Mô tả:
Bài toán vật lý
• Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động
thẳng có phƣơng trình s=f(t) với f(t) là hàm
số có đạo hàm
• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
• Trong thực tế có khi ta gặp bài toán
ngƣợc là biết vận tốc v(t) tìm phƣơng trình
chuyển động s=f(t)
Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định
trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên
khoảng đó: F’(x)=f(x)
&1. NGUYÊN HÀM
I. Nguyên hàm và tính chất :
II. 1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phƣơng án đúng
Nhận xét
• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng
số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số
f(x)=2x Trên R
• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số
túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số
1
g( x ) 2 trªn các khoảng x¸c ®Þnh.
cos x
Tổng quát ta có định lý
b.Định lý:
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với
C là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x)
kí hiệu :
f ( x).dx F ( x) C
2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :
Tính chất 2 :
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
C
..(
k
0)
Tính chất 3 :
f ( x)dx f ( x) C
/
[
f
(
x
)
g
(
x
)]
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
3.Sự tồn tại nguyên hàm
Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
1. 0 dx C
a
x
C
5. a dx
ln a
2. dx X + C
6. cos x.dx Sinx + C
1 1
3. x dx x C 7. sin x.dx - Cosx + C
1
4.
1
1
dx Tanx + C
dx ln x C 8.
2
cos x
x
5. e dx e C
x
x
1
9.
dx - cotx + C
2
sin x
VD:Tính nguyên hàm
1
2
1
3
1. (3x
)dx 3 x dx x dx
1
x
3 4
x 2x 2 C
4
3
2, (2sin x 2 )dx 2 sin xdx 2 2 dx
x 1
x
x
2
2 cos x 2
C
ln 2
1
3, 2sin 2 x.cos xdx .2( sin xdx sin 3xdx)
2
1
cos x cos3x C
3
Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách
chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm
của 1 hàm số cho trước
- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm
1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C
VD 2
Chứng minh Rằng :
tan
x
x
C
tan
x
.
dx
2
Ta có :
tan
x
.
dx
2
(1
tan
x
1)
dx
2
1
( 2 1)dx tan x x C
cos x
1
Hàm số F( x ) cos 2 x là nguyên
2 3
hàm của hàm số nào sau đây?
1
a.
c.
f1 x sin 2 x
3
b.
1
f2 x sin 2 x
2 3
f3 x sin 2 x
2 3
d.
f4 x sin 2 x
3
ax 1
2. Xác định a để hàm số F x
là
x 1
một nguyên hàm của hàm số f x
a 1
trên R \ 1
1
1
/
Ta có
F ( x)
2
( x 1)
Suy ra : - a – 1 = 1
1
x 1
2
a 1
2
( x 1)
Vậy a = - 2
3. Cho f x
x 1
2x 1
và F x ax b 2. x 1
Xác định a, b để F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên 1
;
2
GIẢI:
1
F ( x) a. 2 x 1 (ax b).
2
x
1
a(2 x 1) ax b 3ax a b
1
2x 1
2x 1
a
/
Suy ra :
3a 1
a b 1
3
b 2
3
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số
F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm
của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R
1
Hàm số F( x ) 2 x là một nguyên
hàm của hàm số nào sau đây?
a. f1 x x
b.
f2 x
1
2x
x
c.
f3 x
d. f 4 x
1
4x x
1
4x x
Bài tập
Tìm F(x) biết F( x ) 2 xdx và F(1)=3
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 1+C=3C=2
Vậy F(x)=x2+2
II.PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phƣơng pháp đổi biến số:
a. Định lý 1 : nếu
và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì :
f (u)dx F (u) C
f
(
u
)
u
(
x
)
dx
F
(
u
(
x
))
C
/
b.Phƣơng pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính
f (u)u ( x)dx F (u( x)) C
/
VD: tính các nguyên hàm sau
1.
(2
x
1)
dx
B1: đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:
5
du
(2
x
1)
dx
u
.
2
1
1 5
1 6
6
u du u C (2 x 1) C
12
2
12
5
5
VD: tính các nguyên hàm sau
2.
x
x 5.dx
2
3
B1: đặt u x 5
2
B2:
du 3x dx
B3:
3
du
x dx
3
2
du
x
x
5.
dx
u
.
3
3
1
3
2 3
2
2 2
2
u .du u C ( x 5) 2 C
9
9
9
2
3
- Xem thêm -