Mô tả:
NGUYÊN HÀM
1) Định nghĩa
Hàm số F(x) được gọi là nguyờn
hàm của hàm số f(x) trờn khoảng
(a; b) nếu với mọi số x ẻ (a; b) ta
cú F’(x) = f(x)
Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn
[a;b] thỡ ta phải cú thờm F’(a+) =
f(a) và F’(b-) = f(b)
NGUYÊN HÀM
2 + C (C là
Mọi
hàm
số
dạng
F(x)
=
x
Nhận xét:
hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của
f(x) = 2x và mọi hàm số G(x) = tgx +
C (C là hằng số tuỳ ý) đều là nguyên
hàm của g(x) = 1/cos2x
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
2) Định lí:
hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C
cũng là nguyên hàm của f(x) trên
khoảng đó
ĐỊNH LÝ
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới
dạng F(x) + C với C là một hằng số. Nói
cách khác:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
khoảng (a; b) suy ra F(x) + C với C R là
họ các nguyên hàm của f(x).
ĐỊNH LÝ
Người ta kí hiệu họ tất cả các
nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx đọc là tích phân bất định
của f(x) hay họ các nguyên hàm
của f(x). Như vậy, theo định
nghĩa f(x)dx = F(x) + C trong đó
F(x) là một nguyên hàm của f(x)
và C là hằng số tuỳ ý.
TÍNH CHẤT
3) Các tính chất của nguyên hàm
a) (f(x)dx)’ = f(x) Tính chất này
suy ra từ định nghĩa. Chú ý rằng
f(x)dx là họ các nguyên hàm có
dạng F(x) + C, trong đó F(x) là một
nguyên hàm của f(x) và C là một
hằng số tuỳ ý. Do đó bao giờ ta cũng
có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x). Đó là
kí hiệu (f(x)dx)’
b) af(x)dx = af(x)dx
(a ≠ 0)
CHỨNG MINH
af(x)dx theo định nghĩa là các họ nguyên hàm
của hàm số af(x). Mặt khác nều F(x) là một
Chứng minh:
nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có:
af(x)dx = a(F(x) + C) = aF(x) + C
Vì (aF(x))’ = aF’(x) = af(x) nên aF(x) là
một nguyên hàm của af(x). Vì a ≠ 0 và C là
một hằng số tuỳ ý, nên aC cũng là một hằng
số tuỳ ý. Do đó đẳng thức trên chứng tỏ rằng
af(x)dx cũng là họ các nguyên hàm của hàm
số af(x). Vậy ta có: af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0)
c) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx chứng minh
tương tự tính chất 2
d) f(t)dt = F(t) + C f(u(x))u’(x)dx = F(u(x)) + C
Nói cách khác: Nếu F(t) là một nguyên hàm của
hàm số f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số
f(u(x))u’(x)
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh rằng (F(u(x)))’ =
f(u(x))u’(x)
Thật vậy, đặt u = u(x), theo quy tắc tính đạo hàm
của hàm số hợp ta có (F(u(x)))’ = F’(u)u’(x). Vì theo
giả thiết F’(t) = f(t) nên F’(u) = f(u) = f(u(x)). Do đó:
(F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
4) Sự tồn tại của nguyên hàm
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Từ đây trở đi, ta giả thiết tất cả các hàm số
được xét đều liên tục, đo đó chúng đều có
nguyên hàm.
5) Bảng các nguyên hàm ( SGK )
CỦNG CỐ BÀI HỌC
Tìm c¸c tÝch ph©n bÊt ®Þnh sau:
a)
x dx
5
4
d ) ( x sin x)dx
x
3
a.
b)
4dx
x3
c)
3
2
xdx
x3 1
e) 2 dx
x
TIẾT HỌC
KẾT THÚC
- Xem thêm -