§Ò Sè 1
§Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 9
(Thêi gian lµm bµi 150’ )
C©u 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh.
6x 3
= 3 + 2 x x2
x 1 x
C©u 2: Cho hÖ ph-¬ng tr×nh:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0
Gäi (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ hai nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh trªn. H·y t×m gi¸
trÞ cña biÓu thøc.
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.
C©u 3: Tõ ®iÓm A n»m ngoµi ®-êng trßn t©m O kÎ hai tiÕp tuyÕn AB vµ
AC (B,C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC cña ®-êng
trßn (O) (M kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB vµ AC t¹i E, F, ®-êng th¼ng
BC c¾t OE vµ OF ë P vµ Q. Chøng minh r»ng tû sè
PQ
kh«ng ®æi khi M di
EF
chuyÓn trªn cung nhá BC.
C©u 4: T×m c¸c sè x, y, z nguyªn d-¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc.
2(y+z) = x (yz-1)
C©u 5: Mét ngò gi¸c cã tÝnh chÊt: TÊt c¶ c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ 3 ®Ønh
liªn tiÕp cña ngò gi¸c ®Òu cã diÖn tÝch b»ng 1. TÝnh diÖn tÝch cña ngò gi¸c ®ã.
§Ò thi häc sinh giái m«n to¸n líp 9
(Thêi gian lµm bµi: 150’ )
C©u 1: Cho biÓu thøc.
(x + x 2 2006) (y y 2 2006) 2006
H·y tÝnh tæng: S = x + y
1
C©u 2: Trong c¸c cÆp sè thùc (x;y) tho¶ m·n:
x2 x y2 y
0
x 2 y 2 1
H·y t×m cÆp sè cã tæng x+2y lín nhÊt.
C©u 3:
T×m c¸c sè nguyªn d-¬ng n sao cho x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 ®Òu lµ
nh÷ng sè chÝnh ph-¬ng.
C©u 4: Cho hai ®-êng trßn (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i ®iÓm T. Hai
®-êng trßn nµy n»m trong ®-êng trßn (C3) vµ tiÕp xóc víi (C3) t-¬ng øng t¹i M
vµ N. TiÕp tuyÕn chung t¹i T cña (C1) vµ (C2) c¾t (C3) t¹i P. PM c¾t ®-êng trßn
(C1) t¹i diÓm thø hai A vµ MN c¾t (C1) t¹i ®iÓm thø hai B. PN c¾t ®-êng trßn (C2)
t¹i ®iÓm thø hai D vµ MN c¾t (C2) t¹i ®iÓm thø hai C.
a. Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b. Chøng minh r»ng AB, CD vµ PT ®ång quy.
C©u 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 1
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Thanh ho¸
*****
§Ò thi häc sinh giái líp 9
M«n: To¸n
Thêi gian: 150 phót
Bµi 1: Cã sè y nµo biÓu thÞ trong d¹ng sau kh«ng?
y 5 13 5 13 5 ...
Bµi 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n hÖ thøc:
1 1 1
1
. Chøng minh
a b c abc
r»ng :
Víi mäi sè nguyªn n lÎ ta ®Òu cã:
1 1 1
1
n n n
n
a b c
a bn c n
Bµi 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
x 2 2 y 1 9
x y 1 1
Bµi 4: Cho hÖ ph-¬ng tr×nh hai Èn x, y sau:
2
(m 1) x my 2m 1
2
mx y m 2
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín
nhÊt
Bµi 5: T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh (x2-1)(x+3)(x+5) = m cã bèn nghiÖm ph©n biÖt x1,
x2,
1 1 1 1
x3, x4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1
x1 x2 x3 x4
1
Bµi 6: Cho Parabol (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y x 2
2
a. T×m m sao cho ®iÓm C(-2; m)thuéc Parabol
b. Cã bao nhiªu ®iÓm thuéc Parabol vµ c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é
Bµi 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bµi 8: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t-¬ng øng thuéc c¸c tia Ox vµ Oy
sao
cho OA = OB. Mét ®-êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®o¹n OB t¹i ®iÓm M n»m
gi÷a O vµ B. Tõ B h¹ ®-êng vu«ng gãc víi AM t¹i H vµ c¾t ®-êng th¼ng
OA t¹i I
1. Chøng minh OI = OM vµ tø gi¸c OMHN néi tiÕp ®-îc
2. Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh OK = KH vµ t×m quü
tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB.
Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC cã A 900 , M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. Gäi
O vµ
E lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB vµ AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ
cña M ®Ó ®é dµi ®o¹n th¼ng OE ng¾n nhÊt.
--------------------------------------------------------
§Ò thi häc sinh giái líp 9
®
Bµi I (2 )
Rót gän A
1 2a
1 1 2a
1 2a
1 1 2a
Víi a =
3
4
Bµi II (6®)
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh
2x2 + 4x = 19-3y2
b) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
x3 =7x +3y
y3 = 7y+3x
3
Bµi III (3®)
Cho x,y,z lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ x+y+z =1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = xy+yz+zx
Bµi IV (6®)
Cho h×nh thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lÇn l-ît thø tù lµ trung
®iÓm cña c¸c ®-êng hcÐo AC vµ BD , kÎ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gäi I lµ giao
®iÓm cña MH’ vµ NH. Chøng minh r»ng I c¸ch ®Òu 2 ®iÓm C vµ D.
Bµi V (3®)
Cho a,b,c >0 vµ a+b+c = 1. Chøng minh b+c ≥ 16abc.
®Ò thi häc sinh giái - líp 9
m«n to¸n -thêi gian : 150 phót
ng-êi ra ®Ò : lª thÞ h-¬ng – lª thÞ t©m
C©u 1: (4 ®iÓm)
Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phôc thuéc gi¸ trÞ x
A=
6 x ( x 6) x 3
3
1
2( x 4 x 3)(2 x ) 2 x 10 x 12 3 x x 2
®iÒu kiÖn x # 4; x # 9 ; x # 1
C©u 2: (3 ®iÓm) gi¶i ph-¬ng tr×nh
x 2 48 = 4x - 3 +
x 2 35
C©u 3: (4 ®iÓm)
Ph©n tÝch ra thõa sè
A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Tõ ®ã t×m nghiÖm nguyªn (x, y , z) cña ph-¬ng tr×nh
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2
(1)
t/m ®k:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z)
(2)
C©u 4: (3 ®iÓm)
T×m GTNN cña biÓu thøc
=
1 x10 y10
1
( 2 2 ) ( x16 y16 ) (1 x 2 y 2 )2
2 y
x
4
4
C©u 5: (3 ®iÓm) cho tam gi¸c ABC cã AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm ®-êng
cao, ®-êng ph©n gi¸c, ®-êng trung tuyÕn cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh B chia tam gi¸c
thµnh 4 phÇn. H·y tÝnh diÖn tÝch mçi phÇn.
C©u 6: (3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong (0) cã 2 ®-êng chÐo AC&BD
vu«ng víi nhau t¹i H < H kh«ng trïng víi t©m cña (0). Gäi M,N lÇn l-ît lµ ch©n
®-êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng c¸c ®-êng th¼ng AB, BC; P&Q lÇn l-ît lµ giao
®iÓm cña ®-êng th¼ng MH & NH víi c¸c ®-êng th¼ng CD; OA. chøng minh
r»ng ®-êng th¼ng PQ // ®-êng th¼ng AC vµ 4 ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét (0).
§Ò thi häc sinh giái To¸n líp 9
Së GD-§T thanh ho¸
B¶ng A
Tr-êngTHPT BØm S¬n
( §Ò ®Ò nghÞ )
Thêi gian 150 phót ( Kh«ng kÓ thêi gian ph¸t
®Ò)
C©u1 : (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc A=
( x y )2
x xy y
x xy y
x y
x y
x y
1,Rót gän biÓu thøc A
2, So s¸nh A vµ
A
C©u 2: ( 5 §iÓm)
1, Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x2 + 4x + 5 = 2
2x 3
2, Cho 1 a 2 vµ 1 b 2
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
P=
(a b) 2
a3 b3
C©u 3, (6 ®iÓm)
1, Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña
ph-¬ng tr×nh bËc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0
H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó sè ®o cña ®-êng cao øng víi c¹nh huyÒn
2
cña tam gi¸c lµ:
5
2, Cho 2 ®iÓm A,B ph©n biÖt trªn ®-êng th¼ng ( ) . §-êng trßn (o)
tiÕp xóc víi ®-êng th¼ng ( ) t¹i A. H·y dùng ®-êng trßn (o’ ) tiÕp xóc víi
®-êng trßn (o) vµ tiÕp xóc víi ®-êng th¼ng ( ) t¹i B.
5
C©u 4:
(5 ®iÓm)
Cho hai ®-êng trßn (o1) vµ (o2) c¾t nhau t¹i A vµ B. TiÕp tuyÕn chung
gÇn B cña hai ®-êng trßn lÇn l-ît tiÕp xóc víi (o1) vµ (o2) t¹i C vµ D. Qua
A kÎ ®-êng th¼ng song song víi CD lÇn l-ît c¾t (o1) vµ (o2) t¹i M vµ N.
C¸c ®-êng th¼ng BC vµ BD lÇn l-ît c¾t ®-êng th¼ng MN t¹i P vµ Q . C¸c
®-êng th¼ng CM vµ DN c¾t nhau t¹i E . Chøng minh r»ng:
1, §-êng th¼ng AE vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng CD
2, Tam gi¸c EPQ lµ tam gi¸c c©n.
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸
®Ò thi häc sinh giái líp 9 – b¶ng b
M«n: To¸n
Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1: Rót gän A=
1
22 a
1
22 a
a 2 1 1
1 víi a > 0 vµ a 1
1 a 2 a
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thµnh nh©n tö
Bµi 3: T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh x 2
15
x m 2 0 cã hai nghiÖm vµ nghiÖm nµy
4
b»ng b×nh ph-¬ng nghiÖm kia.
Bµi 4: X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) víi x, y lµ sè nguyªn
mx 2 y m 1
2 x my 2m 1
1
2
Bµi 5: Gi¶i ph-¬ng tr×nh x 2 x 5 5
Bµi 6: Cho ®-êng th¼ng (d): y = x + 2m – 3 gäi A, B lÇn l-ît lµ giao ®iÓm cña
d víi Ox, Oy. X¸c ®Þnh m ®Ó SABO b»ng 4.
Bµi 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bµi 8: TÝnh b¸n kÝnh ®-êng trßn néi tiÕp ABC vu«ng ë A biÕt r»ng ®-êng
ph©n gi¸c trong AD chia c¹nh huyÒn thµnh 2 ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 10 cm
vµ 20 cm.
Bµi 9: Cho ®-êng trßn t©m O, tiÕp tuyÕn ®-êng trßn t¹i B, C c¾t nhau ë A,
6
BAC = 600, M thuéc cung nhá BC, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB, AC t¹i D, E.
Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC lÇn l-ît lµ I, K. Chøng minh r»ng tø
gi¸c IOCE néi tiÕp.
Bµi 10: Chøng minh r»ng trong mét tø diÖn bÊt kú tån t¹i 3 c¹nh cïng xuÊt
ph¸t tõ mét ®Ønh mµ mét c¹nh nhá h¬n tæng hai c¹nh kia.
Tµi liÖu:
-
Bµi 1, 2, 5: Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i sè 9
Bµi 3, 6 : §¹i sè n©ng cao líp 9
Bµi 7
: BÊt ®¼ng thøc – Phan §øc ChÝnh
Bµi 8, 9, 10: Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn H×nh häc 9.
Së Gi¸o dôc vµ §µo T¹o
thanh ho¸
®Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS
M«n thi : To¸n
( Thêi gian lµm bµi : 150 phót)
Bµi I (3,0 ®iÓm):
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P =
a 1
.Trong ®ã a lµ
a4 a 1 a2
nghiÖm d-¬ng cña ph-¬ng tr×nh : 4x2+ 2 x- 2 = 0
Bµi II ( 6,0 ®iÓm):
1) Gi¶ sö ph-¬ng tr×nh : x2+ax+b = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 vµ ph-¬ng
tr×nh :x2+cx +d = 0 cã hai nghiÖm x3 , x4 .Chøng minh r»ng :
2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d)
2) Chøng minh r»ng nÕu ph-¬ng tr×nh :
ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0)
cã hai nghiÖm x1,x2 tho¶ m·n x1x2=1 th× 5a2=2b2+ac
Bµi III (5,0 ®iÓm):
Cho tam gi¸c ABC cã c¶ ba gãc nhän . AA’ ,BB’ ,CC’ lÇn l-ît lµ c¸c
®-êng cao. H lµ trùc t©m
AH BH CH
1) Chøng minh r»ng:
6
HA ' HB ' HC '
AH
m . H·y tÝnh tgB.tgC theo m
2) Cho biÕt
A' H
Bµi IV (4,0 ®iÓm):
Tõ mét ®iÓm O tuú ý trªn mÆt ph¼ng chøa h×nh b×nh hµnh ABCD .Ta
7
nèi víi c¸c ®Ønh cña h×nh b×nh hµnh ®ã .
Chøng minh r»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c AOC b»ng tæng hoÆc hiÖu
diÖn tÝch cña hai tam gi¸c kÒ nhau,mçi tam gi¸c ®-îc t¹o bëi hai trong
c¸c ®-êng th¼ng OA,OB,OC,OD vµ c¸c c¹nh cña h×nh b×nh hµnh
Bµi V (2,0 ®iÓm):
Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn tè p sao cho ph-¬ng tr×nh :
x2+x+1 = py cã nghiÖm nguyªn x,y.
Chøng minh r»ng A lµ mét tËp hîp v« h¹n
-----------------------------------------------------§Ò thi häc sinh giái líp 9
M«n : To¸n - N¨m häc: 2005 - 2006
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
Së GD-§T Thanh Hãa
Tr-êng THPT Mai Anh TuÊn
Bµi 1: (2,0®)
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
1
A=
2 2 3
1
2 2 3
Bµi 2: (5,0®)
Cho parabol(P):
1
4
y= x 2
a.ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) di qua 2 ®iÓm A vµ B thuéc (P) vµ
cã hoµnh ®é lÇn l-ît lµ 2 vµ - 4.
b.T×m ®iÓm C trªn cung AB cña (P) sao cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch
lín nhÊt
Bµi 3: (4,0®)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i B, néi tiÕp ®-êng trßn (O;R). Trªn cung
AC cã chøa ®iÓm B, lÊy 1 ®iÓm D tïy ý; trªn tia ®èi cña tia DA lÊy ®iÓm E sao
cho DE = DC.
a. Chøng minh r»ng trung ®iÓm I cña EC vµ ®iÓm D th¼ng hµng víi 1
®iÓm thø ba cè ®Þnh.
b.T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E khi D di ®éng trªn cung ABC.
c.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D trªn cung ABC ®Ó ®é dµi AE lín nhÊt, tÝnh ®é
dµi Êy theo R.
8
Bµi 4: (4,0 ®)
Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’ B’ C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu. §iÓm A’ c¸ch
®Òu c¸c ®iÓm A, B, C.
a. Chøng minh r»ng ch©n ®-êng cao h¹ tõ ®Ønh A’ cña l¨ng trô trïng
víi tam cña ®¸y ABC
b. Chøng minh r»ng mÆt bªn BCC’ B’ cña l¨ng trô lµ h×nh ch÷ nhËt.
Bµi 5: (5,0 ®)
a.Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.T×m nghiÖm nguyªn d-¬ng cña ph-¬ng tr×nh:
2x 2 +7xy + 6y 2 = 60
(C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
®Ò thi häc sinh giái líp 9 thcs
Së gd & ®t Thanh ho¸
Tr-êng thpt trÇn phó
Nga S¬n
M«n : To¸n
Thêi gian : 150 phót kh«ng kÓ thêi gian
giao
Bµi 1: (6 ®iÓm)
1- Gi¶i ph-¬ng tr×nh : x2 + y2 = 5
x4 + x2y2 + y4 = 13
2- Cho biÓu thøc: A =
2x- 1
x2+ 2
T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Bµi 2 : (3 ®iÓm)
Cho Ph-¬ng tr×nh : x2 – 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0
x2+
1)Chøng minh r»ng lu«n cã nghiÖm víi V gi¸ trÞ cña m.
2
2)T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu nhau.
9
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong ®ã a, b, c, d Є R.
H·y chøng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Cho ®-êng trßn néi tiÕp ∆ ABC , tiÕp xóc víi c¹nh BC t¹i D.
Chøng minh r»ng: ∆ ABC vu«ng t¹i A khi vµ chØ chØ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bµi 5: ( 4 ®iÓm)
Cho h×nh chãp SABC cã SA
SB
SB, SA
SC,
SC.
BiÕt SA = a; SB + SC = k. §Æt SB = x.
a)TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC theo : a, k, x.
b)TÝnh SB, SC ®Ó thÓ tÝch h×nh chãp S. ABC lín nhÊt
Së GD&§T Thanh hãa
Tr-êng thpt hËu léc 3
®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò
§Ò thi Häc sinh giái líp 9 – M«n To¸n
--------o0o-------
----------------o0o--------------
C©u 1: (1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc:
A
2
1 x
2 2x 1
4
, víi x < 0.
2
1 x
1 2 2 x 1
4
1
C©u 2: (2 ®iÓm) Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau biÕt ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau:
x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0.
C©u 3: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x2 + y2,
biÕt r»ng: x2 + y2 – xy = 4.
C©u 4: (2 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh sau:
7x2 + 13y2 = 1820.
C©u 5: (3 ®iÓm)
Cho ABC c©n néi tiÕp trong ®-êng trßn (O; R) cã AB = AC = R 2 .
a) TÝnh BC theo R?
10
b) Cho M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung AC nhá. Gäi D lµ giao ®iÓm cña AM
vµ BC. Chøng minh r»ng AM.AD lµ h»ng sè.
c) Chøng minh r»ng t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp MCD di ®éng trªn mét
®-êng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung AC nhá.
-------------------------------------------HÕt------------------------------------------------®Ò thi häc sinh giái líp 9
M«n : To¸n
Së gd vµ §T thanh ho¸
Thêi gian lµm bµi : 150 phót
Bµi 1 : Cho biÓu thøc
A
a a a a
:
a 1
a a
2
a) T×m a ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa
b) Rót gän A
Bµi 2 : Cho 2 sè d-¬ng x,y tho¶ m·n x+y=1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
1
1
B 1 2 1 2
y
x
Bµi 3 : Cho ph-¬ng tr×nh
x2
1
m( x 1)
4
2
(m lµ tham sè )
a) Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi m R
b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n biÓu thøc
2
x12 x2 x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, tÝnh gi¸ trÞ nµy
Bµi 4 :
Mét vËn ®éng viªn b¾n sóng ®· b¾n h¬n 11 viªn vµ ®Òu tróng vµo vßng
9,10 ®iÓm; tæng sè ®iÓm ®¹t ®-îc lµ 109 ®iÓm. Hái vËn ®éng vieen ®ã ®·
b¾n bao nhiªu viªn vµ kÕt qu¶ b¾n vµo c¸c vßng ra sao?
Bµi 5 : Gi¶i ph-¬ng tr×nh
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
1
Bµi 6 : Cho parabol(P) : y= x 2 vµ ®-êng th¼ng (d) : y= mx – 2m – 1
4
a) t×m m ®Ó ®-êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P)
b)chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A (P)
Bµi 7:
T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh
7 x 2 13 y 2 1820
Bµi 8 :
gi¸c
Cho tam gi¸c nhän ABC, gäi AH,BI,CK lµ c¸c ®-êng cao cña tam
Chøng minh r»ng
11
S HIK
1 cos2 A cos2 B cos2 C
S ABC
Bµi 9:
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi MNPQ lµ tø gi¸c låi cã 4 ®Ønh lÇn l-ît n»m
trªn
4 c¹nh cña h×nh vu«ng. X¸c ®Þnh tø gi¸c MNPQ sao cho nã cã chu vi nhá nhÊt
Bµi 10 :
Cho ®-êng trßn (O;R) vµ ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®-êng trßn, vÏ c¸t tuyÕn
PBC bÊt k× . t×m quü tÝch c¸c ®iÓm O1 ®èi xøng víi O qua BC khi c¸t tuyÕn PBC
quay quanh P
Së gi¸o dôc & ®µo t¹o
Thanh ho¸
thi häc sinh giái líp 9 THcs
§Ò chÝnh thøc
M«n: To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót.
Bµi I (1,0 ®iÓm)
Cho hai ph-¬ng tr×nh: x2 + ax + 1 = 0 vµ x2 + bx + 17 = 0. BiÕt r»ng hai
ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm chung vµ a b nhá nhÊt. T×m a vµ b.
Bµi II (2 ®iÓm)
Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
Bµi III (2,5 ®iÓm)
x x 5 x x 2 5x 20 .
x 3 y 3 1
1/ Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 7
7
4
4
x y x y
2/ T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh: x3 + y3 + 6xy = 21.
Bµi IV (2,5 ®iÓm)
Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®-êng trßn (O ) t©m O. M lµ ®iÓm chÝnh
gi÷a cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua O.
C¸c ®-êng ph©n gi¸c trong gãc B vµ gãc C cña tam gi¸c ABC c¾t ®-êng
th¼ng AM’ lÇn l-ît t¹i E vµ F .
1/ Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®-îc trong ®-êng trßn.
2/ BiÕt ®-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC cã t©m I b¸n kÝnh r.
Chøng minh:
IB.IC = 2r.IM.
Bµi V (2 ®iÓm)
1/ Cho c¸c sè a, b tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 0 a 3 ; 8 b 11
vµ a + b = 11. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch P = a.b .
2/ Trong mÆt ph¼ng ( P ) cho 3 tia chung gèc vµ ph©n biÖt Ox ; Oy ; Oz .
12
Tia Ot kh«ng thuéc (P) vµ xOt = yOt = zOt . Chøng minh Ot vu«ng gãc
víi mÆt ph¼ng (P).
---------------------------------------------------Hä vµ tªn thÝ sinh: …………………………………..Sè b¸o danh: ……….
Ch÷ ký cña hai ng-êi coi thi: Sè 1: …………….. Sè 2: ………………..
Së GD&§T Thanh Ho¸
Tr-êng THPT Ho»ng Ho¸ 2
§Ò thi häc sinh giái líp 9
M«n : To¸n
Thêi gian lµm bµi : 150 phót
( kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1 (2 ®iÓm)
Rót gän biÓu thøc :
1
1
1
1
P=
...
1 5
5 9
9 13
2001 2005
Bµi 2 (2 ®iÓm)
Cho ba sè d-¬ng x; y; z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy + yx + xz = 1
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau :
(1 y 2 )(1 z 2 )
(1 z 2 )(1 x 2 )
(1 x 2 )(1 y 2 )
S= x
y
z
1 x2
1 y2
1 z2
Bµi 3 ( 2 ®iÓm)
Gi¶i ph-¬ng tr×nh :
2x
13x
2
6
3x 5 x 2 3x x 2
2
Bµi 4 (2 ®iÓm)
x 3 y 3 3( x y )
Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh :
x y 1
Bµi 5 (2 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ®¼ng thøc sau lµ ®¼ng thøc ®óng :
3 x 2 18 x 28 4 x 2 24 x 45 = – x2 + 6x -5
Bµi 6 (2 ®iÓm)
13
1
Cho Parabol (P) : y = x 2 vµ ®-êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A, B trªn (P)
4
cã hoµnh ®é lÇn l-ît lµ -2 vµ 4. T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t-¬ng øng cã
hoµnh ®é x [-2; 4] sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi 7 ( 2 ®iÓm)
T×m mäi cÆp sè nguyªn d-¬ng (x; y) sao cho
x4 2
lµ sè nguyªn d-¬ng.
x2 y 1
14
Bµi 8 (2 ®iÓm):
Cho 2 ®-êng trßn (0 1 , R 1 ) vµ (0 2 , R 2 ) cã R 1 > R 2 tiÕp xóc ngoµi víi nhau
t¹i A. §-êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®-êng trßn (0 1 , R 1 ) t¹i M vµ ®-êng trßn
(0 2 , R 2 ) t¹i N ( c¸c ®iÓm M, N kh¸c A). T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm I cña c¸c
®o¹n th¼ng MN khi ®-êng th¼ng d quay quanh ®iÓm A.
Bµi 9 (2 ®iÓm):
Trong h×nh vu«ng mµ ®é dµi mçi c¹nh b»ng 4 cã cho tr-íc 33 ®iÓm, trong
®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng. Ng-êi ta vÏ c¸c ®-êng trßn cã b¸n kÝnh ®Òu
b»ng 2 , cã t©m lµ c¸c ®iÓm ®· cho. Hái cã hay kh«ng 3 ®iÓm trong sè c¸c
®iÓm nãi trªn sao cho chóng ®Òu thuéc vµo phÇn chung cña 3 h×nh trßn cã c¸c
t©m còng chÝnh lµ 3 ®iÓm.
Bµi 10 (2 ®iÓm):
Cho tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi b»ng nhau, trong mÆt ph¼ng
(BCD) dùng c¸c ®iÓm P, Q, R sao cho B, C, D lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña PR;
QR; QP.
Chøng minh r»ng AP; AQ; AR ®«i mét vu«ng gãc./
§Ò thi häc sinh giái líp 9 - M«n To¸n: Thêi gian: 150phót
Bµi 1(2 ®iÓm): Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
A
5 17 5 17 10 4 2 4
3 5 3 5 2 2
Bµi 2(2 ®iÓm): Ph©n tÝch ®a thøc ra ph©n tö
24x3 - 26x2 + 9x - 1
Bµi 3(2 ®iÓm): T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh:
x2 - 2x - x-1 + m = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
Bµi 4(2 ®iÓm): T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
x 2 y 3
2 x y m
Bµi 5(2 ®iÓm): T×m m ®Ó hÖ:
mx y 1
2x 3 y m 1
cã nghiÖm (x;y) tho¶ x2 + y2 = 1
Bµi 6(2 ®iÓm): Cho ®-êng (dm): y = mx - 3m + 2
a) VÏ ®å thÞ (d2) (tøc khi m = 2)
b) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O tíi (dm) lín nhÊt.
15
Bµi 7(2 ®iÓm): T×m (x;y) nguyªn tho¶ y
2 x 3 x 2 11x 5
2x 3
Bµi 8(2 ®iÓm): Cho ®iÓm I, qua I kÎ 2 ®-êng a vµ b tho¶ a b.
Trªn a vÒ hai phÝa cña I lÊy 2 ®iÓm A, D
Trªn b vÒ hai phÝa cña I lÊy 2 ®iÓm B, C
Tho¶ IA.ID = IB.IC.
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D thuéc 1 ®-êng trßn
b) Qua D kÎ ®-êng song song víi b c¾t AB kÐo dµi t¹i F. H·y x¸c ®Þnh
®iÓm E trªn FD sao cho AE FI. Khi ®ã ICED lµ h×nh g×?
Bµi 9(2 ®iÓm): Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã chu vi kh«ng ®æi lµ 2p. M, N trªn
AB tho¶ AM = MN = NB.
P, Q trªn DC sao cho DP = PQ = QC
AQ c¾t DN, BP lÇn l-ît t¹i A1D1
CM c¾t DN, BP lÇn l-ît t¹i B1C1
Hái h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Æc ®iÓm g× th× tø gi¸c A1B1C1D1 cã diÖn tÝch ®¹t
gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 10(2 ®iÓm): Cho h×nh trô b¸n kÝnh ®¸y R, chiÒu cao h vµ cã thÓ tÝch lµ 30m3.
2 ®¸y lµ 2 ®-êng trßn (O) vµ (O'), AB lµ 1 ®-êng kÝnh cña ®-êng trßn t©m (O), C
di ®éng trªn ®-êng trßn (O). S thuéc ®-êng trßn t©m (O').
a) X¸c ®Þnh C ®Ó diÖn tÝch ABC lµ lín nhÊt
b) Khi ABC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. H·y tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC.
Së gi¸o dôc - ®µo t¹o thanh hãa
§Ò thi häc sinh giái líp 9 THCS
Tr-êng THPT bc lª viÕt t¹o
****************************
Bµi 1:
a) Chøng minh r»ng:
3 3
2 1 3
1 3 2 3 4
9
9
9
b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
E 2 x 5 x 3 3x 2 x 1 víi x 1 2
Bµi 2: Cho a b , a c , b c
chøng minh r»ng
b2 c2
c2 a2
a2 b2
bc ca a b
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b
x 2 2mx 2m 1 0
Bµi 3: Cho ph-¬ng tr×nh:
T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng b×nh
ph-¬ng nghiÖm kia.
Bµi 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
8 x 5 x 5
Bµi 5: Chøng minh nÕu a 2 th× hÖ sau v« nghiÖm:
16
x 5 2 y a
2
x y 2 1
1
4
Bµi 6: Cho Parabol (P) y x 2 vµ ®-êng th¼ng (d):
1
y x 2 . Gäi A vµ B
2
lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (d). T×m M trªn cung AB cña (P) sao cho diÖn tÝch
MAB lín nhÊt.
Bµi 7: T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh
8x 4 4 y 4 2 z 4 t 4
Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC. Ph©n gi¸c AD, trung tuyÕn AM. LÊy ®èi xøng trung
tuyÕn AM qua AD c¾t BC t¹i N. Chøng minh:
NB AB 2
NC AC 2
Bµi 9: DiÖn tÝch cña mét h×nh thang b»ng 1. Hái ®-êng chÐo lín nhÊt cã gi¸ trÞ
bÐ nhÊt lµ bao nhiªu.
Bµi 10: Cho ®-êng trßn ( 0; R) víi 2 ®-êng kÝnh AB vµ MN. TiÕp tuyÕn víi (0)
t¹i A c¾t BM vµ BN t¹i M1, N1. Gäi P lµ trung ®iÓm cña AM1, Q lµ trung ®iÓm
cña AN1. §-êng kÝnh AB cè ®Þnh, t×m tËp hîp t©m c¸c ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c BPQ khi ®-êng kÝnh MN thay ®æi.
Së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸
®Ò thi häc sinh giái líp 9
Thêi gian: 150 phót
Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc
x 3 x x 3
x 2
9x
P 1
:
x 9 2 x 3 x x x 6
a. Rót gän biÓu thøc P
b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 1
Bµi 2: (5 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 3 ®iÓm A(-1; -2); B(-3; 4);
C(2;4)
a. Chøng minh r»ng A, B, C kh«ng th¼ng hµng
b. Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c
X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó (P) ®i qua c¸c ®iÓm A, B, C
c. Qua O cã thÓ kÎ ®-îc ®-êng th¼ng d nµo tiÕp xóc víi (P) hay kh«ng ?
Bµi 3: (4 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh sau
17
a)
x 1 y 4
xy7
5
x 2 4x 1 0
x 4x 5
b)
2
Bµi 4: (5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®-êng cao AH vÏ ®-êng
trßn t©m O ®-êng kÝnh AH. §-êng trßn nµy c¾t c¸c c¹nh AB, AC lÇn l-ît t¹i D
vµ E.
a. Chøng minh tø gi¸c ADHE lµ h×nh ch÷ nhËt vµ 3 ®iÓm D, O, E th¼ng
hµng
b. C¸c tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn t©m O kÎ tõ D vµ E c¾t c¹nh BC t-¬ng øng
t¹i M vµ N. Chøng minh M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MDEN
Bµi 5: (2 ®iÓm) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau:
1
1
2
víi x 1, y 1
2
2
1 xy
1 x 1 y
Ng-êi ra ®Ò
NguyÔn ThÞ TuyÕt
®Ò thi häc sinh giái tØnh líp 9
Së GD & §T Thanh ho¸
Tr-êng THPT Qu¶ng X-¬ng 1
M«n: m«n to¸n - b¶ng A -n¨m häc 2005 - 2006
(Thêi gian 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1: (5 ®iÓm)
1 x x
1 x x
P
x
x
1> cho
1 x
1 x
a> Rót gän P
b> T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
1
P
2>> T×m trªn ®-êng th¼ng y= x+ 1 nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho· m·n:
y2 - 3y x + 2x =0
Bµi 2: (5 ®iÓm)
1> Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x2 + mx + n =0. T×m m, n tho· m·n
hÖ
18
x1 x 2 5
3
3
x1 x 2 35
2> Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x2
( x 1 1)
2
x4
Bµi 3: (5 ®iÓm)
1> Cho ®-êng trßn t©m O néi tiÕp h×nh thang ABCD (AB // CD). E, F lµ tiÕp
®iÓm cña AB vµ CD víi ®-êng trßn (O).
a> CMR:
BE DF
AE CF
b> BiÕt AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. TÝnh diÖn tÝch ABCD
2> Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC cã B= 1v, c¹nh bªn SA vu«ng gãc (ABC) t¹i
A. Gäi H, K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC vµ SB. Chøng minh tø gi¸c
BCHK néi tiÕp
BÇi 4: (5 ®iÓm)
2
1> T×m a R ®Ó ph-¬ng tr×nh Èn x sau: 2 x (4a
11
) x 4a 2 7 0
2
cã nghiÖm nguyªn
2> Chøng minh r»ng:
4x 2 y 2
x2 y2
3
(x2 y 2 )2 y 2 x2
víi x, y kh¸c 0
------------------HÕt----------------Së GD & §T Thanh Ho¸
§Ò thi Häc sinh giái líp 9
Tr-êng THPT Qu¶ng X-¬ng II
M«n: To¸n
-----------------------Bµi1 (5®iÓm)
a. Rót gän
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
19
3
2
1
P=
3
1 1
2
1
3
2
1 1
3
2
b. Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
3
x 1 3 x 1 3 5x
Bµi2 (5®iÓm)
a. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
x y 4z 1
y z 4x 1
x z 4 y 1
b. T×m nghiÖm nguyªn: x+xy+y=9
Bµi3 (5®iÓm)
a. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
P=
4a
9b
16c
bca acb abc
Víi a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c
b. Víi a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c chøng minh ph-¬ng tr×nh:
x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 v« nghiÖm
Bµi 4 (5®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. §-êng cao HE. Trªn ®o¹n HE lÊy ®iÓm B sao
cho tia CB AH. Hai trung tuyÕn AH vµ BK cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I.
Hai trung trùc cña AC vµ BC c¾t nhau t¹i O.
a. Chøng minh ABH ®ång d¹ng víi MKO
b. Chøng minh
3
IO 3 IK 3 IM 3
2
=
3
3
3
4
IA IH IB
Ng©n hµng ®Ò thi häc sinh giái m«n To¸n líp 9
Thêi gian: 150 phót.
Tæ To¸n, Tr-êng THPT Qu¶ng X-¬ng III
Bµi 1:
1)
(2®) Rót gän biÓu thøc:
1
1
1
1
27a 4 6a 2 3 a 3 a
27a 4 6a 2 .
3
3
3
3
1
(2®) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè cña biÓu thøc: A
.
3
1 3 2 23 4
A 3 a3 a
2)
Bµi 2:
20
- Xem thêm -
.PDF 
266 
1826 
78 
