Tài liệu Bài giảng giải tích hàm nhiều biến số (giải tích 2)

TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PT IT BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS. TS. Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013 M l Lêi nãi ®Çu Ch­¬ng 1. 1.2. Php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn sè Kh«ng gian Rn 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. C¸ php to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸ h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. T«p« 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hµm sè nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. MÆt Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. MÆt elipxoit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3. MÆt hypeboli mét tÇng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. MÆt hypeboli hai tÇng 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti 1.2.6. MÆt tr 1.2.7. MÆt nãn bË hai PT IT 1.1. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Giíi h¹n hµm hai biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Hµm liªn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n ¶u hµm nhiÒu biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1. §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2. Hµm kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. §¹o hµm theo ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph­¬ng vµ ®¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . 19 1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp 20 1.9. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n Êp ao 1.10. C«ng thø Taylor ña hµm hai biÕn sè 1.11. Hµm Èn 1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Cù trÞ ña hµm hai biÕn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.1.Cù trÞ kh«ng ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.12.2.Cù trÞ ã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 1.13. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.1.§Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.13.2.Ph­¬ng ph¸p t×m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Bµi tËp h­¬ng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ch­¬ng 2. 2.1. 41 TÝ h ph©n ph thué tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÝ h ph©n x¸ ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2. TÝ h ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 TÝ h ph©n kp 2.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.2. §iÒu kiÖn kh¶ tÝ h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3. C¸ tÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.4. §Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.5. C«ng thø ®æi biÕn 56 2.2.6. C«ng thø ®æi biÕn trong täa ®é ù 2.2.7. ng dng ña tÝ h ph©n kp 2.3. TÝ h ph©n béi ba 2.3.1. §Þnh nghÜa 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.2. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bµi tËp h­¬ng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ch­¬ng 3. 3.1. 41 2.1.1. PT IT 2.2. TÝnh ph©n béi TÝ h ph©n ®­êng vµ mÆt 73 TÝ h ph©n ®­êng lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2. TÝnh hÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 TÝnh ph©n ®­êng lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.2. NhËn xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 TÝnh hÊt ¬ hä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.4. C¸ h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2.5. Chó ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.6. C«ng thø Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.7. §Þnh lý bèn mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3. TÝ h ph©n mÆt lo¹i mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1. C¸ kh¸i niÖm vÒ mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.3. C«ng thø tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TÝnh ph©n mÆt lo¹i hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.1. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.2. C¸ h tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 PT IT 3.4. 3.2.3. 3.5. Quan hÖ gi÷a ¸ tÝ h ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1. C«ng thø Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.2. C«ng thø Ostrogradski 3.6. V t¬ r«ta vµ tr­êng thÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bµi tËp h­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ch­¬ng 4. 4.1. 4.2. 4.3. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n Kh¸i niªm hung 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.1. C¸ bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.2. §Þnh nghÜa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm 4.2.2. Ph­¬ng tr×nh t¸ h biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.3. Ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2.4. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.5. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1. §Þnh nghÜa vµ sù tån t¹i nghiÖm 4.3.2. Ph­¬ng tr×nh khuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.3. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.3.1. CÊu tró nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.3.1. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh Êp hai víi hÖ sè h»ng sè . . . . . . 126 4.4. HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.1. HÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 4.4.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 . . . . . . . . . . . 135 4.4.3. Ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n Êp 1 víi hÖ sè h»ng sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 . 136 Bµi tËp h­¬ng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 PT IT Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5 Lêi nãi ®Çu Trong ho¹t ®éng khoa hä vµ kü thuËt th­êng gÆp nhiÒu vÊn ®Ò ã liªn quan ®Õn hµm nhiÒu biÕn sè vµ ¸ øng dng ña hóng. Do vËy, gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè lµ mét m«n hä ®ang gi÷ mét vÞ trÝ quan träng trong ¸ lÜnh vù øng dng vµ trong hÖ thèng ¸ m«n hä ña Hä viÖn C«ng nghÖ B­u hÝnh ViÔn th«ng. C¸ kiÕn thø vµ ph­¬ng ph¸p tiÕp Ën ña gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè ®· hç trî hiÖu qu¶ ¸ kiÕn thø nÒn t¶ng ho ¸ m«n hä nh­ vËt lý, x¸ suÊt thèng kª, to¸n kü thuËt, to¸n rêi r¹ vµ ¸ m«n huyªn ngµnh kh¸ . Bµi gi¶ng "Gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè" ®­î biªn so¹n l¹i theo h­¬ng tr×nh qui ®Þnh ña Hä viÖn ho hÖ ®¹i hä huyªn ngµnh §iÖn tö-ViÔn th«ng-C«ng nghÖ th«ng tin víi h×nh thø ®µo t¹o theo tÝn hØ. Do ®èi t­îng sinh viªn rÊt ®a d¹ng víi tr×nh ®é ¬ b¶n kh¸ nhau, hóng t«i ®· è g¾ng t×m ¸ h tiÕp Ën ®¬n gi¶n vµ hîp lý ®Ó tr×nh bµy néi dung theo ph­¬ng ph¸p dÔ hiÓu h¬n, nh»m gióp ho sinh viªn n¾m ®­î ¸ kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt. PT IT §Ó võa «n tËp, võa tù kiÓm tra kiÕn thø vµ ®Ó h×nh dung ®­î mø ®é ña mét ®Ò thi hÕt m«n, sau mçi phÇn lý thuyÕt quan träng hóng t«i th­êng ®­a ra ¸ vÝ d minh häa hi tiÕt. Néi dung ®­î hia thµnh 4 h­¬ng. Ch­¬ng 1 dµnh ho php tÝnh vi ph©n ña hµm nhiÒu biÕn sè. Ch­¬ng 2 vµ 3 tr×nh bµy hi tiÕt vÒ tÝ h ph©n ®­êng vµ tÝ h ph©n mÆt. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ ¸ ph­¬ng ph¸p gi¶i ®­î ®­a ra trong h­¬ng 4. C¸ kh¸i niÖm vµ «ng thø ®­î tr×nh bµy t­¬ng ®èi ®¬n gi¶n vµ ®­î minh häa b»ng nhiÒu vÝ d víi ¸ h×nh vÏ sinh ®éng. C¸ høng minh khã ®­î l­î bít ã hän lä ®Ó gióp ho gi¸o tr×nh kh«ng qu¸ ång kÒnh nh­ng vÉn ®¶m b¶o ®­î , ®Ó tiÖn ho sinh viªn hä tËp huyªn s©u vµ tra øu ph v qu¸ tr×nh hä tËp ¸ m«n hä kh¸ . Cuèi mçi h­¬ng hä ®Òu ã ¸ bµi tËp ®Ó sinh viªn tù gi¶i nh»m gióp ¸ em hiÓu s©u s¾ h¬n vÒ lý thuyÕt vµ rÌn luyÖn kü n¨ng thù hµnh. T¸ gi¶ hy väng r»ng gi¸o tr×nh nµy ã Ý h ho ¸ em sinh viªn vµ ¸ b¹n ®ång nghiÖp trong qu¸ tr×nh hä tËp vµ gi¶ng d¹y vÒ m«n hä gi¶i tÝ h hµm nhiÒu biÕn sè. T¸ gi¶ òng ¸m ¬n mäi ý kiÕn gãp ý ®Ó gi¸o tr×nh bµi gi¶ng nµy ®­î hoµn thiÖn h¬n nh»m n©ng ao hÊt l­îng d¹y vµ hä m«n hä nµy. 11/2013, T¸ gi¶: PGS. TS. Ph¹m Ngä Anh 6 Ch­¬ng 1. php tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1.1. Kh«ng gian Rn 1.1.1. C¸ php to¸n Cho hai v t¬ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khi ®ã, ta nh¾ l¹i ¸ php to¸n quen thué trong kh«ng gian n hiÒu Rn : + Php éng vµ trõ: x ± y = (x1 ± y1 , x2 ± y2 , ..., xn ± yn ). + Php nh©n v t¬ víi 1 sè thù : λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ), ∀λ ∈ R. PT IT + Php nh©n v« h­íng 2 v t¬: hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn . Khi ®ã, ta ã v t¬ x vu«ng gã víi y khi vµ hØ khi x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = 0. + Gã gi÷a 2 v t¬ x 6= 0 vµ y 6= 0 x¸ ®Þnh bëi «ng thø : x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn p cos(x, y) = p 2 . x1 + x22 + ... + x2n y12 + y22 + ... + yn2 1.1.2. ChuÈn vµ hµm kho¶ng ¸ h. Cho v t¬ hiÖu bëi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn . Khi ®ã, huÈn ña v t¬ x lµ mét sè thù ®­î ký kxk vµ ®­î x¸ ®Þnh bëi kxk = q x21 + x22 + ... + x2n . ChuÈn ã ¸ tÝnh hÊt ¬ b¶n sau: + kxk ≥ 0 ∀x ∈ Rn vµ kxk = 0 khi vµ hØ khi x = 0. + kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ Rn , λ ∈ R. + kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn . Khi ®ã, kho¶ng ¸ h gi÷a x ∈ Rn vµ y ∈ Rn ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø d(x, y) = kx − yk. 1.1.3. T«p«. Cho x ∈ Rn , ǫ > 0. Khi ®ã 7 + B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk < ǫ} gäi lµ h×nh Çu më ã t©m t¹i ®iÓm x vµ b¸n kÝnh lµ ǫ. + B̄(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk ≤ ǫ} gäi lµ h×nh Çu ®ãng ã t©m t¹i ®iÓm x vµ b¸n kÝnh lµ ǫ. ∈ M ⊆ Rn gäi lµ ®iÓm trong, nªu tån t¹i mét h×nh Çu më B(x, ǫ) sao ho B(x, ǫ) ⊆ M . + §iÓm x TËp hîp ¸ ®iÓm trong ña M ®­î gäi lµ phÇn trong ña M vµ ký hiÖu bëi intM . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp më, nÕu intM = M . + Cho M ⊆ Rn . §iÓm x ®­î gäi lµ ®iÓm biªn ña M , nÕu víi mäi ǫ > 0 th× B(x, ǫ) høa nh÷ng ®iÓm thué M vµ nh÷ng ®iÓm kh«ng thué M . TËp hîp ¸ ®iÓm biªn ña M ®­î ký hiÖu lµ ∂M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ mét tËp ®ãng, nÕu ∂M ⊆ M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ bÞ hÆn bëi α > 0, nÕu kxk ≤ α ∀x ∈ M . + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp ompa t, nÕu M lµ tËp ®ãng vµ bÞ hÆn. 1.2. Hµm sè nhiÒu biÕn ∅ 6= D ⊆ Rn . Khi ®ã, ¸nh x¹ PT IT Cho f :D→R x¸ ®Þnh bëi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D 7−→ y = f (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ R ®­î gäi lµ mét hµm sè nhiÒu biÕn, TËp x1 , x2 , ..., xn ®­î gäi lµ ¸ VÝ d 1.1. Cho biÕn sè D ®­î gäi lµ ña hµm sè miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè f. R > 0. T×m miÒn x¸ ®Þnh ña hµm sè q f (x) = R2 − x21 − x22 − ... − x2n . Gi¶i. Theo ®Þnh nghÜa, miÒn x¸ ®Þnh D ®­î x¸ ®Þnh bëi D ={x ∈ Rn : R2 − x21 − x22 − ... − x2n ≥ 0} ={x ∈ Rn : kx − 0k2 ≤ R2 } =B̄(0, R). D­íi ®©y lµ mét sè mÆt bË 2 th­êng gÆp trong kh«ng gian R3 . 1.2.1. MÆt Çu Ph­¬ng tr×nh: (S) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 }. 8 f . C¸ sè z c I b O a PT IT x H×nh 1: MÆt Çu. Khi ®ã, ®iÓm I(a, b, c) gäi lµ t©m vµ R gäi lµ b¸n kÝnh ña mÆt Çu (S). 1.2.2. MÆt Elipxoit Ph­¬ng tr×nh: (E) : C¸ mÆt ¾t x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 (a, b, c > 0). a2 b c x2 y 2 + 2 = 1. a2 b 2 y z2 (Oyz) x = 0 : 2 + 2 = 1. b c x2 z 2 (Oxz) y = 0 : 2 + 2 = 1. a c (Oxy) z = 0 : 1.2.3. MÆt hypeboloit 1 tÇng Ph­¬ng tr×nh: (H1 ) : x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 (a, b, c > 0). a2 b c C¸ mÆt ¾t (Oxy) z = 0 : 9 x2 y 2 + 2 = 1. a2 b y z c b O a PT IT x H×nh 2: MÆt elipxoit. y2 z2 − 2 = 1. b2 c 2 x z2 (Oxz) y = 0 : 2 − 2 = 1. a c (Oyz) x = 0 : 1.2.4. MÆt hypeboloit 2 tÇng Ph­¬ng tr×nh: (H2 ) : §iÒu kiÖn C¸ mÆt ¾t x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1 (a, b, c > 0). a2 b c z2 − 1 ≥ 0 ⇔ z ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞). c2 y2 z2 − 2 = −1. b2 c 2 x z2 (Oxz) y = 0 : 2 − 2 = −1. a c 2 x y2 h2 (P ) z = h > c : 2 + 2 = 2 − 1. a b c (Oyz) x = 0 : 10 y z y b O a x PT IT H×nh 3: MÆt hypeboloit 1 tÇng. z c y O −c x H×nh 4: MÆt hypeboloit 2 tÇng. 1.2.5. MÆt paraboloit-elipti Ph­¬ng tr×nh: (P E) : x2 y 2 + = 2z (p, q > 0), p q 11 víi ®iÒu kiÖn z ≥ 0. C¸ mÆt ¾t (Oyz) x = 0 : y 2 = 2qz. (Oxz) y = 0 : x2 = 2pz. (P ) z = h > 0 : x2 y 2 + = 2h. p q z PT IT y O x H×nh 5: MÆt hypeboloit-elipti . 1.2.6. MÆt tr Ph­¬ng tr×nh: (Tz ) : f (x, y) = 0 song song víi tr Oz, (Ty ) : g(x, z) = 0 song song víi tr Oy, (Tx ) : f (y, z) = 0 song song víi tr Ox, trong ®ã f, g, h : D ⊆ R2 → R. 1.2.7. MÆt nãn bË hai Ph­¬ng tr×nh: (N) : x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0 (a, b, c > 0). a2 b c C¸ mÆt ¾t b (Oyz) x = 0 : y = ± z. c 12 z y O x H×nh 6: MÆt tr song song Oz . PT IT a (Oxz) y = 0 : x = ± z. c 2 2 x y h2 (P ) z = h > 0 : 2 + 2 = 2 . a b c 1.3. Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè §Ó hiÓu vÒ giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn sè trong kh«ng gian giíi h¹n ña hµm hai biÕn sè. Mét d·y ®iÓm t¾t lµ Rn , ta ã thÓ nghiªn øu th«ng qua {Mn } ⊂ R2 ®­î gäi lµ dÇn tíi ®iÓm M0 ∈ R2 , viÕt Mn → M0 khi n → ∞ hay lim Mn = M0 , nÕu víi mäi ǫ > 0 tån t¹i sè tù nhiªn n(ǫ) sao n→∞ ho Mn ∈ B(M0 , ǫ) ∀n ≥ n(ǫ). Trong tr­êng hîp ®Æ biÖt: NÕu khi lim xn = x0 vµ lim yn = y0 th× ®iÓm Mn (xn , yn ) → M0 (x0 , y0) n→∞ n→∞ n → ∞. Cho mét hµm 2 biÕn sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trong l©n Ën ña ®iÓm M0 ∈ R2 ã thÓ trõ ®iÓm M0 . Khi ®ã, sè m ®­î gäi lµ giíi h¹n ña hµm f (x, y) khi (x, y) dÇn tíi M0 (x0 , y0), ký hiÖu lim f (M) = m, nÕu víi mäi d·y ®iÓm bÊt kú {Mn } ⊂ R2 sao ho lim Mn = M0 th× n→∞ M →M0 lim f (Mn ) = m. n→∞ Ta ã thÓ høng minh ®­î r»ng: lim f (M) = m khi vµ hØ khi M →M0 ∀ǫ > 0, ∃δ > 0, ∀M ∈ B(M0 , δ) ⇒ |f (M) − m| < ǫ. 13 z y O PT IT x H×nh 7: MÆt nãn bË hai. VÝ d 1.2. T×m giíi h¹n I1 = Gi¶i. Hµm sè f (x, y) = x2 y 2x2 +y 2 x¸ ®Þnh trªn x2 y . (x,y)→(0,0) 2x2 + y 2 lim D = R2 \{(0, 0)}. Tõ bÊt ®¼ng thø x2 x2 1 ≤ 2 = ∀(x, y) ∈ D, 2 2 2x + y 2x 2 ta ã |f (x, y)| ≤ 12 |y| víi mäi (x, y) ∈ D . Do ®ã    x2 y   ≤ lim 1 |y| = 0. 0 ≤ lim  2 2 (x,y)→(0,0) 2x + y  (x,y)→(0,0) 2 VËy I1 = 0. VÝ d 1.3. T×m giíi h¹n I2 = xy . (x,y)→(0,0) 2x2 + y 2 lim Gi¶i. Hµm sè f (x, y) = xy 2x2 +y 2 x¸ ®Þnh trªn D = R2 \{(0, 0)}. Ta xt 2 tr­êng hîp ®Æ biÖt sau: 14 + §iÓm (x, y) ∈ d : y = x. Khi ®ã (x, y) → (0, 0) khi vµ hØ khi x → 0. Khi ®ã, ta ã xy x2 1 I2 = lim = lim = . x→0 2x2 + x2 (x,y)→(0,0) 2x2 + y 2 3 + §iÓm (x, y) ∈ d : y = 3x. Khi ®ã (x, y) → (0, 0) khi vµ hØ khi x → 0. Khi ®ã, ta ã I2 = xy 3x2 3 = lim = . x→0 2x2 + 9x2 (x,y)→(0,0) 2x2 + y 2 11 lim Do vËy I2 kh«ng tån t¹i. 1.4. Hµm sè liªn t Cho hµm sè + Hµm sè z = f (x, y) x¸ ®Þnh trªn miÒn D vµ ®iÓm M0 ∈ D . Khi ®ã, f liªn t t¹i ®iÓm M0 nÕu tån t¹i giíi h¹n lim f (M) = f (M0 ). M →M0 f liªn t trªn miÒn D nÕu f liªn t t¹i mäi ®iÓm M ∈ D . + Hµm sè f liªn t ®Òu trªn miÒn D nÕu víi mäi ǫ > 0, tån t¹i δ > 0 sao ho PT IT + Hµm sè ∀(x, y), (x′ , y ′) ∈ D : k(x, y) − (x′ , y ′ )k < δ ⇒ |f (x, y) − f (x′ , y ′)| < ǫ. B»ng ¸ h dïng ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau. NhËn xt 1.4. + NÕu hµm f : D ⊆ R2 → R liªn t ®Òu trªn miÒn D, th× f liªn t trªn miÒn D . §iÒu ng­î l¹i kh«ng ®óng. + NÕu f liªn t trªn miÒn D + NÕu f liªn t trªn miÒn ompa t vµ D lµ tËp ompa t, th× D , th× f f liªn t ®Òu trªn miÒn D. ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt trªn miÒn D. 1.5. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn ña hµm nhiÒu biÕn sè Cho hµm sè z = f (x) x¸ ®Þnh trªn miÒn D ⊆ Rn vµ ®iÓm x̄ = (x̄1 , x̄2 , ..., x̄n ) ∈ D . 1.5.1. §¹o hµm riªng NÕu hµm mét biÕn sè ®¹o hµm riªng ña f x1 7−→ f (x1 , x̄2 , ..., x̄n ) ã ®¹o hµm t¹i x1 , th× ®¹o hµm ®ã ®­î gäi lµ theo Èn x1 t¹i ®iÓm x̄ vµ ®­î ký hiÖu fx′ 1 (x̄) hay ∂f (x̄). ∂x1 B»ng ¸ h hiÓu t­¬ng tù, ta òng ã ¸ ®¹o hµm riªng ña x̄ vµ ®­î ký hiÖu fx′ i (x̄) hay 15 ∂f (x̄). ∂xi f theo Èn xi (i = 1, 2, ..., n) t¹i ®iÓm VÝ d 1.5. T×m ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm sè sau: f (x, y) = x2 tan(x3 + 2y). Gi¶i. ∂f 1 3x4 = 2x tan(x3 + 2y) + x2 . 2 3 .3x2 = 2x tan(x3 + 2y) + . ∂x cos (x + 2y) cos2 (x3 + 2y) ∂f 1 2x2 2 =x . 2 3 .2 = . ∂y cos (x + 2y) cos2 (x3 + 2y) 1.5.2. Hµm kh¶ vi Cho hµm nhiÒu biÕn + Víi mçi f : D ⊆ Rn → R vµ ®iÓm x̄ = (x̄1 , x̄2 , ..., x̄n ) ∈ D . x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ D , ®Æt ∆xi = xi − x̄i . PT IT Khi ®ã ∆f = f (x̄1 + ∆x1 , x̄2 + ∆x2 , ..., x̄n + ∆xn ) − f (x̄1 , x̄2 , ..., x̄n ) ®­î gäi lµ sè gia ña hµm sè t¹i ®iÓm x̄. + NÕu sè gia ña hµm sè ã d¹ng ∆f = A1 ∆x1 + A2 ∆x2 + ... + An ∆xn + α1 ∆x1 + α2 ∆x2 + ... + αn ∆xn , trong ®ã Ai (i = 1, 2, ..., n) hØ ph thué vµo x̄, kh«ng ph thué vµo ∆x = (∆x1 , ∆x2 , ..., ∆xn ) vµ lim αk = 0 ∀k = 1, 2, ..., n, ∆x →0 th× hµm sè f ®­î gäi lµ kh¶ vi t¹i ®iÓm x̄. Khi ®ã df = A1 ∆x1 + A2 ∆x2 + ... + An ∆xn ®­î gäi lµ vi ph©n toµn phÇn ña + Hµm sè f ®­î gäi lµ kh¶ vi trªn miÒn D , nÕu f kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm x̄ ∈ D . §Þnh lý 1.6. ®iÓm f t¹i ®iÓm x̄. NÕu hµm x̄ ∈ D , th× f f : D ⊆ Rn → R sÏ kh¶ vi t¹i ®iÓm df = ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong mét l©n Ën ña x̄ vµ ∂f ∂f ∂f (x̄)∆x1 + (x̄)∆x2 + ... + (x̄)∆xn . ∂x1 ∂x2 ∂xn 16 Chøng minh: Theo ®Þnh nghÜa, ta ã ∆f =f (x̄1 + ∆x1 , x̄2 + ∆x2 , ..., x̄n + ∆xn ) − f (x̄1 , x̄2 , ..., x̄n ) =f (x̄1 + ∆x1 , x̄2 + ∆x2 , ..., x̄n + ∆xn ) − f (x̄1 , x̄2 + ∆x2 , ..., x̄n + ∆xn ) +··· + f (x̄1 , x̄2 , ...x̄n−1 , x̄n + ∆xn ) − f (x̄1 , x̄2 , ..., x̄n ). Theo «ng thø sè gia giíi néi, tån t¹i ¸ sè θ1 , θ2 , ..., θn ∈ (0, 1) sao ho f (x̄1 , ..., x̄i−1 , x̄i + ∆xi , ..., x̄n + ∆xn ) − f (x̄1 , ..., x̄i , x̄i+1 + ∆xi+1 , ..., x̄n + ∆xn ) = ∂f (x̄1 , ..., x̄i−1 , x̄i + θi ∆xi , ..., x̄n + ∆xn )∆xi . ∂xi Do ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n Ën ña ®iÓm x̄ nªn ∂f ∂f (x̄1 , ..., x̄i−1 , x̄i + θi ∆xi , ..., x̄n + ∆xn ) = (x̄) + αi (∆x ), ∂xi ∂xi lim αi (∆x ) = 0 ∀i = 1, 2, ..., n. Do vËy, ®Þnh lý ®­î høng minh. ∆x NhËn xt 1.7. Ën ña ®iÓm ∆f = §Æt ρ= ta ã PT IT trong ®ã Trong tr­êng hîp hµm 3 biÕn sè f (x, y, z) ã ¸ ®¹o hµm riªng liªn t trong l©n (x0 , y0, z0 ), theo ®Þnh lý trªn, ta ã ∂f ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 )∆x + (x0 , y0 , z0 )∆y + (x0 , y0 , z0 )∆z + α∆x + β∆y + γ∆z . ∂x ∂y ∂z p 2 ∆x + ∆2y + ∆2z vµ ǫ = ρ1 (α∆x +β∆y +γ∆z ). Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thø Bunhia «pski, 1 |ǫ| = |α∆x + β∆y + γ∆z | ≤ ρ q Do ®ã (α2 + β 2 + γ 2 )(∆2x + ∆2y + ∆2z ) p p 2 = α2 + β 2 + γ 2 . ∆x + ∆2y + ∆2z lim (∆x ,∆y ,∆z )→0 ǫ=0 vµ α∆x + β∆y + γ∆z = o(ρ). Nh­ vËy ∆f ≈ Khi ¸ sè ∂f ∂f ∂f (x0 , y0, z0 )∆x + (x0 , y0 , z0 )∆y + (x0 , y0, z0 )∆z + o(ρ). ∂x ∂y ∂z ∆x , ∆y , ∆z ∆f ≈ kh¸ nhá, ta ã ∂f ∂f ∂f (x0 , y0 , z0 )∆x + (x0 , y0 , z0 )∆y + (x0 , y0 , z0 )∆z . ∂x ∂y ∂z 17 (1.1) VÝ d 1.8. Dïng vi ph©n, tÝnh xÊp xØ gi¸ trÞ biÓu thø sau: S = arctan Gi¶i: Tõ S = arctan ta ®Æt 1, 02 . 0, 95 1 + 0, 02 1 − 0, 05 x0 = 1, y0 = 1, ∆x = 0, 02, ∆y = −0, 05 vµ f (x, y) = arctan xy . Khi ®ã ∂f −y ∂f x = 2 , = 2 . 2 ∂x x + y ∂y x + y2 Theo «ng thø (1.1) ho hµm sè ã 2 biÕn, ta ã ∆f ≈ ∂f ∂f (x0 , y0 )∆x + (x0 , y0 )∆y . ∂x ∂y Do ®ã PT IT S = ∆f + f (x0 , y0 ) ∂f ∂f (x0 , y0 )∆x + (x0 , y0 )∆y + f (x0 , y0 ) ∂x ∂y 1.0, 02 + 1.0, 05 = f (1, 1) + 2 π = + 0, 035 4 ≈ = 0, 82rad. 1.6. §¹o hµm theo ph­¬ng Cho v t¬ d ∈ Rn . NÕu tån t¹i giíi h¹n (h÷u h¹n) f (x̄ + λd) − f (x̄) , λ→0 λ lim th× giíi h¹n nµy ®­î gäi lµ ®¹o hµm theo ph­¬ng d ña hµm f t¹i ®iÓm x̄ vµ ®­î ký hiÖu bëi Dd f (x̄). VÝ d 1.9. T×m ®¹o hµm theo ph­¬ng Dd f (x̄) ña hµm sè d = (1, 2, 0), x̄ = (3, −1, 1) Gi¶i: 18 f (x, y, z) = 2x + 3y + z 2 , trong ®ã Theo ®Þnh nghÜa, ®¹o hµm Dd f (x̄) ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø f (x̄ + λd) − f (x̄) λ→0 λ f (1 + 3λ, −1 + 2λ, 1) − f (3, −1, 1) = lim λ→0 λ 2(1 + 3λ) + 3(−1 + 2λ) + 12 − (2.3 + 3.(−1) + 12 ) = lim λ→0 λ Dd f (x̄) = lim = 12. Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ta ã nhËn xt sau: NhËn xt 1.10. Gi¶ sö ¸ ®¹o hµm riªng trªn {e1 , e2 , ..., en } lµ mét hÖ D vµ ¬ së trù huÈn trong Rn , hµm sè f (x) tån t¹i x̄ ∈ D . Khi ®ã Dei f (x̄) = ∂f (x̄) ∀i = 1, 2, ..., n. ∂xi 1.7. Quan hÖ gi÷a ®¹o hµm theo ph­¬ng vµ ®¹o hµm riªng f : D ⊆ Rn → R kh¶ vi t¹i ®iÓm x̄ ∈ D . Khi ®ã, ®¹o hµm theo ph­¬ng PT IT Cho hµm d = (d1 , d2, ..., dn ) ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø : Dd f (x̄) = Chøng minh: ∂f ∂f ∂f (x̄)d1 + (x̄)d2 + ... + (x̄)dn . ∂x1 ∂x2 ∂xn Theo ®Þnh nghÜa, hµm sè (1.2) f kh¶ vi t¹i ®iÓm x̄ hay ∆f = A1 ∆x1 + A2 ∆x2 + ... + An ∆xn + α1 ∆x1 + α2 ∆x2 + ... + αn ∆xn , trong ®ã ∆f = f (x̄ + ∆x ) − f (x̄), Ai = thø trªn víi ∆xi = λdi , ta ã ∂f (x̄), lim αi ∂xi ∆ →0 = 0 víi mäi i = 1, 2, ..., n. Dïng «ng x f (x̄ + λd) − f (x̄) ∆x →0 λ Dd f (x̄) = lim = lim (A1 d1 + ... + An dn + α1 d1 + ... + αn dn ) ∆x →0 = VÝ d 1.11. ∂f ∂f ∂f (x̄)d1 + (x̄)d2 + ... + (x̄)dn . ∂x1 ∂x2 ∂xn T×m ®¹o hµm theo ph­¬ng d = (−1, 3) t¹i ®iÓm x̄ = (e, e2 ) ña hµm sè f (x, y) = ln(x2 + y). Gi¶i. TÝnh ¸ ®¹o hµm theo ph­¬ng ∂f 2x = 2 , ∂x x +y ∂f 1 = 2 . ∂y x +y 19 Khi ®ã ∂f 2x (x̄) = 2 (x̄) = ∂x x +y ∂f 1 (x̄) = 2 (x̄) = ∂y x +y 1 , e 1 . 2e2 Theo «ng thø (1.2), ta ã ∂f ∂f (x̄)d1 + (x̄)d2 ∂x ∂y 1 1 = (−1) + 2 3 e 2e 3 1 = 2− . 2e e Dd f (x̄) = 1.8. §¹o hµm riªng ña hµm hîp Cho hµm v t¬ f : D ⊆ Rn → Rm vµ hµm sè g : f (D) → R. Khi ®ã hµm sè h = gof : D → R ®­î x¸ ®Þnh bëi ®­î gäi lµ hµm hîp ña 2 hµm sè ña
PT IT gof (x) = g f (x) g vµ f . NÕu ¸ hµm sè g , hµm sè trong täa ®é thµnh phÇn f vµ ¸ ®¹o hµm riªng ña hóng liªn t t¹i ®iÓm x = (x1 , ..., xn ) vµ f (x) t­¬ng øng. Khi ®ã ¸ ®¹o hµm riªng ña hµm hîp h ®­î x¸ ®Þnh bëi «ng thø ∂h ∂g ∂f1 ∂g ∂f2 ∂g ∂fm = + + ... + ∂x1 ∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x1 ∂fm ∂x1 ... ∂h ∂g ∂f1 ∂g ∂f2 ∂g ∂fm = + + ... + . ∂xn ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn ∂fm ∂xn Chøng minh: 20 (1.3)