Tài liệu Bài giảng hàm số mũ và hàm số logarit

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO) Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT 1 NỘI DUNG BÀI HỌC Kiểm tra bài cũ TIẾT 1 1. Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit. 2. Một số giới hạn liên quan TIẾT 2 TIẾT 3 3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit 4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit Củng cố Bài tập làm thêm 2 KIỂM TRA BÀI CŨ: Câu hỏi: Viết công thức tính lãi kép. Áp dụng: Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi số tiền người đó nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 3 TRẢ LỜI: Công thức: C= A(1 + r)N A: Số tiền gửi ban đầu r: lãi suất N: Số kì hạn C: Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) Áp dụng: C= 15(1 + 0,0756)N N=2: C = 17 triệu 35 N=5: C = 21 triệu 59 4 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Câu 1: Tính các giá trị cho trong bảng sau x -2 0 1 2 2x 1 4 1 2 1 2 4 2 x log2 x 1 2 -1 1 0 2 1 4 2 2 1 2 5 1. Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit: a) Định nghĩa: Cho a là số thực dương, khác 1. + Hàm số y = ax, xác định trên R được gọi là hàm số mũ cơ số a. + Hàm số y = loga x, xác định trên (0; + ) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. b) Chú : + Hàm số y = ex kí hiệu y = exp(x). + Hàm số y =logx = log10x (hoặc y= lgx), + Hàm số y = lnx = logex . 6 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Câu 2: Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số: x 3 f ) y  log 3 x x g ) y  log 1 x a) y  5 b) y  4 4 c) y   x d) y   x e) y = xx . 3 h) y  log x 5 i) y = lnx j ) y  log x (2 x  1) 7 TRẢ LỜI x 3 a) y  5  b) y  4  x  5 3 1   4  x Hàm số mũ cơ số a = 3 5 x Hàm số mũ cơ số a = 1/4 Hàm số mũ cơ số a =  c) y   x d) y  x 3 e) y = xx . Không phải hàm số mũ Không phải hàm số mũ 8 TRẢ LỜI f ) y  log 3 x Hàm số lôgarit cơ số a = 3 g ) y  log 1 x Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4 4 h) y  log x 5 Không phải hàm số lôgarit i) y = lnx Hàm số lôgarit cơ số a = e j ) y  log x (2 x  1) Không phải hàm số lôgarit 9 2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ, hàm số lôgarit: a) Tính liên tục Các hàm số y = ax, y = logax liên tục trên tập xác định của nó: x0  R, lim a x  a x0 x  x0 x0  (0; ) , lim log a x  log a x0 x  x0 10 Ví dụ: Tính các giới hạn sau: a ) lim e 1 x x  b) lim  log 2 x  x 8  sin x  c) lim  ln  x 0 x   11 GIẢI a) Khi x  +   1/x  0. Do đó: 1 x lim e  e 0  1 x  b) lim  log 2 x   log 2 8  3 x 8 c) Khi x  0  Do đó : sin x lim 1 x 0 x  sin x  lim  ln  ln1  0  x 0 x   12 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 1) Các em đã biết: 1 x .  t Đặt: t t  1  1 lim  1    e ; lim  1    e x  x   t  t 1 x lim 1  x   e (1) x 0 1 ln(1  x) 2)  ln(1  x) x x Áp dụng công thức (1). Do tính liên tục của hàm số lôgarit, ta có: 1 ln(1  x) lim  lim ln(1  x) x  ln e  1 x 0 x 0 x 3) Đặt t = ex = t => ex = t + 1 => x = ln(1 + t ) Khi x  0 khi và chỉ t  0 Do đó: ex 1 t 1 lim  lim  lim 1 x 0 t 0 ln(1  t ) t 0 ln(1  t ) x t 13 Áp dụng: Tính các giới hạn sau: e3 x  2  e 2 a ) lim x x 0 ln(1  3 x) b) lim x x 0 14 GIẢI e3 x  2  e 2 e3 x .e 2  e 2 a ) lim  lim x x x 0 x 0  lim x 0 3x e 2 ( e 3 x  1) ( e  1) 2  3 e lim  3e x 3x x 0 ln(1  3 x) ln(1  3 x) b) lim  3lim 3 x 3x x 0 x 0 15 b) ĐỊNH LÝ 1: ln(1  x ) lim  1 (2) x 0 x e 1 lim  1 (3) x 0 x x 16 3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit: a) Đạo hàm của hàm số mũ: PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 a) Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số: b) Áp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= ex Cho x số gia x + y = f(x + x ) – f(x) = ex + x – ex = ex(ex – 1). x y e x (e x  1) ( e  1) x  lim  lim  e lim  ex x 0 x x 0 x 0 x x + Kết luận : (ex)’ = ex. 17 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 c) Chứng minh (ax)’ = ax. lna . Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e a= elna => ax = e(lna)x = ex.lna. Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp. Ta có: (a )'  (e x x ln a )'  e x ln a ( x. ln a )'  a . ln a x 18 Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) y = (x2 + 2x).ex. 2) y  e .sin x x 3) y  2 .( x  2) x 3 19 ĐỊNH LÝ 2: i) Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x  R và (ax)’ = ax .lna Đặc biệt: (ex)’ = ex ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = au(x) có đạo hàm trên J và (au(x))’ = u’(x).au(x).lna Đặc biệt: (eu(x))’ =u’(x)eu(x) . 20