Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Trung học phổ thông Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (10)...

Tài liệu Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (10)

.PDF
23
108
119

Mô tả:

Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phƣơng trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngƣợc là biết vận tốc v(t) tìm phƣơng trình chuyển động s=f(t) Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x) &1. NGUYÊN HÀM I. Nguyên hàm và tính chất : II. 1. Nguyên hàm : a. Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào a. F(x) = x2 b. F(x) = x2 + 3 c. F(x) = x2 - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phƣơng án đúng Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số 1 g( x )  2 trªn các khoảng x¸c ®Þnh. cos x Tổng quát ta có định lý b.Định lý: • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) kí hiệu :  f ( x).dx  F ( x)  C 2.Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 :  Tính chất 2 : kf ( x ) dx  k f ( x )  C ..( k  0)   Tính chất 3 : f ( x)dx  f ( x)  C / [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx  g ( x ) dx    3.Sự tồn tại nguyên hàm Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp x 1. 0 dx  C a x  C 5. a dx  ln a 2. dx  X + C 6. cos x.dx  Sinx + C 1  1  3. x dx  x  C 7. sin x.dx  - Cosx + C   1 4. 1 1 dx  Tanx + C dx ln x  C 8. 2 cos x x 5. e dx  e  C x x 1 9. dx - cotx + C 2 sin x VD:Tính nguyên hàm 1  2 1 3 1. (3x  )dx  3 x dx   x dx 1 x 3 4  x  2x 2  C 4 3 2,  (2sin x 2 )dx  2 sin xdx  2 2 dx x 1 x x 2  2 cos x  2 C ln 2 1 3,  2sin 2 x.cos xdx  .2(  sin xdx   sin 3xdx) 2 1   cos x  cos3x  C 3 Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C VD 2 Chứng minh Rằng : tan x  x  C tan x . dx   2 Ta có : tan x . dx   2 (1  tan x  1) dx  2 1   ( 2  1)dx  tan x  x  C cos x 1    Hàm số F( x )  cos   2 x  là nguyên 2 3  hàm của hàm số nào sau đây?  1    a. c. f1  x   sin  2 x   3  b. 1   f2  x    sin   2 x  2 3  f3  x   sin   2 x  2 3  d.   f4  x   sin   2 x  3  ax  1 2. Xác định a để hàm số F  x   là x 1 một nguyên hàm của hàm số f  x   a 1  trên R \ 1   1  1   / Ta có F ( x)  2 ( x  1) Suy ra : - a – 1 = 1 1  x  1 2 a  1  2 ( x  1) Vậy a = - 2 3. Cho f  x   x 1 2x  1 và F  x    ax  b  2. x  1 Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên  1    ;    2  GIẢI: 1 F ( x)  a. 2 x  1  (ax  b). 2 x  1 a(2 x  1)  ax  b 3ax  a  b   1  2x 1 2x 1 a / Suy ra : 3a  1  a  b  1  3  b  2  3 4. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R 1 Hàm số F( x )  2 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? a. f1  x   x b. f2  x   1 2x x c. f3  x    d. f 4  x   1 4x x 1 4x x Bài tập Tìm F(x) biết F( x )   2 xdx và F(1)=3 Hướng dẫn: F(x)=x2+C Mà F(1)=3  1+C=3C=2 Vậy F(x)=x2+2 II.PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số: a. Định lý 1 : nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :  f (u)dx  F (u)  C f ( u ) u ( x ) dx  F ( u ( x ))  C  / b.Phƣơng pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính  f (u)u ( x)dx  F (u( x))  C / VD: tính các nguyên hàm sau 1. (2 x  1) dx  B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: 5 du (2 x  1) dx  u .   2 1 1 5 1 6 6   u du  u  C  (2 x  1)  C 12 2 12 5 5 VD: tính các nguyên hàm sau 2. x  x  5.dx 2 3 B1: đặt u  x  5 2 B2: du  3x dx B3: 3 du  x dx  3 2 du x x  5. dx  u .   3 3 1 3 2 3 2 2 2 2   u .du  u  C  ( x  5) 2  C 9 9 9 2 3
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan