Tài liệu Bài giảng bài tích phân giải tích 12

KIỂM TRA BÀI CŨ Cho hàm số y = f(t) = 2t + 1 1.Tìm họ nguyên hàm F(t) của hàm số đó . 2.Tính F(5) – F(1). Đáp án 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(t) là F(t) = t 2 + t + C , C R. 2. Ta có F(5) – F(1) = 25 +5 + C – 1 – 1 – C = 28 Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Hoạt động 1 y 11 y = 2x + 1 f(t) gsp 3 S x O1 t 5 Graph Gọi T hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y =2x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = t ( 1  t  5 ) . 1. Tính diện tích S của hình thang T khi t = 5 2. Tính diện tích S(t) của hình thang T khi t [ 1 ; 5] 3. Chứng minh rằng : S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 , t [1 ; 5]. Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong y y = f(x) B A x O 1 a gsp2 b Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và Hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong . Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong 1.Diện tích hình thang cong y y = f(x) a x  A 1 x gsp Hình phẳng trên đây có phải là một hình thang cong theo định nghĩa trên không ? Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Hình thang cong sau được giới hạn bởi các đường nào ? Ví dụ 1 Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1 . 1.Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số đã cho . 2. Tính F(1) – F(0) . 3.Tính diện tích S của hình phẳng đó . y y = x2 1 x O x gsp 1 Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Trả lời 1. Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 là : y y = x2 1 x3 F ( x)   C , CR 3 x 2. F(1) - F(0)  3 3 1 0 1 C  C  3 3 3 O x 1 Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này . Tính S(0) Tính S(1) Graph Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này . S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 . Người ta chứng minh được S’(x) = x2 , x [0 ; 1 ] y A 1 y = f(x) F O gsp E Q P M x N x+ h x 1 Nội dung I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Diện tích S(x) của hình thang cong đã cho là một hàm số theo x và S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 trên [ 0 ; 1 ]. Tính S(x) x3 F ( x)  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 3 x3 S ( x)   C , CR 3 Mà S(0) = 0 nên C = 0 Vậy: Ví dụ S(3) = 9 x3 S ( x)  3 S (1)  1 3 Nội dung I.KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong . Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x . Ta cũng chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b ] . S(a) = 0 y y = f(x) B A E M O 1 a N x gsp K b x Nội dung I.KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 1.Diện tích hình thang cong I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x . y y = f(x) B A E M O 1 a N x K b Chứng minh rằng : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] thì sao S(b) = F(b) – F(a) . Vì F(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có S(x) = F(x) + C , với C là một hằng số thực . Mà S(a) = 0 , do đó S(a) = F(a) + C = 0 Suy ra C = - F(a) Graph Vậy S(b) = F(b) – F(a) . x Nội dung I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình thang cong 2. Định nghĩa tích phân 1.Diện tích hình thang cong y ?2 y = f(x) B A E M O 1 a N x K b S( b) = F( b) – F(a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2. Định nghĩa tích phân x Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ] . F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) . Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a) Với mỗi x  [a ; b] ,gọi S(x) là diện tích của hình thang cong đã cho giới bởi đồ thị của f(x) , trục hoành và các đường thẳng vuông góc với trục hoành tại a và tại x . Vì F( x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] nên ta có : S(b) = F(b) – F(a) S(b) = G(b) – G(a) Do đó F(b) – F(a) = G(b) – G(a) . Nội dung I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 2. Định nghĩa tích phân Định nghĩa : 1.Diện tích hình thang cong y b  y = f(x) B f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) b a A E M O 1 a N x K b x b Ta gọi  Là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên . a S( b) = F( b) – F(a) f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân F(x) là một nguyên hàm của f(x) f(x) là hàm số dưới dấu tích phân . 2. Định nghĩa tích phân Chú ý : a  f ( x)dx  0 a b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx Nội dung I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN I.KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 2. Định nghĩa tích phân Định nghĩa : 1.Diện tích hình thang cong y b  f ( x)dx  F ( x) y = f(x) B A N x a  F (b)  F (a) a E M O 1 a b K b x 2 S( b) = F( b) – F(a) Ví dụ 2 Tính 1 F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2. Định nghĩa tích phân  2xdx 2 Giải 1)  2 xdx  x 1 2 2 1  22  1  4  1  3 Nội dung I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN I.KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 2. Định nghĩa tích phân 1.Diện tích hình thang cong Ví dụ 3 Tính các tích phân sau : 1/ y y = f(x) e 4 B 1/ A E  x dx 2 2/ 1 M O 1 a N x K b 1 1 t dt x Giải S( b) = F( b) – F(a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2. Định nghĩa tích phân 4 1/ 3 4 x 2 1 x dx  3 e 1 43 13    21 3 3 1 e 2)  dt  ln 1  ln e  ln 1  1  0  1 t 1 Nội dung I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 2. Định nghĩa tích phân 1.Diện tích hình thang cong y Nhận xét : a/ Tích phân của một hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào quy tắc f và các cận a , b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến x , t . y = f(x) B A E M O 1 a N x K b x S( b) = F( b) – F(a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2. Định nghĩa tích phân b/ Ý nghĩa hình học của tích phân . Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b ] ,thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạnbởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x =a; x=b. Nội dung Củng cố : I.KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN y 1.Diện tích hình thang cong y Sử dụng ý nghĩa của tích phân hãy tính diện tích hình thang cong bên . y = f(x) B A E y = x2 1 x O M O 1 a N x 1 2 x K b Giải : S( b) = F( b) – F(a) F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2. Định nghĩa tích phân Hình thang cong trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 1 , x = 2 . Do đó diện tích S của hình thang cong trên là : b  f ( x)dx  F ( x) a b a  F (b)  F (a) 2 S= x3 2 1 x dx  3 2 1 23 12 7    3 3 3 HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 1. Học khái niệm hình thang cong , diện tích hình thang cong. 2. Học định nghĩa tích phân xác định , các kí hiệu và cách đọc các kí hiệu đó ; cách tính tích phân ; xem lại các ví dụ . 3. Ý nghĩa hình học của tích phân . 4. Làm bài tập 1 , 2 SGK .