Mô tả:
Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM
SỐ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
TẠI MỘT ĐIỂM
1.Định nghĩa
Hoạt động 1:
Xét hàm số
2 x2 2 x
f ( x)
x 1
1. Cho biến x những giá trị khác
1 lập thành dãy số (xn), xn1
như trong bảng sau:
3
4
5
x x1=2 x2= x3= x4=
2
3
4
n 1
… xn =
…
n
f(x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) …
f(xn)
…
1
?
Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số
f(x1), f(x2), …, f(xn),….
Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).
a)
Chứng minh rằng f(xn) = 2xn=
b)
Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).
2n 2
n
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn≠1 và xn1,
ta luôn có f(xn)2.
(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm
2 x2 2 x
số f ( x)
có giới hạn là 2 khi x dần tới 1)
x 1
Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ),
( ;b), ta viết chung là khoảng K.
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số f= f(x) xác định
trên K hoặc trên K\{xo}.
Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới xo
nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{xo} và viết xnx0, ta
có f(xn) L.
Kí hiệu: lim hay f(x) L khi x x0
x 4
x2
2
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) =
Chứng minh rằng
lim f ( x) 4
x 2
Giải. Hàm số đã cho xác định trên R\{-2}.
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn -2 và xn -2 khi
n
2
Ta có:
x 2 x 2
xn 4
lim f ( xn ) lim
lim
xn 2
Do đó
f ( x) 4
lim
x 2
n
n
x n 2
lim
xn 2 4
(Lưu ý rằng, mặc dầu f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại
có giới hạn là -4 khi x -2).
NHẬN XÉT
lim x x 0 ; limc c
x x0
x x0
với
c là hằng số.
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 1
a)
Giả sử
lim f ( x)và L
x xo
g ( xđó
)M
. Khi
lim
x xo
lim[f(x)+g ( x)]
LM
x xo
lim[f(x)-g ( x)] L M
x xo
lim[f(x).g ( x)] L.M
x xo
lim
x xo
f(x)
L
( M 0)
g ( x)
M
b)Nếu f(x) 0 và , thì
L 0 và
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với )
x 1
f ( x) Tìm
2 x
2
Ví dụ 2. Cho hàm số
lim f ( x)
x 3
Giải. Theo định lí 1 ta có
2
(x
lim
x 1
lim f ( x) lim 2 x
lim2
limx.limx lim1 3.3 1
2 3
lim2. limx
2
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
1)
limx lim1
lim2.lim x
2
x 3
x
x 3
x 3
x 3
x x2
lim
x 1
x 1
2
Ví dụ 3. Tính
Giải.Vì (x-1) 0 khi x
1 , nên ta chưa thể áp
dụng định lí 1 nêu trên .
2
x x 2 ( x 1)( x 2)
Nhưng với x 1ta có
x2
x 1
x 1
Do đó :
x2 x 2
( x 1)( x 2)
lim
lim( x 2) 3
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
3. Giới hạn một bên
Trong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số
khi xx0. Giá trị xn có thể lớn hơn hay nhỏ hơn
x0.
Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà xn luôn lớn hơn x0
(hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới
hạn một bên như dưới đây.
ĐỊNH NGHĨA 2
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b).
số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y =
f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0xn>a và xn x0, ta có f(xn) L.
Kí hiệu:
lim f
x xo
( x) L
Ta thừa nhận định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ 2
lim f ( x) L khi và chỉ khi
lim f ( x) lim f ( x) L
x xo
x xo
x xo
Ví dụ 4. Cho hàm số
Tìm
Giải.
Ta có ,
5x 2, x 1
f x 2
x 3, x 1
x)
có )
lim f ( x), lim f ( x), lim f ((Nếu
x 1
x 1
x 1
2
2
f
(
x
)
(
x
3)
1
3 2
lim
lim
x 1
x 1
lim f ( x) lim(5x 2) 5.1 2 7
x 1
x 1
Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái là -2
ftồn
( x) tại vì
và giới hạn bên phải là 7. Tuy nhiên,
không
lim
x 1
lim f ( x) lim f ( x)
x 1
x 1
Hoạt động 2
Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở ví
dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới
hạn là -2 khi x1?
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Làm bài tập SGK
- Xem thêm -