Mô tả:
Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
F’(x) = f(x) =2x
a, F(x) = x2
F’(x) = f(x) = -sinx
b, F(x) = cosx
F’(x) = f(x) = 0
c, F(x) = C ( C là một hằng số )
F’(x) = f(x) = ex
d, F(x) = ex
Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là
1
a, F ( x ) 2
x
b, F ( x ) ln x x
c, F(x) = lnx
d, F(x) = x2 + 3
1
f ( x)
x
Ta đã học:
Tính đạo hàm của hàm số F(x):
(F(x))’ = ?
Bài toán mới:
Hàm số nào có đạo hàm là f(x) trên K (với K là
khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn của R.
( ? )’ = f(x)
Hãy tìm F(x) sao cho (F(x))’= f(x)
F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Trên
§1.
§2.
§3.
§ 1.
I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
2. Tính chất của nguyên hàm
I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng
của R .
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x K.
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên
K
Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x) = f(x) với
mọi x K.
Ví dụ: Hàm số nào sau đây
là nguyên hàm của hàm số
f(x) = 2cosx trên R?
A, F(x) = 1 – 2sinx
B, F(x) = 2sinx
C, F(x) = cos2x
D, F(x) = sin2x
Ví dụ 1.
a, Hàm F(x) = x2 nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R
vì F’(x) = (x2)’ = 2x trên R
b, Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số:
f
x
1
x
, x 0;
c, Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số
d,Hàm số F(x) = 2sinx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx
Trên R vì (F’(x)) = (2sinx)’ = 2cosx trên R
Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là
nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R?
a, F(x) = x2
b, F(x) = x2 + 5
c, F(x) = x2 - 2
d, F(x) = x2 + 2x
Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm
số f(x) = 2x trên R.
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên K thì
hàm số G(x) = F(x) + C cũng
là một nguyên hàm của f(x)
trên K
Định lí 2:
Ví dụ: Hàm số nào sau đây
không phải là nguyên hàm
của hàm số f(x) = 2x trên
R?
a,
a, F(x)
F(x)==x2
x2
b,
b, F(x)
F(x) == x2
x2 + 5
c,
c, F(x)
F(x) == x2
x2 - 2
d, F(x) = x2 + 2x
Nếu F(x) là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên K thì
mọi nguyên hàm của f(x) trên
K đều có dạng F(x) + C
( với C là hằng số.)
•Chöùng minh ñònh lyù:
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì
hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x)
trên K. ( với C là hằng số.)
Ta
chöùng
minh
(F(x)
+
C)’=f(x)
(F(x)+C)’=F’(x) + (C)’
=f(x) + 0
=f(x)
Vaäy:
F(x)
+
C
cuõng
laø
nguyeân haøm cuûa f(x)
F’(x)=f(x)
moät
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K
thì hàm số G(x) = F(x) + C
cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K(với C là hằng số)
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K
thì mọi nguyên hàm của f(x)
trên K đều có dạng F(x) + C
( với C là hằng số)
Họ nguyên hàm (hay tích
phân bất định) của f(x):
f ( x )dx F( x ) C
Ví dụ:
2 xdx x
2
C
1
cos 2 x dx tan x C
Chú ý:
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
f
'
x
dx
=
f
x
+
C
Ví dụ 3.
Suy ra từ định nghĩa
nguyên hàm .
(cos x)' dx ( sin x)dx cos x c
Tính chất 2
k
f
x
dx
=
k
f
x
dx
kf x dx = k f x dx
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :
kf(x) = F’(x)
Vì k
0 nên
1
1
f x
F '( x)
F
k
k
x
'
Theo t/c 1 ta có :
'
1
1
k f x dx k F ( x) dx k F x C1 F x kC1 C1 R
k
k
F x C
Tính chất 3:
f x g x dx = f x dx g x dx
Tự chứng minh t/c này.
Ví dụ 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số:
2
f x 3sin x , x 0;
x
Giải:
Với x ( 0 ; + ∞) , ta có :
1
3 sin xdx 2 dx 3 cos x 2 ln x C
x
Mệnh đề nào sau đây là sai
A.
B.
e
dx
e
C
x
x
2
dx
2
x
C
C. sin xdx cos x C
2
x
D. xdx
C
2
QUA BÀI HỌC CẦN NẮM ĐƯỢC
- Định nghĩa nguyên hàm của một hàm số trên K.
- Phân biệt rõ một nguyên hàm và họ nguyên hàm của
một hàm số (F(x) và F(x) + C )
- Nắm được 3 tính chất của nguyên hàm
Về nhà:
- Bài tập 1 sgk
- Đọc trước bài mới
- Xem thêm -