Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (5)

BÀI CŨ Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: • • • • a) F(x) = x2 b) F(x) = cosx c) F(x) = C (C là hằng số) d) F(x) = ex Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là 2x • a) F(x) = 2 • b) F(x) = 2x • c) F(x) = x2 + 4 • d) F(x) = x2 + 3x Ta đã học: Tính đạo hàm của hàm số F(x) (F(x))’=? Bài toán mới: Hàm số nào có đạo hàm là f(x) trên khoảng K ( ? )’=f(x) (hay Tìm F(x) để F’(x)=f(x)) F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : •1. Nguyên hàm : •Định nghĩa: •Cho hàm số f(x) xác định trên K •Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi xK Ví dụ: 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2 trên R? A. F(x) = 3x B. F(x) = 6x C. F(x) = x3 – 5 D. F(x) = x3 + 2x NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : Ví dụ: •1. Nguyên hàm : •Định nghĩa: •Cho hàm số f(x) xác định trên K •Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi xK 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2cosx trên R? A. F(x) = 1 – 2sinx B. F(x) = 2sinx C. F(x) = cos2x D. F(x) = sin2x NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : •1. Nguyên hàm : •Định nghĩa: •Cho hàm số f(x) xác định trên K •Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi xK Ví dụ: 3. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 1    f (x)  treân   ;  2 cos x  2 2 A. F(x) = tgx B. F(x) = -tgx C. F(x) = cosx D. F(x) = sinx PHIẾU HỌC TẬP Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R? A. F(x) = x2 B. F(x) = x2 + 5 C. F(x) = x2 - 2 D. F(x) = x2 + 2x Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm số f(x) = 2x trên R. NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : Ví dụ: •1. Nguyên hàm : •Định lý : •Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K •a)Hàm số G(x)= F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K •b) Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x)+C , vơi C là hằng số 4. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R? A. F(x) = x2 B. F(x) = x2 + 5 C. F(x) = x2 - 2 D. F(x) = x2 + 2x ? •Chöùng minh ñònh lyù: •F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân (a;b): •a) F(x)+C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f(x). •b) Moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ñeàu coù daïng F(x)+C Ta chöùng minh (F(x) + C)’=f(x) (F(x)+C)’=F’(x) + (C)’ F’(x)=f(x) =f(x) + 0 =f(x) Vaäy: F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : Họ nguyên hàm (tích phân bất định) của f(x): • 1. Nguyên hàm : •Định lý: •F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K •a)Hàm số G(x)= F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K Ví dụ: •b) Mọi nguyên hàm của 2xdx hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x)+C , vơi C là 1 hằng số f ( x ) dx  F ( x )  C    cos 2 x  x C 2 dx  tgx  C Sắp xếp các mảnh ghép sau để được một mệnh đề đúng. 4  x dx 4  C x  3  4 x dx  x  C 3 4 NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : Ví dụ: •2. Tính chất : •Tính chất 1:  f ' ( x)dx  f ( x)  C •Tính chất 2:  kf ( x)dx  k  f ( x)dx •(k là hằng số khác 0 •Tính chất 3:  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx 1.Tìm nguyên hàm của hàm số sau a) f(x) =(cosx)’ 2 b)f(x) = 3sinx+ x trên khoảng (0;+ ) NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : Ví dụ: •3. Sự tồn tại của nguyên hàm : •Định lí 3: •Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K •HS thừa nhận không chứng minh Tìm nguyên hàm của hàm số sau a) f ( x)  x 2 3 trên khoảng (0;+ ) 1 b) g ( x )  2 sin x treân khoaûng (k ; (k  1) ) kZ PHIẾU HỌC TẬP Điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải f’(x) 0 x 1 1 x ex a x ln a(a  0; a  1) cosx -sinx 1 cos 2 x 1  2 sin x f(x)+C NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :  0dx  C  dx  x  C x a x a  dx  ln a  C (a  0, a  1)  cos xdx  sin x  C 1  1  x dx    1 x  C (  1)  sin xdx   cos x  C 1  x dx  ln x  C 1  cos 2 x dx  tan x  C  x x e dx  e C  1  sin 2 x dx   cot x  C NGUYÊN HÀM I/ Nguyên hàm và tính chất : 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : Ví dụ: Tính a)  (2 x  1 2 3 x2 )dx treân khoaûng (0;) b)  (3cosx - 3x-1 )dxv treân khoaûng (-;) Chú ý :Từ đây ,yêu cầu tìm nguyên hàm của 1 hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó NGUYÊN HÀM II/ Phương pháp tìm nguyên hàm : •2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : HÑ6 : a)Cho  (x - 1) dx.Ñaët u  x -1 10 10 Haõy vieát (x - 1) dx theo u vaø du lnx t b) Cho  dx.Ñaët x  e x lnx Haõy vieát dx theo t vaø dt x NGUYÊN HÀM II/ Phương pháp tìm nguyên hàm : •1. Phương pháp đổi biến số : •Định lí 1: Neááu  f(u)du  F(u)  C vaø u  u(x)laø ha øm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc thì :  f(u(x))u' (x)dx  F(u(x))  C Heä quaû : Vôùi u  ax  b (a khaùc 0), ta coù  f (ax  b)dx  1 F (ax  b)  C Ví dụ: x Tính  dx 5 (x  5) NGUYÊN HÀM II/ Phương pháp tìm nguyên hàm : •2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : Ta coù (xcosx)'  cosx - xsinx  -xsinx  (xcosx)'-c osx Haõy tính  (xcosx)' dx vaø  cosxdx Töø ñoù  x sin xdx NGUYÊN HÀM II/ Phương pháp tìm nguyên hàm : •2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : •Định lí 2: Neááu hai haøm soá u  u(x) vaø v  v(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì :  u(x)v' (x)dx  u(x)v(x) -  u' (x)v(x)dx Chuù yù : Ví dụ: Tính a) xe x dx b)  x cos xdx c ) ln dx  Vì v' (x)dx  dv, u' (x)dx  du neân ta coù  udu  uv   vdu Điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần P ( x ) e dx P( x) ln xdx P ( x ) cos xdx    x u dv P(x) x e dx