Tài liệu Bài giảng bài giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số giải tích 12 (3)

Chào mừng các thầy cô giáo đến dự giờ môn toán lớp12 BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 10/22/2013 KIỂM TRA BÀI CŨ: Bài tập: Xét chiều biến thiên của hàm số f(x)  2x3  3x 2 +1 10/22/2013 XÐt c²c h¯m sè: 1) f(x) = cosx trªn tËp c²c sè thùc ThÊy : x  th× *) -1  cosx  1 *) cosx = 1  x=2k , k  *) cosx = -1  x=(2k+1) , k  Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất y là (-1) trên 5 4 3 2) g(x) = x2 trªn D = -1; 2 g(x) = x2 2 1 ThÊy x  -1; 2  th× 0  x 2  4. v¯ g(x) = 0 víi x=0  -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2  -1; 2  -4 -3 -2 -1 o 1 2 x 3 4 5 -1 Ta nói hàm số g(x)  x 2 đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá trị nhỏ nhất là 1 trên tập D 10/22/2013 1. Định nghĩa Gi° sö h¯m sè f x²c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D  ). a ) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè M = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña h¯m sè f trªn D KÝ hiÖu: M = max f (x). xD b) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè m = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D KÝ hiÖu: m = min f (x). xD * Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước: b1) f(x)  M (hoÆc f(x)  m) víi mäi x  D. b2) x0  D: f(x0 ) = M (hoÆc f(x0 ) = m ). Quy ước: Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số mà không nói rõ trên tập nào thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số 10/22/2013 2. Ví dụ Ví dụ1. T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: f(x)  2x3  3x 2 +1 trªn ®o³n -2; 1 . Ví dụ 2. Mét h×nh hép kh«ng n¾p ®­îc l¯m tõ mét m°nh c²c t«ng theo mÉu h×nh 1.1. Hép cã ®²y l¯ h×nh vu«ng c³nh x (cm), chiÒu cao l¯ h (cm) v¯ cã thÓ tÝch l¯ 500cm 3 . a) H±y biÓu diÔn h theo x. b) TÝnh diÖn tÝch S(x) cña m°nh c²c t«ng theo x. c) T×m gi² trÞ cña x sao cho S(x) nhá nhÊt. h h x x Hình 1.1 10/22/2013 10/22/2013 10/22/2013 Nhận xét: Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm đạo hàm của hàm số liên tục trên 1đoạn Gi° sö h¯m sè f liªn tôc trªn ®o³n  a; b  v¯ cã ®³o h¯m trªn kho°ng (a; b), cã thÓ trõ mét sè h÷u h³n ®iÓm. NÕu f'(x) = 0 chØ t³i mét sè h÷u h³n ®iÓm thuéc (a; b) th× ta cã quy t¾c t×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m f trªn ®o³n  a; b  nh­ sau: Quy tắc: b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0 hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m. b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b). b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®­îc - Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  . - Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  . 10/22/2013 Ví dụ 3: Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o³n -2; 3 . x3 b) f(x) =  2x 2  3x  4 trªn ®o³n -4; 0  3 1 c) f(x) = x + trªn kho°ng (1; +). x-1 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b] b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0 hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m. b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b). b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®­îc * Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  . * Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  . 10/22/2013 Ví dụ4: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán: Bài 1 T×m gi² trÞ lín nhÊt cña h¯m sè: f(x) = sin 4 x  cos4 x Lời giải x  :sin 4 x  0 v¯ cos4 x  0 nªn f(x)  0. Do ®ã min f(x)=0. x V× sin 4 x  1 v¯ cos4 x  1 víi mäi x  Do ®ã max f(x)  2 nªn f(x)  1+1=2. x Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2. Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2 Gợi ý lời giải: 1 BiÕn ®æi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2  2 sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2x 2 1 Tõ ®ã dÔ d¯ng thÊy kÕt qu°: max f(x)  1;min f(x)  10/22/2013 x x 2 Bài 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: Lời giải x2 y= trªn ®o³n x 1 1 3 2 ; 2   2x(x-1)-x 2 x 2  2x Cã: y' =  . 2 2 (x  1) (x  1) 1 3 XÐt g(x) = x 2  2x, dÔ thÊy g(x) < 0 víi mäi x   ;  . 2 2 1 3 Do ®ã: y' < 0 , x   ;  . 2 2 1 3  H¯m sè ®¬n ®iÖu gi°m trªn  ;  . 2 2 1 1 3 9  max f(x)  f( )  ; min f(x)  f( )  1 3 2 2 x 1 ; 3  2 2 x ;  2 2 2 2 Nguyªn nh©n sai lÇm: 1 3 Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = 1   ;  nªn kh«ng thÓ 2 2 ¸p dông quy t¾c t×m GTLN, GTNN trªn mét ®o¹n 10/22/2013 Ghi nhớ: 1) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Gi° sö h¯m sè f x²c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D  ). a ) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0  D sao cho f(x)  f(x mäim) x làDgiá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) 2) Muốn chứng minh số0 )Mvíi (hoặc th× số sè fMtrên = f(x ®­îc trÞ lín nhÊt2bước: cña h¯m sè f trªn D của hàm tập0 )hợp D gäi , ta l¯ cầngi¸ chứng minh KÝ f (f(x) x).  m) víi mäi x  D. b1)hiÖu: f(x) M  = M max (hoÆc xD x 0tån  D: = M x(hoÆc f(x 0 ) cho = m ). bb2) ) NÕu t³if(x mét 0 ) ®iÓm 0  D sao f(x)  f(x 0 ) víi mäi x  D th× sè m = f(x 0 ) ®­îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D 3) Sử KÝ dụng đạomhàm vàof bài hiÖu: = min (x).toán tìm GTLN, GTNN : xD * Lập bảng biến thiên. * Dùng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22. 10/22/2013 x a b x a b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], có f’ đạo hàm trên-khoảng (a; b), có thể f’ trừ một sốf(a) hữu hạn điểm. Nêu cách tìm giá trị lớn f nhất và nhỏ nhất của hàm số trênf đoạn [a; b] f(b) x f’ x1 a - 0 0 - 0 + f(b) f(x 2 ) f(x1 ) b x4 f(x3 ) f 10/22/2013 x3 + f(a) f(b) f(a) x2 + + f(x 4 ) Bài 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: x2 y= trªn ®o³n x 1 Hướng dẫn giải: 1 3 2 ; 2   2x(x-1)-x2 x 2  2x 1 3 2 Cã: y' =  . §Æt g(x) = x  2x  g(x) < 0 ,  x  ; . 2 2  (x  1) (x  1) 2 2 B°ng biÕn thiªn: 3 x 1 1 2 y’ y 2 -  1 2  9 2 Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã cho . 10/22/2013 Nhóm 1 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o³n -2; 3 . Bài giải 10/22/2013 Nhóm 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: x3 b) f(x) =  2x 2  3x  4 trªn ®o³n -4; 0 3 Bài giải 10/22/2013 Nhóm 1 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè: c) f(x) = x + 1 trªn kho°ng (1; +). x-1 Bài giải 10/22/2013 Cảm ơn các thầy cô giáo đã chú ý theo dõi! Chúc các em học tập tốt! 10/22/2013