Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (10)

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoangtuavartar

Đã đăng 24635 tài liệu

Mô tả:

Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phƣơng trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngƣợc là biết vận tốc v(t) tìm phƣơng trình chuyển động s=f(t) Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x) &1. NGUYÊN HÀM I. Nguyên hàm và tính chất : II. 1. Nguyên hàm : a. Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào a. F(x) = x2 b. F(x) = x2 + 3 c. F(x) = x2 - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phƣơng án đúng Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số 1 g( x )  2 trªn các khoảng x¸c ®Þnh. cos x Tổng quát ta có định lý b.Định lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) kí hiệu :  f ( x).dx  F ( x)  C 2.Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 :  Tính chất 2 : kf ( x ) dx  k f ( x )  C ..( k  0)   Tính chất 3 : f ( x)dx  f ( x)  C / [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    3.Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp x 1. 0 dx  C a x  C 5. a dx  ln a 2. dx  X + C 6. cos x.dx  Sinx + C 1  1  3. x dx  x  C 7. sin x.dx  - Cosx + C   1 4. 1 1 dx  Tanx + C dx ln x  C 8. 2 cos x x 5. e dx  e  C x x 1 9. dx - cotx + C 2 sin x VD:Tính nguyên hàm 1  2 1 3 1. (3x  )dx  3 x dx   x dx 1 x 3 4  x  2x 2  C 4 3 2,  (2sin x 2 )dx  2 sin xdx  2 2 dx x 1 x x 2  2 cos x  2 C ln 2 1 3,  2sin 2 x.cos xdx  .2(  sin xdx   sin 3xdx) 2 1   cos x  cos3x  C 3 Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C VD 2 Chứng minh Rằng : tan x  x  C tan x . dx   2 Ta có : tan x . dx   2 (1  tan x  1) dx  2 1   ( 2  1)dx  tan x  x  C cos x 1    Hàm số F( x )  cos   2 x  là nguyên 2 3  hàm của hàm số nào sau đây?  1    a. c. f1  x   sin  2 x   3  b. 1   f2  x    sin   2 x  2 3  f3  x   sin   2 x  2 3  d.   f4  x   sin   2 x  3  ax  1 2. Xác định a để hàm số F  x   là x 1 một nguyên hàm của hàm số f  x   a 1  trên R \ 1   1  1   / Ta có F ( x)  2 ( x  1) Suy ra : - a – 1 = 1 1  x  1 2 a  1  2 ( x  1) Vậy a = - 2 3. Cho f  x   x 1 2x  1 và F  x    ax  b  2. x  1 Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên  1    ;    2  GIẢI: 1 F ( x)  a. 2 x  1  (ax  b). 2 x  1 a(2 x  1)  ax  b 3ax  a  b   1  2x 1 2x 1 a / Suy ra : 3a  1  a  b  1  3  b  2  3 4. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R 1 Hàm số F( x )  2 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? a. f1  x   x b. f2  x   1 2x x c. f3  x    d. f 4  x   1 4x x 1 4x x Bài tập Tìm F(x) biết F( x )   2 xdx và F(1)=3 Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1)=3  1+C=3C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số: a. Định lý 1 : nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :  f (u)dx  F (u)  C f ( u ) u ( x ) dx  F ( u ( x ))  C  / b.Phƣơng pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính  f (u)u ( x)dx  F (u( x))  C / VD: tính các nguyên hàm sau 1. (2 x  1) dx  B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: 5 du (2 x  1) dx  u .   2 1 1 5 1 6 6   u du  u  C  (2 x  1)  C 12 2 12 5 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2. x  x  5.dx 2 3 B1: đặt u  x  5 2 B2: du  3x dx B3: 3 du  x dx  3 2 du x x  5. dx  u .   3 3 1 3 2 3 2 2 2 2   u .du  u  C  ( x  5) 2  C 9 9 9 2 3
- Xem thêm -