1. Hàm số liên tục tại một điểm:
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên
một đoạn:
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Chứng minh rằng:
x3 1
khi x 1
a/ Hàm số y x 1
gián đoạn tại điểm x = 1
2
khi x 1
b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2].
Chứng minh rằng:
b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục
trên [-1, 2].
Giải
Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định
trên R.Với mọi x0 (-1, 2) ta có:
4
2
lim f ( x) lim ( x 2 x 2)
x x0
x x0
x04 2 x02 2 f ( x0 )
hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2)
Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x -1+
f(2) = 10 = lim f(x) khi x 2Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]
x3 1
khi x 1
y
a/ Hàm số
x 1
2
khi x 1
gián đoạn tại điểm x = 1
Giải
Với x = 1, f(1) = 2
Với mọi x 1 ta có:
x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1)
f ( x)
x 1
x 1
x2 x 1
Do đó:
2
lim f ( x) lim x x 1 3 2 f (1)
x 1
x 1
Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1
y
y = x4 – 2x2 + 2
Nhận xét:
Hàm fHàm
có liên
trên
hay2]không?
f cótục
liên
tụcđoạn
trên [-1,
đoạn2][-1,
10
Ta có: f(-1) = 1
f(2)
f(2) = 10
f(-1) f(2)
Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và
f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị
c (-1, 2) sao cho f(c) = M
Với mỗi M nằm giữa f(-1)
và f(2), hãy tìm c (-1, 2) sao
cho f(c) = M trong các trường
Tính f(-1) =
hợp sau:
f(2) =
M=5
M=2
2
M=
3
2
f(-1)
Trường hợp 1: M = 2
1
-1 0
2
Trường hợp 3: M = 5
x
y
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lí 2: (định lí về giá trị
trung gian của hàm số liên tục)
y = f(x)
f(b)
Giả sử hàm số f liên tục trên
đoạn [a, b]. Nếu f(a) f(b) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),
tồn tại ít nhất một điểm c (a, b)
sao cho f(c) = M.
f(c) = M
y=M
M
Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
[a, b] và M là một số thực nằm giữa
f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M
cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít
nhất tại một điểm có hoành độ
c (a, b)
f(a)
b
a
0
c
x
y = x2 + 1
3. Tính chất của hàm số liên tục:
y
Cho hàm số:
x 2 1
f ( x) 1
2
2
khi x 1
khi x 1
1
Tìm lỗi sai trong lời giải sau:
Giải
Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0]
Lại có f(-2) = 5 1 = f(0)
Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm
c (-2, 0) sao cho f(c) = M
1
2
-1 0
x
Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không?
Nhận xét:
y
1.
1.Hàm
Hàmsốsốy y= =f(x)
f(x)
cócó
liênliên
Hệtục
quả:
tục
trên
trênđoạn
đoạn[a,
[a,b]
b].hay không?
y = f(x)
f(b)
M
f(c) = 0
a
0
f(a)
y=0
c
b
x
Nếu2.
f liên tục
2.hàm
Tíchsốf(a).f(b)
Tích
f(a).f(b)
như
<
0trên
thếđoạn
[a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nào?
nhất một điểm c (a, b) sao cho
Theo định lí 2, tồn tại ít nhất
f(c) = 0.
một điểm c (a, b) sao cho
f(c)=M,
mỗihọc
M của
nằmhệ
giữa
f(a)
Ý nghĩavới
hình
quả:
và f(b).
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với
[a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm
c (a, b).
số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại
Khi
Khi đó:
đó
c đượcđộ
gọic là
một điểm
có hoành
gì
(a,của
b).
phương
c được
trình gọi
f(x) là
= 0?
nghiệm của
phương trình f(x) = 0
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Áp dụng:
Chứng minh phương trình có
nghiệm trong một khoảng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì
phương trình f(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm trong khoảng (a, b).
Để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phương trình ta thực
hiện như sau:
+ Tìm hàm f(x)
+ Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên
tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0
+ Kết luận.
Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - 1.
Chứng minh rằng phương trình
P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương
nhỏ hơn 1.
Giải
Ta có:
+ P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn
[0, 1].
+ P(0) = -1
+ P(1) = 1
P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm
c (0, 1) sao cho P(c) = 0
Do đó: x = c chính là một nghiệm
dương nhỏ hơn 1 của phương trình
P(x) = 0
Định lí 2:
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b].
nếu f(a) f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa
f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c (a, b)
sao cho f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M
là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường
thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít
nhất tại một điểm có hoành độ c (a, b)
Hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b)
sao cho f(c) = 0.
Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục
hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ
c(a, b).
Hãy dự đoán phương trình
x4-x3–3=0 có ngiệm hay không?
Ta có:
+ f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn
[-2, 0].
+ Tìm hàm f(x)?
+ f(-2).f(0)
= 5.(-3)
-15
- Xem thêm -