Tài liệu Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (4)

Tiết 60 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ?1 Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân? Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là: b S   f ( x)dx a H1 Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn bởi đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2 Thực hiện các bài tập sau: Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trờn. Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Lời giải Xét đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2 N1 Diện tích hình tròn bán kính R là: S = 4S’ trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y  R 2  x 2 và hai đường thẳng x = 0 và x = R. Ta có: R S'   R 2  x 2 dx 0 Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt. x = 0 thì t = 0; x = R thì t = /2   R  x  R  R sin t  R cos t (t  0;  )  2 R 2 2 2 2 2 S'   R 2  x 2 dx 0  2  2  2 2 1  cos 2 t R sin 2 t  R     R cos t .R cos tdt  R 2  dt  t  2  2 2  2 0 4 0 0 Quay lại… Vậy S = 4S’ = R2 N2 Vậy diện tích hình thang cong giới hạn bởi thị hàm sốcong y = f(x) + Diện tíchđồhình thang giớiliên hạn bởi trên trục Ox Ox và đồtục, thị âm hàm sốđoạn y = [a;b], x2, trục và hai hai đường = 2a,là: x = b là gì? đường thẳng thẳng x = 1, xx = y y = x2 2 x3 2 S1   x dx  3 1 1 2 7  3 x + Căn cứ vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong giới hạn 2, trục bởiDiện đồ thị tích hàm hình sốthang y=-x cong giới Oxhạn bởi vàđồ haithị đường hàm thẳng số y = xf(x) = 1, liên x =tục, 2 là: âm trên đoạn [a;b], 7trục Ox và hai đường thẳng S2 = S 1 = x = a, x = b là: 3 y = - x2 b S    f ( x )dx a Tiếp tục… N3 Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 3 S 3   ( x 3  3x 2  6)dx 1  x4 3 3    x  6x   4 1  81  1     27  18     1  6   4  4  6 Quay lại… N4 Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là: 3 S 4   ( x 2  2x  1)dx 1  x3 3 2    x  x   3 1  27  1     9  3     1  1  3  3  8  3 Quay lại… Nhận xét: Từ kết quả của nhóm 3 và nhóm Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4, tính diện tích hình phẳng giới đồ thị các hàm số: hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x3 – 3x23 + 6 ,2y = x2 - 2x 2+ 1 y = x – 3x + 6 , y = x - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ? là: y S = S3 – S4 3 3 1 1 x   ( x 3  3 x 2  6)dx   ( x 2  2 x  1)dx Vậy 8 diện10 tích hình phẳng giới 6  hạn  bởi đồ thị các hàm 3 số 3 y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng? Tiếp tục… 1. Một số công thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: b S   f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b b S   f ( x )  g( x ) dx a Quay lại… 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. y Lời giải: y = x3 - 1 Đặt f(x) = x3 – 1. Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0 trên [1; 2] Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S   x 3  1dx 0 1   1  x dx   x 2 3 0 3 11 7    4 4 2 1 3   1 dx x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là: 3 y f1(x) =x – 3x  x  2 x 3  3x  x  x 3  4x  0   x  0  x  2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S  x 3  4 x dx 2 0 x 2   ( x  4x )dx   (4x  x )dx 3 2 3 0 4 0  x4   2 x 2 2    2x    2x   4 0  4 2   44 8 f2(x) =x 3. Bài tập vận dụng Thực hiện H1 và 2, H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x H2 trong sách đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2 Giải: H1: Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên: 3 S 0 2 3 23 4  x dx   (4  x )dx   ( x  4)dx  3 0 2 2 2 2 Giải: H2: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vậy: 2 32 S   4  x dx  3 2 2 Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối trong công thức: b S   f ( x)  g ( x) dx a Ta thực hiện như sau: • Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử pt có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b). • Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu. • Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có: d d c c S   f ( x )  g ( x ) dx   [f ( x )  g ( x )]dx Củng cố: - Ghi nhớ các công thức tính diện tích hình phẳng. y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6.  x  2 S 2  4 x  3  ( 2 x  2) dx 3  1    x 2  4 x  3  ( 2 x  6) dx 2 2  3 x