Tài liệu Bài giảng bài giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số giải tích 12 (7)

Bài giảng lớp12 10/22/2013 XÐt c¸c h¯m sè: 1) f(x) = cosx trªn tËp c¸c sè thùc ThÊy : x  th× *) -1  cosx  1 *) cosx = 1  x=2k , k  *) cosx = -1  x=(2k+1) , k  Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất y là (-1) trên 5 4 3 2) g(x) = x2 trªn D = -1; 2 g(x) = x2 2 1 ThÊy x  -1; 2  th× 0  x 2  4. v¯ g(x) = 0 víi x=0  -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2  -1; 2  -4 -3 -2 -1 o 1 2 x 3 4 5 -1 Ta nói hàm số g(x)  x 2 đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá trị nhỏ nhất là 1 trên tập D 10/22/2013 1. Định nghĩa Gi° sö h¯m sè f x¸c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D  ). a ) NÕu tån t¹i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè M = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña h¯m sè f trªn D KÝ hiÖu: M = max f (x). xD b) NÕu tån t¹i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè m = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D KÝ hiÖu: m = min f (x). xD * Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước: b1) f(x)  M (hoÆc f(x)  m) víi mäi x  D. b2) x0  D: f(x0 ) = M (hoÆc f(x0 ) = m ). Quy ước: Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số mà không nói rõ trên tập nào thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số 10/22/2013 2. Ví dụ Ví dụ1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: f(x)  2x3  3x 2 +1 trªn ®o¹n -2; 1 . Nhận xét: Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 10/22/2013 Quy tắc tìm đạo hàm của hàm số liên tục trên 1đoạn Gi° sö h¯m sè f liªn tôc trªn ®o¹n  a; b  v¯ cã ®¹o h¯m trªn kho°ng (a; b), cã thÓ trõ mét sè h÷u h¹n ®iÓm. NÕu f'(x) = 0 chØ t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm thuéc (a; b) th× ta cã quy t¾c t×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m f trªn ®o¹n  a; b  nh­ sau: b1) T×m c¸c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t¹i ®ã h¯m sè f cã ®¹o h¯m bºng 0 hoÆc kh«ng cã ®¹o h¯m. b2) TÝnh f(x1tắc: ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b). Quy b3) So s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc - Sè lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  . - Sè nhá nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  . 10/22/2013 Ví dụ 2: Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o¹n -2; 3 . x3 b) f(x) =  2x 2  3x  4 trªn ®o¹n -4; 0  3 1 c) f(x) = x + trªn kho°ng (1; +). x-1 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b] b1) T×m c¸c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t¹i ®ã h¯m sè f cã ®¹o h¯m bºng 0 hoÆc kh«ng cã ®¹o h¯m. b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b). b3) So s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc * Sè lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  . * Sè nhá nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  . 10/22/2013 Ví dụ 3: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán: Bài 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña h¯m sè: f(x) = sin 4 x  cos4 x Lời giải x  :sin 4 x  0 v¯ cos4 x  0 nªn f(x)  0. Do ®ã min f(x)=0. x V× sin 4 x  1 v¯ cos4 x  1 víi mäi x  Do ®ã max f(x)  2 nªn f(x)  1+1=2. x Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2. Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2 Gợi ý lời giải: 1 BiÕn ®æi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2  2 sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2x 2 1 Tõ ®ã dÔ d¯ng thÊy kÕt qu°: max f(x)  1;min f(x)  x x 2 10/22/2013 Bài 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: Lời giải x2 y= trªn ®o¹n x 1 1 3 2 ; 2   2x(x-1)-x 2 x 2  2x Cã: y' =  . 2 2 (x  1) (x  1) 1 3 XÐt g(x) = x 2  2x, dÔ thÊy g(x) < 0 víi mäi x   ;  . 2 2 1 3 Do ®ã: y' < 0 , x   ;  . 2 2 1 3  H¯m sè ®¬n ®iÖu gi°m trªn  ;  . 2 2 1 1 3 9  max f(x)  f( )  ; min f(x)  f( )  1 3 2 2 x 1 ; 3  2 2 x ;  2 2 2 2 Nguyªn nh©n sai lÇm: 1 3 Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = 1   ;  nªn kh«ng thÓ 2 2 ¸p dông quy t¾c t×m GTLN, GTNN trªn mét ®o¹n 10/22/2013 Ghi nhớ: 1) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Gi° sö h¯m sè f x¸c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D  ). a ) NÕu tån t¹i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x mäim) x làDgiá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) 2) Muốn chứng minh số0 )Mvíi (hoặc th× số sè fMtrên = f(x ®­îc trÞ lín nhÊt2bước: cña h¯m sè f trªn D của hàm tập0 )hợp D gäi , ta l¯ cầngi¸ chứng minh KÝ f (f(x) x).  m) víi mäi x  D. b1)hiÖu: f(x) M  = M max (hoÆc xD x 0tån  D: = M x(hoÆc f(x 0 ) cho = m ). bb2) ) NÕu t¹if(x mét 0 ) ®iÓm 0  D sao f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè m = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D 3) Sử KÝ dụng đạomhàm vàof bài hiÖu: = min (x).toán tìm GTLN, GTNN : xD * Lập bảng biến thiên. * Dùng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn 10/22/2013 BÀI TẬP VỀ NHÀ Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22. Xem lại bài vừa học Chuẩn bị bài kết tiếp 10/22/2013