Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chủ đề 8
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
z
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian
x'Ox : trục hoành
x'
y'Oy : trục tung
z'Oz : trục cao
k
y
'
O
: gốc toạ độ
O j
i, j, k : véc tơ đơn vị
i
x
(hay i; j; k : véc tơ đơn vị )
z'
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
y
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho M kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
z
i, j, k bởi hệ thức có dạng : OM xi y j + yk vôùi x,y,z .
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu:
M(x;y;z)
y
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )
M
O
x
ñ/n
Ý nghĩa hình học:
z
R
z
M3
O
p
x OP
; y= OQ ; z = OR
M2
M
y
y
Q
x
x
OM xi y j zk
M ( x; y; z)
M1
2. Định nghĩa 2: Cho a kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
i, j, k bởi hệ thức có dạng : a a1 i a2 j + a3 k vôùi a1 ,a2 ,a3 .
Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
Ký hiệu:
a (a1; a2 ; a3 )
a=(a1;a2 ;a3 )
ñ /n
a a1 i a2 j a3 k
172
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
II. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(xB ; yB ; zB ) thì
Định lý 1:
AB ( xB x A ; yB y A ; zB zA )
Nếu a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) thì
Định lý 2:
a1 b1
* a b a2 b2
a b
3
3
* a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
* a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
* k .a (ka1; ka2 ; ka3 )
(k )
III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song
song .
Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
Định lý 3 :
Cho hai véc tơ a vaø b vôùi b 0
a cuøng phöông b
!k sao cho a k .b
Nếu a 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
k > 0 khi a cùng hướng b
k < 0 khi a ngược hướng b
a
k
b
Định lý 4 :
A, B, C thaúng haøng AB cuøng phöông AC
Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) ta có :
a cuøng phöông b
a1 kb1
a2 kb2 a 1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3
a kb
3
3
173
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
a.b a . b .cos(a, b)
2 2
a a
a b a.b 0
Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a2 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) ta có :
a.b a1b1 a2 b2 a3b3
Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) ta có :
a a12 a22 a32
Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B ; yB ; zB ) thì
AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 ( zB zA )2
Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) ta có :
ab
a1b1 a2 b2 a3b3 0
Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) ta có :
a.b
a1b1 a2 b2 a3b3
cos(a, b )
a.b
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :
MA k .MB
A
M
B
Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) và MA k .MB ( k 1 ) thì
x A k .x B
xM 1 k
y A k .yB
yM
1 k
zA k .zB
zM 1 k
174
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
x A xB
xM
2
y y
Đặc biệt : M là trung điểm của AB yM A B
2
zA zB
zM 2
Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC )
x A xB xC
xG
3
y y y
G là trọng tâm tam giác ABC yG A B C
3
zA zB zC
zG
3
Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) vaø b (b1; b2 ; b3 ) là một véc tơ được
ký hiệu : a; b có tọa độ là :
1 2 3
a
a; b 2
b2
a3 a3
;
b3 b3
a (a1; a2 ; a3 )
Cách nhớ:
b (b1; b2 ; b3 )
a1 a1 a2
;
b1 b1 b2
2. Tính chất:
a; b a vaø a; b b
1
SABC . AB; AC
2
S ABCD AB; AD
VABCD. A' B'C ' D'
A
B
C
D
B
AB; AD . AA'
a cuøng phöông b
a; b 0
C'
A'
A
1
VABCD . AB; AC . AD
6
D'
C
B'
D
D
C
A
B
C
A
B
175
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
a, b, c ñoàng phaúng a, b .c 0
A, B, C, D đồng phẳng AB, AC, AD đồng phẳng AB, AC .AD 0
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B(3; 1; 4),C(5; 1; 0),D(1;2;1) . Chứng minh tam giác ABC vuông.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Các định nghĩa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
ñn a 0
a là VTCP của đường thẳng ( )
a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( )
a
a
()
Chú ý:
Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một đường thẳng ( ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:
a
b
a
b
Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của đường
thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng
Chú ý :
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n
ñn n 0
n là VTPT của mặt phẳng
n coù giaù vuoâng goùc vôùi mp
176
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chú ý :
Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó.
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:
a (a1; a2 ; a3 )
Định lý: Giả sử mặt phẳng có cặp VTCP là :
thì mp có một VTPT là :
b (b1; b2 ; b3 )
a
n a; b 2
b2
a
a3 a3
;
b3 b3
a1 a1 a2
;
b1 b1 b2
n [a , b ]
b
Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng biết đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một
VTPT n ( A; B; C ) là:
n ( A; B ; C )
M x; y; z
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
z
n ( A; B ; C )
Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :
Ax By Cz D 0 với A2 B 2 C 2 0
M0
y
là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
x
Chú ý :
Nếu ( ) : Ax By Cz D 0 thì ( ) có một VTPT là n ( A; B; C )
M0 ( x 0 ; y0 ; z0 ) ( ) : Ax By Cz D 0 Ax 0 By0 Cz0 D 0
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
(Oxz)
(Oxy):z = 0
x
(Oyz):x = 0
(Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
A(a; 0; 0)
Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại B(0; b; 0) (a,b,c 0)
C (0; 0; c)
x y z
là:
1
a b c
(Oyz)
z
y
O
(Oxy )
C
c
O
a
A
b
B
177
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1; 2;3 , B 2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc
với đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng P : x 2 y 3z 4 0 và R : 3x 2 y z 1 0 . Viết phương
trình mặt phẳng R đi qua A 1;1;1 đồng thời vuông góc với cả P và Q .
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
a1 tb1
a tb
2
2
(a1, a2 ,..., an )
Hai bộ n số :
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t 0 sao cho .
(b1, b2 ,..., bn )
.
an tbn
a
a1 a2
Ký hiệu:
a1 : a2 : ... : an b1 : b2 : ...: bn
hoặc
... n
b1 b2
bn
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định bởi phương trình :
( ) : A1x B1y C1z D1 0 coù VTPT n1 ( A1; B1; C1 )
( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 coù VTPT n2 ( A2 ; B2 ; C2 )
n1
n2
n2
n
1
n1
a
n2
b
a
a
b
b
( ) caét ( ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 (hay:
A1 B1 C1 D1
A 2 B2 C2 D2
( ) ( )
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
( ) // ( )
A1 B1
B
C
C
A
hoaëc 1 1 hoaëc 1 1 )
A 2 B2
B2 C2
C2 A2
Đặc biệt:
A1 A2 B1B2 C1C2 0
178
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
và nhận a (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
a
z
x x0 ta1
() : y y0 ta2
z z ta
0
3
()
M0
M ( x, y, z ) y
(t )
O
x
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
và nhận a (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
( ) :
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 2; 2;1 , B 0; 2;5 . Viết phương trình tham số của
đường thẳng đi qua A và B .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;1; 0 , B 0; 2;1 và trọng tâm
G 0; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng ABC
Ví dụ 3:
x 1 2t
Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng (d) : y 1 t . Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
z 3 t
M và vuông góc với đường thẳng (d).
Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :
x z z
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm
1 1 1
M và đường thẳng (d)
II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
( )
a
M
a
n
a
( )
n
n
M
a
a
M
a ( )
179
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :
x x0 y y0 z z0
đường thẳng () :
có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) và qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a1
a2
a3
và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 có VTPT n ( A; B; C )
Khi đó :
() caét ( )
Aa1 Ba2 Ca3 0
Aa1 Ba2 Ca3 0
Ax0 By0 Cz0 D 0
Aa1 Ba2 Ca3 0
Ax0 By0 Cz0 D 0
() // ( )
( ) ( )
a
a1 : a2 : a3 A : B : C
() ( )
Đặc biệt:
n
a
pt ()
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( ) và ( ) ta giải hệ phương trình :
tìm x,y,z
pt ( )
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0 . Tìm tọa độ hình
chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d) :
x 1 y 2 z 2
và mặt phẳng (P) : x 3y 4m 2 z m 0 . Tìm m
1
5
4
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
M
M0
'
0
u
1
a
b
u
M0
u'
2
M 0'
1
2
'
1 M 0 M 0
u
u'
M0
2
M
'
0
1
u'
2
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x x0 y y0 z z0
(1 ) :
coù VTCP u (a; b; c) vaø qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a
b
c
x x0 y y0 z z0
'
( 2 ) :
coù
VTCP
u
(a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' )
'
'
'
a
b
c
180
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
(1 ) vaø ( 2 ) ñoàng phaúng u, u' . M0 M0' 0
u, u' .M M ' 0
0 0
(1 ) caét (2 )
a : b : c a' : b' : c '
(1 ) // (2 )
a : b : c a ' : b' : c' ( x0' x0 ) : ( y0' y0 ) : ( z0' z0 )
a : b : c a' : b' : c' ( x0' x0 ) : ( y0' y0 ) : (z0' z0 )
(1 ) vaø ( 2 ) cheùo nhau
u, u' .M0 M0' 0
pt(1 )
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (1 ) vaø ( 2 ) ta giải hệ phương trình :
tìm x,y,z
pt( 2 )
Suy ra: M(x,y,z)
(1 ) ( 2 )
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định bởi phương trình :
( ) : A1 x B1y C1z D1 0
n1 ( A1 ; B1 ; C 1 )
n 2 ( A2 ; B 2 ; C 2 )
( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có công thức:
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
a
A12 B12 C12 . A22 B22 C22
0 0 90 0
b
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P) : x y 2 0 & (Q) : x z 3 0 . Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () :
x x0 y y0 z z0
a
b
c
và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức:
( )
a ( a ; b; c )
n ( A; B ; C )
sin
Aa Bb Cc
2
A B 2 C 2 . a2 b2 c2
3.Góc giữa hai đường thẳng :
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x x0 y y0 z z0
(1 ) :
a
b
c
x x0 y y0 z z0
( 2 ) :
'
a'
b'
c
a
a1 (a; b; c )
0 0 90 0
1
2
a 2 ( a ' ; b' ; c ' )
0 0 90 0
181
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( 1 ) & ( 2 ) ta có công thức:
aa ' bb ' cc '
cos
a 2 b 2 c 2 . a '2 b'2 c'2
IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d ( M0 ; )
a
Ax0 By0 Cz0 D
H
A2 B 2 C 2
Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
u (a; b; c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến () được tính bởi công thức:
M1
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
u
( )
H
M0 M1; u
d ( M1 , )
u
x y 1 z 3
và điểm A(1;2;1)
3
4
1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
Ví dụ: Cho đường thẳng : (d ) :
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :
(1 ) coù VTCP u (a; b; c) vaø qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
(2 ) coù VTCP u' (a' ; b' ; c' ) vaø qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' )
Khi đó khoảng cách giữa (1 ) vaø ( 2 ) được tính bởi công thức
1
u
M0
M 0'
u'
2
u, u ' .M 0 M 0'
d (1 , 2 )
u; u '
182
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ: Cho hai đường thẳng :
x 9 6t
x 5 y 5 z 1
(d1 ) :
vaø (d 2 ) : y 2t
3
2
2
z 2 t
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d 1) và (d 2).
MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là :
z
(S ) : ( x a)2 (y b)2 (z c)2 R2
(S )
I
R
Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu
M ( x; y; z )
y
O
(1)
Đặc biệt:
Khi I O thì (C ) : x 2 y 2 z2 R 2
x
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :
x 2 y 2 z2 2ax 2by 2cz d 0
với a2 b2 c2 d 0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R a2 b 2 c2 d .
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) có phương trình :
( ) : Ax By Cz D 0
(S) : ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R 2
Gọi d(I; ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng
Ta có :
1. ( ) caét maët caàu (S)
d(I; ) < R
2. ( ) tieáp xuùc maët caàu (S)
d(I; ) =R
3. ( ) khoâng caét maët caàu (S)
d(I; ) > R
(S )
(S )
I
(S )
I
R
R
R
a
H
a
M H
(C )
I
M
M
a
r
H
183
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chú ý:
Khi cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) nầy có:
Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng
Bán kính r R 2 d 2 ( I , )
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z 2 4x 2y 2z 3 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại
điểm M(0;1;-2).
B. Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y z 8 0 và đường thẳng (d):
x 2 y 1 z 1
2
3
5
Tìm phương trình , hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).
Bài giải
Gọi A (d) P , tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
2x y z 8 0
x 6
x
2
y
1
z
1
y 5 A 6;5; 9
z 9
2
3
5
Lấy B 2; 1;1 d , gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)
Phương trình tham số của (d') là:
x 2 2t
y 1 t
z 1 t
Gọi H (d ') (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
2
t 3
10
x 2 2t
y 1 t
x 3
10 1 5
H ; ;
z 1 t
1
3 3 3
2x y z 8 0
y
3
z 5
3
8 16 32
8
chính là đường thẳng đi qua hai điểm A, H. Ta có AH ; ; 1; 2; 4
3
3 3 3
184
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Vậy phương trình :
HĐBM-TỔ TOÁN
x 6 y 5 z 9
1
2
4
x 1 y 1 z 3
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho M 1; 2; 3 ; a 6; 2; 3 , d :
. Tìm phương trình
3
2
5
đường thẳng qua M, vuông góc a và cắt (d).
Bài giải
Lấy điểm N (d) , tọa độ N có dạng N 1 3t; 1 2t;5 3t , ta có:
MN 2 3t; 3 2t; 6 5t
MN a MN.a 0 6 2 3t 2 3 2t 3 6 5t 0 t 0
Đường thẳng cần tìm đi qua M có VTCP là MN 2; 3; 6 có phương trình là:
x 1 y 2 z 3
2
3
6
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A 0;1;1 , vuông góc
x 1 y 2 z
và cắt d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình:
3
1
1
x y z 2 0, x 1 0
Bài giải
(d1 ) :
185
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
x 1
Viết phương trình tham số của đường thẳng d 2 : y 1 t
z t
Xét điểm B 1; 1 t, t (d 2 ) . Tìm t để AB.a d1 0
AB.a d1 0 t 3 B 1; 2;3
Phương trình (d):
x y 1 z 1
1
2
3
x 3 y 2 z 1
và mặt phẳng (P): x y z 2 0 .
2
1
1
Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) saocho vuông góc với
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):
(d) và khoảng cách từ M đến bằng
42 .
Bài giải
Do M (d) (P) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x 3 y 2 z 1
x 1
2
y 3 M 1; 3;0
1
1
x y z 2 0
z 0
(d) có VTCP a 2;1 1 và (P) có VTPT n P 1;1;1 .
Mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P) có VTPT n Q a; n P 2; 3;1
Phương trình mp(Q): 2x 3y z 11 0
Gọi (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P) thì (d) P Q
VTCP của (d') là a d' n P ; n Q 4;1; 5 , phương trình tham số của (d') là:
x 1 4t
y 3 t
z 5t
Ta tìm N d ' sao cho MN 42 , đặt N 1 4t; 3 t; 5 , ta có:
MN 42 42t 2 42 t 1
+ Với t 1 ta có N1 5; 2; 5 . 1 qua N1 nằm trong (P) và vuông góc với (d') có VTCP là
a 1 n P ; n d' 6;9; 3 3 2; 3;1 . Phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 5 y 2 z 5
1 :
2
3
1
x 3 y 4 z 5
+ Với t 1 ta có: 2 :
2
3
1
186
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0;1 , B 1; 2;1 ;C 4;1; 2 và mặt phẳng (P): x y z 0 . Tìm
trên (P) điểm M sao cho MA 2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có
MA 2 MB2 MC 2 3MG 2 GA 2 GB2 GC 2 (1)
Từ hệ thức (1) ta suy ra :
MA 2 MB2 MC 2 đạt GTNN MG đạt GTNN M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:
x 2 t
y 1 t
z t
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 t
t 1
y 1 t
x 1 M 1,0, 1
z t
y0
x y z 0
z 1
Vậy M 1; 0; 1 .
x 1 y 2 z
x 2 y 1 z 1
; d2 :
và mặt
1
2
1
2
1
1
phẳng P : x y 2z 5 0 . Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và cắt d1 , d 2 lần
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Bài giải
Đặt A 1 a; 2 2a;a , B 2 2b;1 b;1 b , ta có
AB a 2b 3; 2a b 3; a b 1
187
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Do AB song song với (P) nên:
AB n P 1;1; 2 b a 4
Suy ra: AB a 5; a 1; 3
Do đó: AB
2
2
a 5 a 1 3
2
2
2a 2 8a 35 2 a 2 27 3 3
Suy ra: min AB 3 3 a 2
b 2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 1 y 2 z 2
1
1
1
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho A 0;0; 4 , B 2;0; 0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x y 3 0 . Lập
phương trình mặt cầu S đi qua ba điểm O, A, B và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài giải
Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2 y2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
d 0
d 0
Do O, A, B S 16 8c 0 c 2
4 4a 0
a 1
Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R 1 b 2 4 b 2 5
Do (S) tiếp xúc với (P) nên:
d I;(P) R
b 0
5
b 2 4 4b 2 10b 0
4 1
b 2
2b3
Vậy có hai mặt cầu là:
S1 : x 2 y2 z 2 2x 4z 0
S2 : x 2 y2 z 2 2x 5y 4z 0
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 2 , B 1;1;1 , C 2; 2;3 và mặt phẳng (P): x y z 3 0 .
Tìm điểm M trên (P) sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
188
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G 1; 0; 2
Xét điểm M (P) . Ta có:
MA MB MC 3 MG 3MG
Suy ra: MA MB MC đạt GTNN MG đạt GTNN M là hình chiếu của G trên (P)
Tìm M
+ Gọi (d) là đường thẳng qua G vuông góc với mặt phẳng (P)
x 1 t
Phương trình đường thẳng (d): y t
z 2 t
x 1 t
t 2
y 1
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x 1 M 1; 2;0
z 2 t
y2
x y z 3 0
z 0
Vậy M 1; 2; 0
Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
5x 4y 3z 20 0;3x 4y z 8 0 .
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho AB 16 .
Bài giải
4 3 3 5 5 4
Đường thẳng (d) có VTCP là: u
;
;
8; 4; 8 4 2;1; 2
4 1 1 3 3 4
Kẻ IH AB thì HA HB 8 và IH d I, (d) , R IH 2 AH 2
189
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Xét điểm M 11;0; 25 , ta có:
IM 9; 3; 24
u; IM 30;30; 15
n d 2;1; 2
2
2
u; IM
30 302 15
d I;(d)
15
3
u
Do đó: R IH 2 AH 2 225 64 17
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 y 3 z 1 289
2
2
2
x 2 y 3 z 1
. Xét hình bình hành ABCD
1
2
2
có A(1 ; 0 ; 0), C (2 ; 2 ; 2), D d . Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2 .
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d :
Bài giải
x 2 y 3 z 1
D(t 2 ; 2t 3 ; 2t 1)
1
2
2
3 2
Vì S ABCD 3 2 S ACD
.
2
Ta có AC (1 ; 2 ; 2); AD (t 3 ; 2t 3 ; 2t 1) .
Do D d :
Suy ra [ AC , AD] ( 4 ; 4t 7 ; 4t 9)
Khi đó:
1
1
1
S ACD
AC , AD
16 (4t 7 ) 2 (4t 9) 2
32t 2 128t 146 .
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có 32t 2 128t 128 0 t 2 . Suy ra D(0 ; 1 ; 3) .
(1)
(2)
Do ABCD là hình bình hành nên AB DC . Suy ra B(3 ; 3 ; 5)
Vậy B 3;3;5 .
190
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
C. Các bài toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014
Bài 1: (TN)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 1; 0) và mặt phẳng ( P) : 2 x 2 y z 1 0 .
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P) .
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P) sao cho AM OA và AM 3d ( A; ( P ))
Đáp án
Bài 2: (CĐ)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;1; 1), B(1; 2;3) và mặt phẳng ( P) : x 2 y 2 z 3 0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với ( P)
Đáp án
191
- Xem thêm -
.PDF 
27 
420 
88 
