Tài liệu ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội-2016 i Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học K18 Toán Giải Tích đợt 1 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã hiểu được thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Các không gian thường dùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5. Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 21 iv 2.4. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Tính chất liên tục Holder của nghiệm của P (θ, λ) . . . . . . . . . 36 3.2. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Chứng minh Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các công trình quan trọng của G.Stampacchia,P.Hartman,J.L.Lions và F.E.Browder.Hiện nay có rất nhiều bài báo ,cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của chúng.Bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đang được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng dụng quan trong trong nhiều lĩnh vực. Giả sử H là không gian Hilbert thực ,M và Λ là hai tập tham số khác rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó,f : H × M → H là ánh xạ đơn trị ,K : Λ → 2H là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi ,đóng,khác rỗng.Xét bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số: Tìm x ∈ K(λ) : hf (x, µ), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K(λ), (1) ở đó (µ, λ) ∈ M × Λ là cặp tham số của bài toán và h., .i là ký hiệu tích vô hướng trong H.Với cặp tham số (µ̄, λ̄) ∈ M × Λ cho trước ta có thể xem bài toán (1) như một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân 4 sau Tìm x ∈ K(λ̄) : hf (x, µ̄), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K(λ̄). (2) Giả sử x̄ là một nghiệm của (2) .Chúng ta đi nghiên cứu xem (1) có thể có nghiệm x = x(µ, λ) ở gần x̄ khi (µ, λ) ở gần (µ̄, λ̄) hay không và hàm x(µ, λ) có dáng điệu như thế nào hay ta cần nghiên cứu về ánh xạ nghiệm x̄ với sự thay đổi của (µ, λ). Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này,cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn,tôi đã chọn đề tài "Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số" làm luận văn Thạc sĩ của mình. 2.Mục đích nghiên cứu Trình bày một số kết quả về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số trong không gian Banach phản xạ và một số áp dụng để khảo sát ánh xạ nghiệm của bài toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số. 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày kiến thức cơ bản,ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng. Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số. 5 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm ,tính liên tục của tập nghiệm theo tham số và các thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số. Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết bất đẳng thức biến phân. 6. Dự kiến kết quả nghiên cứu Luận văn trình bày một cách tổng quan về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử dụng trong suốt luận văn này. 1.1. Các không gian thường dùng 1.1.1. Không gian Metric Định nghĩa 1.1. ([4],p.33) Một tập hợp X được gọi là một không gian Metric nếu: • Với mỗi cặp phần tử x, y của X xác định theo quy tắc nào đó một số thực ρ(x, y). • Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau 1. ρ(x, y) > 0 nếu x 6= y ; ρ(x, y) = 0 nếu x = y (tính tự phản xạ); 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y (tính đối xứng); 3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z(bất đẳng thức tam giác). 7 Hàm số ρ(x, y) gọi là Metric của không gian và cặp (X, ρ)được gọi là không gian Metric. Ví dụ 1.1. • Một tập M bất kỳ của đường thẳng R ,có khoảng cách thông thường ρ(x, y) = |x − y| (độ dài đoạn nối x và y) là một không gian Metric. • Tổng quát hơn ,trong không gian k chiều Rk xác định khoảng cách giữa hai điểm: x = (x1 , x2 , ..., xk ) và y = (y1 , y2 , ..., yk ) với v u k uX (xi − yi )2 ρ(x, y) = t i=1 là không gian Metric. Trong không gian Metric ,nhờ có khoảng cách nên ta có thể định nghĩa 1. Lân cận:Một hình cầu tâm a ,bán kính r với 0 < r < +∞ trong một không gian Metric X là tập B(a, r) = {x : ρ(x, a) < r} Hình cầu tâm a bán kính r gọi là một r- lân cận của điểm a và mọi tập con của X bao hàm một r-lân cận nào đó của điểm a gọi là một lân cận của điểm a. 2. Điểm trong : Điểm x gọi là một điểm trong của tập A nếu có một lân cận của x nằm trong A. 3. Tập mở:Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong. 8 4. Tập đóng:Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó là điểm trong của phần bù của nó. Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau,ba khái niệm còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trước và chúng cùng sinh ra trên tập X một cấu trúc,cấu trúc này được gọi là cấu trúc tôpô. • Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ρ(xn , xm ) → 0 khi n, m → 0 . • Không gian Metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đươc gọi là không gian Metric đủ. • Giả sử A là tập con của X ,khi đó giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và ký hiệu Ā. Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau Với a ∈ X, ρ > 0, ρ ∈ X . • Tập B(a, ρ) = {x ∈ X :ρ(a, x) <ρ} gọi là hình cầu mở tâm a ,bán kính ρ . • Tập B̄(a, ρ) = {x ∈ X : ρ(a, x) ≤ ρ} gọi là hình cầu đóng tâm a,bán kính ρ . • Hình cầu đơn vị đóng trong X được ký hiệu là B̄X . 5. Sự hội tụ:Ta nói một dãy điểm x1 , x2 , ... của một không gian Metric X hội tụ tới điểm x của không gian đó nếu lim ρ(xn x) = 0 .Ta viết x→∞ xn → x hoặc lim xn = x và điểm x gọi là giới hạn của dãy{xn }. 6. Ánh xạ liên tục :Cho hai không gian Metric X và Y (Metric trên X ký hiệu là ρX ,Metric trên Y ký hiệu là ρY ). 9 Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu V là tập mở chứa f (x0 ) thì V = {x ∈ X|f (x) ∈ V } là tập mở của x0 Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X. 1.1.2. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2. ([4],p.180)Một tập X được gọi là một không gian vector nếu : • Trên X có hai phép toán,phép (+) giữa hai phần tử và phép (.) giữa một số thực (phức) với một phần tử.Các phép toán đó thỏa mãn các tiên đề sau 1. x + y = y + x; 2. (x + y) + z = x + (y + z); 3. Tồn tại một phần tử 0 sao cho : x + 0 = x, ∀x ∈ X; 4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một phần tử −x ∈ X sao cho:x + (−x) = 0; 5. 1.x = x; 6. Với α, β ta có:α(βx) = (αβ)x; 7. (α + β)x = αx + βx; 8. α(x + y) = αx + αy. 10 Trong luận văn này ta chỉ xét không gian định chuẩn thực. Định nghĩa 1.3. ([4],p.186)Cho X là một không gian tuyến tính trên trường R,hàm số k.k : X → R+ thỏa mãn. 1. kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2. kλxk = |λ| kxk ∀λ ∈ K; 3. kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X. Khi đó :k.k được gọi là một chuẩn trên X và (X, k.k) được gọi là không gian định chuẩn. • Nếu ta định nghĩa ρ(x, y) = kx − yk thì ρ là một Metric trên X.Vậy không gian định chuẩn là không gian Metric. Nếu không gian Metric này đầy đủ thì không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach. • Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn ,một toán tử A từ X vào Y gọi là liên tục nếu xn → x0 ⇒ Axn → Ax0 .Toán tử tuyến tính A từ X → Y liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. 1.1.3. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.4. ([4],p.315) Một không gian vector thực X được gọi là không gian tiền Hilbert ,nếu trong đó có một hàm hai biến (x, y) gọi là tích vô hướng của hai vector (x, y) với các tính chất: 1. (x, y) = (y, x); 11 2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z); 3. (αx, y) = α(x, y) ∀α ∈ R; 4. (x, x) > 0 nếu x 6= 0 ;(x, x) = 0 nếu x = 0. 2 p Hơn nữa ta chứng minh được (x, x) = kxk ,tức là kxk = (x, x) xác định một chuẩn trong không gian X .Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một không gian Metric.Nếu không gian Metric này đầy đủ thì không gian tiền Hilbert gọi là không gian Hilbert. Trên không gian Hilbert,ta có • Với mỗi vector a cố định thuộc vào không gian Hilbert X ,hệ thức:f (x) = (a, x) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian X với:kf k = kak. Ngược lại ,bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên một không gian Hilbert X cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng :f (x) = (a, x) Trong đó a là một vector của X thỏa mãn kf k = kak. • Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X xác định theo f (x, y) = (Ax, y) một phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) nghiệm đúng kf k = kAk . Ngược lại bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) nào trên X cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng f (x, y) = (Ax, y) trong đó A là một toán tử tuyến tính liên tục trên X thỏa mãn kf k = kAk. 12 1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff Định nghĩa 1.5. ([4],p.372) Cho một tập X bất kỳ .Ta nói một họ τ những tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô ) trên X nếu: 1. Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ . 2. τ kín đối với phép giao hữu hạn tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc nó. 3. τ kín đối với phép hợp bất kỳ tức là hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó. Một tập X cùng với tôpô τ trên X gọi là không gian tôpô (X, τ ). • Họ các tập mở trong không gian Metric thỏa mãn các điều kiện trên nên các không gian Metric đều là không gian tôpô. • Lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X là bất cứ tập hợp nào bao hàm một tập mở chứa x.Nói cách khác V là lân cận của x nếu có một tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . • Nếu X là không gian tôpô và X là không gian tuyến tính mà hai phép tính liên tục trong tôpô của X,ta nói rằng cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương thích với nhau (cùng phù hợp nhau).Khi ấy X được gọi là không gian tôpô tuyến tính. • Nếu X có họ cơ sở lân cận gốc gồm các tập lồi thì X được gọi là không gian tôpô lồi địa phương . 13 • Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdoff nếu với hai điểm x1 6= x2 , x1 , x2 ∈ X luôn tồn tại hai tập mở U, V ∈ τ sao cho : x1 ∈ U, x2 ∈ V ; U ∩ V = ∅ 1.1.5. Không gian đối ngẫu Định nghĩa 1.6. ([4],p.404) Khi X là một không gian vector tôpô thì tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu của X ký hiệu X ∗ .Đó là một không gian vector với các phép toán tự nhiên • (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x); • (αf1 )(x) = αf1 (x). Nếu X là không gian định chuẩn thì ta có thể đưa vào trong X ∗ một chuẩn để nó trở thành một không gian định chuẩn đủ (Banach) Với X là không gian Banach có không gian đối ngẫu là X ∗ ,gọi X ∗ ∗ là không gian đối ngẫu của X ∗ .Trong trường hợp X ∗ = X ∗ ∗ thì X được gọi là không gian Banach phản xạ. 1.2. Ánh xạ đa trị Ký hiệu :2Y là họ các tập con của Y . Định nghĩa 1.7. Cho tập hợp X, Y .Ánh xạ F : X → Y được gọi là ánh xạ đa trị nếu F chuyển x ∈ X thành một tập hợp F (x) ⊂ Y, F (x) là ảnh của x.Ta có 1. A ⊂ X, F (A) = S F (X), x ∈ A là ảnh của tập hợp A. 14 2. y ∈ Y, F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (y)} là tiền ảnh của y. 3. B ⊂ Y, F −1 (B) = S F −1 (y) ⊂ X, y ∈ B là tiền ảnh của B. 4. DomF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} là miền định nghĩa của F . 5. Graf F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} đồ thị của F . • Cho X, Y là các không gian tôpô F : X → 2Y là ánh xạ đa trị đi từ X → Y .Nếu Graf F ⊂ X × Y là tập đóng thì F được gọi là ánh xạ đa trị đóng ⇔ (xn , yn ) ∈ Graf F, (xn , yn ) → (x, y) ∈ Graf F tức là yn ∈ Graf F (xn ) ⇒ y ∈ F (x). • Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị ,ta có (i) F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu B là tập mở trong Y F (x) ⊂ B thì tồn tại lân cận Ux của x : F (x0 ) ⊂ B, ∀x0 ∈ U . (ii) F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu B là tập mở B ∩F (x) 6= ∅ thì tồn tại lân cận Ux của x :B ∩ F (x0 ) 6= ∅, ∀x0 ∈ Ux ∩ domF. • Cho X là không gian định chuẩn.Ta nói rằng f là hàm Lipshitz trên tập D ⊂ X nếu tồn tại l > 0 sao cho |f (x) − f (x0 )| ≤ l |x − x0 | , ∀x, x0 ∈ D. 1. Hàm f được gọi là Lipshitz địa phương tại x ∈ X nếu tồn tại số ε > 0 sao cho f là hàm -Lipshitz trên hình cầu B(x, ε) ∩ D. 2. Hàm f được gọi là Lipshitz địa phương trên tập D nếu nó Lipshitz địa phương tại mọi điểm của D. 15 1.3. Bài toán tối ưu ([3],p.10). Cho D là một tập khác rỗng của không gian X.Bài toán tìm điểm x0 ∈ D thỏa mãn: F (x0 ) ≤ F (x), ∀x ∈ D. Ta viết F (x0 ) = min F (x). x∈D Khi đó nếu tìm được điểm x0 ∈ D sao cho tồn tại lân cận U của x0 để F (x0 ) ≤ F (x), ∀x ∈ U ∩ D thì bài toán trên được gọi là bài toán tối ưu địa phương và x0 được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán. Trong lý thuyết tối ưu,bài toán trên có liên quan mật thiết với một số bài toán sau: 1. Bài toán điểm cân bằng Cho D là tập con khác rỗng của không gian X .Ánh xạ f : D ×D → R.Tìm x̄ ∈ D sao cho :f (x̄, y) ≥ 0, ∀x ∈ D. 2. Bài toán bất đẳng thức biến phân Gọi X ∗ là không gian đối ngẫu của X .Lấy x ∈ X, f ∈ X ∗ ta định nghĩa hx, f i = f (x) là giá trị của f tại x.Cho D ⊂ X là tập lồi,đóng,khác rỗng . Cho ánh xạ A : D → X∗ ∅:D→R Tìm u ∈ D sao cho 16 hA(u), v − ui + ∅(v) − ∅(u) ≥ 0, ∀v ∈ D. 3. Bài toán điểm bất động Cho X là không gian Hilbert ,D ⊂ X là tập hợp con khác rỗng T : D → D là ánh xạ đơn trị .Tìm x̄ ∈ D sao cho:T (x̄) = x̄. 4. Bài toán tựa tối ưu loại I Cho K là tập khác rỗng của không gian Y nào đó .Ánh xạ S : D × K → 2D ; T : D × K → 2K là các ánh xạ đa trị ,F : K × D × D → R là hàm số. Tìm điểm (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho (a) x̄ ∈ S(x̄, ȳ); (b) ȳ ∈ T (x̄, ȳ); (c) F (ȳ, x̄, x̄) = min F (ȳ, x̄, x). x∈S(x̄,ȳ) 5. Bài toán tựa tối ưu loại II Cho Si : D → 2D , i = 1, 2; T : D → 2K là các ánh xạ đa trị ,F : K × D × D → R là hàm số.Tìm điểm (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho (a) x̄ ∈ S1 (x̄); (b) F (y, x̄, x) ≥ F (y, x̄, x), ∀x ∈ S2 , y ∈ T (x̄, x).