Tài liệu Ánh xạ Gauss và ứng dụng - Copy

LỜI NÓI ĐẦU Khóa luận này trình bày về vấn đề ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó. Ứng dụng của ánh xạ này để nghiên cứu về độ cong của đa tạp hai chiều trong E3 như độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong của các đường đặc biệt trên đa tạp hai chiều. Nội dung của khóa luận gồm: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1. Không gian Euclit n chiều và một số định nghĩa 2. Đa tạp định hướng trong không gian En Chương II: Ánh xạ Gauss và ứng dụng 1. Ánh xạ Gauss 2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 3. Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss 4. Một số đường đặc biệt trên mặt 5. Mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3 Kết luận Em xin được bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm đã giúp em hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày tháng Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Thanh Hằng 1 năm MỤC LỤC Nội dung Trang Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1. Không gian Ơclit n chiều và một số định nghĩa 1 1.1 Định nghĩa 1 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian En 1 1.3 Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong En 1 2. Đa tạp hai chiều định hướng trong không gian E3 2 2.1 Đa tạp hai chiều 2 2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E3 2 2.3 Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị 2 2.4 Trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong En 3 2.5 Hướng trên đa tạp hai chiều trong En 3 2.6 Tiêu chuẩn định hướng được 4 2.7 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong En 4 Chương 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG 5 1. Ánh xạ Gauss 5 1.1. Định nghĩa 5 1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss 5 2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 5 2.1. Định nghĩa 5 2.2 Tính chất 6 3. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phương của đa tạp hai chiều trong E3 6 3.1.Độ cong chính, phương chính của đa tạp hai chiều S tại p 6 2 3.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S 6 3.3.Các định nghĩa 7 3.4.Ví dụ 7 3.5. Định nghĩa 8 3.6. Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E3 8 3.7. Định lí 10 3.8.Độ cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier 10 4. Một số đường đặc biệt trên mặt 12 4.1. Đường chính khúc 12 4.2. Đường tiệm cận 13 4.3. Cung trắc địa 14 4.4.Liên hệ giữa các đường đặc biệt trên của đa tạp hai chiều 16 5. Giới thiệu mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3 16 5.1. Mặt kẻ 16 5.2. Mặt cực tiểu 18 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 3 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước khi tìm hiểu về ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó, chúng ta cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản. Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó. 1. Không gian Ơclit n chiều En và một số định nghĩa 1.1. Định nghĩa Không gian Ơclit n chiều En là không gian afin liên kết với không gian  vectơ Ơclit n chiều Ε n . 1.2. Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian Ơclit En      Trong E n ,tích vô hướng giữa hai phần tử x, y Ε n kí hiệu là x.y    n   hoặc  x, y . Chuẩn của phần tử x  E được tính theo công thức x = x.x  Trong không gian E , chọn điểm O bất kì. Trong không gian Ε n , chọn n       0 khi i  j hệ vectơ trực chuẩn {e1 , e2 ,..,en } tức là ei .e j   và ei =1 với 1 khi i=j    i=1,n . Khi đó, tập {Ο, e1 ,e 2 ,...,e n } gọi là hệ tọa độ trực chuẩn trong En. Đặc biệt, khi n =2, n=3 thì tọa độ này còn gọi là hệ tọa độ Đềcác vuông góc và được viết là Oxy hoặc Oxyz. 1.3. Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong En    Trong En, cho hệ tọa độ trực chuẩn {Ο, e1 ,e 2 ,...,e n }  n 1.3.1 Với x  Ε , tồn tại bộ số (x1, x2,…,xn) (x i   , i=1,n) sao cho  n   x   x i .ei , khi đó bộ số (x1, x2,…,xn) được gọi là tọa độ của x trong hệ tọa i=1   độ trực chuẩn đã chọn. Viết là x=(x1 , x 2 ,...,x n ) hoặc x(x1 , x 2 ,...,x n ) . 4  n 1.3.2 Với Ρ  Ε , khi đó ΟΡ  Ε . Trong hệ tọa độ trực chuẩn của En đã  chọn giả sử ΟΡ=(x1 , x 2 ,...,x n ) . Khi này, ta gọi bộ số (x1, x2,…,xn) là tọa độ n của điểm P, viết là P(x1, x2,…,xn) hoặc P=(x1, x2,…,xn).  Với Μ,Ν  Εn , Μ(x1 ,x 2 ,..,yn ), Ν(y1 , y2 ,..,yn ) , khi đó tọa độ của MN là   ΜΝ=(y1  x1 , y 2  x 2 ,.., y n  x n ) và   n  (y i  x i )2 i=1 2. Đa tạp hai chiều định hƣớng trong không gian E3 2.1. Đa tạp hai chiều trong E3 Trong En, cho tập S   . Tập S được gọi là đa tạp hai chiều trong En (đơn giản có thể gọi là mặt) nếu với mỗi p  S có lân cận mở V của p trong En sao cho V  S là một mảnh hình học. Mỗi tham số hoá của mảnh hình học này được gọi là tham số hóa địa phương của S. 2.2. Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E3 2.2.1 Trong E3, cho hệ tọa độ afin (x1, x2,…,xn), tập S   . Tập S là đa tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi với mỗi p  S có lân cận V của p trong E3 và một hàm số khả vi φ :V  R, (x1 ,x 2 ,x 3 )  φ(x1 ,x 2 ,x 3 ) sao cho x  V  φ φ φ 1 2 3  (x , x , x )  bằng 1 và nếu đặt hạng  (x1 , x 2 , x 3 ); (x1 , x 2 , x 3 ); y z  x  φ(p) = a thì V  S = φ1 (a) . Điểm p  S , p(x1, x2, x3) làm cho φ 1 2 3 φ 1 2 3 φ 1 2 3 (x , x , x )= (x , x , x )  (x , x , x )  0 được gọi là điểm kì dị của x y z S. 2.2.2 Trong E3, cho tập S   , tọa độ afin (x1, x2, x3). Tập S được gọi là đa tạp hai chiều trong E3 khi và chỉ khi với mỗi p  S có lân cận mở của nó trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, nếu cần có thể đổi 5 chỉ số các tọa độ afin để tham số hóa đó có dạng (x1 ,x 2 )  r(x1 ,x 2 )= (x1 ,x 2 ,φ3 (x1 ,x 2 ),...,φn (x1 ,x 2 )) . 2.3. Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị Trong E3, cho đa tạp hai chiều S. Tại p  S , chọn tham số hóa địa phương   của S là r: U  S, (u,v)  r(u,v) . Khi đó, tồn tại ru' , rv' và chúng độc lập tuyến tính. Tiếp diện của đa tạp S tại p=r(u,v) là 2-phẳng đi qua r(u,v) và có   không gian vectơ chỉ phương là  ru' ,rv'  . Đặc biệt, trong E3 tiếp diện này là mặt phẳng tiếp xúc; đường thẳng đi qua r(u,v) và vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại r(u, v) được gọi là pháp tuyến của S tại p. 2.4. Trƣờng vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong En    Trong En cho đa tạp hai chiều S, tại p  S đặt Tp E n  {(p,α); α  Ε n } và gọi là không gian vectơ tiếp xúc của En tại p.   Với mỗi p  S , đặt TpS  {(p, α); α  không gian vectơ chỉ phương của tiếp diện của S tại p}, TpS được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p. Ánh xạ Χ: S  Tp En , p  X(p)  TpS được gọi là trường vectơ tiếp xúc của S tại p. Khi X  p   TpS thì ta gọi ánh xạ X là trường vectơ pháp tuyến của S, lúc này  nếu Χ(p)  1 thì X được gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S. Đặc biệt khi trong E3, S có tham số hóa địa phương là    ' r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p,α) | α  ru (u, v), rv' (u, v)} , thì vectơ pháp tuyến đơn vị trên S tương thích với tham số hóa r tại p được  xác định là n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);    6    ru' ×rv'   (u, v)  . Lúc này ta nhận được  ru' ×rv'   ánh xạ khả vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta gọi ánh xạ này là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S 2.5. Hƣớng trên đa tạp hai chiều trong En Cho đa tạp hai chiều S trong En. Giả sử trên mỗi không gian vectơ tiếp xúc TpS của S có thể lấy một cơ sở (ap, bp) sao cho tồn tại một tham số hóa địa phương r: U  S tại p thỏa mãn: với mọi  u,v   V, p = r (u,v) hai cơ sở {ru' , rv' } và {a p , bp } cùng hướng. Khi đó ta nói S định hướng được. Kí hiệu Dp là hướng của TpS xác định bởi cơ sở (ap, bp). Khi S định hướng được ta gọi họ D={Dp} là một hướng của S. Tham số hóa địa phương của S ở trên r: U  S gọi là tham số hóa tương thích với hướng D. 2.6. Tiêu chuẩn định hƣớng đƣợc 2.6.1. Trong En, đa tạp hai chiều định hướng được S khi và chỉ khi có họ tham số hóa địa phương { ri : Ui  S } của S sao cho S   r(Ui ) và nếu i ri (Ui )  rj (U j )   thì tại những điểm chung của giao đó hai tham số hóa địa phương ri và rj tương đương bảo tồn hướng. 2.6.2. Đa tạp hai chiều S trong E3 định hướng được khi và chỉ khi trên S có    một trường vectơ pháp tuyến n : S  E n liên tục và n(p)  0 tại mọi p thuộc S. 2.7. Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong En 2.7.1. Định nghĩa Trong En, cho hai đa tạp hai chiều S1 và S2 và ánh xạ h: S1  S2 . Ánh xạ h khả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hóa địa phương r1 : U1  S1 và r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) thì ánh xạ r2-1  h  r1: U1  U2 khả vi. 2.7.2. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều 7 Với ánh xạ khả vi h được cho ở trên, tại p  S1 , mỗi phương α  TpS1 đều tồn tại cung tham số của S1 là ρ : J  S1 , t  ρ(t) sao cho ρ(t 0 )= p , ρ'(t 0 )=α . Khi đó h  ρ(t) : J  S2 là một cung tham số của S2 đi qua q = h(ρ(t 0 )) và  phép lấy đạo hàm (h  ρ)'(t 0 ) không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ . Khi đó ánh xạ tiếp xúc với h là Tp h : TpS1  Th(p)S2 được định nghĩa là  Tp h(α) = (h  ρ)'(t 0 )=((h  ρ(t 0 ); (h  ρ)'(t 0 )) . Trên đây là những kiến thức cần nắm được trước khi nghiên cứu ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó. 8 CHƢƠNG 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Chương 2 này chúng ta làm quen với định nghĩa ánh xạ Gauss và sẽ xét ứng dụng của nó trong vấn đề tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc tại lân cận một điểm trên đa tạp hai chiều trong E3, một cách tương đương là tốc độ biến thiên của trường vectơ pháp tuyến đơn vị trong lân cận của điểm đó. 1. Ánh xạ Gauss 1.1. Định nghĩa Trong E3, cho đa tạp hai chiều (có thể gọi là mặt) S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, lúc này xác định một ánh xạ từ S vào mặt cầu đơn vị S2 (mặt cầu tâm O, bán kính 1) là g: S  S2 , p  g(p) = n(p) . Ánh xạ này được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S. Rõ ràng theo định nghĩa thì ánh xạ Gauss là một ánh xạ khả vi. 1.2. Ảnh của một số đa tạp hai chiều trong E3 qua ánh xạ Gauss Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz và mặt cầu đơn vị S2 tâm O, bán kính 1. 1.2.1 Tìm ảnh của mặt trụ tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh xạ Gauss Trong hệ tọa độ đã chọn, giả sử tham số hóa địa phương của S là  r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , từ   đây suy ra ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vectơ này độc lập tuyến tính. Khi này, xác định một trường vectơ pháp tuyến đơn vị định    ru' ×rv' hướng trên S là (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) . Trong E3, gọi ru' ×rv' tọa độ của g(p)=(x, y, z) thì ảnh của mặt S là đường tròn lớn trong mặt phẳng 9 z=0 của mặt cầu đơn vị S2 tức là đường tròn trong E3 có phương trình là  x 2 +y 2 = 1  z = 0 1.2.2 Tìm ảnh của mặt xuyến S qua ánh xạ Gauss Trong E3, cho tham số hóa địa phương của S là r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) với (a >b > 0).  Từ đó r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)  rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) . Khi này trường vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định bởi ru'  rv' n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) ru  rv Hơn nữa nhận thấy rằng (u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S và (π  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S thì n(p1) = n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) . Nghĩa là mặt xuyến có phương trình tham số đang xét có ảnh là mặt cầu đơn vị được lấy hai lần. 1.2.3 Tìm ảnh của mặt paraboloit elliptic S qua ánh xạ Gauss. Giả sử trong hệ trục tọa độ đã chọn, S có tham số hóa địa phương là    x 2 y2  x 2 y2  r : U  S, (x, y)   x, y,   khi đó r (x, y)   x, y,   và 2p 2q 2p 2q        x   y rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  . Khi này trường vectơ pháp tuyến đơn p q   vị được xác định bởi 10   x y n(p)   , , 2 2 2 2  x y x y  p 1  2  2 q 1 2  2 p q p q    1  Theo định nghĩa 2 2  x y 1  2  2  p q      theo ánh xạ Gauss, g(p)=n(p) và trong hệ tọa độ đã chọn giả sử g(p)= x , y,z đó thì z  0 với mọi x, y tức là ảnh của mặt S được xác định bởi nửa mặt cầu đơn vị có tọa độ z > 0. 1.2.4 Tìm ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss. Trong hệ tọa độ đã chọn của E3, giả sử tham số hóa địa phương của S là u u (u,v)  r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u) a a  u u Theo đó r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u) và a a   u u u u ru' (u,v)  (sh .cosv, sh .sinv,1) , rv' (u,v)  (a.ch .sinv, a.ch .cosv, 0) . a a a a Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định như sau : ru'  rv' cosv sinv u n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  (  , , th ) . Nếu trong hệ tọa u u a ru  rv ch ch a a độ trực chuẩn đã chọn, g(p)=(x, y, z) thì hàm z(u)  th u là hàm tăng nghiêm a ngặt và có giá trị trong khoảng (-1, 1) và không có giá trị hữu hạn nào của u để z(u)=1, z(u)  1. Như vậy, ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực (0, 0, 1) và (0, 0, -1). 1.2.5 Tìm ảnh của mặt đinh ốc đứng trong E3 qua ánh xạ Gauss Trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt đinh ốc đứng tham số hóa địa phương là (u,v)  r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) (a  0) , theo đó 11   r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) và ru' (u,v)  (cosv, sinv, 0) và  rv' (u,v)  (u.sinv, u.cosv, a) . Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được xác định bởi: (n  r)(u,v)  ru'  rv' a a u (u,v)  ( .sinv, .cosv, ) 2 2 2 2 2 2 ru'  rv' a u a u a u Nếu trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, g(p) = (x, y, z) thì nhận xét thấy rằng hàm x(u, v) và y(u, v) không đồng thời bằng 0 với mọi giá trị của (u,v). Như vậy ảnh của mặt đinh ốc đứng là mặt cầu đơn vị không kể hai điểm cực. Hơn nữa, với mỗi đường đinh ốc tròn u=u 0 thì các điểm pk = (u 0 .cos(v+k2π), u 0 (sinv+k2π), a(v+k2π)) (k   ) thì ảnh của các pk cùng là điểm  a a g(p k ) =  .sin (v+k2π),  cos(v+k2π), 2 2  a 2 +u 2 a +u 0 0   a a  g(p k ) =  2 2 .sin v,  2 2 cosv,  a +u a +u 0 0    2 2  a +u 0  uo   . Như vậy thì ảnh của 2 2  a +u 0  uo mặt đinh ốc đứng là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực được lấy vô số lần. Sau đây, chúng ta đi tìm hiểu một ứng dụng của ánh xạ Gauss, đó là ánh xạ tiếp xúc của nó. Ánh xạ này chính là ánh xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss trong lân cận của một điểm trên đa tạp hai chiều, đây chính là đặc trưng cho tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm trên đa tạp hai chiều trong E3 2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa 12 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss của S là g. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss là ánh xạ Tpg : TpS  Tg(p)S2 , được định nghĩa theo quy tắc sau: mỗi phương α  TpS , chọn cung tham số ρ:J  S, t  ρ(t) sao cho  ρ(t 0 ) = p; ρ'(t 0 ) = α . Khi đó Tp g(α) = (g  ρ)'(t 0 ) = ((g  ρ)(t 0 ); (g  ρ)'(t 0 )) . Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ Gauss thì n(p)=g(p) tương đương     (n  ρ)(t 0 ) = (g  ρ)(t 0 )  (n  ρ)'(t 0 ) = (g  ρ)'(t 0 )    Ta có (n  ρ)(t) =1  (n  ρ)(t).(n  ρ)'(t)= 0 nên (n  ρ)'(t 0 )  TpS . Như vậy, ta có thể đồng nhất TpS với Tg(p)S2 . Ta khẳng định quy tắc trên là một ánh xạ. Quy tắc trên xác định với mọi α  TpS . Thật vậy, tại p chọn tham số hóa địa phương của S là r : U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u0,v0),  u 0 , v0   U . Trong TpS, chọn cơ sở là {ru' (u 0 ,v0 ), rv' (u 0 ,v0 )} . Với α  TpS , tồn tại a, b   U, t  ρ(t)  = (at, bt) với sao cho α = (a.ru' +b.rv' )(u 0 ,v0 ) . Lấy cung ρ:J  J  S , khi đó (at0=u0 và bt0=v0.Đặt ρ = r  ρ:  ρ'(t)= (r.ρ)'(t)= ru' (at)'+rv' (bt)' = a.ru' +b.rv' . Từ đó suy ra ρ'(t 0 ) = a.ru' (u 0 ,v0 )+b.rv' (u 0 ,v0 )=α và ρ(t 0 ) = r(u 0 ,v0 ) . như vậy quy tắc này xác định với mọi α  TpS . Quy tắc này không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ ở trên. Chẳng hạn, có hai cung ρ, γ: J  S mà ρ(t 0 )= γ(t 0 )= p, ρ'(t 0 ) = γ '(t 0 ) = α , với cung  J  U, t  ρ(t)  sao cho ρ= r  ρ . Đặt ρ: J  S , tồn tại duy nhất cung ρ:  = (u(t); v(t)); u(t ) = u ; v(t ) = v . Khi đó ρ(t) 0 0 0 0 ' '  (n  ρ)'(t 0 )= (n  r  ρ)'(t (1) 0 )=(n  r) u (u 0 , v 0 ).u'(t 0 )+(n  r) v (u 0 , v 0 ).v'(t 0 ) 13  J  U sao cho γ = r  γ . Đặt Với cung γ: J  S , tồn tại duy nhất cung γ:  = (u (t); v (t)); u (t )= u , v (t )= v . Khi đó γ(t) * * * 0 0 * 0 0 ' '  (n  γ)'(t 0 )= (n  r  γ)'(t (2) 0 )=(n  r) u (u 0 , v 0 ).u *'(t 0 )+(n  r) v (u 0 , v 0 ).v* '(t 0 ) Do giả thiết ρ'(t 0 )= γ'(t 0 ) = α nên (u'(t 0 ); v'(t 0 )) = (u*' (t 0 ); v*' (t 0 )) , điều này kết hợp với (1) và (2), ta suy ra rằng (n  ρ)'(t 0 ) = (n  γ)'(t 0 ) . Như vậy ta khẳng định quy tắc xác định ở trên là ánh xạ. Nếu đặt Dα n = (n  ρ)'(t 0 ) và h p (α) =  Dα n =  Tp g(α) thì gọi ánh xạ hp này là ánh xạ Weingarten. 2.2 Tính chất cơ bản Trong E3, cho đa tạp hai chiều S định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. Ánh xạ hp là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của TpS. Tức là  α, β  TpS thì h p (α).β = α.h p (β) . Chứng minh Trước hết ta chứng minh hp là tự đồng cấu tuyến tính của TpS. Chọn tham số hóa địa phương của S tại p là r: U  S,(u,v)  r(u,v) , (u 0 , v0 )  U p = r(u 0 ,v0 ) . Trong TpS, chọn cơ sở là {ru' (u 0 , v0 ), rv' (u 0 , v0 )} . Với phương α  TpS , lấy cung ρ: J  S mà ρ'(t 0 ) = α (t 0  J) , theo đó tồn tại duy nhất  J  U, t  ρ(t)  = (u(t); v(t)) sao cho ρ = r  ρ . Như vậy, cung tham số ρ: ' '  α = ρ'(t 0 ) = (r  ρ)'(t 0 ) = ru (u 0 , v 0 ).u'(t 0 ) + rv (u 0 , v 0 ).v'(t 0 ) từ đây ta thấy rằng (u’(t0), v’(t0)) là tọa độ của α trong TpS. Lại theo định nghĩa ánh xạ Weingarten, ta có:  h p (α)=  (n  ρ)'(t 0 )=  (n  r  ρ)'(t 0) 14 h p (α) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).u'(t 0 )  (n  r)'v (u 0 ,v0 ).v'(t 0 ) . Nhận thấy rằng (n  r)'u (u 0 ,v0 );  (n  r)'v (u 0 ,v0 ) là hai vectơ cố định thuộc TpS. Như vậy, với α, β  TpS , ta dễ dàng chứng minh được hp là một tự đồng cấu tuyến tính của TpS. Hơn nữa, hp còn là một tự đồng cấu tuyến tính đối xứng. Trước hết, ta chứng minh tính đối xứng của hp với cơ sở trong TpS, tức là : h p (ru' ).rv' (u 0 , v0 ) = ru' .h p (rv' )(u 0 , v0 ) Ta có ru' (u 0 ,v0 )h p (rv' (u 0 ,v0 )) =  ru' (u 0 ,v0 ).(n  r)'v (u 0 ,v0 ). (1) Từ (n  r)(u 0 ,v 0 ).ru' (u 0 ,v 0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức này theo v ta được (n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).ruv' (u 0 ,v0 ) = 0 , từ đây suy ra (n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).ruv'' (u 0 ,v0 ) (2) Ta có h p (ru' (u 0 ,v0 ))rv' (u 0 ,v0 ) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 ) (3) Từ (n  r)(u 0 ,v 0 ).rv' (u 0 ,v 0 ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế theo u ta được (n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) = 0 , từ đây suy ra (n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) (4) Kết hợp (1), (2), (3), (4) và điều kiện r khả vi đến cấp cần thiết ta có h p (ru' ).rv' = ru' .h p (rv' ) . Với α, β  TpS thì đều biểu diễn được qua cơ sở {ru' (u 0 , v0 ); rv' (u 0 , v0 )} , dễ dàng kiểm chứng tính chất đối xứng của hp. 3. Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phƣơng của đa tạp hai chiều trong E3 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S trong E3 được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. 3.1 Độ cong chính, phƣơng chính của đa tạp hai chiều S tại p Độ cong chính của đa tạp hai chiều S là giá trị riêng của hp, phương chính 15 của S tại p là vectơ riêng của hp 3.2 Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S tại p 3.2.1 Định nghĩa Độ cong Gauss của S tại p là định thức của hp, kí hiệu là K(p). Độ cong chính của S tại p là nửa vết của hp, kí hiệu là H(p). 3.2.2 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của S tại p theo độ cong chính Ánh xạ hp là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian vectơ thực hai chiều TpS, do vậy tại p chỉ có một trong hai trường hợp xảy ra a) hp có hai giá trị riêng phân biệt thực là k1 ,k 2 ( k1  k 2 ) hay k1 ,k 2 là hai độ cong chính của S tại p, hai phương chính tương ứng vuông góc với nhau. Chọn một cơ sở của TpS gồm hai vectơ là phương chính của S tại p thì ma trận của hp có dạng chéo:  k1 0  A  0 k 2  Khi đó độ cong Gauss của S tại p là K  p  =k1.k 2 , độ cong trung bình của S tại p là H(p)= k1 +k 2 2 Chú ý : khi đổi hướng đa tạp hai chiều S thì trường vec tơ pháp tuyến đơn vị n thay bằng –n do đó ma trận A thay bằng –A. Vì A là ma trận vuông cấp hai nên A = -A và vết (A)=-vết (-A). Do đó độ cong Gauss không đổi, độ cong trung bình đổi dấu. b) hp có giá trị riêng kép thực k1 =k 2 (k1 ,k 2   ) thì mọi phương đều là phương chính . Chọn cơ sở của TpS gồm hai vectơ chỉ phương chính thì độ cong Gauss K(p)=k1.k 2 =(k1 ) 2 , độ cong trung bình H(p)=k1 3.3 Các định nghĩa 16 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , S có độ cong chính là k1 ,k 2 , độ cong Gauss là K(p), độ cong trung bình là H(p). Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k1 =k 2 , điểm p được gọi là điểm cầu nếu k1 =k 2  0 , điểm p được gọi là điểm dẹt nếu k1 =k 2 =0 . Điểm p được gọi là điểm elliptic nếu K(p)>0, điêm p được gọi là Điểm hypebolic nếu K(p)<0, điểm p được gọi là điểm paraboloic nếu K(p)=0. Chú ý: Trong E3, cho đa tạp hai chiều S có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. Khi đó α,β  TpS ta có h p (α).h p (β)  2.H(p).h p (α).β+K(p).α.β=0 Thật vậy, trong không gian TpS, ta chọn cơ sở trực chuẩn {e1,e2} và gọi k1 , k 2 là hai độ cong chính của S tại p. Từ đây suy ra h p (e1 )=k1.e1 và h p (e2 )=k 2 .e2 Với α, β  TpS , tồn tại a, b, c, d sao cho α=a.e1 +b.e2 , β=c.e1 +d.e2  e Khi này h p (α)=h p (a.e1 +b.e2 )=a.k1e1 +b.k 2 2 h p (β)=h p (c.e1 +d.e2 )= c.k1e1 +d.k 2e2 k +k Mặt khác có K(p)=k1.k 2 và H(p)= 1 2 , thay vào công thức ta có 2 VT=(a.k1e1 +bk 2 .e 2 )(ck1e1 +dk 2 .e 2 )  (k1 +k 2 )(a.k1e1 +bk 2.e 2 )(ce1 +de)+ +k1.k 2 (ae1 +be2 )(ce1 +de2 ) =ack1 +bdk 2  (k1 +k 2 )(ack1 +bdk 2 )+(ac+bd)k1.k 2 =0 3.4 Ví dụ 3.4.1 Trong E3, cho mặt cầu S tâm O bán kính R>0. Mặt cầu này là đa tạp hai chiều trong E3, giả sử S được định hướng bởi trường vec tơ pháp tuyến 17  OP ) . Goị ánh xạ đơn vị hướng ra ngoài, tức là với P  S, n(P)=(P; R Weingarten của S tại P là hp. Lấy α  TpS , xét đường tròn lớn của mặt cầu đi qua P và tiếp xúc với phương α . Tham số hóa cung tròn lớn của đường tròn lớn này mà đi qua P và tiếp xúc với phương α là ρ:J  S, t  ρ(t) và   Oρ(t 0 )  ρ(t 0 ) = P, ρ'(t 0 ) = α . Khi này n(P)=  ρ(t 0 );  . Từ đây suy ra R     Oρ'(t 0 )  (n  ρ)'(t 0 )=  ρ(t 0 );  R   Theo công thức h p (α)=  (n  ρ)'(t 0 )= α . Như vậy, giá trị riêng của h p (α) là R 1 1 k1 =k 2 =  , điểm P là điểm cầu. Độ cong Gauss của S tại P là K(P)= 2 giá R R trị này luôn dương, do đó điểm P là điểm elliptic của S. Độ cong trung bình của S tại P là H(P)=  1 . Điểm P là điểm bất kì trên S nên mọi điểm trên S R đều là điểm cầu. 3.4.2 Trong En, cho S là mặt phẳng, khi đó n là trường vectơ song song nên hp=0 với mọi p  S . Như vậy, mọi điểm thuộc S đều là điểm dẹt, K = H = 0. 3.4.3 Trong E3 với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz. Cho mặt trụ tròn xoay S có bán kính a, trục quay là Oz . Tham số hóa địa phương của S là  r(u,v)=(a.cosu, a.sinu, v). Theo đó r(u,v) = (a.cosu,a.sin u, v) từ đó tính được   ' ru (u,v)=(  a.sinu,acosu, 0) và rv' (u,v)=(0,0,1) , khi này có thể định hướng S bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị liên tục được xác định như sau 18 (n  r)(u, v) = ru' ×rv' (u, v) = (cosu, sinu, 0) ru' ×rv'   1  Khi này h p (ru' )=  (n  r)'u =(  sinu, cosu,0)=  .ru' , và a  1      ' ' ' ' h p (rv )=  (n  r) v = (0, 0,0) = 0. ru  0.rv . Do đó ma trận của hp là A=  a  0 Từ đây suy ra Kp=0, H p    0  0 1  1 , k1 =  ; k 2 =0 . 2a a Phương chính ứng với k1 là phương của ru' , đó là phương tiếp xúc của cung tọa độ v=v0 (cung vĩ tuyến). Phương chính ứng với k 2 là phương của vectơ rv' , đó là phương tiếp xúc của cung tọa độ u = u0 (cung kinh tuyến). 3.5 Định nghĩa Ánh xạ f: S1  S2 giữa các đa tạp định hướng trên đa tạp hai chiều trong E3 được gọi là ánh xạ bảo giác nếu có hàm số dương φ: S1   sao cho với mọi α, β TpS1 ta có Tpf(α).Tpf(β) = φ(p).α.β (với mọi p  S1 ). 3.6 Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E3 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n. Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp. 3.6.1 Định nghĩa dạng cơ bản I và II của mặt S tại p  S Dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS Ip: TpS×TpS   , (α,β)  α.β , IIp: TpS×TpS   , (α, β)  h p (α).β lần lượt được gọi là dạng cơ bản thứ I và II của đa tạp hai chiều S tại p. Kí hiệu Ip (α,α) = Ip (α) , IIp (α,α) = IIp (α) . Khi P thay đổi trên S ta có thể dùng kí hiệu I và II. 3.6.2 Biểu thức tọa độ của dạng cơ bản thứ I và II trong tham số hóa địa 19 phương của S tại p Tại p  S , chọn tham số hóa địa phương của S là r: U  S,(u,v)  r(u,v) mà p=r(u0, v0), (u 0 , v0 )  U . Các hàm số trên U       E = (ru' .rv' )(u, v), F = (ru' .rv' )(u,v), G = (rv' .rv' )(u, v) được gọi là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I.          L=(n  r).ruu'' =  (n  r)'u .ru' , M=(n  r)ruv'' =  (n  r)'u rv' =  (n  r)'v .ru'     N=(n  r).rvv'' =  (n  r)'v .rv' được gọi là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng cơ bản thứ II. Với X, Y  TpS, X=φ1.ru' +φ2 .rv' ; Y=ψ1ru' +ψ2rv' thì I(X,Y)=(E.r -1 )φ1ψ1 +(F.r -1 )(φ1.ψ2 +φ2ψ1 )+(G.r -1)φ2ψ2 II(X,Y)=(L.r -1 )φ1ψ1 +(M.r -1 )(φ1.ψ2 +φ2ψ1 )+(N.r -1 )φ2ψ2 . Đây lần lượt được gọi là biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I và II trong tham số hóa địa phương đã chọn của S.    r ' ×r ' Khi r tương thích với hướng của S thì (n  r)= u v ru' ×rv' 3.6.3 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình theo các hệ số của dạng cơ bản I và II Trong TpS, lấy cơ sở {α,β} và giả sử h p (α)=a.α+bβ; h p (β)=cα+dβ thì K(p)  ad  bc , H(p)= (a+d) . Khi đó h p (α)  β+α.h p (β)=2.H(p)α  β . Lấy 2 tích vô hướng của các vế của đẳng thức này với α  β ta được h p (α).α K(p)= h p (β).α αα βα h p (α).β II(α,α) II(α,β) h p (β).β II(β,α) II(β,β) = αβ I(α,α) I(α,β) ββ I(β,α) I(β,β) 20