Bài giảng bài giới hạn của hàm số giải tích 11 (3)

  • Số trang: 17 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
hoangtuavartar

Đã đăng 24608 tài liệu

Mô tả:

Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa Hoạt động 1: Xét hàm số 2 x2  2 x f ( x)  x 1 1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số (xn), xn1 như trong bảng sau: 3 4 5 x x1=2 x2= x3= x4= 2 3 4 n 1 … xn = … n f(x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) … f(xn) … 1 ? Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2), …, f(xn),…. Cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)). a) Chứng minh rằng f(xn) = 2xn= b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)). 2n  2 n 2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn≠1 và xn1, ta luôn có f(xn)2. (Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm 2 x2  2 x số f ( x)  có giới hạn là 2 khi x dần tới 1) x 1 Dưới đây, thay cho các khoảng (a;b), (a; ), ( ;b), ta viết chung là khoảng K. ĐỊNH NGHĨA 1 Cho khoảng K chứa điểm xo và hàm số f= f(x) xác định trên K hoặc trên K\{xo}. Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới xo nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{xo} và viết xnx0, ta có f(xn) L. Kí hiệu: lim hay f(x) L khi x  x0 x 4 x2 2 Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = Chứng minh rằng lim f ( x)  4 x 2 Giải. Hàm số đã cho xác định trên R\{-2}. Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn -2 và xn -2 khi n   2 Ta có: x 2 x 2   xn  4 lim f ( xn )  lim  lim xn  2 Do đó f ( x)  4 lim x 2  n n x n 2   lim  xn  2  4 (Lưu ý rằng, mặc dầu f(x) không xác định tại x= -2, nhưng hàm số lại có giới hạn là -4 khi x  -2). NHẬN XÉT lim x  x 0 ; limc  c x  x0 x  x0 với c là hằng số. Ta thừa nhận định lí sau đây. Định lí 1 a) Giả sử lim f ( x)và L x  xo g ( xđó )M . Khi lim x  xo lim[f(x)+g ( x)]  LM x  xo lim[f(x)-g ( x)]  L  M x  xo lim[f(x).g ( x)]  L.M x  xo lim x  xo f(x) L  ( M  0) g ( x) M b)Nếu f(x) 0 và , thì L 0 và (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với ) x 1 f ( x)  Tìm 2 x 2 Ví dụ 2. Cho hàm số lim f ( x) x 3 Giải. Theo định lí 1 ta có 2 (x lim x 1 lim f ( x)  lim 2 x  lim2 limx.limx  lim1 3.3  1   2 3 lim2. limx 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3  1) limx  lim1  lim2.lim x 2 x 3 x x 3 x 3 x 3 x  x2 lim x 1 x 1 2 Ví dụ 3. Tính Giải.Vì (x-1) 0 khi x  1 , nên ta chưa thể áp dụng định lí 1 nêu trên . 2 x  x  2 ( x 1)( x  2) Nhưng với x  1ta có   x2 x 1 x 1 Do đó : x2  x  2 ( x  1)( x  2)  lim  lim( x  2)  3 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3. Giới hạn một bên Trong Định nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi xx0. Giá trị xn có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x0. Nếu ta chỉ xét các dãy (xn) mà xn luôn lớn hơn x0 (hay luôn nhỏ hơn x0), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên như dưới đây. ĐỊNH NGHĨA 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b). số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0xn>a và xn x0, ta có f(xn) L. Kí hiệu: lim f  x  xo ( x)  L Ta thừa nhận định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 2 lim f ( x)  L khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x)  L x  xo x  xo x  xo Ví dụ 4. Cho hàm số Tìm Giải. Ta có , 5x  2, x  1 f  x   2  x  3, x  1 x) có ) lim f ( x), lim f ( x), lim f ((Nếu x 1 x 1 x 1 2 2 f ( x )  ( x  3)  1  3  2 lim lim x 1 x 1 lim f ( x)  lim(5x  2)  5.1  2  7 x 1 x 1 Như vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái là -2 ftồn ( x) tại vì và giới hạn bên phải là 7. Tuy nhiên, không lim x 1 lim f ( x)  lim f ( x) x 1 x 1 Hoạt động 2  Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x1? HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Làm bài tập SGK
- Xem thêm -