Tài liệu Ba phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 ≥ 8 ∀x ∈ R. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 ⇔ 4 − 20 + 2 y ≥ 0 ⇔ y ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x = 1 . Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ 0 + +∞ y -∞ 8 Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…) Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 ≥ 0 … thì hỏng rồi! BÀI TẬP MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : S = sin x + cos x . HD.cách 1.( BDT). Ta có 1 = sin 2 x + cos 2 x ≤ sin x + cos x = S ⇒ min S = 1 . π S = sin x + cos x ≤ (1 + 1)(sin x + cos x ) = 2 2 sin( x + ) ≤ 2 2 ⇒ MaxS = 2 2 . 4 Cách 2.( ĐH) S = sin x + cos x ⇒ S 2 = s inx + cos x + 2 s inx.cos x . Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải cos x + 2 sin x + 3 trong khoảng (−π ; π ) . 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3 phải có nghiệm HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình S = 2 cos x − sin x + 4 ⇔ 4 S − 3 = (S + 2) sin x + (1 − 2 S ) cos x có nghiệm 2 ⇒ (S + 2) 2 + (1 − 2S ) 2 ≥ (4S − 3) 2 ⇒ ≤ S ≤ 2. 11 Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất S = x 2 Cách 2.( ĐH). Đặt t = tg ⇒ sin x = 2t 1− t2 = ; cos x .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn 1+ t2 1+ t2 t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : f = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 . HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn − 2 ; 2 . [ ] Cách 2.Đặt t = x + 2 − x 2 ⇒ ñieàu kieän t .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT Cách 3.( Vevtơ). Đặt u = ( x;1; 2 − x 2 ), v = (1; 2 − x 2 ; x) ⇒ u.v = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 và u . v = x 2 + 1 + (2 − x 2 ) . 1 + (2 − x 2 ) + x 2 . = . 3. 3 = 3 Ta có : u.v ≤ u . v ⇔ x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 ≤ 3 . ⎧x = k ⎪⎪ Đẳng thức xảy ra khi ⎨1 = k 2 − x 2 ⇒ x = 1 . ⎪ ⎪⎩ 2 − x 2 = kx Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số x . y HD.Điều kiện − 2 ≤ x ≤ 2 .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Biến đổi x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 ⇔ ) ( x = x + 4 − x 2 Đặt y x thì x ≠ 0; y ≠ 0 y x = h . (h ≠ 0) .Biểu thức viết lại : y h = x + 4 − x 2 là một hàm số liên tục trong đoạn [− 2 ;2] . Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = HD. Lí luận x ≠ 0 chia tử và mẫu cho x2 .Đặt t = x 2 − xy + y 2 x 2 + xy + y 2 (x, y ∈ R ) . y .Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt. x Ví dụ 6. Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 4 x 2 + 2 xy − 1 . 2 xy − 2 y 2 + 3 HD.Cách 1.Thế điều kiện x2 + y2 = 1 vào S giải như bài trên. Cách 2.Đặt x = sin α ⇒ y = cos α . Đưa hàm số S= S (sin 2α , cos 2α ) .Dùng đkpt. Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y ≠ 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 = 2x2y + y2x . Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2 1 + . x y HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t . Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : f = x 1− x + y 1− y . ⎡ π⎤ HD.Đặt x = sin 2 α ⇒ y = cos 2 α , α ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ x2 Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f ( x) = e − sin x + . 2 x HD.Dùng phương pháp đạo hàm. Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x (2007 + 2009 − x 2 ) trong miền xác định của nó. [ ] Lời giải :Miền xác định của hàm số D = − 2009 ; 2009 .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta xét hàm số trong D ' = 0; 2009 .Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có [ ] f ( x ) = x (2007 + 2009 − x 2 ) = x ( 2007. 2007. + 1. 2009 − x 2 ) ≤ x. 2010 . 2007 + 2009 − x 2 x 2 + 2007 + 2009 − x 2 = 2008 .2008 . 2 Vậy GTLN = 2008 .2008 khi và chỉ khi x = 2008 GTNN= − 2008 .2008 khi và chỉ khi x = − 2008 . ≤ 2008 . Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác . HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương . C . Dùng phương pháp ĐH để giải. 2 1 1 1 . Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + + 2 A 2 B 2 C sin sin sin 2 2 2 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ . 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Hoặc đưa về một biến x = sin HD.Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 3-20007). π ⎛ A+ B π ⎞ Giải bài 12.Cách 1.Giả sử A = Max{A; B; C} ⇒ A ≥ ⇒ cos⎜ + ⎟ < 0 ,ta có: 3 3⎠ ⎝ 2 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ A− B⎞ ⎛ A+ B π ⎞ cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ = 2 cos⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ .(1) ⎟ ≥ 2 cos⎜ 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ 2 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎛ A+ B ⎞ Có dạng f ( A) + f ( B ) ≥ 2 f ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ π ⎛ ⎞ C+ ⎜ π⎞ π ⎟⎟ ⎛π π ⎞ ⎛ 3 ⎜ Tương tự cos⎜ C + ⎟ + cos⎜ + ⎟ ≥ 2 cos (2). + 3⎠ 3⎟ ⎜ 2 ⎝3 3⎠ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π⎞ π⎞ π⎞ 2π ⎛π π ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ Cộng (1) và (2) ta có : cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ + cos⎜ + ⎟ ≥ 4 cos 3⎠ 3⎠ 3⎠ 3 ⎝3 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ π⎞ π⎞ 2π 3 ⎛ ⎛ ⎛ S = cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ ≥ 3 cos =− . 3 2 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π ⎛ A+ B π ⎞ Cách 2.Giả sử A = Max{A; B; C} ⇒ A ≥ ⇒ cos⎜ + ⎟ < 0 ,ta có: 3 3⎠ ⎝ 2 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ A+ B π ⎞ ⎛ A− B⎞ ⎛ A+ B π ⎞ cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ = 2 cos⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ . ⎟ ≥ 2 cos⎜ 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ 2 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎛ A+ B ⎞ Có dạng f ( A) + f ( B ) ≥ 2 f ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ ⇒ π⎞ π⎞ π⎞ A+ B+C 2π 3 ⎛ ⎛ ⎛ cos⎜ A + ⎟ + cos⎜ B + ⎟ + cos⎜ C + ⎟ = f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≥ 3 f ( ) = 3 cos =− . 3⎠ 3⎠ 3⎠ 3 3 2 ⎝ ⎝ ⎝ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai. Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ). HD: a 3 + 1 + 1 ≥ 3a … Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1. Chứng minh rằng : HD : x2 y2 z2 3 + + ≥ . 1+ y 1+ z 1+ x 2 z2 1+ x + ≥ x. 1+ x 4 Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : x + y + z ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x3 y3 z3 + + y+z x+z x+ y x3 y+z + + 2 ≥ 3x … y+z 2 Cách 2: S ( y + z + x + z + x + y ) ≥ ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 . HD: Cách 1. Áp dụng Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 . + + 1 + ab 1 + ab 1 + ab 1 1 + ab 2 + ≥ (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 1 + ab 25 5 1 1 + bc 2 1 1 + ca 2 (2) ; (3) + + ≥ ≥ 1 + bc 25 5 1 + ca 25 5 HD :Áp dụng Tương tự Lấy (1) + (2) + (3) ta có P + ⇔ P+ P= 1 + ab 1 + bc 1 + ca 6 3 ab + bc + ca 6 + + ≥ ⇔ P+ + ≥ 25 25 25 5 25 25 5 3 a2 + b2 + c2 6 3 12 6 3 + ≥ ⇔ P+ + ≥ ⇒P≥ 25 25 5 25 25 5 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. 3 4 Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = . Chứng minh rằng : 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 HD : Ta có 3 a + 3b ≤ a + 3b + 1 + 1 … 3 Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 6 HD:Cách 1.Ta có 3 + 4 x ≥ 44 1.1.1.4 x = 28 4 x … Cách 2 Dùng phương pháp vectơ. 1 x 1 1 + = 4. y z 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S= + + 2x + y + z 2x + y + z 2x + y + z 2 1 1 1 1 1 1 16 + + = + + + ≥ … HD. x y z x x y z 2x + y + z y 9 2 ) ≥ 256. Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có: (1 + x)(1 + )(1 + x y Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn + HD : (1 + 3 y + 3 y + 3 y ) ≥ 44 27 ( y )3 ⇒ (1 + 9 y ) 2 ≥ 194 36 . y3 1+ y y y y y3 = 1+ + + ≥ 44 ; x 3x 3x 3x 29 x 3 1+x = 1 + x x x x3 + + ≥4 3. 3 3 3 3 Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = HD: Cách 1 . Thay y = 5 . 4 4 1 + . x 4y 5 5 4 1 −x ⇒S= + ; 0 - Xem thêm -