Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA §1 . §2 . §3 §1. I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: II/ PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN 1.Nguyên hàm: HÀM: 2.Tính chất của nguyên hàm : 1.Phƣơng pháp đổi biến số: 3.Sự tồn tại nguyên hàm: 4.Bảng nguyên hàm của 2. Phƣơng pháp tính nguyên một số hàm số thƣờng gặp: hàm từng phần: I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm: Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : a) f  x   3x 2 x   ;   1    b) f  x   2 x   ;  cos x  2 2 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K. Ví dụ 1: a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số 1 1    f  x   2 x    ;  Vì F '  x    tan x  '  2 cos x  2 2 cos x    x   ;   2 2 Nêu thêm một số ví dụ khác: c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : 1 f  x  x , x   0;   Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này. Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số . Chứng minh: Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó : (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K. Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K . Ta có : G(x) – F(x) = C Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x  K . F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu : f x dx = F x + C      Chú ý : Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ 2 : f x dx = F x + C      a) Với x  (-  ; +  ) , 2xdx  x  C  2 1 b) Với x  ( 0 ; +  ) ,  dx  ln x  C x  c) Với x  ( -  ; +  ) , cos x.dx  sin x  C 2.Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1: f ' x dx = f x + C      Ví dụ 3: Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .   cos x  '.dx     sin x .dx  cos x  C Tính chất 2: k f x dx = k f x dx       k f x dx = k f x dx       Chứng minh: Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ 0 nên 1 1 f  x  F '( x)   F k k Theo t/c 1 ta có : '   x   ' 1  1  k  f  x  dx  k   F ( x)  dx  k  F  x   C1   F  x   kC1  C1  R  k  k   F  x  C   k. f  x  dx Tính chất 3:  f  x  g  x dx =  f  x  dx   g  x  dx Tự chứng minh t/c này. Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: 2 f  x   3sin x  , x   0;   x Giải: Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có : 2 1    3sin x  x  dx  3 sin xdx  2 x dx  3cos x  2ln x  C 3.Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Công nhận định lý này . Ví dụ 5: a) Hàm số f  x  x 2 3 Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  ) 2 3 5 3 3  x .dx  5 .x  C 1 b) Hàm số g  x   sin 2 x Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ  1 .dx   cot x  C 2 sin x 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp :  0dx  C  dx  x  C 1  1  x dx    1 x  C   1   1 dx  ln x  C x e x dx  e  C x x a x a  dx  ln a  C  0  a  1  cos x.dx  sin x  C  sin x.dx   cos x  C 1  cos2 x .dx  tan x  C 1  sin 2 x .dx   cot x  C Ví dụ 6: Tính:  2 1  a)   2 x  dx , x   0;   3 2 x   2 1 3 2 3  2 x dx   x dx  x  3x  C 3  2 b) 3  3cos x  3 dx , x   ;   x 1 1 x  3 cos xdx   3 dx 3 1 3x  3sin x  C 3 ln 3 3x 1  3sin x  C ln 3 Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA II/ PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phƣơng pháp đổi biến số : a) Cho :   x  1 10 dx Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du b) Cho : ln x  x dx Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt Định lý 1: Nếu  f u  du  F u   C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : f u x . u ' x . dx  F u x  C            Chứng minh: Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))  (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) Hệ quả: Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có 1  f  ax  b  dx = a F  ax  b  + C Ví dụ 7: Tính:  sin  3x  1 .dx Giải: Vì  sin udu   cos u  C nên theo hệ quả ta có : 1  sin 3x 1 dx   3 cos 3x 1  C Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .