Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (7)

  • Số trang: 10 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
hoangtuavartar

Đã đăng 24635 tài liệu

Mô tả:

Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Bài 1 click I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm : Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : a) f  x   3x 2 x   ;   b) f  x  1 cos 2 x    x   ;   2 2 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K Ví dụ 1 : a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số 1 1    f  x  x   ; F ' x  tan x '        Vì cos 2 x cos 2 x  2 2    x   ;   2 2 Nêu thêm một số ví dụ khác : c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : f  x  1 x x   0;   click Định lý 1 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này . Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số . Chứng minh : Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C Hay G(x) = F(x) + C mọi x  K F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :  f  x  dx = F  x  + C Chú ý ; Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ 2 : a) Với x  (-  ; +  ) ,  2xdx  x b) Với x  ( 0 ; +  ) , 1  x dx  ln x  C c) Với x  ( -  ; +  ) ,  cos x.dx  sin x  C 2 C click 2. Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1 :  f '  x  dx = f  x  + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .   cos x  '.dx     sin x  .dx  cos x  C Ví dụ 3 : Tính chất 2 : Chứng minh :  kf  x  dx = k  f  x  dx Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) ' k 1 1  Vì k ≠ 0 nên f  x   F '( x)   F x     Theo t/c 1 ta có : k k  ' 1  1 f  x  dx  k   F ( x)  dx  k  F  x   C1   F  x   kC1 k  k   C1  R   F  x   C   k . f  x  dx Tính chất 3 :  f  x   g  x  dx =  f  x  dx   g  x  dx Tự chứng minh t/c này click Ví dụ 4 : Giải : f  x   3sin x  Tìm nguyên hàm của hàm số Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có : 2 x  0;   2 1  3sin x  dx  3 sin xdx  2      x dx  3cos x  2 ln x  C x 3. Sự tồn tại của nguyên hàm : Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K . Công nhận định lý này . Ví dụ 5 : a) Hàm số f  x  x 2 3 Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  ) 2 3 3 53  x .dx  5 .x  C b) Hàm số g  x  1 sin 2 x Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ 1  sin 2 x .dx   cot x  C click 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp :  0dx  C ax  a dx  ln a  C  0  a  1 x  dx  x  C   x dx  1 x 1  C  1  cos x.dx  sin x  C  1  x dx  ln x  C x x e dx  e C  Ví dụ 6 : a)  1  sin x.dx   cos x  C 1  cos2 x .dx  tan x  C 1  sin 2 x .dx   cot x  C Tính :  2   2 x  1  dx 3 2 x   0;    2 x 2 dx   x  2 3 dx 1 2 3  x  3x 3  C 3 click b) x 1 3cos x  3  dx   ;    3 cos xdx  1 x 3 dx 3 1 3x  3sin x  C 3 ln 3 3x 1  3sin x  C ln 3 Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. II - PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phƣơng pháp đổi biến số : a) Cho :   x  1 10 dx Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du b) Cho : ln x  x dx Định lý 1 : Nếu . f  u  du  F  u   C Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : Chứng minh :  Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt  f  u  x   .u '  x  .dx  F u  x    C Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) click Hệ quả : Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có Ví dụ 7 : Tính : Giải : Vì  f  ax  b  dx = 1 F  ax  b  + C a  sin  3x  1 .dx  sin udu   cos u  C Nên theo hệ quả ta có : 1 sin 3 x  1 dx   cos  3x  1  C    3 Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) . Ví dụ 8 : Giải : Tính : x   x  1 5 .dx Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và x   x  1 5 dx   x  x  1 5 dx  u 1 1 1 du    4  5 5 u u u Thay u = x + 1 vào kết quả , có : x   x  1 5 u 1 du 5 u Khi đó :  4 5  du   u du   u du  1 1 1 1   . 3  . 4 C 3 u 4 u dx  1 1 1 . .   C 3  x  1  4 x  1 3  click 1 2. Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần : Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :   x.cos x  '.dx Định lý 2 : &  cos x.dx Từ đó tính :  x.sin x.dx Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :  u  x  .v '  x  .dx  u  x  .v  x    u '  x  .v  x  .dx Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :  u  x  .v '  x  .dx   u  x  .v  x   '.dx   u '  x  .v  x  .dx  u  x  .v '  x  .dx  u  x  .v  x    u '  x  .v  x  .dx Vậy có : Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng : Ví dụ 9 : Giải : Tính : a) x xe  dx b)  u.dv = u.v   v.du  x.cos x.dx c)  ln x.dx a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :  x.e dx  x.e x x   e x .dx  x.e x  e x  C click b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :  x.cos xdx  x.sin x   sin x.dx  x.sin x  cos x  C 1 dx và v = x . Do đó : x  x.ln x  x  C c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì du   ln x.dx  x.ln x   dx Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần . x P x . e .dx     P  x  .ln x.dx u P  x ????? P(x) ????? P(x) dv e x .dx cosx.dx ????? ????? lnx.dx Ví dụ trắc nghiệm : A  P  x  .cos x.dx C 1 x 3. Bài tập về nhà : Tính : B  c 1 x dx 1 x C Kết quả là :  2 1 x  C D Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 2 C 1 x
- Xem thêm -