Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

  • Số trang: 52 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NGÀ ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN – TẦN SỐ TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN TỬ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo, cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Ngà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả. Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Ngà Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Biểu diễn Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Không gian Wiener amalgam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Toán tử tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2. Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Tính liên tục của toán tử tích phân trên Mµp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu M p,q . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 47 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộng rãi các bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng. Nguồn gốc của lý thuyết toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957 khi nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbol, sau đó các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi mô hình này để biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy, trong cả toán học lý thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt, Helffer và Robert đã ứng dụng toán tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp toán tử elliptic toàn cục. Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thời gian - tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa và nghiên cứu trong khung cảnh của không gian biến điệu. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số và toán tử tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong không gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình. 1 2. Mục đích nghiên cứu + Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tích thời gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu. + Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu giải phương trình tích phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu và ứng dụng vào toán tử tích phân, .... 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích phân. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. + Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến. 6. Đóng góp của đề tài Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau: 1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier Ta ký hiệu |t|2 = t · t, với t ∈ Rd và xy = x · y là tích vô hướng trên Rd . Với α = (α1 , α2 , ..., αd ) , β = (β1 , β2 , ..., βd ) ∈ Zd+ , ta nhắc lại ký hiệu Dα và X β đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử α D f= d Y α ∂tj j f β và X f (t) = j=1 d Y β tj j f (t), j=1 trong đó t = (t1 , t2 , ..., td ). Ta viết dx ∧ dξ = d P dxj ∧ dξj đối với 2-dạng j=1 đối ngẫu. Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S Rd là tập hợp    S Rd = ϕ ∈ C ∞ Rd X α Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rd , ∀α, β ∈ Zd+ với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:   d d Dãy {ϕk }∞ trong S R được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S R nếu k=1 lim sup X α Dβ ϕk (x) − X α Dβ ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zd+ . k→∞ x∈Rn 3  Ký hiệu S_ lim ϕk = ϕ. k→∞  Định lý 1.1. Không gian S Rd là đầy đủ. Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi  S 0 Rd là không gian đối ngẫu của S(Rd ), tức là không gian tất cả các  phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S Rd với tô pô yếu∗ .  Với f ∈ S 0 Rd , ϕ ∈ S(Rd ), ta viết (f, ϕ) thay cho f (ϕ) khi nói đến giá trị của phiếm hàm f tại ϕ. 0 d Định nghĩa 1.3. Dãy {uk }∞ k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ về 0 trong S 0 (Rd ) nếu uk (ϕ) → 0 khi k → ∞, với mọi ϕ ∈ S(Rd ). Khi đó ký hiệu uk → 0.  Định lý 1.2. Không gian S 0 Rd là đầy đủ. Chúng ta sử dụng dấu ngoặc hf, gi để ký hiệu mở rộng của tích vô    R hướng hf, gi = f (t)g(t)dt trên L2 Rd lên S Rd × S 0 Rd . Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier chuẩn hóa của hàm f ∈ S(Rd ) được định nghĩa bởi fˆ(η) = Ff (η) = Z f (t)e−2πitη dt. (1.1) Nhận xét 1.1. 1. Từ (1.1) ta suy ra fˆ ∞ ≤ kf k1 . 2. Ta dùng ký hiệu F(f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm. 4 3. Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và fˆ (ω) được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f . Trong vật lý, ω là biến ˆ 2 ˆ 2 động lượng và f (ω) / f là mật độ xác suất của động lượng. Do đó 2 −2 Z ˆ 2 ˆ f (ω) dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có động f 2 I lượng của nó trong miền I ⊂ Rd .  Bổ đề 1.1. (Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1 Rd thì fˆ liên tục đều ˆ và lim f (ω) = 0. |ω|→∞  Ký hiệu C0 Rd là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu tại vô hạn. Khi đó Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ của biến đổi Fourier như sau   F : L1 Rd → C0 Rd . Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm bởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian hàm khác. Kết quả cơ bản là Định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau đây. Định lý 1.3. (Plancherel) Cho f ∈ L1 ∩ L2 (Rd ). Khi đó kf k2 = fˆ . 2 Biến đổi F mở rộng thành toán tử unita trên L2 (Rd ) và thoả mãn công thức Paseval D E ˆ hf, gi = f , ĝ .  Định nghĩa 1.5. Cho f ∈ L1 Rd . Biến đổi Fourier ngược của hàm f , 5 ký hiệu F −1 (f ) được định nghĩa bởi Z −1 f (ω) e2πixω dω, ∀x ∈ Rd . F (f ) (x) = (1.2) Rd e Từ định nghĩa trên ta có F −1 (f ) = fˆ với fe(x) = f (−x).   Định lý 1.4. Nếu f ∈ L1 Rd và fˆ ∈ L1 Rd thì Z fˆ (ω) e2πixω dω, ∀x ∈ Rd f (x) = Rd nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau.  Định nghĩa 1.6. Cho f ∈ S 0 Rd . Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , ký hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi (Ff, ϕ) = (f, Fϕ) , ϕ ∈ S Rd  và biến đổi Fourier ngược của hàm f , ký hiệu là F −1 f là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi    F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S Rd . Ký hiệu phép đối hợp g ∗ là g ∗ (t) = g(−t). Khi đó biến đổi Fourier ngược là fˇ(η) := F −1 f (η) = fˆ∗ (−η) và ta có ϕ = ϕ̂ˆ∗ , ∀ϕ ∈ S(Rn ). Phép tịnh tiến và phép biến điệu (dịch chuyển thời gian - tần số) được định nghĩa lần lượt bởi Tx f (t) = f (t − x) 6 và Mη f (t) = e2πiηt f (t). Ta có công thức (Tx f )∧ = M−x fˆ, (Mη f )∧ = Tη fˆ và Mη Tx = e2πixη Tx Mη . Lấy biến đổi Fourier của đạo hàm cấp α của f ta được Dα f ∧ (ω) = (2πiω)α fˆ(ω) (1.3) và   ∧ (−2πix) f (ω) = Dα fˆ(ω) α hoặc viết dưới dạng toán tử FDα = (2πi)|α| X α F và FX α = (1.4)  i |α| α D F. 2π Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng   f ∈ S 0 Rd đối với một hàm cửa sổ g ∈ S Rd khác không được định nghĩa bởi Z Vg f (x, η) = hf, Mη Tx gi = f (t)g(t − x)e−2πiηt dt. Rd Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên Rd nhiều cặp của các   không gian Banach. Chẳng hạn, nó ánh xạ L2 Rd × L2 Rd thành     L2 R2d và S Rd × S Rd thành S R2d . Hơn nữa, nó có thể thác    triển thành một ánh xạ từ S 0 Rd × S 0 Rd vào S 0 R2d . 7  Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L2 Rd thì Vg f là liên tục đều trên R2d và Vg f (x, ω) = (f.Tx g)∧ (ω) = hf, Mω Tx gi D E ˆ = f , Tω M−x ĝ  ∧ −2πixω ˆ =e f .Tω ĝ (−x) = e−2πixω Vĝ fˆ (ω, −x) = e−2πixω (f ∗ Mω g ∗ ) (x)   ∗ ˆ = f ∗ M−x ĝ (ω) Z  x  −2πitω x  −πixω g t− e dt. =e f t+ 2 2 Rd   Định lý 1.5. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 Rd , khi đó Vgj fj ∈ L2 R2d với j = 1, 2 và hVg1 f1 , Vg2 f2 iL2 (R2d ) = hf1 , f2 i hg1 , g2 i. (1.5) Ta nhắc lại bất đẳng thức sau  Bổ đề 1.3. ([7], Bổ đề 11.3.3) Cho g0 , g1 , γ ∈ S Rd sao cho hγ, g1 i = 6 0  và f ∈ S 0 Rd . Khi đó, |Vg0 f (x, η)| ≤ 1 (|Vg1 f | ∗ |Vg0 γ|) (x, η) , |hγ, g1 i| với mọi (x, η) ∈ R2d . 8 1.2. Biểu diễn Wigner  Định nghĩa 1.8. Biểu diễn Wigner của một hàm f ∈ L2 Rd , ký hiệu là Wigf và xác định bởi     t t −2πiwt f x+ e dt. (1.6) Wigf (x, w) = f x− 2 2 Rd  Biểu diễn Wigner chéo tương ứng của f, g ∈ L2 Rd được định nghĩa Z bởi     t t −2πiwt f x+ Wig(f, g)(x, w) = g x− e dt. 2 2 Rd Z (1.7) Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng ẩn. 1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn (mixed-norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian Lp (Rd ) và là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng. Định nghĩa 1.9. Cho 1 ≤ p, q < ∞, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu Lp,q là tập hợp tất cả các hàm F (x, ω) đo được Lebesgue trên R2d sao cho Z kF kLp,q = Rd Z |F (x, ω)|p dx ! 1q  pq dω < ∞. Rd Trong trường hợp p = ∞ hoặc q = ∞ thì chuẩn trên được thay thể bởi chuẩn cốt yếu, nghĩa là ta có Z  q  1q esssup|F (x, ω)| dω kF kL∞,q = Rd x∈Rd 9 và Z kF kLp,∞ = esssup |F (x, ω)|p dx  p1 . Rd ω∈Rd Mệnh đề 1.1. Không gian Lp,q với 1 ≤ p, q ≤ ∞ với chuẩn được định nghĩa trong Định nghĩa 1.9 là không gian định chuẩn. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi F, G ∈ Lp,q thì kF + GkLp,q ≤ kF kLp,q + kGkLp,q . Thật vậy, với p, q < ∞ chúng ta có kF + GkLp,q = Z Z |F |p dx ≤ Rd ≤ Rd Rd 1/p Rd |F |p dx 1/p !q !1/q |G|p dx dω Z + Rd Z Z  pq ! 1q |F + G|p dx dω Z Z Rd !1/q q/p dω Z Z |G|p dx + Rd Rd !1/q q/p dω Rd = kF kLp,q + kGkLp,q . Với p = ∞ hoặc q = ∞ tương tự chúng ta cũng có kF + GkL∞,q ≤ kF kL∞,q + kGkL∞,q và kF + GkLp,∞ ≤ kF kLp,∞ + kGkLp,∞ . Vậy Lp,q là không gian định chuẩn.  Mệnh đề được chứng minh. Hơn thế nữa, chúng ta còn có: 10 Mệnh đề 1.2. Với mọi 1 ≤ p, q < ∞ thì Lp,q (R2d ) là không gian Banach. Mệnh đề được chứng minh tương tự như chứng minh Lp (Rd ) là không gian Banach. Định nghĩa 1.10. [Hàm trọng] Hàm trọng là một hàm khả tích địa phương và không âm trên R2d . Định nghĩa 1.11. Một hàm trọng v trên R2d được gọi là dưới tính nhân (submultiplicative), nếu v(z1 + z2 ) ≤ v(z1 )v(z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ R2d . (1.8) Một hàm trọng m trên R2d được gọi là v-ôn hòa (v-moderate) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho m(z1 + z2 ) ≤ Cv(z1 )m(z2 ) với mọi z1 , z2 ∈ R2d . (1.9) Hai hàm trọng m1 , m2 được gọi là tương đương và viết là m1  m2 nếu có hằng số C > 0 sao cho C −1 m1 (z) ≤ m2 (z) ≤ Cm1 (z) với mọi z ∈ R2d . (1.10) Chú ý: 1. Từ đây về sau, chúng ta gọi v là một hàm trọng dưới tính nhân và m là hàm trọng v-ôn hòa. Từ (1.8) ta có v(0) ≥ 1 vì v(0 + 0) ≤ v 2 (0). 2. Trong luận văn này giả thiết rằng v(x, ω) thỏa mãn v(x, ω) = v(−x, ω) = v(x, −ω) = v(−x, −ω). 11 3. Nếu v là một hàm trọng dưới tính nhân bất kì và ψ ≥ 0 là hàm số liên tục có giá compact thì v ∗ ψ là liên tục và tương đương với v. Hơn nữa trọng v(x, ω) = max{v(x, ω), v(−x, ω), v(x, −ω), v(−x, −ω)} là đối xứng.  2 4. Xét hàm hxi = 1 + |x| Ta có hxi |x| 1/2 và lũy thừa của nó là hxis , s ∈ R. → 1, |x| → ∞. Chúng ta chú ý rằng với m ∈ N∗ m hxi2m = 1 + x21 + x22 + ... + x2n  P 2α  ≤ C x  m  X |α|≤m = Cm,α x2α P 2α   ≥ x |α|≤m  |α|≤m với các số nguyên dương Cm,α và Cm , và với Cm,α = m! α!(m−|α|)! . Ví dụ 1.1. Lớp của những hàm trọng thông thường trên R2d là những hàm trọng của đa thức có dạng  ! 21 s 2n  X  1 s s 2 2 2 2   zj vs (z) = (1 + |z|) = 1 + = 1+ x +ω =1 với mọi z = (x, ω) ∈ R2d ; s ≥ 0. Chúng ta thấy rằng vs (z) là tương đương với những trọng s (1 + |x| + |ω|) và  2 1 + |z|  2s = 1 + x2 + ω 2 Ví dụ 1.2. Hàm trọng mũ kiểu β v(z) = eα|z| với α > 0 và 0 ≤ β < 1. 12  2s . (1.11) Ví dụ 1.3. Những hàm trọng chỉ phụ thuộc vào thời gian hoặc chỉ phụ thuộc vào tần số kiểu m(x, ω) = (1 + |x|)s hoặc m(x, ω) = (1 + |ω|)s . Bổ đề 1.4. a) Nếu m là một v-ôn hòa, thì ta có 1 m(z) ≤ m(z − t) ≤ Cv(t)m(z). C v(t) Đặc biệt, 1 ≤ m(z) ≤ Cv(z) và với mọi z ∈ l + [0, 1]2n và l ∈ R2n Cv(z) 1 m(l) ≤ m(z) ≤ C 0 m(l). 0 C (1.12) b) Những trọng đa thức vs là dưới tính nhân và 0 ≤ t ≤ s thì cả vt và vt−1 là vs -ôn hòa. c) Nếu s > 2d, thì  1 1 ∗ vs vs  (z) ≤ Cs 1 (z). vs (1.13) Chứng minh. a) Từ m(z−t) ≤ Cv(t)m(z) thì m(z−t+t) ≤ Cv(t)m(z− t) và Định nghĩa 1.11, viết z = l + z 0 với z 0 ∈ [0, 1]2n , chúng ta có m(z 0 + l) ≤ Cm(l)v(z 0 ) và m(l) ≤ Cm(l + z 0 ).v(z 0 ). Chúng ta chọn hằng số C 0 là C 0 = C maxz 0 ∈[0,1]2n v(z 0 ). b) Vì 1 + |z1 + z2 | ≤ (1 + |z1 |) + (1 + |z2 |) nên với 0 ≤ t ≤ s, vt (z1 + z2 ) ≤ v( z1 )vt (z2 ) ≤ vs (z1 )vs (z2 ). Đặt z2 = w1 + w2 và z1 = −w1 trong (1.14) thì vt (w1 + w2 )−1 ≤ vs (w1 )vt (w2 )−1 . 13 (1.14) c) Chúng ta cần chứng minh rằng Z (1 + |t|)−s (1 + |x − t|)−s dt ≤ Cs (1 + |x|)−s . (1.15) R2d Mà x ∈ R2d , chia R2d thành những miền |x| |x| } và Nxc = {t : |t − x| > }. 2 2 Nx = {t : |t − x| ≤ Nếu t ∈ Nx thì |t| ≤ nên Z |x| 2 và do (1 + |t|)−s ≤ (1 + −s −s s −s |x| −s 2 ) Z (1 + |t|) (1 + |x − t|) dt ≤ 2 (1 + |x|) Nx ≤ 2s (1 + |x|)−s (1 + |x − t|)−s dt. Nx −s và Tương tự, với t ∈ Nxc chúng ta có (1 + |t − x|)−s ≤ (1 + |x| 2 ) Z Z −s −s s −s (1 + |t|) (1 + |x − t|) dt ≤ 2 (1 + |x|) (1 + |x − t|)−s dt. Nxc Nxc R Nếu s > 2d thì tích phân hội tụ và hằng số Cs = 2s+1 (1 + |t|)−s dt.  Vậy định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.12. Cho m là một hàm trọng trên R2d và 1 ≤ p, q < ∞. 2d Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng Lp,q m (R ) gồm tất cả những hàm đo được (Lebesgue) trên R2d , sao cho chuẩn Z Z = kF kLp,q m Rd |F (x, ω)|p m(x, ω)p dx ! 1q  pq dω Rd là hữu hạn. Nếu p = ∞ hoặc q = ∞, thì các chuẩn tương ứng là Z  p1 p kF kL∞,p = esssup |F (x, ω)|m(x, ω) dx m Rd x∈Rd và Z kF kLp,∞ = esssup m x∈Rd |F (x, ω)|p m(x, ω)q dx Rd 14  p1 . p q Vậy Lp,q m xác định bởi không gian định chuẩn L theo x, và một L theo ω. Vì hàm ω 7→ F (., ω)m(., ω) lấy giá trị trong Lq nên không gian Lp,q m có thể xem như một không gian Lq với các phần tử thuộc Lp . p p Nếu p = q, thì Lp,q m = Lm là không gian L có trọng thông thường. Hơn 2d nữa, L∞ m (R ) bao gồm tất cả những hàm f (đo được) thỏa mãn esssup |f (z)|m(z) ≤ C hay |f (z)| ≤ Cm(z)−1 , x ∈ R2d . (1.16) Theo định nghĩa về chuẩn của toán tử, ta có kf kL∞ = sup C với mọi C m thỏa mãn (1.16). Mệnh đề sau đây cho thấy không gian Lp,q m cũng có các tính chất tương tự như Lp . Mệnh đề 1.3. Giả sử m là v-ôn hòa và 1 ≤ p, q ≤ ∞ thì 2d a) Lp,q m (R ) là một không gian Banach. 2d p,q b) Lp,q m là bất biến qua phép tịnh tiến Tz , z ∈ R , và với mọi F ∈ Lm ta có . ≤ Cv(z) kF k fLp,q kTz F kLp,q m m (1.17) c) Bất đẳng thức Hölder: 0 0 p ,q 1 1 2d 2d 1 2d Nếu F ∈ Lp,q m (R ), H ∈ L1/m (R ) với p + p0 = 1 thì F.H ∈ L (R ) và Z ≤ kF k p,q kHk p0 ,q0 . F (z)H(z)dz (1.18) Lm 2d L1/m R 0 0 ∗ p ,q d) Tính đối ngẫu: Nếu p, q < ∞, thì (Lp,q với phép toán m ) = L1 m Z p0 ,q 0 hF, Hi = F (z)H(z)dz với F ∈ Lp,q m và H ∈ L1/m . R2d Chứng minh. a) Trước hết bằng cách chứng minh tương tự như trong Mệnh đề 1.1 ta cũng có Lp,q m là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng minh Lp,q m là không gian Banach. Giả sử {Fk }, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong 15 p,q p,q Lp,q m . Khi đó dãy {mFk }, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong L . Do L là không gian Banach nên tồn tại hàm G ∈ Lp,q sao cho lim mFk = G k→∞ G(z) trong Lp,q . Đặt F (z) = thì F ∈ Lp,q m . Hơn nữa m(z) = kmFk − mF kLp,q = kmFk − GkLp,q → 0 khi k → ∞. kFk − F kLp,q m p,q Do đó Fk → F trong Lp,q m khi k → ∞ hay Lm là không gian Banach. b) Với z = (u, η), thì Z Z kTz F kLp,q = m Rd  pq ! 1q |F (x, ω)|p m(x + u, ω + η)p dx dω = Rd Rd Z Z ≤C Rd dω Rd Z Z |F (x − u, ω − η)|p m(x, ω)p dx ! 1q  pq  pq ! 1q |F (x, ω)|p v(u, η)p m(x, ω)p dx dω Rd = Cv(z) kF kLp,q . m c) Ta có Z Z ≤ F (z)H(z)dz 2d R R 1 m(x, ω)F (x, ω). dxdω. H(x, ω) m(x, ω) 2d 16
- Xem thêm -