Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Trung học phổ thông Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (7)...

Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (7)

.PDF
10
236
94

Mô tả:

Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Bài 1 click I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm : Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : a) f  x   3x 2 x   ;   b) f  x  1 cos 2 x    x   ;   2 2 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K Ví dụ 1 : a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số 1 1    f  x  x   ; F ' x  tan x '        Vì cos 2 x cos 2 x  2 2    x   ;   2 2 Nêu thêm một số ví dụ khác : c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : f  x  1 x x   0;   click Định lý 1 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này . Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số . Chứng minh : Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C Hay G(x) = F(x) + C mọi x  K F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :  f  x  dx = F  x  + C Chú ý ; Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ 2 : a) Với x  (-  ; +  ) ,  2xdx  x b) Với x  ( 0 ; +  ) , 1  x dx  ln x  C c) Với x  ( -  ; +  ) ,  cos x.dx  sin x  C 2 C click 2. Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1 :  f '  x  dx = f  x  + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .   cos x  '.dx     sin x  .dx  cos x  C Ví dụ 3 : Tính chất 2 : Chứng minh :  kf  x  dx = k  f  x  dx Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) ' k 1 1  Vì k ≠ 0 nên f  x   F '( x)   F x     Theo t/c 1 ta có : k k  ' 1  1 f  x  dx  k   F ( x)  dx  k  F  x   C1   F  x   kC1 k  k   C1  R   F  x   C   k . f  x  dx Tính chất 3 :  f  x   g  x  dx =  f  x  dx   g  x  dx Tự chứng minh t/c này click Ví dụ 4 : Giải : f  x   3sin x  Tìm nguyên hàm của hàm số Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có : 2 x  0;   2 1  3sin x  dx  3 sin xdx  2      x dx  3cos x  2 ln x  C x 3. Sự tồn tại của nguyên hàm : Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K . Công nhận định lý này . Ví dụ 5 : a) Hàm số f  x  x 2 3 Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  ) 2 3 3 53  x .dx  5 .x  C b) Hàm số g  x  1 sin 2 x Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ 1  sin 2 x .dx   cot x  C click 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp :  0dx  C ax  a dx  ln a  C  0  a  1 x  dx  x  C   x dx  1 x 1  C  1  cos x.dx  sin x  C  1  x dx  ln x  C x x e dx  e C  Ví dụ 6 : a)  1  sin x.dx   cos x  C 1  cos2 x .dx  tan x  C 1  sin 2 x .dx   cot x  C Tính :  2   2 x  1  dx 3 2 x   0;    2 x 2 dx   x  2 3 dx 1 2 3  x  3x 3  C 3 click b) x 1 3cos x  3  dx   ;    3 cos xdx  1 x 3 dx 3 1 3x  3sin x  C 3 ln 3 3x 1  3sin x  C ln 3 Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. II - PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phƣơng pháp đổi biến số : a) Cho :   x  1 10 dx Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du b) Cho : ln x  x dx Định lý 1 : Nếu . f  u  du  F  u   C Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : Chứng minh :  Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt  f  u  x   .u '  x  .dx  F u  x    C Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) click Hệ quả : Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có Ví dụ 7 : Tính : Giải : Vì  f  ax  b  dx = 1 F  ax  b  + C a  sin  3x  1 .dx  sin udu   cos u  C Nên theo hệ quả ta có : 1 sin 3 x  1 dx   cos  3x  1  C    3 Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) . Ví dụ 8 : Giải : Tính : x   x  1 5 .dx Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và x   x  1 5 dx   x  x  1 5 dx  u 1 1 1 du    4  5 5 u u u Thay u = x + 1 vào kết quả , có : x   x  1 5 u 1 du 5 u Khi đó :  4 5  du   u du   u du  1 1 1 1   . 3  . 4 C 3 u 4 u dx  1 1 1 . .   C 3  x  1  4 x  1 3  click 1 2. Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần : Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :   x.cos x  '.dx Định lý 2 : &  cos x.dx Từ đó tính :  x.sin x.dx Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :  u  x  .v '  x  .dx  u  x  .v  x    u '  x  .v  x  .dx Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :  u  x  .v '  x  .dx   u  x  .v  x   '.dx   u '  x  .v  x  .dx  u  x  .v '  x  .dx  u  x  .v  x    u '  x  .v  x  .dx Vậy có : Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng : Ví dụ 9 : Giải : Tính : a) x xe  dx b)  u.dv = u.v   v.du  x.cos x.dx c)  ln x.dx a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :  x.e dx  x.e x x   e x .dx  x.e x  e x  C click b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :  x.cos xdx  x.sin x   sin x.dx  x.sin x  cos x  C 1 dx và v = x . Do đó : x  x.ln x  x  C c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì du   ln x.dx  x.ln x   dx Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần . x P x . e .dx     P  x  .ln x.dx u P  x ????? P(x) ????? P(x) dv e x .dx cosx.dx ????? ????? lnx.dx Ví dụ trắc nghiệm : A  P  x  .cos x.dx C 1 x 3. Bài tập về nhà : Tính : B  c 1 x dx 1 x C Kết quả là :  2 1 x  C D Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 2 C 1 x
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan