Tài liệu Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11 (8)

TRƢỜNG THPT HÒN ĐẤT – H Đ – KG TỔ TOÁN BÀI DẠY GVTH : Nguyễn Minh Trƣờng f ( x)  x y f (1)  1 2 lim f ( x)  lim x  1 2 (P) x 1 1 o M 1 x x 1 lim f ( x)  f (1) x 1 Đồ thị là một đường liền nét g(1) = 1  lim g ( x ) x 1 Không tồn tại Đồ thị không là một đường liền nét Đồ thị là một đƣờng liền nét Đồ thị không là một đƣờng liền nét y 1 o 1 Hàm số không liên tục tại x=1 y 3 2 x  x o 1 Hàm số liên tục tại x=1 lim f ( x)  f (1) lim f ( x)  f (1) x 1 x 1 y Theo các em thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ? Đồ thị không là một đƣờng liền nét Hàm số không liên tục tại x=1 2 1 o 1 x f (1)  1 Hàm số phải thỏa điều kiện lim f ( x ) ® x 1  f (1) Các hàm số có tính chất giới hạn và giá trị của hàm số tại một điểm mà nó xác định là bằng nhau đóng một vai trò rất quan trọng trong giải tích và trong các nghành toán học khác. Ngƣời ta gọi đó là các hàm số liên tục HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.Hàm số liên tục tại một điểm: a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng Kvà x0K. Hàm số f(x) đƣợc gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0  3x 2  4 x  1  f ( x )  x 1 Cho hàm số :  5 VD1 : ; x 1 ; x 1 Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. y Đồ thị minh họa Ta có: f(1)=5 5 3x 2 4 x 1 ( x 1)(3x 1) lim f ( x)  lim  lim x1 x1 x 1 x1 ( x 1) 2 lim (3x 1)  3.11  2 x1 1 x Vì f(1) ≠ limf(x) x1 Hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 -2 -1 0 -1 1 2  x2 VD2 : Cho f ( x)   a ;x  0 ;x  0 Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 f(x)=f(0)= a Limf(x)=limf(x2)=0 khi x tiến về 0 Vậy a = 0 thì hàm số liên tục y y = x2 4 y=a a 2 Nhận xét : f(x) liên tục tại x0 thì đồ thị không bị đứt đoạn tại x0 1 y=0 -2 -1 0 -1 1 2 x II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG , ĐOẠN : Định nghĩa * f(x) liên tục trong (a;b)  f(x) liên tục tại mọi x0(a;b) f(x) liên tục trong (a;b)  f ( x)  f (a) : liên tục bên phải tại a * f(x) liên tục trên [a;b]  lim xa  f ( x)  f (b) : liên tục bên trái tại b lim x b Chú ý :   * Các hàm số gặp trong chƣơng trình nếu f(x) =…….. Cho bởi một công thức thì f(x) liên tục trên miền xác định của công thức đó. * Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đƣờng liền nét trên khoảng, đoạn đó. Dựa vào định lý về sự tồn tại giới hạn của hàm số tại một điểm ta có định lý sau: Định lý: Hàm số f liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi : lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 x  x0 Giải thích: Điều kiện cần và đủ để : đều tồn tại và bằng L lim f ( x)  là L x  x0 lim f ( x), lim f ( x) x  x0 x  x0 III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó Ví dụ: Chứng minh rằng phƣơng trình f(x) = x3 +2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm Giải Xét hàm số trên ta có : f(0)= - 5 và f(2) = 7 . Do đó, f(0).f(2) < 0 Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2] . Từ đó phƣơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0  ( 0 ; 2 ) Minh họa y  2 x o 1 (1) Ta có: f(0)=0 và: lim f ( x)  lim x  0 (2) lim f ( x )  lim ( x 2  1)  1 (3) x 0 x 0 (2)  (3)  không tồn tại Theo định nghĩa ta suy ra: x 0 x 0 lim f ( x) x0 f không liên tục tại x=0 x 2  1 neáux  0 f ( x)   neáux  0 x Minh họa y y=x2+1 1 y=x o x Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 Bước 1: Tính f(x0) f(x0) không xác định f (x) không liên tục tại x0 f(x0) xác định Bước 2: Tìm tiếp tục bước 2 lim f ( x) x x0 Giới hạn không tồn tại Giới hạn tồn tại f(x) không liên tục tại x0 tiếp tục bước 3 Bước 3: So sánh Không bằng nhau Bằng nhau f (x) không liên tục tại x 0 f (x) liên tục tại x0 Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 trên (-2;2) x0  (2;2) ta có: f(x0)=x02 và lim f ( x)  lim x 2  x02 x  x0 (1) (2) x  x0 (1)  (2)  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Theo định nghĩa ta suy ra: f(x) liên tục trên (-2;2)