Tài liệu Bài giảng bài giới hạn của hàm số giải tích 11 (4)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN Gv: Trần Xuân Thiện Trường THPT Nguyễn Huệ Thái Nguyên, ngày 12 tháng 01 năm 2013 Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa 2. Định lí về giới hạn hữu hạn 3. Các ví dụ §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa x 4 Hoạt động 1: Cho hàm số f  x   x2 2 và hai dãy số: 2n  3 9  4n '' x  ; xn  n 2n ' n ?1: Tính lim xn’ và lim xn”. ?2: Tính f(x’n), f(x”n) Rút gọn biểu thức f(x) ?3: Tính lim f(xn’) và lim f(xn”) §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ? Với dãy số (xn) bất kì, xn ≠ 2 và lim xn = 2 thì lim f(xn) = ? §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Như vậy với dãy số bất kì (xn), xn ≠ 2 và xn 2, ta luôn có f(xn)  4. (Với tính chất thể hiện trong hoạt động 1, ta nói hàm số f ( x)  x  4 có giới hạn là 4 khi x dần tới 2) 2 x2 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Dưới đây, thay cho các khoảng (a; b), (a; +), (-; b), hoặc (-; +) ta viết chung là khoảng K. ĐỊNH NGHĨA 1 Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{xo}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn  K\{xo} và xnx0, ta có f(xn) L. Kí hiệu: lim f  x   L hay f(x) L khi x  x0 x x0 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2 2x  2x Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = x 1 CMR: lim f ( x)  2 x 1 Giải. Hàm số đã cho xác định trên \ 1 -Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn≠ 1 và xn 1 khi n + Ta có: 2 2x x 1 2 xn  2 xn lim f ( xn )  lim  lim xn  1 Do đó lim f ( x)  2 x 1 n  n x n 1   lim2 x n 2 (Lưu ý rằng, mặc dù f(x) không xác định tại x = 1, nhưng hàm số lại có giới hạn là 2 khi x  1). Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa: -Lấy dãy số (xn) bất kì, xn ≠ x0 , xnx0. -Tính lim f(xn) §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NHẬN XÉT: lim x  x0 ; lim c  c x  x0 x  x0 lim x n  x0n ; lim cx n  c.x0n với c là hằng số. x x x x 0 0 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.Định lý giới hạn hữu hạn: Định lí 1: a) Giaûsöûlim f  x   L vaølim g  x   M khi ñoù * * * * x x0 x x0 lim  f  x   g  x    LM lim  f  x   g  x    LM lim  f  x  .g  x    L .M x  x0 x  x0 x  x0 lim x  x0 f  x g x  L M  Neáu M  0  f  x  0  b) Neá u thì L  0 vaølim f  x   L x x0 f  x  L  xlim  x0 ( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 ) §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x)  2 x 2 Bài Giải: Theo định lí 12 ta có 2 x  1) x  1 lim( x 3 lim f ( x)  lim  x 3 x 3 2 x lim 2 x x 3 lim x.lim x  lim1 3.3  1 5 3 x 3 x 3  x 3  x 3 x 3   lim 2.lim x lim 2. lim x 3 2 3 x 3 x 3 lim x 2  lim1 x 3 x 3 .Tìm lim f ( x) x 3 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ x  x2 Ví dụ 3: Tính lim x 1 x 1 Bài giải Vì (x - 1)0 khi x1, nên ta chưa thể áp dụng định lí 1 nêu trên . 2 Nhưng với x  1 ta có x  x  2  ( x  1)( x  2)  x  2 2 Do đó : x 1 x 1 x2  x  2 ( x  1)( x  2) lim  lim  lim( x  2)  3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 4 : Tính các giới hạn sau : x 3 1 1 1 x 3  lim  lim   a) lim 2 x 3  x  3  x  5  x 3 x  5 x 3 x  2x  15 35 8 x2 1 b) lim 2 x 1 x  3x  2 (x  1)(x  1) x 1  lim  lim  2 x 1  x  1 x  2  x 1 x  2 x 3 2  lim c) lim xx 11 x 1 x 1   x 3 2  x 3 2  x  1  x  3  2  xx 11  11 11 lim lim  lim  lim  11 xx  xx 11  xx 33  22 xx11  xx3322  4 4 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.Củng cố và dặn dò: -Qua bài học cần nắm được định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. -Định lý giới hạn hữu hạn của hàm số - Đọc trước phần tiếp theo của bài. 2.Bài tập về nhà: 1,2,3 (SGK) x 3 1/ lim 2 x 3 x  2x  15 x3  1 1 3 / lim x 0 x2  x 2 x 2 2 / lim 2 x 7 x  49 x 3  x 2  2x  8 4 / lim x 2 x 2  3x  2