÀ BÊTÔNG CỐT THÉP  1  t   2 k  t    2 k     t ,       2   2    t ,     1  t ,      1   1  t    x  t        x    d  0 2 2    1   x x  E t       2  2   1  t    k t    k     t ,        2   2            t ,      t ,     1   1  t    y  t      d  y 1 2 2 1       E t      y  y      2  2  t    k t    k     t ,         1   1   1  t   2 z  t     2 z      t ,    1  t ,       d  0 2 2  1         z  z  E t        2  2  t      1 1    t   2   t     k  t     2       t ,     t ,      k     t ,       d  1 xy xy 1  E t    x y    x y   1        2  2  t    k t    k     t ,    1      2   2   d   E  t  1   1  t    yz  t    y  z      yz      t ,    1  t ,      y  z   1          2  2   1  t      k t     2  2    t ,    1  t ,      k     t ,   d   1   1  t    zx  t        zx   z x    z x   1        E t   - Trường hợp  1  t    2  t ,      const (tức là khi đó  1    hoặc   t ,    21    C  t ,   ) thì phương trình trên có dạng như sau:  1     2  t   2 k  t    2 k       t ,   2   1       t          1     d  0       x x 2 2   1     x  x  E t        2  2     t   k t    k     2     t ,   2   1         1     d  0 1     y  t      y 2 2 1   E t     y y       t   2 k  t    2 k       2     t ,    1  2   1       t          1     d  0     z z 2 2  1       z  z  E t        2  2     t    t ,    1 1    2   t     k  t     2    1       k    d  0     xy xy  E t    x y   x y  1         t   1   2 k  t    2 k       2     t ,   2          d  0  1     yz t       yz  1       y z   yz  1        E t    1  t   2 k  t    2 k       2     t ,   2           1     t      1    d  0      zx zx E  t   z  x  z  x   1                       hệ phương trình này là hệ phương trình tích phân dạng Voltere loại 2 có nhân: K  t,    1   E t    C t,     E    hệ phương trình đó không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm bằng 0. Do đó nghiệm duy nhất của hệ PT là: Người viết: Ngô Thế Phong – ĐHXD -(20)-