Tài liệu Bài giảng giải tích hàm nâng cao của trần văn sự

Phần IV. Không Gian Hilbert và Phổ của toán tử Chapter 3. HILBERT SPACE Giới thiệu: Không gian Hilebert là dạng tổng quát hoá các khái ni ệm, tính chất của không gian Euclide hữu hạn chiều sang các không gian vô h ạn chiều. Không gian Hilbert có các khái niệm trực giao, góc giữa các vectơ .... là một nét khá mới mẽ so với không gian định chuẩn. Nhờ vậy các đối tượng của giải tích như dãy số, hàm số ... có thể mô tả như những yếu tố hình học. Do đó có thể sử dụng trực quan hình h ọc khi nghiên c ứu các đối tượng vừa được được mô tả. Không gian Hilbert là một trường hợp riêng của không gian Banach, là một dạng không gian hữu ích thực sự, dễ thao tác trong các ứng dụng của giải tích hàm phi tuyến vào vật lý lượng tử nói riêng, khoa h ọc k ỹ thuật nói chung. Không gian Hilbert được đặt tên của nhà toán học người đức tên là David Hilbert (1862-1943) người đã nghiên cứu các đối tượng này khi khảo sát phương trình tích phân. Bài tập xem (http://dongphd.blogspot.com) §1.. Khái niệm không gian Hilbert 1.1 Tích vô hướng. Cho H là không gian vectơ trên trường K ( R, C ). Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ: < .,. >: H H K ( x , y ) a < x, y > thoả mãn các điều kiện sau đây i. < x, y > = < y, x > , ∀ x, y H . ii. < x + y, z > = < x, z > + < y, z >, ∀ x, y, z H . H , λ K. iii. < λ x, y > = λ < x, y >, ∀ x, y �� iv. < x, x > �0, ∀ x �H , < x, x >= 0 � x = 0. Số < x, y > gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y. Cặp ( H , < .,. >) được gọi là không gian tiền Hilbert hay không gian Unita. Thường chúng ta ký hiệu không gian Hilbert H thay cho cặp ( H , < .,. >) . Từ định nghĩa tích vô hướng trên ta dễ dàng suy ra Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert < x, λ y >= λ < x, y >, < x, y + z >=< x, y > + < x, z > với mọi x, y, z �H , λ �K . Từ đó suy ra tích vô hướng < .,. > là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Các ví dụ: 1. Ký hiệu X= l 1 là tập tất cả các dãy số thực hoặc ph ức x = ( xn ) n thoả mãn n =1 | xn | < + . Với mọi x = ( xn )n , y = ( yn ) n định nghĩa < x, y >= n =1 xn y n . Khi đó < .,. > là một tích vô hướng xác định trên X. 2. Ký hiệu C[ a ,b ] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. b Với mọi f , g C[ a , b ] định nghĩa < f , g >= f ( x) g ( x)dx . a Khi đó < .,. > là một tích vô hướng xác định trên C[ a ,b ] . 3. Cho ( X , A , µ ) là một không gian độ đo và E A .. Xét không gian L2 ( E , µ ) = { f : E R: | f |2 d µ < + }. E Với mọi f , g L ( E , µ ), định nghĩa 2 fg d µ . < f, g > = E Khi đó < .,. > là một tích vô hướng xác định trên L2 ( E , µ ). Theorem 1.1.1 Trong không gian tiền Hinbert H, với mọi x, y H ta luôn có |< x, y >|2 < x, x >< y, y > . (1.1) ∃ t � K : y = tx . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (1.1) gọi là bất đẳng thức Schwarz. Theorem 1.1.2. Nếu H là không gian tiền Hilbert thì || x || = < x, x > , ∀ x H (1.2) xác định một chuẩn trên H. Như vậy không gian tiền Hinbert H chính là một không gian định chu ẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng bởi công thức (1.2). Từ đây các kết Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 230 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert quả được thiết lập từ không gian định chuẩn có th ể áp dụng được cho không gian tiền Hilbert. 1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Nếu H là không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng bởi công thức (1.2) g ọi là không gian Hilbert. Ví dụ: Xét lại các ví dụ 1,2,3 mục 1.1. Ta có X, C[ a , b ] không phải là không gian Hilbert với các chuẩn tương ứng là Trong X chuẩn || x ||= n =1 | xn |2 , ∀ x = ( xn ) 1 2 X. � � Trong C[ a , b ] chuẩn || f ||= �| f ( x) |2 dx �, ∀ f b �a � C[ a , b ] . Riêng L2 ( E , µ ) là không gian Banach với chuẩn 1 2 � � || f ||= �| f |2 d µ �, ∀ f L2 ( E , µ ). �E � 2 Như vậy không gian L ( E , µ ) là một không gian Hilbert thực. Các tính chất cơ bản Theorem 1.3.1 Cho H là không gian tiền Hilbert, ( xn ), ( yn ) là hai dãy hội tụ trong H. Khi đó < lim xn , lim yn > = lim < xn , yn > . Nói cách khác tích vô hướng < .,. > là hàm số liên tục trên H H . Trong hình bình hành ta luôn có tổng các bình ph ương đ ộ dài 4 c ạnh b ằng tổng các bình phương độ dài hai đường chéo của hình bình hành. Mở rộng kết quả này ta được một kết quả tốt hơn sau Theorem 1.3.2 Cho H là không gian tiền Hinbert. Khi đó ∀ x, y �H , || x + y ||2 + || x − y ||2 = 2(|| x ||2 + || y ||2 ). (1.3) (1.3) gọi là đẳng thức hình bình hành. Corollarry 1.3.3 Cho H là không gian tiền Hinbert và x, y, z H . Ta có đẳng thức Apollonius: || x − y ||2 + || x − z ||2 = 2 || x − Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 231 y+z 2 1 || + || y − z ||2 . 2 2 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Theorem 1.3.4 Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian Hinbert H’ chứa H sao cho H là không gian con trù mật trong H’. Chứng minh: Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta được một không gian Banach H’ chứa H sao cho H là không gian định chuẩn trù mật trong H’. Với mọi x, y H ' sẽ tồn tại các dãy ( xn ), ( yn ) H sao cho xn n x, yn n y trong H’. Áp dụng đẳng thức hình bình hành ta có || xn + yn ||2 + || xn − yn ||2 = 2(|| xn ||2 + || yn ||2 ). Cho n ta được || x + y ||2 + || x − y ||2 = 2(|| x ||2 + || y ||2 ). Từ đó suy ra tồn tại một tích vô hướng trong H’ cảm sinh ra chu ẩn c ủa H và ta có lim < xn , yn > H =< x, y > H . Theorem 1.3.5. Cho S là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H thì với mọi x H tồn tại duy nhất một phần tử s S sao cho || x − s ||= d ( x, S ) = inf {|| x − u ||: u S }. (1.4) Điểm s S xác định bởi công thức (1.4) gọi là điểm chiếu của x lên S. Ký hiệu projS ( x) là tập các điểm chiếu của x lên S với S là tập khác r ỗng tuỳ ý. Nếu projS ( x) chỉ chứa duy nhất 1 phần tử thì ta nói projS ( x) là tập đơn tử. Theo định lý 1.3.5 nếu S là tập lồi đóng khác rỗng trong H thì v ới m ọi s S , ta có projS ( x) là tập đơn tử. Một điểm có thể có một điểm chiếu, nhiều điểm chiếu và cũng có khi không có điểm chiếu nào. Tập không có điểm chiếu nào thì projS ( x) = φ. Quan sát hình sau s1 s8 S s4 s5 s2 s6 s3 C1 s9 C9 s7 C7 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 232 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Hình H1. Ứng dụng của định nghĩa phép chiếu một vectơ lên một tập hợp đóng trong không gian Hilbert dùng để định nghĩa các khái niệm nón pháp tuy ến xấp xỉ, dưới Gradient xấp xỉ. Bài tập: Bài 1. Trong l 2 với x = ( xn ), y = ( yn ) ta định nghĩa < x, y > = n =1 xn yn . Chứng minh (l 2 , < .,. > ) là không gian Hilbert thực. Bài 2. Cho không gian tiền Hilbert H, x, y, u, v H . Chứng minh || x − u |||| y − v || || x − y |||| u − v || + || y − u |||| x − v || . Dấu = xảy ra khi nào? Bài 3. Gọi x1 , x7 , x9 lần lượt là tâm các đường tròn C1 , C7 , C9 tương ứng hình (H1). Hãy xác định projS ( xk ), k = 1, k = 7, k = 9. Bài 4. Cho S là một tập đóng trong không gian Hinbert th ực H với dim H < + . Chứng minh rằng ∀ x ι H , projS ( x) φ . Bài 5. Cho H là không gian Hilbert thực, S �H , x �H , s �S . Chứng minh 4 điều kiện sau tương đương i. s Pr ojS ( x), 1 || s '− s ||2 ∀ s ' S , 2 iii. s �Pr ojS ( s + t ( x − s ) ), ∀ t �[0,1], iv. d ( s + t ( x − s), S ) = t || x − s ||, ∀ t [0,1]. ii. < x − s, s '− s > Bài 6. Cho S là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert H. Ch ứng minh rằng x �S � d ( x, S ) = 0. Bài 7. Cho H là không gian hilbert, T là toán t ử tuy ến tính t ừ H vào H tho ả mãn < Tx, y > = < x, Ty > ∀ x, y H . Chứng minh T liên tục. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 233 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài 8. Cho H là không gian Hilbert, T là toán t ử tuy ến tính t ừ H vào H. Chứng minh rằng nếu với mỗi u H , phiếm hàm x a < Tx, u > ∀ x H đều liên tục thì T liên tục. §2. Khái niệm trực giao-chuổi Fourier 2.1 Khái niệm trực giao. Hệ trực giao 2.1.1 Define Cho không gian tiền Hilbert H, x, y �H , S , M , N �H . Ta nói 1. x trực giao với y (viết x ⊥ y ) nếu < x, y > = 0 . 2. x trực với S (viết x ⊥ S ) nếu x ⊥ s, ∀ s S . 3. M trực giao với N (viết M ⊥ N ) nếu m ⊥ n, ∀ m �M , ∀ n �N . , y ⊥ S , x y x y. 4. S là hệ trực giao nếu ∀ιx� S || x ||= 1. 5. Hệ trực giao S là một hệ trực chuẩn nếu ∀x �� Như vậy S = {xn : n = 1, 2,3,....} là một hệ trực chuẩn nếu 1, i f m = n . 0, if m n < xn , xm > = Ký hiệu M ⊥ = {x �H : x ⊥ M }. 2.1.2 Properties 1. x ⊥ S � x ⊥< S >, x ⊥ S . 2. S ⊥ = S ⊥ . 3. ∀ xi ⊥ x j ( ∀ i j , i, j = 1,.., m ) || x1 + x2 + .... + xm ||2 = || x1 ||2 + || x2 ||2 +.....+ || xm ||2 . (1.5) (1.5) gọi là đẳng thức Pythagoras. Theorem 2.1.3 Cho {xn : n = 1, 2,....} là một hệ trực giao đếm được trong không gian Hilbert H. Khi đó n =1 xn hội tụ n =1 || xn ||2 hội tụ. 2 2 Hơn nửa ta có || �xn || = �|| xn || . n =1 n =1 Theorem 2.1.4 Cho hệ trực chuẩn {xn : n = 1, 2,....} trong không gían Hilbert H và (λn ) K . Khi đó �λ x n =1 n n =x Bài giảng học phần Giải Tích Hàm �| λ n =1 n |2 hội tụ và || x ||2 = 234 n =1 | λn |2 . Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Chứng minh: Áp dụng cho hệ trực giao {λn xn : n = 1, 2,....} . Theorem 2.1.5 Giả sử {xn : n = 1, 2,....} là một dãy vectơ độc lập tuyến tính trong không gian hilbert H. Khi đó tồn tại các số an (n > i 1) sao cho các i vectơ yn = n −1 i =1 ani xi + xn là trực giao và thoả mãn < ( x1 , x2 , ... , xn ) > < ( y1 , y2 ,..., yn ) > . Chứng minh: Với n = 1 � y1 = x1 . Giả sử đã tìm được các vectơ y j , j = 1, 2,..., n − 1 (n>1), ta sẽ tìm vectơ dưới dạng yn = n −1 i =1 λni xi + xn . Để có yn ⊥ y j ( j = 1, 2,..., n − 1) ta phải có 0 =< yn , y j > = λn j || y j ||2 + < xn , y j >, j = 1, 2,..., n − 1, hay tìm được các số λn j = − < xn , y j > || y j ||2 . Với cách tìm trên thì yn ⊥ y j ( j = 1, 2,..., n − 1) . Theo giả thiết quy nạp < ( x1 , x2 , ... , xn −1 ) > do đó tồn tại các số an để yn = j n −1 i =1 < ( y1 , y2 ,..., yn −1 ) > ani xi + xn . Cuối cùng rõ ràng là < ( x1 , x2 , ... , xn ) > < ( y1 , y2 ,..., yn ) > . 2.2 Phép chiếu trực giao Cho M, N là các không gian con của không gian tiền Hilbert H và M ⊥ N , khi đó M �N = { 0 }. Tập M ⊥ gọi là phần bù trực giao của M. Hơn nửa M ⊥ là một không gian con đóng của H. Theorem 2.2.1 Giả sử M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi đó mỗi phần tử x H đều tồn tại duy nhất một cặp ( y, z ) δ M M ⊥ sao cho x = y + z. Hơn nửa y M là vectơ thoả điều kiện || x − y || = || z || = d ( x, M ) = inf || x − u || . u M Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt d = d ( x, M ). Theo định nghĩa infimium tồn tại dãy ( yn ) M sao cho lim || x − yn ||= d . y M . Vì M là không gian con đóng của Ta chứng minh dãy ( yn ) n không gian Hilbert H nên M là không gian Hilbert, vì vậy ta đi kiểm tra ( yn ) là dãy cơ bản trong M. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 235 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Áp dụng đẳng thức Apollonius cho 3 vectơ x, yn , ym (m, n R). Ta có 2 y + ym 4 n − x + || yn − ym ||2 = 2 || yn − x ||2 + || ym − x ||2 2 ( y + yn M và m −x 2 y +y Do M là không gian con nên m n 2 ) 2 d 2. 2 2 2 2 n 0. Vậy 0 || ym − yn || 2 ( || yn − x || + || ym − x || ) − 4d Do M đầy đủ nên tồn tại y M sao cho lim yn = y. Ta kết luận d =|| x − y ||= lim || x − yn || . Tiếp theo đặt z = x − y thì x = y + z. Ta có z M ⊥ . Tính duy nhất. Giả sử có thêm cặp ( y ', z ') δ M M ⊥ sao cho x = y + z = y '+ z '. Khi đó y − y ' = z '− z �� M M ⊥ = {0}. Nên y = y ', z = z '. Theorem 2.1.2 Giả sử không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn E = { e1 ,..., en } và M =< E > . Khi đó mỗi vectơ x H có hình chiếu trực giao y lên không gian con M được biểu diễn như sau n y= i =1 < x, ei > ei . Chứng minh: Ta có E là cơ sở của M nên M là không gian h ữu hạn chiều nên M đóng trong H. Áp dụng định lý hình chiếu trực giao ta có M ⊥. x = y + z , y �� M, z Ta có y = n i =1 ai ei . Suy ra < x, e j > = < n i =1 ai ei , e j > = a j , j = 1, 2,..., n. Thay vào có được điều cần chứng minh. 2.3 Chuỗi Fourier trong không gian Hilbert Giả sử E = {en | n N } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert. Ta có Define 2.3.1. Cho x H , chuổi hình thức n =1 < x, en > en gọi là chuổi Fourier của vectơ x đối với hệ trực chuẩn E, các số < x, en > gọi là hệ số Fourier thứ n của x đối với hệ E. Theorem 2.3.1. ∀ x �H , �< x, e n =1 n > en ] , �|< x, e n =1 Bất đẳng thức (1.2) gọi là bất đẳng thức Bessel. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 236 n > |2 �|| x ||2 . (1.2) Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert 2.4 Cơ sở trực chuẩn Define 2.4.1. Giả sử E = {e1 , e2 ,....} là một hệ trực chuẩn đếm được của không gian Hilbert H. Ta gọi E là một cơ sở trực chuẩn hay một hệ trực chuẩn đầy đủ trong H nếu E = H . Theorem 2.4.2. Giả sử {en : n 1} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi đó 4 mệnh đề sau tương đương a. {en : n 1} là một cơ sở trực chuẩn. b. ∀x �H , x = n =1 < x, en > en . c. ∀ x, y �H , < x, y >= 2 d. ∀ x �H , || x || = n =1 n =1 < x, en > < y , en >. |< x, en >|2 . Chứng minh: a b : Ta có ∀x �H , n =1 < x, en > en ] . Đặt y =x− n =1 < x, en > en . ⊥ Với mỗi m �N , < y , em >= 0. Như vậy y �M ⊥ = M = H ⊥ � y ⊥ y � y = 0. Với M =< {en : n 1} > . b c: n n i =1 j =1 n m < x, y >= lim < �< x, ei > ei , �< x, e j > e j > = lim ��< x, ei > < y, e j > < ei , e j > n n i =1 j =1 n = lim �< x, ei > < y, ei > = �< x, ei > < y, ei >. n c d i =1 d : Thay y = x. a : Ta có H = M i =1 ⊥ ⊥ M . Ta chỉ cần chứng minh M = {0}. Với mọi z �M ⊥ = M ⊥ ta có z ⊥ M . Vậy z ⊥ en � < z, en > = 0, ∀ n �1. 2 Áp dụng d trên ta có || z || = n =1 |< z , en >|2 = 0 � z = 0. Vậy H = M . { 0....., 0,.....) . Ví dụ 2.4.3. Với mỗi n N xét en = (0, 0,..., 0, 1, n Ta có {en : n 1} là một hệ trực chuẩn trong không gian l 2 . Thật vậy, với mọi x = ( xn ) �l 2 , < x, en >= xn � |< x, en >|2 =| xn |2 . Hơn nửa Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 237 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert || x ||2 = �| xn |2 = �|< x, en >|2 . n =1 n =1 Theo định lý 2.4.2 ở trên hệ {en : n 1} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian l 2 với trường số phức. Theorem 2.4.3 (Riesz-Fischer). Cho H là không gian Hilbert và {en : n 1} là một cơ sở trực chuẩn đếm được của H. Nếu (λn ) K sao cho n =1 | λn |2 < + thì sẽ tồn tại duy nhất một vectơ x H nhận các λn =< x, en > , ( n 1) làm hệ số Fourier. Chứng minh: Do n =1 | λn |2 < + nên n =1 λn en ] . Đặt x = n =1 λn en H , khi đó với mỗi k N ta có < x, ek >=< n =1 λn en , ek >= λk . Vậy x nhận các λn =< x, en > , ( n 1) làm hệ số Fourier. Nếu có x’ nhận các λn =< x, en > , ( n 1) làm hệ số Fourier thì < x, ek >=< n =1 λn en , ek >= λk =< x ', ek > . Suy ra x = x '. Theorem 2.4.4. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn hữu hạn hoặc đếm được khi và chỉ khi H là không gian khả ly. Chứng minh: Giả sử H khả ly nên tồn tại A = {a1 , a2 ,....} H là một tập hữu hạn hay đếm được trù mật khắp nơi. Nếu an �< a1 , ... , an −1 > thì loại bỏ an và thu được một tập độc lập tuyến tính B = {b1 , b2 ,....} A . Ta có < A >=< B > . Áp dụng phương pháp trực chuẩn hoá Schmidth cho h ệ {b1 , b2 , ....} ta thu được hệ trực chuẩn {e1 , e2 ,....}. Ta có H = A � < A > = < {b1 , b2 ,...., bn ,....} > = < {e1 , e2 ,...., en ,.....} > �H . Suy ra H = < {e1 , e2 ,...., en ,....} >. Ngược lại: Gọi M = {en : n 1} là cơ sở trực chuẩn hữu hạn hoặc đếm được trong H. Đặt Z =< M > � H = Z . Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 238 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Ký hiệu C là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính với hệ s ố h ữu t ỉ c ủa một số hữu hạn các phần tử của M. Ta có | C |=| U Q n | n N nên C đếm được. Ta chứng minh C trù mật trong Z. Với mọi z �Z , z = k i =1 ai xi , xi �M . Cho ε > 0 tuỳ ý. Với mỗi i {1, 2,...., k} chọn các số hữu tỉ ri sao cho | ai − ri || xi | < k k i =1 i =1 ε , i = 1, 2..., k . k Khi đó t = �ri xi �C , | z − t | ��| ai − ri ||| xi || < ε . Vậy C trù mật trong Z và Z trù mật trong H nên C trù m ật trong H. V ậy H là không gian Hilbert khả ly. 2.5 Phép đẳng cấu trong không gian Hilbert Define 2.5.1. Cho hai không gian tiền Hilbert H và H’. Một song ánh ϕ: H H' gọi là phép đẳng cấu nếu với mọi x, y �H , a, b �K ta có ϕ (ax + by ) = aϕ ( x) + bϕ ( y ), < ϕ ( x), ϕ ( y ) > = < x, y > . Hai không gian tiền Hilbert gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một phép đẳng cấu từ không gian này lên không gian kia. Phép đẳng cấu Hilbert là một phép đẳng cự giữa hai không gian định chuẩn tương ứng. Theorem 2.5.2 Nếu hai không gian Hilbert cùng số chiều hữu hạn hoặc cùng vô hạn chiều và khả ly thì chúng đẳng cấu với nhau. Chứng minh: Giả sử H, H’ là hai không gian Hilbert cùng khả ly và vô hạn chiều. Gọi {en : n 1}, {e 'n : n 1 } tương ứng là cơ sở trực chuẩn trong H và H’. 2 2 Với mỗi x �H , x = �< x, en > en � || x || = �|< x, en >| < +�. n =1 n =1 Theo định lý Riesz-Fischer chuổi Ta có < x ', e 'n > = < x, en > . Xét ánh xạ ϕ : H n =1 < x, en > e 'n ] H ' xác định bởi x = �< x, en > en a x ' = �< x, en > e 'n . n =1 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm n =1 239 x' H. Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Áp dụng định nghĩa cơ sở trực chuẩn và định lý Riesz-Fischer suy ra ϕ là một song ánh tuyến tính. Ta kiểm tra điều kiện bảo toàn chuẩn. Ta có < ϕ ( x), ϕ ( y ) >=< �< x, en > e 'n , �< y, en > e 'n > n =1 = n =1 n =1 < x, en >< y, en > =< x, y > với mọi x, y H . Vậy ϕ là một phép đẳng cấu giữa H và H’. Corrollary 2.5.3 Mọi không gian Hilbert H khả ly vô hạn chiều đều đẳng cấu với không gian l 2 . Bài tập. Bài 9. Cho H là không gian tiền Hilbert, M , N H . Chứng minh M �N � N ⊥ �M ⊥ , N ⊥ �M ⊥ . Bài 10. Cho S H . Chứng minh a. S �S �( S ⊥ ) ⊥ . b. Nếu S là không gian con của H thì S = ( S ⊥ )⊥ . Bài 11. Cho S là một hệ trực giao gồm những phần tử khác 0 trong không gian tiền Hilbert H. Chứng minh S là một hệ độc lập tuyến tính. Bài 12. Cho H1 , ..., H n là n không gian Hilbert. Chứng minh rằng H= n k =1 Hk là không gian Hilbert. Bài 13. Cho H là không gian Hilbert có cơ s ở trực chu ẩn đ ếm đ ược E = {e1 , e2 ,....} . Chứng minh S = {xn = n +1 en : n 1} n là tập đóng trong H. H * \{0}. Ký hiệu M = Kerf = {x �H : f ( x) = 0}. Bài 14. Cho H là không gian Hilbert và f Chứng minh M ⊥ là không gian con một chiều của H. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 240 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài 15. Giả sử L là không gian con đóng của không gian Hilbert H và x H . Chứng minh || x − u || = max |< x, y >| . a. min u L y ⊥ L , || y|| =1 ⊥ || x || || x u || với mọi u L. b. x �L− Bài 16. Cho M và N là hai không gian con đóng của không gian Hilbert H sao cho M ⊥ N . Chứng minh rằng M + N cùng là một không gian con đóng của H. Bài 17. Giả sử {en : n 1 } là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H, Pn x = n j =1 < x, e j > e j , x �H , n = 1, 2,.... là dãy phép chiếu trực giao. Chứng minh rằng a. {Pn } hội tụ điểm đến toán tử đồng nhất Id. b. {Pn } không hội tụ theo chuẩn đến toán tử đồng nhất Id. Bài 18. Giả sử {en : n 1 } là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H, (an ) n =1,2,... là một dãy với sup | an | < + . Chứng minh rằng n 1 Với mọi x �H , n =1 an < x, en > en ] . Bài 19. Toán tử T : H H, x a n =1 an < x, en > en là toán tử tuyến tính liên tục. Tính || T || ? Bài 20. Chứng minh không gian tiền Hilbert H là Hilbert nếu và ch ỉ n ếu mọi không gian con đóng F của H đều có F = F ⊥⊥ . §3. Không gian liên hiệp 3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert. Ký hiệu H * = L ( H , K ) là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H. Theorem 3.1.1. (F.Riesz) Cho H là không gian Hilbert, với mỗi a H , đặt fa : H thì f a K , x a < a, x > H * và || f a ||=|| a || . Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 241 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Ngược lại với mỗi f H * đều tồn tại duy nhất a H sao cho f = f a nghĩa là ∀x �H , f ( x) =< x, a > . Chứng minh: Hiển nhiên f L( H , K ). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có ∀ x �H : | f a ( x) | = | < x, a >| �|| x |||| a || suy ra || f a || || a || . Bất đẳng thức ngược lại ta chọn x = a 0 suy ra || f a || | f a (a) | =|| a || . || a || Vậy || f a ||=|| a || . Ngược lại cho f H * , ta có M = Kerf là không gian con đóng của H. Nếu f = 0 thì chọn a = 0. Nếu f 0 thì M H . Theo định lý hình chiếu trực giao ta viết H = M Ź M ⊥ , M ⊥ {0}. Chọn e M ⊥ \ {0} thì f (e) 0. Với mọi x H đặt y = f (e) x − f ( x)e suy ra f ( y ) = 0 hay y Kerf . Ta có < y, e >= 0 � < f (e) x − f ( x)e, e > = 0. 2 Suy ra < f (e) x, e >= f ( x) || e || � f (e) =< x, Đặt a = f ( e) e >. || e ||2 f ( e) e ta có f ( x ) =< a, x >= f a ( x ), ∀ x || e ||2 H. Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của a. Giả sử có b H sao cho f ( x) =< b, x >, ∀ x H . Ta có 0 =< a − b, x > , ∀ x H. Suy ra a = b. 3.2 Không gian liên hiệp Áp dụng định lý Riesz chúng ta có thể thiết lập một song ánh giữa H và H* như sau: H *, a a ϕ (a ) = f a với f a ( x) =< x, a > , ∀ x H . Đặt ϕ : H Với mọi a, b �H , t �K dễ dàng chỉ ra được ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b), ϕ (ta ) = t ϕ (a). Hơn nửa, || ϕ (a) || = || f a || = || a || với mọi a H. Như vậy ta rút ra được các kết quả sau + Nếu K = R thì ϕ là một phép đẳng cự tuyến tính. + Nếu K = C thì ϕ là cộng tính nhưng không thuần nhất. 3.3 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 242 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Cho H là không gian Hilbert, ( xn ) H là một dãy trong H. Ta nói rằng dãy ( xn ) hội tụ yếu đến x X viết xn w x nếu lim < xn , y > =< x, y > với mọi y Y . n Theorem 3.3.1. Cho H là không gian Hilbert. Ta có w ||.|| n � x, yn �� � y � < xn , yn > ��� � < x, y > . a. xn �� w n ||.|| x, || xn || || x || xn x. b. xn �� ������� Chứng minh Ta có || xn |||| yn − y || + |< xn , y > − < x, y >| a. | < xn , yn > − < x, y > | sup n 1 b. || xn − x ||2 =|| xn ||2 − < xn , x > − < x, xn > + || yn ||2 n n 0. 0. Bài tập. Bài 21. Cho M là không gian con đóng của không gian Hilbert H và x* L ( M ). Chứng minh tồn tại một phiếm hàm liên tục duy nh ất x% trên H sao cho x% |M = x* , || x% ||=|| x* || . Bài 22. Giả sử E = {en : n 1} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Chứng minh rằng en w 0 nhưng (en ) không hội tụ mạnh đến 0. ||.|| w n � x, yn �� � y � < xn , yn > ��� � < x, y > . Bài 23. Chứng minh rằng xn �� Khẳng định trên còn đúng không nếu đổi giả thiết xn ||.|| x thành xn w x. Bài 24. Giả sử E = {en : n 1} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và ( yn ) trực giao với các en , n = 1, 2,3... có || yn ||= 1. Chứng minh rằng yn w 0. Bài 25. Giả sử H và H’ là không gian tiền Hilbert và T : H toàn ánh bảo toàn tích vô hướng nghĩa là < Tx, Ty >=< x, y >, ∀x, y Chứng minh rằng T là một toán tử tuyến tính. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 243 H. H ' là một Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài 26. Giả sử H là không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn { en }n 1 . Giả sử an = e2 n và bn = e2 n + 1 e2 n −1 , n 1. n +1 Giả sử A là không gian con đóng sinh bởi các vector an . B là không gian con đóng sinh bởi các vector bn . Chứng minh rằng a. A �B = 0, do đó A + B là tổng trực tiếp đại số của A và B. b. A + B không phải là tổng trực tiếp tôpô của A và B. c. A + B trù mật nhưng không đóng trong H. §4.Toán tử liên hiệp trong không gian Hilbert Define 4.1.1. Cho X, Y là các không gian Hilbert và T L ( X , Y ). Ta nói rằng toán tử tuyến tính liên tục T * L (Y , X ) là liên hợp của T nếu < x, T * y > = < Tx, y >, ∀ x �X , ∀y �Y . Theorem 4.1.2. Cho X, Y, Z là các không gian Hilbert và T , K S L (Y , Z ). Khi đó a. ∀a �K, (aT * ) = aT * . b. (T + K )* = T * + K * . c. ( S0T )* = T *0 S * . L ( X , Y ), Chứng minh: a. Với mọi x �X , y �Y , t �K ta có < x, (tT * ) y > = < (tT ) x, y > = t < T , y >=< Tx, ty >=< x, (tT * ) y > . Suy ra (tT )* ( y ) = (tT * )( y ), ∀y Y . Suy ra ∀t �K, (tT * ) = tT * . b. Với mọi x �X , y �Y ta có < x, (T + S )* y >=< (T + S ) x, y >=< Tx, y > + < Sx, y >= < x, (T * + S * ) y > . c. Với mọi x �X , y �Y ta có < x, ( S0T )* y =< ( S0T ) x, y > = < S (Tx), y > = < Tx, S * y > = < x, T * ( S * y ) > = < x, (T *0 S * ) y > . 4.4.3 ví dụ: Xét H = C n có cơ sở chính tắc {e1 , e2 ,..., en } và T L (C n ). Với cơ sở {e1 , e2 ,..., en } giả sử toán tử T có ma trận Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 244 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert A = (ai j )i , j =1,2..,n a11 � � a = �21 �M � � an1 � a12 ... a1n � � a22 ... a2 n � . M M � � an 2 .... ann � � Giả sử b11 � � b = �21 �M � � bn1 � b12 ... b1n � � b22 ... b2 n � B = (bi j )i , j =1,2..,n M M� � bn 2 .... bnn � � * là ma trận của toán tử liên hợp T . n n i =1 s =1 Tek = �aik ei , T *e j = �bsj es , < Tek , es >=< ek , T *es > và suy ra bkj = a jk Ta có nghĩa là ma trận của toán tử liên hiệp T * được suy ra từ ma trận của T bằng cách lấy liên hiệp các số hạng của ma trận A và sau đó chuyển vị. Theorem 4.4.4. Cho X, Y là các không gian Hilbert và T L ( X , Y ). Khi đó ta có X = KerT �Im T * , Y = KerT * �Im T . Chứng minh: Do T là toán tử tuyến tính liên tục nên Ke rT là không gian con đóng của X. Theo định lý hình chiếu trực giao X = KerT ( KerT ) ⊥ . Ta chứng minh ( KerT )⊥ = Im T * . (*) * T * yn = x. Với mọi x �Im T , ∃ ( yn ) �Y , lim n T * yn , u > = lim < yn , Tu >= 0. Với mọi u �Ke rT , < x, u >=< lim n n Suy ra x ( KerT )⊥ . Ta kết luận ( KerT ) ⊥ Im T * . Ngược lại giả sử x Im T * khi đó tồn tại phần tử a X sao cho < x, a > = || x || 0, < z , a >= 0 ∀ z Im T * . Đặc biệt với mọi y �Y , < T * y , a >= 0 hay < y, Ta >= 0 � Ta = 0. Vậy a KerT . Điều này kéo theo x ( KerT )⊥ . Ta khẳng định ( KerT )⊥ Im T * . (*) đúng. Thay T bởi T * và áp dụng kết quả T ** = T . (Đpcm) Bài tập. Bài 27. Cho T : L2 [0,1] L2 [0,1] xác định bởi t a. x a Tx, t �[0,1] a Tx(t ) = tx( s )ds. 0 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 245 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert t b. x a Tx, t �[0,1] a Tx (t ) = sx( s)ds. 0 t c. x a Tx, t �[0,1] a Tx(t ) = x( s)ds. 0 Chứng minh các toán tử trên tuyến tính liên tục và tìm toán tử liên hợp T * . Bài 28. Cho u, v là hai phần tử cố định trong không gian Hilbert H và toán tử H , x a < x, u > v. T:H Chứng minh rằng a. T là toán tử tuyến tính liên tục và tìm toán tử liên hợp T * của T. b. || T * ||=|| T || . Bài 29. Cho H là không gian Hilbert phức, T L ( H ) và < Tx, x > = 0, ∀ x H . Chứng minh rằng T = 0. §5. Toán tử tự liên hiệp Define 5.1 Cho H là không gian Hilbert và T L ( H ). Ta nói rằng T là toán tử tự liên hợp nếu với mọi x, y H ta có < x, Ty > =< Tx, y > . Nói cách khác T là toán tử tự liên hợp nếu T = T * . Theorem 5.2 Cho H là không gian Hilbert và T L ( H ) là toán tử tự liên hợp. Ta có || T || = sup | < Tx, x > | . || x|| =1 Chứng minh: Với mọi x H mà || x || 1. Ta có |< Tx, x >| || T |||| x |||| x ||=|| T || . |< Tx, x >| || T || . Suy ra a = sup || x|| =1 Tx Xét thêm điều kiện Tx 0, đặt y = || Tx || . Thế thì 4 | Re < Tx, y >| = |< Tx, y > + < Ty , x >| = |< T ( x + y ), x + y > − < T ( x − y ), x − y > | ( a || x + y ||2 + || x − y ||2 ) 2a(|| x ||2 + || y ||2 ) = 4a. Tx Như vậy | Re < Tx, || Tx || >| =|| Tx || a. || Tx || a. Suy ra || T || = sup || x|| =1 | < Tx, x > | . Vậy || T || = a = sup (Đpcm). || x|| =1 Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 246 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert Bài tập Bài 30. Giả sử T : L2 [0,1] L2 [0,1] xác định bởi (Tx )(t ) = tx (t ), ∀ t [0, 1]. Chứng minh T là toán tử tự liên hiệp và tính || T || . Bài 31. Cho H là không gian Hilbert và T , T ' L ( H ) là toán tử tự liên hiệp. Chứng minh rằng || T + T ' ||= || (T + T ') 2 ||. Bài 32. Cho H là không gian Hilbert phức và T L ( H ). Chứng minh rằng T tự liên hiệp khi và chỉ khi < Tx, x > R với mọi x H . Bài 33. Giả sử H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của H. Xét toán tử P : H = ž�� M M⊥ x= y+z a M . P( x) = y Chứng minh rằng P là toán tử tự liên hiệp và P 2 = P. Bài 34. Cho H là không gian Hilbert phức và T L ( H ) thoả mãn < Tx, x > 0, ∀ x H. Chứng minh rằng T là toán tử tự liên hiệp. Chapter 4 TOÁN TỬ COMPACT VÀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ §1. Toán tử compact Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ký hiệu B '(0, 1) là hình cầu đóng đơn vị trong không gian định chuẩn X. Xét toán tuyến tính T:X Y. T ( B '(0, 1) ) = { y = Tx | || x || 1 }. 1.1 Định nghĩa T được gọi là toán tử compact nếu T ( B '(0, 1) ) là tập compact tương đối trong Y. 1.2 Các nhận xét: 1. T compact khi và chỉ khi T biến mỗi t ập b ị ch ặn trong X thành t ập compact tương đối trong Y. 2. T compact thì T liên tục. 3. Nếu Y hữu hạn chiều và T liên tục thì T compact. Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 247 Ths. Trần Văn SựChương III, IV: Lý Thuyết Phổ-Toán Tử Compact, Không Gian Hinbert X là compact khi và chỉ khi X hữu 4. Toán tử đồng nhất Id : X hạn chiều. 5. T được gọi là hữu hạn chiều nếu Im T = T ( X ) là không gian con hữu hạn chiều của Y. Suy ra T liên tục và hữu hạn chiều thì T compact. Chứng minh: 1/ Giả sử M là tập bị chặn trong X. Khi ấy tồn tại số a>0 sao cho ∀x Σ M , || x || a. Cho ( yn ) là một dãy tuỳ ý trong T(M), khi đó tồn tại dãy �x � M sao cho yn = Txn . Vì T compact nên từ dãy T � n � trích ra dãy con �a � n �xk � n y0 Y . Suy ra ykn n ay0 Y . Vậy T(M) là tập hội tụ là T � n � �a � ( xn ) compact tương đối. Chiều ngược lại là hiển nhiên. 2/ Vì T ( B '(0, 1)) là tập compact tương đối nên nó bị chặn nghĩa là tồn tại || Tx || a (∀ || x || 1). a>0 sao cho || T || = sup Vậy T bị chặn nên T liên tục. || x|| 1 3/ Vì mọi chặn bị chặn trong không gian hữu h ạn chiều là tập compact tương đối. 4/ Suy ra từ định nghĩa toán tử I. 1.3 Các tính chất cơ bản: w Định lý 1.3.1: T compact và xn x trong X thì Txn ||.|| Tx trong Y. Chứng minh: Ta có xn w x và đặt yn = Txn , y0 = Tx0 . Giả sử dãy ( yn ) không hội tụ về y0 . Khi đó tồn tại ε > 0, ( yk ) ( yn ) sao cho || yk − y0 || ε . Mọi dãy hội tụ yếu đều bị chặn nên {xn : n 1} bị chặn. Áp dụng tính nhận xét 1 thì tập { yk | k 1} = {T ( xk ) | k 1} là compact tương đối và do đó tồn tại dãy con ( yn ) của ( yk ) hội tụ về z0 Y với || y0 − z0 || ε . n n kl Ta có yn w kl n n n z0 và ynk = T ( xnk ) l l w y0 suy ra z0 = y0 . (><) Y là Định lý 1.3.2. Cho X , Y , Z ,V là các không gian định chuẩn, T : X toán tử compact, B �L (Y , Z ), C �L (V , X ). Khi đó B0T , T0 C là các toán tử compact. Định lý 1.3.3. Ký hiệu K ( X , Y ) là tập các toán tử compact từ X vào trong Y. Khi đó K ( X , Y ) là không gian con của L ( X , Y ). Hơn nửa khi Y Banach thì K ( X , Y ) Banach. Chứng minh Bài giảng học phần Giải Tích Hàm 248