Tài liệu Bài giảng bài tích phân giải tích 12 (3)

TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC Gv: NGUYỄN THANH SƠN ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên K, a và b là 2 phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số: F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b b của hàm số f(x). f ( x)dx Kí hiệu là:  b a f ( x ) dx  F ( x )   F ( b )  F ( a ) a b a Công thức (1) còn được gọi là công thức Niutơn-Lepnít (1) Định nghĩa b cận trên dấu tích phân cận dưới  f  x  dx a biểu thức dưới dấu tích phân hàm số dưới dấu tích phân Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân. b b b a a a  f  x  dx   f u  du   f t  dt  ...  F b   F  a  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên b đoạn [a,b] thì tích phân  f ( x)dxlà diện tích a của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b. EM HÃY CHỌN ĐÁP ÁN ĐÚNG TRONG CÁC ĐÁP ÁN SAU : Kết quả của tích phân A. 0 C. Không tồn tại 1 1 là: dx 1 x B. -1 D. 1 HÃY TÍNH TÍCH PHÂN SAU 4 I   (2 x  3)dx 2 4 2 J   | x | dx 1 Lời giải I   (2 x  3)dx  ( x  3 x) 2 2  (16  12)  (4  6)  30 4 2 2  2) Tính tích phân J  | x | dx 1 XÐt hµm sè f(x) = |x| = x nÕu x ≥ 0 - x nÕu x < 0 số f(x) = |x| là liên y=|x| tục trên R và f(x) ≥ 0. Đồ thị hàm số f(x) =2 |x| như hình vẽ khi đó: J  | x | dxlà diện y Hàm  1 tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = |x|, trục 0x và 2 đường thẳng x = -1; x=2 D 2 A 1 B -1 C O 1 2 x J là tổng diện tích của 2 tam giác OAB và OCD Mà S  OAB= 1 2 y y=|x| 2 và S  OCD= 2 2 1 5 J   | x | dx   2  2 2 1 D A 1 B -1 C O 1 2 x Tính chất 1: Chứng minh b b  kf ( x)dx k  f ( x)dx a (k  R ) a Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Ta có: kF(x) cũng là 1 nguyên hàm của hàm số kf(x) trên b K b Suy ra: kf ( x)dx  kF ( x)  a a  kF(b)  kF(a) b  k[ F (b)  F (a)]  k  f ( x)dx b Vậy: b a  kf ( x)dx k  f ( x)dx a a (k  R) Tính chất 2: b b b a a a [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    Chứng minh Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K Ta có: F(x)+G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x) trên K vì: [F(x)+G(x)]'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) b   [ f ( x)  g ( x)]dx   F ( x)  G ( x)  b a a  [ F (b)  G (b)]  [ F (a)  G (a)] b b  [ F (b)  F (a)]  [G(b)  G(a)]   f ( x)dx   g ( x)dx Vậy b b a a a a b [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    Tương tự: b b a b [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    a a a VÍ DỤ 1 3 Cho  g ( x ) dx  3  f ( x)dx  2 và 1 a, Hãy tính: 1 3 3 I   [3 f ( x)  g ( x)]dx 1 Bài giải 3 3 3 1 1 I   [3 f ( x)  g ( x)]dx   3 f ( x)dx   g ( x)dx 1 3 1 1 3  3 f ( x)dx   g ( x)dx  3(2)  3  9 VÍ DỤ 1 3 Cho  f ( x)dx  2 và b, Hãy tính: g ( x ) dx  3  3 1 1 1 J   [4 f ( x)  5]dx 3 Bài giải 1 3 3 3 3 1 1 1 J   [4 f ( x)  5]dx   [5  4 f ( x)]dx   5dx   4 f ( x)dx 3 3  5 dx  4 f ( x)dx  5.x 1  4(2)  5(3  1)  8  18 3 1 1 VÍ DỤ 2 Em hãy tìm đáp án đúng trong bài toán sau: 5 5 Cho biết g ( x)dx  8 f ( x)dx  6 và   1 1 5 Kết qủa tích phân A. 17 C. 16 là: [ 4 f ( x )  g ( x )] dx  1 B. 14 D. 18 VÍ DỤ 3 Tính tích phân Lời giải 4 I  ( 2 x  3 ) dx  2 4 4 4 2 2 2 I   (2 x  3)dx   2 xdx   3dx x 2  3 x 2 4  16  4  3[4  (2)]  30 4 2 Tính chất 3: c b c  f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx Cm a a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Ta có c f ( x ) dx  F ( x )   F ( c )  F ( a ) ; a c a b f ( x ) dx  F ( x )   F ( b )  F ( a ) a b a c  b f ( x)dx  F ( x)  F ( c )  F ( b ) b c c f ( x ) dx  F ( x )  Khi đó c a  F (c )  F ( a ) a  [ F (b)  F (a)]  [ F (c)  F (b)] b   c f ( x)dx   f ( x)dx a c Vậy  a b b c a b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx VÍ DỤ 4 2 I  Tính tích phân | x | dx  1 Lời giải 2 0 2 1 1 0 0 2 1 0 I   | x | dx   | x | dx   | x | dx   ( x)dx   xdx 2 x  2 2 x  1 2 0 2 0 1 5  (0  )  (2  0)  2 2